De HD thi vào thpt chuyên toán SPHN v1+2 2017

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thức THI TUYN SINH VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017 Mụn thi: Toỏn ( Dựng cho mi thớ thi vo trng chuyờn) Thi gian : 120 phỳt Cõu 1( im) Cho biu thc P= a a 2b b2 a b + ữ a+ a+b a a2 ( ) a + a + ab + a 2b b : + ữ 2 a b a b vi , a, b > 0, a b, a + b a 1.Chng minh rng P = a b 2.Tỡm a,b bit P = & a b3 = Cõu 2( im) Gi s x, y l hai s thc phõn bit tha Tớnh giỏ tr biu thc P = 1 + = x + y + xy + 1 + + x + y + xy + Cõu 3(2 im) Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d) : y = 2ax 4a (vi a l tham s 1.Tỡm ta giao im ca ( d) v (P) a = 2 Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a ng thng (d) ct (P) ta hai im phõn bit cú honh x1 ; x2 tha x1 + x2 = Cõu (1 im) Anh nam i xe p t A n C Trờn quóng ng AB ban u ( B nm gia A v C).Anh Nam i vi tc khụng i a( km/h) v thi gian i t A n B l 1,5 gi Trờn quóng ng BC cũn li anh Nam i chm dn u vi tc ti thi im t ( tớnh bng gi) k t B l v = 8t + a ( km/h) Quóng ng i c t B n thi im t ú l S = 4t + at Tớnh quóng ng AB bit rng n C xe dng hn v quóng ng BC di 16km Cõu (3 im) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R ngoi tip tam giỏc ABC cú ba gúc nhn Cỏc tip tuyn ca ng trũn (O) ti cỏc im B ,C ct ti im P Gi D, E tng ng l chõn ng cỏc ng vuụng gúc k t P xung cỏc ng thng AB v AC v M l trung im cnh BC Chng minh MEP = MDP Gi s B, C c nh v A chy trờn (O) cho tam giỏc ABC luụn l tam giỏc cú ba gúc nhn Chng minh ng thng DE luụn i qua mt im c nh Khi tam giỏc ABC u Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE theo R Cõu (1 im) Cỏc s thc khụng õm x1 , x2 , x3 , , x9 tha x1 + x2 + x3 + + x9 = 10 x1 + x2 + 3x3 + + x9 = 18 Chng minh rng : 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + + 9.11x9 270 H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thức THI TUYN SINH VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017 Mụn thi: Toỏn ( Dựng riờng cho hc sinh chuyờn Toỏn v chuyờn Tin) Thi gian : 150 phỳt Cõu (1.5 im ) Cho cỏc s dng a,b,c,d Chng minh rng s 1 1 1 1 + ;b + + ;c + + ;d + + Cú ớt nht mt s khụng nh hn b c c d d a a b Cõu (1.5 im )Gii phng trỡnh : a2 + (x + x ) + ( x + 1) x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 Cõu (3.0 im ) 1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha a = b3 ;c3 = d ; a = d + 98 1 2.Tỡm tt c cỏc s thc x cho s x 2; x + 2; x ; x + cú ỳng mt s x x khụng phi l s nguyờn Cõu (3im ) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt im M nm ngoi (O) K hai tip tuyn MA, MB ti ng trũn (O) ( A, B l hai tip im) Trờn on thng AB ly im C (C khỏc A, C khỏc B) Gi I; K l trung im MA, MC ng thng KA ct ng trũn (O) ti im th hai D Chng minh KO KM = R 2.Chng minh t giỏc BCDM l t giỏc ni tip 3.Gi E l giao im th hai ca ng thng MD vi ng trũn (O) v N l trung im KE ng thng KE ct ng trũn (O) ti im th hai F Chng minh rng bn im I, A, N, F cựng nm trờn mt ng trũn A Cõu (1.0 im ) Xột hỡnh bờn : Ta vit cỏc s 1, 2,3,4, vo v trớ ca im hỡnh v bờn cho mi s ch xut hin ỳng mt ln v tng ba s trờn mt cnh ca tam giỏc bng 18 Hai cỏch vit c gi l nh nu b s vit cỏc im (A;B;C;D;E;F;G;H;K) ca mi cỏch l trựng Hi cú bao nhiờu cỏch vit phõn bit ? Ti sao? F G H E K B D Ht H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Phn hng dn C Vũng Cõu 1 1 1 + = + =0 x + y + xy + x + xy + y + xy + xy y xy x + = ( xy y ) ( y + 1) + ( xy x ) ( x + 1) = 2 ( x + 1) ( xy + 1) ( y + 1) ( xy + 1) ( x y) Cõu 2 ( xy 1) = xy = (vi x y) S = a < a > a) Phng trỡnh honh (d) v (P) l x + 2ax + 4a = ' = a ( a ) > a < b) Vi theo Viột a > x1 + x2 = 2a x1 x2 = 4a x1 + x2 = ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) x1 x2 + x1 x2 = Ta co 4a 8a + 8a = Vi a4 4a 8a + 8a = 4a = a = Cõu dk dk Vỡ xe n C dng hn nờn thi gian xe i t B n C tha 8t + a = t = ng BC l 2 a a S = 4t + at = 16 ữ + = 16 a = 256 a = 16 8 S AB = 1,5.a = 24(km) Cõu a ú qung A O M B C E I D P a)Xột hai t giỏc ni tip BDPM v CEPM v tam giỏc MBC cõn MEP = MBP = MBP = MDP b) BAC + ABC + ACB = 1800 ; CBP + ABC + PBD = 1800 ACB = PBD = DMP (1); ACB = MPE (2); tu(1)(2) DMP = MPE MD / / PE Tuong tu ME / / DB tgMEDP la hinh binh hanh IM = IP Vy DE i qua trung im PM A O B D c) M C E I P 3R R 3R R BC AM AB = R 3; OA = R AM = ;AI= + = ; ABC dd ADE = = 2 4 DB AI 3R R 3R 27 R DE = S ADE = = 2 16 Ta cú A; O,M, P thng hng S ADE = DE AI Tớnh c Cõu ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 90 ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 90 19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + + 99 x9 = 270 10 ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 180 Mat khac 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + + 9.11x9 = (19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + + 99 x9 ) + ( x2 + 12 x3 + 15 x4 + x8 ) = 270 + ( x2 + 12 x3 + 15 x4 + x8 ) 270 x1 = Dau " = " xay x9 = x = x = = x = Vũng Cõu (1.5 im ) Gi s c bn s u nh hn thỡ 1 1 1 1 P = a + + + b + + + c2 + + + d + + < b c c d d a a b Mt khỏc 1 1 1 1 1 1 P = a + + + b + + + c2 + + + d + + = a + b2 + c + d + + + + ữ b c c d d a a b a b c d 1 Do ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d ) ; + + + a b c d a+b+c+d ( a+b+c+d) P (a+b+c+d) 16 16 16 16 + + 33 = 12 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d Trỏi iu gi s suy cú ớt nht mt s khụng nh hn 2 (x Cõu (1.5 im )Gii phng trỡnh + x ) + ( x + 1) x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 KX x R (x + x ) + ( x + 1) x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 x + x3 + x + x + x + x + x + x + + x + x + x = 2017 (x + 2x + 2) (x + x + 1) = 2017 x + x + x x = 2017 x = 2016 Cõu (3.0 im ) 1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha a = b3 ;c3 = d ; a = d + 98 1 2.Tỡm tt c cỏc s thc x cho s x 2; x + 2; x ; x + cú ỳng mt s x x khụng phi l s nguyờn Hng dn x x 1.Gi s a = p1x1 p2x2 p3 pn n ú p1; p2 ; , pn l cỏc s nguyờn t x1 ; x2 ; ; xn N y y Tng t d = q1y1 q 2y2 q3 q nn ú q1; q2 ; ,q n l cỏc s nguyờn t y1; y ; ; y n N Ta cú a,d >1 2x 2x 2x 2x 3 + Vỡ a = p1 p2 p3 pn = b x1 , x2 , x3 , , x3 M3 x1 , x2 , x3 , , x3 M3 a = x , ( x Z ) n Chng minh tng t d = y ,( y Z + ) t gi thit a = d + 98 x = y + 98 ( x y ) ( x + xy + y ) = 98 vi a > d x y > ( x y) = x xy + y < x + xy + y x y < x + xy + y x = y + x y = x = y +1 yZ xZ 2 2 ( y + 1) + ( y + 1) y + y = 98 x + xy + y = 98 y + y 97 = Hoc y = x = y + x y = x = y + x = x = 5; y = 2 2 y = < ( y + ) + ( y + ) y + y = 49 x + xy + y = 49 y + y 15 = x = < Vy a = 53 = 125; d = 33 = 27; b = 25; c = 81 x 1 nguyờn ta cú x + x + = x Z x Q suy x 2; x + 2 u x x x 1 khụng l s hu t vy mt hai s x ; x + khụng l s nguyờn ú x x 2 x 2; x + 2 Z x + x + 2 Z 2.Nu x ; x + t ( x = a,(a Z ) x + 2 = a + 2 ( a + 1) Z a + = a = Th li ỳng vy x = Cõu (3im ) ) + 2 = a + + 2 ( a + 1) Z A E I D M H L K Q N F P O C B a) Ta cú IM = IA v KM = KC IK l ng trung bỡnh AMC IK / / AC AC = AB ( tip tuyn ct ti M) v OA = OB = R OM l trung trc ca AB OM AB IK OM Gi IK ct OM ti H p dng nh lý py ta go ta cú cho cỏc tam giỏc vuụng MHI ; KHO; MHK , OHI ta cú MI = MH + HI ;KO = KH + HO ; MK = MH + HK ;O I = KH + HO suy MI + KO = MK + IO KO KM = IO MI = IO IA2 = OA2 = R ( vỡ IM = IA) Vy : KO KM = R b) Ni KO ct ng trũn ti Q, P.Ta cú KM = KC Suyra KO KM = R 2 KO KC = R KC = KO OP = ( KO + OP )( KO OP ) = KQ.KP ã ẳ = DBM ã = KAC Ta li cú KQ.KP = KD.KA KC = KD.KA CKD AKD (c.g , c ) DCK Vy t giỏc MDCB ni tip ã ã ã c) Gi L l trung im ca KD ta cú AEM vỡ MKD AKM (c g c ) = MAK = EMK AE//KM Mt khỏc ta cú KF KE = KD.KA KF KN = KL.KA ANFL ni tip ã ã ã ã Suy LAF (vỡ KF KE = KD.KA = KC = KM ) hay = LNF = MEK = FMK ã ã ã ã KAF = KMF tugiacMKFA ni tip ãAFN = AMK = AIN I , A, N F cựng thuc mt ng trũn Cõu (1.0 im ) A F G H E K B D C Ta thy cú s la v dóy 1,2,3,4, ,9 tng s vi bng 18 ta thy ti im A ( tng t B,C) khụng th in s vỡ nu trỏi li thỡ B,F phi in cp 8,9 ;ti C,E in cp 8,9 iu ny vụ lớ Tng t ti D,E,F cng khụng th in s vy s c in ti H, G,K Xột trng hp s c in ti G ( tng t ti H,K) ú E in s ,F in s ( hoc ngc li).Gi s ti A in a;C in c, D in d, K in k ,ti H in k+1, ti B in c +1 ú a,d;c; c+1,k,k+1 phõn bit thuc { 2,3, 4,5,6,7} Khi ú a + c = d + k = d { 3;5;7} thu d = 7(thoa man) d + 2c = 17 Vy a=4;c=5;k=2 cú 3.2=6 (cỏch) Hng nm sau thi song mỡnh su tm v gii li cỏc thi chuyờn SP, KHTN ,Chuyờn HV v mt s tnh lu tr lm t liu ging dy Phn hng dn trờn va su tm va b sung thờm cú th cha chớnh xỏc cha hay mong cỏc bn ng nghip tham kho v b sung thờm lm ti liu ging dy nhộ GV biờn v hng dn Nguyn Minh Sang;inh Vn Hng THCS Lõm Thao-Phỳ Th ... Vy DE i qua trung im PM A O B D c) M C E I P 3R R 3R R BC AM AB = R 3; OA = R AM = ;AI= + = ; ABC dd ADE = = 2 4 DB AI 3R R 3R 27 R DE = S ADE = = 2 16 Ta cú A; O,M, P thng hng S ADE = DE. .. x ) = 2017 2 2 KX x R (x + x ) + ( x + 1) x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 x + x3 + x + x + x + x + x + x + + x + x + x = 2017 (x + 2x + 2) (x + x + 1) = 2017 x + x + x x = 2017 ... Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề thức THI TUYN SINH VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017 Mụn thi: Toỏn ( Dựng riờng cho hc sinh chuyờn Toỏn v chuyờn Tin) Thi gian : 150 phỳt Cõu (1.5 im ) Cho