Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Chuyờn : ph-ơng pháptamgiác Mụn: Hỡnh hc Lp: I Mc tiờu Sau hc xong chuyờn hc sinh cú kh nng: 1.Bit dng cỏc trng hp bng ca tam giỏc chng minh hai tam giỏc bng nhau; Nm c cỏc bc chng minh hai on thng hay hai gúc bng nhau; Bit v thờm ng ph to hai tam giỏc bng Hiu cỏc bc phõn tớch bi toỏn, tỡm hng chng minh Cú k nng dng cỏc kin thc c trang b gii toỏn II Cỏc ti liu h tr: - Bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn -Hỡnh hc nõng cao THCS - V thờm yu t ph gii cỏc bi toỏn hỡnh hc - Bi dng toỏn - Nõng cao v phỏt trin toỏn - III Ni dung Kin thc cn nh Ta ó bit nu hai tam giỏc bng thỡ suy c cỏc cp cnh tng ng bng nhau, cỏc cp gúc tng ng bng ú l li ớch ca vic chng minh hai tam giỏc bng * Cỏc trng hp bng ca tam giỏc a Trng hp cnh - cnh - cnh: Nu ba cnh ca tam giỏc ny bng ba cnh tng ng ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc ú bng b Trng hp cnh - gúc - cnh: Nu hai cnh v mt gúc xen gia ca tam giỏc ny bng hai cnh v gúc xen gia ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc ú bng c Trng hp gúc - cnh - gúc: Nu mt cnh v hai gúc k ca tam giỏc ny bng mt cnh v hai gúc k ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc ú bng * Mun chng minh hai on thng(hay hai gúc) bng ta thng lm theo cỏc bc sau: - Xột xem hai on thng(hay hai gúc) l hai cnh (hay hai gúc) thuc hai tam giỏc no - Chng minh hai tam giỏc ú bng - Suy hai cnh (hay hai gúc) tng ng bng * to c hai tam giỏc bng nhau, cú th ta phi v thờm ng ph bng nhiu cỏch: - Ni hai cnh cú sn trờn hỡnh to mt cnh chung ca hai tam giỏc Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn - Trờn mt tia cho trc, t mt on bng mt on thng khỏc - T mt im cho trc, v mt ng thng song song vi mt on thng - T mt im cho trc, v mt ng thng vuụng gúc vi mt on thng Ngoi cũn nhiu cỏch khỏc ta cú th tớch lu c kinh nghim gii nhiu bi toỏn Cỏc vớ d: 2.1 Vớ d 1(BTNC&MSC/123) Cho gúc vuụng xOy, im A trờn tia Ox, im B trờn tia Oy Ly im E trờn tia i ca tai Ox, im F trờn tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chng minh AB = EF, AB EF b Gi M v N ln lt l trung im ca AB y v EF Chng minh rng tam giỏc OMN vuụng cõn Gii: F ã = 900; A Ox, B Oy GT xOy H B OE = OB, OF= OA N M AB: MA = MB M N EF: NE = NF E KL a, AB = EF, AB EF A x O b V OMN vuụng cõn Chng minh a Xột V AOB v V FOE cú: OA = OF ( GT) ã ã = 900 V AOB v V FOE(C.G.C) AOB = FOE OB = OE (GT) AB = EF( cnh tng ng) à (1) ( gúc tng ng) A = F à+ F = 900 (2) = 900 E Xột V FOE : O ã A = 90 EAH T (1) v (2) Eà+ =900 EH HA hay AB EF b Ta cú: BM = AB( M l trung im ca AB) BM = EN EN = 2EF( M l trung im ca EF) M AB = EF = 900 = 900 E à+ F Mt khỏc: V FOE : O = 900 à = 900 à= B A+B E V OAB : O 1 à(cmt) A = F M Xột V BOM v V EON cú : OB = OE (gt) à= E à(cmt) V BOM = V EON (c.g.c) B BM = EN (cmt) OM = ON (*) ả = O ả V O ả +O ả =900 nờn O ả +O ả =900 MON ã M O = 900 (**) 3 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn T (*) v(**) V OMN vuụng cõn 2.2 VD2( BT26/VTYTP/62): Cho V ABC cõn nh A Trờn cnh AB ly im D, trờn tia i ca tia CA ly im E cho BD = CE Ni D vi E Gi I l trung im ca DE Chng minh ba im B, I, C thng hng Gii A GT V ABC: AB = AC D AB, E AC: BD=CE I DE: ID = IE KL B, I, C thng hng D B F I C E ã + EIC ã = 180 * Phõn tớch: B, I, C thng hng BIE ã = EIC ã Cn c/m BID ã + BIE ã = 180 M BID Cn to mt im F trờn cnh BC: V EIC = V DIF Chng minh ã = ã K DF// AC( F BC) DFB ACB ( hai gúc ng v) ã =ã DFB ABC M V ABC cõn tai A ã ABC = ã ACB (t/c) V DFB cõn tai D DB = DF Xột V DIF V V EIC cú: ID = IE (gt) ã = CEI ã (SLT, DF// AC) V DIF = V EIC(c.g.c) FDI DF = EC (=BD) ã ã (hai gúc tng ng) (1) DIF = EIC ã + FIE ã = 1800 (2) Vỡ I DE nờn DIF ã = 1800 hay EIC ã = 1800 B, I, C thng hng ã + FIE ã + EIB T (1) v (2) EIC 2.3 VD 3:(BTNC&MSCD/123) A = 60 Phõn giỏc BD, CE ct ti O Chng minh rng : Cho V ABC, a V DOE cõn b BE + CD= BC Gii A V ABC, A =60 E BD: Phõn giỏc Bà(D AC) D O GT CE: Phõn giỏc C (E AB) BD CE = {O} KL a V DOE cõn C B F b BE + CD= BC Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Chng minh 0 A =180 - 60 = 120 (nh lý tng ba gúc ca Ta cú: V ABC: Bà+ Cà=1800 - mt tam giỏc) B M Bà (BDl phõn giỏc Bà) = à= C (CE l phõn giỏc C à) C C 1200 B à Nờn B1 + C1 = = = 600 2 0 ã = 1800 - ( Bà V OBC: BOC + C1 )= 180 - 60 =120 ((nh lý tng ba gúc ca mt tam giỏc) ả = 1800( k bự) ã +O Mt khỏc: BOC ả =O ả =600 O ả = 1800( k bự) ã +O BOC ã ả =O ả = BOC =600 ã V phõn giỏc OF ca BOC (F BC) O ả ả ả ả Do ú : O1 = O2 = O3 = O4 =60 Xột V BOE v V BOF cú: à) ả = B à(BDl phõn giỏc B B V BOE = V BOF(g.c.g) BO cnh chung ả =O ả =60 O OE = OF (1) ( hai cnh tng ng) V BE = BF c/m tng t V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cnh tng ng) v CD = EF T (1 ) v (2) OE = OD V DOE cõn b Ta cú BE = BF CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vy : BE + DC= BC * Nhn xột: ã - VD trờn cho ta thờm mt cỏch v ng ph:V phõn giỏc OF ca BOC Khi ú OF l mt on thng trung gian so sỏnh OD vi OE - Ta cng cú th v thờm ng ph bng cỏch khỏc: Trờn BC ly im F:BF= BE Do ú cn c/m V BOE = V BOF(g.c.g) v V COD = V COF(g.c.g) Bi 3.1.Bi 1: 62- BTNC&MSC/117) Tam giỏc ABC v tam giỏc A'B'C' cú AB=A'B', AC= A'C' Hai gúc A v A'bự V trung tuyn AM ri kộo di mt on MD=MA ABD = A' Chng minh: a ã Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn b AM = B'C' Gii GT V ABC, V A'B'C': AB=A'B', AC= A'C' A+ A ' = 180 M BC: MB=MC D AM: MD=MA ABD = A' KL a ã b AM = B'C' A A' B B' C' M C D Chng minh Xột V AMC v V DMB cú: AM = MD (gt) ã ã (i nh) V AMC = V DMB (c.g.c) AMC = DMB MC = MB( gt) AC = BD ( hai cnh tng ng) à( hai gúc tng ng) AC//BD ( vỡ cú cp gúc SLT bng nhau) à= D A ã +ã ABD = 180 (hai gúc cựng phớa) BAC ã +à A ' = 180 (gt) M BAC ABD = A' ã b Xột V ABD v V B'A'C' cú: AB = A'B'(gt) ã ABD = A ' (cmt) V ABD v V B'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC) AD = B'C' ( hai cnh tng ng) M AM = AM = AD (gt) B'C' * Nhn xột: Hai tam giỏc cú hai cp cnh bng v mt cp gúc xen gia chỳng bự thỡ trung tuyn thuc cnh th ba ca tam giỏc ny bng mt na cnh th ba ca tam giỏc 3.2 BT2: 63- BTNC&MSC/117) Cho tam giỏc ABC v ngoi tam giỏc ny cỏc tam giỏc vuụng cõn ti A l ABE v ACF Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Chng minh: a BF = CE v BF CE b Gi M l trung im ca BC CMR: AM = EF Gii F E V ABC A = 90 , AB = AE V ABE: A = 90 , AC = AF GT V ACF: A I M BC: MB=MC O KL a.BF = CE v BF CE b.AM = EF B M C Chng minh ã + BAC ã = EAB ã = 900 + BAC ã a Ta cú: EAC ã = BAC ã + CAF ã = 900 + BAC ã BAF ã ã = BAF EAC Xột V ABF v V AEC cú: AB = AE(gt) ã = EAC ã (cmt) BAF V ABF = V AEC(c.g.c) AF = AC (cmt) BF = CE ( hai cnh tng ng) v Bà = E1 ( hai gúc tng ng) (1) Gi O v I ln lt l giao im ca CE vi BF v AB Xột V AEI vuụng ti A cú Eà + I1 = 90 (2) V Ià1 = Ià (i nh) (3) 0 ã T (1), (2) v (3) Bà + I =90 BOI = 90 BF CE ã + BAC ã = 3600 ã + CAF ã + FAE b Ta cú: EAB ã = 3600 - ( EAB ã + CAF ã + FAE ã ) =3600-(900+900)=1800 BAC Ta thy: V ABC v V EAF cú hai cp cnh bng v mt cp gúc xen gia chỳng bự nờn trung tuyn AM = EF Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 3.3 BT3(HHNC/56): Cho V ABC v ngoi tam giỏc ny cỏc tam giỏc vuụng cõn ti A l ABE v ACF V AH vuụng gúc vi BC ng thng AH giao EF ti O CMR: O l trung im ca EF Gii F V ABC K O E A = 90 , AB = AE V ABE: I A = 90 , AC = AF GT V ACF: A AH BC ( H BC) AH EF ={O} KL O l trung im ca EF H B C Chng minh K EI AH, FK AH (I, K AH) Xột V AEI v V ABH cú: $I = H = 900 AE = AB (gt) ã = BAH ã EAI ( cp gúc cú cnh tng ng vuụng gúc cựng nhn) V AEI = V ABH (cnh huyn- gúc nhn) EI = AH ( hai cnh tng ng) Tng t: V AFK = V CAH (cnh huyn- gúc nhn) FK = AH ( hai cnh tng ng) Xột V OEI v V OFK cú: $I = K = 900 V OEI = V OFK(g.c.g) EI = FK (=AH) ã = IEO ã (SLT, EI//FK) KFO OE = OF ( hai cnh tng ng) M O EF(gt) O l trung im ca EF 3.4 BT4( 88/ BDT7/101) A = 60 Dng ngoi tam giỏc ú cỏc tam giỏc u ABM Cho V ABC cú v CAN a CMR: Ba im A, M, N thng hng Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn b c/m BN = CM ã c Gi O l giao im ca BN v CM Tớnh BOC Gii M A N A = 60 GT V ABC : V ABM: AB= BM=MA V CAN: AC=CN=NA O BN CM = {O} B C Kl a A,M,N thng hng b BN=CM ã =? c BOC Chng minh ã ã =600 a V ABM, V CAN u BAM = CAN ã ã ã + CAN ã = 600+600+600=1800 M,A,N thng hng Vy MAN = BAM + BAC b.Xột V ABN v V ACM cú: AB = AM (gt) ã = CAM ã V ABN = V ACM(c.g.c) (=1200) BAN AN=AC(gt) BN = CM ( hai cnh tng ng) ả V Cà = N1 ( hai gúc tng ng) ã c BOC l gúc ngoi ca V OCN à+ ã ã ã + ONC ã =C ã BOC = OCN ACN + ONC ả M Cà = N1 (cmt) 0 ả +ã ã =N ã = ã BOC ACN + ONC ACN + ã ANC =60 +60 =120 3.5.BT5(35/NC&PT/37) Chng minh rng: Nu hai cnh v trung tuyn thuc cnh th ba ca tam giỏc ny bng hai cnh v trung tuyn thuc cnh th ba ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc ú bng Gii GT V ABC, V A'B'C': A' AB = A'B', AC= A'C' A 1 M BC: MB=MC M' B'C': M'B'=M'C' M' AM=A'M' C' M B C B' KL V ABC= V A'B'C' 1 D D' Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Chng minh Ly D AM: MD=MA Ly D' A'M': M'D'=M'A' Xột V ABM v V DMC cú: MB=MC(gt) ã ã AMB = CMD (i dnh) V ABM v V DMC(c.g.c) AM = MD(cỏch ly im D) CD= AB( hai cnh tng ng) ả (1)( hai gúc tng ng) V ảA2 = D ả' (2) C/m tng t ; C'D'=A'B'; ả A '2 = D Xột V ACD v V A'C'D' cú: AC = A'C'(gt) V ACD = V A'C'D'(c.g.c) AD=A'D'(vỡ AM=A'M') CD=C'D'(=AB) à= ả ả =D ả' (3) A A '1 v D 1 à= ả ã' A ' C ' ã =B T (1), (2),(3) ảA2 = ả A '2 m A A '1 BAC Vy V ABC= V A'B'C'(c.g.c) * cỏch 2: V AMC v V A'M'C' cú: AM=A'M'(gt) à= ả V AMC = V A'M'C'(c.g.c) A A '1 (cmt) AC= A'C'(gt) MC = M'C'( hai cnh tng ng) 1 BC; M'C' = B'C'(gt) Do ú: BC=B'C' 2 Vy V ABC= V A'B'C'(c.c.c) M MC = Cht li phn lý thuyt v lu ý dng chuyờn : Khi cn phi chng minh hai on thng hay hai gúc bng 5.Bi v nh: ã =200 Trờn cnh AB ly im E Cho tam giỏc ABC cõn ỏy BC BAC ã =500 Trờn cnh AC ly im D cho CBD ã =600 Qua D k ng thng cho BCE song song vi BC,nú ct AB ti F Gi O l giao im ca BD v CF a C/m V AFC= V ADB b C/m V OFD v V OBC l cỏc tam giỏc u c Tớnh s o gúc EOB d C/m V EFD = V EOD d Tớnh s o gúc BDE Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn ... Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác 3 .2 BT2: 63- BTNC&MSCĐ/1 17) Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông... Mà O = 900 (**) 3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Từ (*) và(**) V OMN vuông cân 2. 2 VD2( BT26/VTYTP/ 62) : Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD =... ONC ACN + · ANC =60 +60 = 120 3.5.BT5(35/NC&PT/ 37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai tam giác Giải GT V ABC,