bai tap the tich khoang cach bai tap the tich khoang cach

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng  AA '  AB AA 'B  AA '2  A 'B2  AB2  8a2  AA '  2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a 3a ABCD hình vuông  AB  2 9a Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' A C I B + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diên tích B = SABC công thức ? + Từ diện tích A 'BC suy cạnh ? ? + Tìm h = AA' dùng tam giác định lí ? Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có ABC nên AI  AB  & AI  BC  A'I  BC(dl3 ) 2S SA'BC  BC.A 'I  A 'I  A'BC  BC AA'  (ABC)  AA'  AI  AA'  A'I2  AI2  Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách ? + Tìm h = DD' tam giác vuông ? định lí ? Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = a2 a a DD'B  DD'  BD'2  BD2  a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Ví dụ 5: Một bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật nắp Tính thể tích hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình C' D' D' C' đối tượng ? + Tìm h = AA' ? Tại ? C C' D' D + Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ? A' B' Giải D C Theo đề bài, ta có B B' A A' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm B' A A' B chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 Theo đề BD' = AC = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS: V  a ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD'  a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs:V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt khối hộp Dạng 2: Lăng 5; 10; 13 Tính thể tích Đs: V = trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ *) Tìm hình chiếu A'B đáy ABC Suy góc [A'B,(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có A'A  (ABC)  A'A  AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A'B,(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan600  a a2 SABC = BA.BC  2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ Phân tích *) *) *) *) *) Tìm hình chiếu BC' (AA'C'C) Suy góc [BC',(AA'C'C)] = ? Tìm AC' tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác ? Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: ABC  AB  AC.tan60o  a Ta có: AB  AC;AB  AA '  AB  (AA 'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o AB AC'B  AC'   3a t an30o V = B.h = SABC.AA' AA 'C'  AA '  AC'2  A 'C'2  2a 2 ABC nửa tam giác nên SABC  a Vậy V = a3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ Phân tích *) Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình lăng trụ *) Dựng BD' BD ? phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu BD' đáy ABCD Suy góc [BD',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B hình vuông ABCD công thức ? Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn *) Tìm h = DD' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD'  (ABCD)  DD'  BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD'  300 BDD'  DD'  BD.tan 300  Vậy V = SABCD.DD' = a a3 4a S = 4SADD'A' = 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu AB' (ABCD) Suy góc [AB',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Dựng BD Suy D ABD có hình tính ? Suy diện tích B ABCD cách nào? +Tính h = BB' tam giác ? Dùng hệ thức lượng giác ? Giải ABD cạnh a  SABD  a  SABCD  2SABD  a2 ABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3a3 Vậy V  B.h  SABCD BB'  BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a /16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB'  a ; V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông A biết AC = a ACB  60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS V  a 6;S  3a Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  32a / Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V  a / Bài Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương ĐS V  2a / 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS V  a 3 / 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o ĐS V  4a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS V  a3 /16 2) BD' hợp với mặt (AA'D'D) góc 30o ĐS V  a / Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2 Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ;AD = b;AA' = c BD' = AC' = CA' = a  b2  c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x  sin y  sin z  Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vuông góc với BC không ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có A'A  (ABC)& BC  AB  BC  A'B Vậy góc[(A'BC),(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan600  a SABC = BA.BC  a Vậy V = SABC.AA' = a 2 Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét A 'BC có hình tính ? Suy I trung điểm BC cho ta vị trí AI A'I với BC? Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Đặt BC = 2x Suy A'I tam giác ? *) Từ diện tích tam giá A"BC suy x công thức nào? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải ABC  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl  ) Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o Giả sử BI = x  AI  x  x Ta có A' AI : A' I  AI : cos 30  AI  2x 3  2x A’A = AI.tan 300 = x 3  x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x  Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Giải Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vuông nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl  ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vuông nên SABCD = a2 OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a / Vậy V = a3 / Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vuông góc với BC không ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABCD)] = ? *) Tìm hình chiếu A'C (ABCD) ? Suy góc[A'C,(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm AB AC tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Ta có AA'  (ABCD)  AC hình chiếu A'C (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA  30o BC  AB  BC  A'B (đl  ) Þ [(A'BC),(ABCD)] = A'BA  60o A 'AC  AC = AA'.cot30o = 2a A 'AB  AB = AA'.cot60o = 2a / ABC  BC  AC2  AB2  4a / Vậy V = AB.BC.AA' = 16a / BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: V  2a / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a BAC  120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  h / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o Đs: V  a3 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o ĐS: V  a 3 / 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ ĐS: V  a3 Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o ĐS : V = 16a3 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 60 ĐS : V = 12a3 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a ĐS : V  16a / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS : V  a / 2)Tam giác BDC' tam giác ĐS : V = a Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : V = a Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS: V  3a 3 / 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') a / ĐS : V  3a / 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : V  3a / Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: 1) AB = a ĐS : V  8a o 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30 ĐS : V  5a 11 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 30 ĐS : V  16a Gia sư Thành Được Dạng www.daythem.edu.vn Khối lăng trụ xiên Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên với đáy : Hình chiếu CC' (ABC) gì? *) Suy góc[CC';(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có C'H  (ABC)  CH hình chiếu CC' (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]  C'CH  60o CHC'  C'H  CC'.sin 600  SABC =  3a a2 3a 3 Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu AA' (ABC) gì? Suy góc[AA'';(ABC)] = ? *) Chứng minh BC  AA' cách Chứng minh BC  mặt phẳng ? Tứ BC  CC' không ? sao? Vậy BB'C'C hình gì? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA'' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: 1) Ta có A'O  (ABC)  OA hình chiếu AA' (ABC) Vậy góc[AA',(ABC)]  OAA'  60o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) AO  BC trung điểm H BC nên BC  A 'H (đl  )  BC  (AA'H)  BC  AA' mà AA'//BB' nên BC  BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật 2) ABC nên AO  AH  a  a 3 3 AOA'  A'O  AO t an60o  a Vậy V = SABC.A'O = a3 / Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H HN  AD HM  AB Suy góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông ? Đặt x = A'H *) Dùng hai tam giác định lý để tạo phương trình theo x ? Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Lời giải: Kẻ A’H  (ABCD) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD (đl  )  A 'MH  45o ,A 'NH  60o Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 = 2x / AN = AA'  A' N   4x  HM Mà HM = x.cot 450 = x  4x x Nghĩa x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = / = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a Bài Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vuông cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 o Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c BAD  30 biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V = abc / Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a 3 / 3) Tính thể tích hộp Đs: V  Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: V  3a 3 / Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B ĐS : S  a / 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' ĐS: V  3a 3 / Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ ĐS : 30o 2) Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Đs: V  27a / Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' ĐS: SACC'A'  a 2;SBDD'B'  a a3 2 Bài 10 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên đáy ĐS : 60o 2) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp ĐS: V  3a / &S  a 15 Gia sư Thành Được Dạng 1: www.daythem.edu.vn THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B SBC công thức ? Lời giải: A Ta có (ABC)  (SBC)  AC  (SBC) a_  (ASC)  (SBC) B C Do V  SSBC.AC  a a  a / / \ 12 S Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vuông 2) Tính thể tích hình chóp Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? Tính BA ? *) Tìm h = SA qua tam giác công thức ? Lời giải: S 1) SA  (ABC)  SA  AB & SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl  ) Vậy mặt bên chóp tam giác vuông 2) Ta có SA  (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB  60o C a A ABC vuông cân nên BA = BC = a/ 2 SABC = BA.BC  a ; SAB  SA  AB.t an60o  a 60o 2 B Vậy V  SABC.SA  a a  a 34 24 Ví dụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác công thức ? 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Lời giải: M trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) Þ [(SBC);(ABC)] = SMA  60o Ta có V = B.h  SABC.SA 3 S C A 3a 1 Vậy V = B.h  SABC.SA  a 3 SAM  SA  AM tan60o  60 o a M B Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh a SA vuông góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Phân tích đề để dựng hình : *) Dựng tứ giác ABCD cạnh bên SA  (ABCD) ? Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác công thức ? Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) CD  AD  CD  SD ( đl  ).(1) H Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o S SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 60 A B a o D C Vậy V  SABCD SA  a2a  a 3 3 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 SAD       Vậy AH = a 2 2 AH SA AD 3a a 3a BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = a3 / Bài Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V  h3 / Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông A SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể V  a3 / 27 tích hình chóp Đs: Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 12/ 34 o Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , BAC  120 , biết SA  (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V  a3 / Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông biết SA  (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Đs: V  a3 / 48 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA  (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 o Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60 SA  (ABCD) Biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  a3 / Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA  (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD Đs: V  a3 / Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  3R3 / Dạng : Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) H trung điểm AB Chứng minh SH  (ABCD) ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = SH qua tam giác công thức ? Lời giải: S 1) Gọi H trung điểm AB SAB  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp D A 2) Ta có tam giác SAB nên SA = a B suy V  SABCD SH  a 3 H a C Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD (BCD) ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B BCD công thức ? *) Tìm h = AH qua tam giác công thức ? Lời giải: A Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) a Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a & HD = AD.cot60o = a / B BCD  BC = 2HD = 2a suy 60 o D H C V = SBCD AH  BC.HD.AH  a 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, cóBC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b Tính thể tích khối chóp SABC 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phân tích đề để dựng hình : *) Dựng tam giác ABC SAC dựa vào (SAC)  (ABC) ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? góc[(SBC),(ABC)] = ? *) So sánh tam giác SHI SHJ cho ? Suy AH tam giác ABC ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Tìm h = SH qua tam giác tích chất ? Lời giải: a) Kẽ SH  BC mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ABC suy H trung điểm AC a a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC SH  12 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC Đs: V  2) Tính thể tích khối chóp SABC a3 24 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích Đs: V  SABC a3 12 +Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC  90o ;ABC  30o ; SBC tam giác cạnh a (SAB)  (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: a V 24 Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC)  (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V  4h Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Đs: V  biết AD = a.Tính thể tích tứ diện a3 36 Bài :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  4h Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , D SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V  a 13 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB  (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V  8a Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a D SAD vuông cân S , nằm Đs: V  a 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AD = CD = a ; AB = 2a, D SAB mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Dạng : Đs: V  a Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC ? Dựng tam giác ABC , từ tâm O dựng SO  (ABC) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC tích chất ? *) Phân tích V= 2a A a B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Tìm h = SO qua tam giác định lí ? Lời giải: S Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên AO = AH  a  a C 3 11a2 SAO  SO2  SA  OA  O H B  SO  a3 11 a 11 Vậy V  SABC.SO  12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD ? Dựng hình thoi ABCD từ câu hỏi 1, dựng SO  (ABCD) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Hình thoi ABCD có nội tiếp đường tròn không? Suy từ giả thiết? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD công thức ? *) Tìm h = SO qua tam giác định lí ? Lời giải: Dựng SO  (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD  ABCD hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD hình vuông Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASC vuông S a 1 a a3  V  S ABCD SO  a  3 Vậy V  a  OS  14 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC ? Dựng tam giác ABC ,từ tâm O dựng DO  (ABC) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Tìm h = DO qua tam giác định lí ? *) Mặt phẳng (DCO)  (ABC) ? Dựng MH  OC suy điều ?Tính MH ? Lời giải: a) Gọi O tâm ABC  DO  ( ABC ) V  S ABC DO S ABC  a2 , OC  CI  a 3 a a a3 DOC vuông có : DO  DC  OC  a  V   3 12 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH MH   VMABC a DO  1 a a a3 Vậy V  a  S ABC MH   3 24 24 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  3a 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a 3 Đs: V  a 2) Tính thể tích hình chóp SABC Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V  a 24 Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V  h 3 Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  h Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB  60o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp 2) Tính thể tích hình chóp Đs: S  a 3 Đs: V  a Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  2h 15 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a.Tính thể tích hình chóp Đs: V  8a 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o Tính thề tích hình chóp Đs: V  a 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích V  9a Dạng : Đs: AB = 3a Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC  a ,SA vuông góc với đáy ABC , SA  a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Phân tích: *) Dựng tam giác ABC vuông cân B SA  (ABC) *) Dựng mặt phẳng qua G // BC , cho MN //BC Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác định lí ? *) Tính trực tiếp thể tích SAMN phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích SAMN SABC ? Suy điều ? Lời giải: a)Ta có: VS ABC  S ABC SA SA  a 3 + ABC cân có : AC  a  AB  a  S ABC  a Þ VSABC  a a  a SG b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có :   // BC  MN// BC  SI  SM SN SG    SB SC SI VSAMN SM SN 4 2a   Vậy: VSAMN  VSABC  27 VSABC SB SC Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính VABCD b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Phân tích : *) Dựng tam giác ABC vuông cân A SC  (ABC) *) Dựng mặt phẳng qua C  BD cho thiết diện CEF Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= Bh/ để tìm B h ABCD đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC công thức ? *) Chứng minh CE vuông góc với đường thẳng mặt phẳng (ABD)? *) Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích DCEF DABC tỉ số đại lượng hình học tam giác vuông ? 16 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Lời giải: a)Tính VABCD : VABCD  SABC.CD  a3 b)Tacó: AB  AC, AB  CD  AB  ( ACD)  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD) c) Tính VDCEF :Ta có: VDCEF VDABC  DE DF (*) DA DB 2 Mà DE.DA  DC , chia cho DA2  DE  DC2  a  DA Tương tự: DA 2a DF DC a2    2 DB DB DC  CB Từ(*)  VDCEF  Vậy VDCEF  VABCD  VDABC a3 36 Ví dụ Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Phân tích *) Dựng tứ giác ABCD SO  (ABCD) *) Dựng (ABM) // CD để có điểm N ? *) Dựng BD BN Tại ? *) Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *) Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? *) Lập tỉ số thể tích SABN với SABD ; SAMN với SABC ? Lời giải: Kẻ MN // CD (N  SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) V SN 1   VSANB  VSADB  VSABCD *) SAND  VSADB SD 2 V SM SN 1 1    VSBMN  VSBCD  VSABCD *) SBMN  VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Þ VABMN.ABCD = VSABCD 8 VSABMN  Do : V ABMN ABCD  Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Phân tích: *)Xác định góc SA ABCD góc ? *)Phân tích V = Bh/ để tìm B h SABCD đối tượng ? *)Tìm h = SO qua tam giác hệ thức lượng giác nào? *)Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *)Tính thể tích SAEMF phức tạp ?Lập tỉ số thể tích SAEMF SABCD cách ? *) Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? *) Lập tỉ số thể tích SAMF với SACD ? 17 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Lời giải: a) Gọi I  SO  AM Ta có (AEMF) //BD  EF // BD b) VS ABCD  S ABCD SO với S ABCD  a 3 + SOA có : SO  AO.tan 60  a Vậy : VS ABCD  a 6 c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :  SM  SC SI SF V SM SF SAC có trọng tâm I, EF // BD     SAMF   SO SD VSACD SC SD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA  a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Phân tích yêu cầu đề toán nhỏ: *) Phân tích V = Bh/ để tìm B h SABCD đối tượng ? *) Chứng minh SC vuông góc đường thẳng (AB'D') ? *) Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *) Hãy so sánh thể tích SABC SACD với SABCD ? *) Hãy so sánh thể tích SAB'C' SAC'D' với SAB'C'D' ? *) Lập tỉ số thể tích SAB'C' với SABC Suy điều ? Lời giải: a) Ta có: VS ABCD  S ABCD SA  a 3 b) Ta có BC  (SAB)  BC  AB ' & SB  AB ' Suy ra: AB '  (SBC ) nên AB'  SC Tương tự AD'  SC.Vậy SC  (AB'D') V SB ' SC ' (*) c) Tính VS AB 'C ' : Ta có: SAB 'C '  VSABC SB SC SAC vuông cân nên Ta có: SB '  SA2  SB SB VSAB ' C ' Từ (*)  VSABC SC '  SC 2a 2a 2   SA2  AB 3a 1 a3 a3   VSAB 'C '   3 + VS.AB'C'D' = 2VS.AB'C' = 2a3 / BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k  1/ Bài Cho tứ diên ABCD tích 9m ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' 2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho AB  a ;AC'  2a Tính thể Đs: V  a 36 tích tứ diên AB'C'D Bài Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3 18 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V  a3 / 40 Bài Cho hình chóp SABCD tích 27m Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3 Bài Cho hình chóp SABCD tích 9m , ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN // BD cắt SB,SDF M P Tính VS.AMNP Đs: V  a2h/ Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs: k  1/ Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho SM  x Tìm x để SA mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích Đs: x   5) Dạng : Ôn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA vuông  góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD + Dựng tứ giác ABCD SA  (ABCD) + Dựng H trung điểm AB Nhận xét MH với AB ? Tại ? + Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + Tính h = SA tam giác hệ thức lương giác ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + MABCD có đường cao ? ? Tính MH tính chất ? Lời giải: S a)Ta có V  S ABCD SA + S ABCD  (2a)2  4a2 + SAC có : SA  AC tan C  2a H A B 60o D 2a C 8a3  V  4a 2a  3 b) Kẻ MH / / SA  MH  ( DBC ) 1 Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD 2 2a  VMBCD  V  19 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp + Dựng tam giác ABC SH  (ABC) với H  (ABC) H cách cạnh tam giác ABC  phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: + Xác định góc hợp mặt bên với đáy chóp ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABC đối tượng ? + Tính B = SABC công thức ? + Tính h = SH tam giác hệ thức lượng giác ? S J A C 60 H E F B Lời giải: Hạ SH  (ABC) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC suy SE  AB, SF  BC, SJ  AC Ta có SEH  SFH  SJH  60O  SAH  SFH  SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC ) Ta có SABC = p( p  a)( p  b)( p  c) abc  9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r  r   p Tam giác vuông SHE: 6a 32 a 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a  a SH = r.tan 600 = Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ + Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' OBB'C'  phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h OA'B'C'D' đối tượng ? + Phân tích V= B.h để tìm B h OBB'C' đối tượng ? + Tính B = SBB'C' công thức ? + Tính h = OM ? Dùng tam giác tính chất ? + Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' đáy OBB' ta có chiều cao yêu cầu dùng công thức để tìm ? 20 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn A B Ta có : V  AB AD.AA'  a 3.a  a O D Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V M C B' A' C' D' ABD có : DB  AB  AD2  2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao a3 giống khối hộp nên:  VOA ' B 'C ' D '  V  3 b) M trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') 1 a a a3  VO BB 'C '  S BB 'C ' OM   3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H  3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB  AB  AD2  2a  SOBB '  a  C ' H  2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B.h để tìm B h ACB'D' đối tượng ? + Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành khối tứ diện tích ? + Khi nhận xét VACB'D' VCB'D'C' ? Suy điều ? + Phân tích V= B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích 1 2 Khối CB’D’C’ có V1  a a  C A' B' C' a +Khối lập phương tích: V2  a 3  VACB ' D '  a  a  a D' a 21 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE B.h để tìm B h A'B'BC đối tượng ? + Tính trực tiếp thể tích CA'B'FE phức tạp ? Ta phân tích khối chóp thành khối tứ diện mà tính thể tích đơn giản ? + Phân tích V= E A I B F C B' A' J C' Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI  a a  a 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên VA ' CEF  SCEF A ' A a2 a3 S ABC   VA 'CEF  16 48 +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B 'CF  SCFB' A ' J a2 SCFB'  SCBB '  a a a3  VA ' B 'CF   24 SCEF  + Vậy : VCA'B'FE a3  16 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a; AA1 = a M trung a3 Đs:V = 12 điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông B, SA  (ABC) ACB = 60o, BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: VMABC = a3 Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD Tính thể tích khối chóp SABCD tam giác có cạnh Đ s: VSABCD = 22 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: 12 11 b) AB = 1, SA = Đs: V = 12 Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC a3 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o Tính VSABCD Đs: V  o o Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60 , BSC = 90 , a CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vuông Tính VSABC Đs: V  12 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB= a mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN a3 v  Đs: S BMDN Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o Đs: V = Đs : vM CNP 23 a3  96 ... D C Theo đề bài, ta có B B' A A' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm B' A A' B chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 Theo... tam giác vuông ? Đặt x = A'H *) Dùng hai tam giác định lý để tạo phương trình theo x ? Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Lời giải: Kẻ A’H  (ABCD) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD... dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt khối hộp Dạng 2: Lăng 5; 10; 13 Tính