S GIÁO D C VÀ ÀO T O BÌNH PH C K THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPT THI MÔN TOÁN CHUYÊN – N M H C 2014–2015 NGÀY THI: 01-7-2014 Th i gian làm bài: 150 phút không k th i gian giao G I Ý GI I Ng i th c hi n: Ph m V n Quý Email: phamvanquycqt@gmail.com x3 + y x + x y + y3 1 1 + + + : x y x+ y x y x3 y + y3 x Câu (2.0 i m) Cho bi u th c: P = a) Tìm i u ki n xác nh rút g n P x>0 y>0 +) i u ki n x+ y ≠0 P có ngh a là: ⇔ x3 y + y x ≠ x3 + y x + x y + y3 x3 y + y3 x y+ x +) Ta có: P = x y y+x x x + y x +x y + y y + : xy x+ y x xy + y yx ( = ( = = ≠0 x ( x + y) + y ( x + y) y+x + : xy xy xy ( x + y ) = = x>0 y>0 ( ( xy y + x ( x + y ) x + y + : xy xy xy ( x + y ) x+ y ) ) x+ y xy x+ y ) xy xy x+ y xy xy b) Cho xy = 16 Xác nh x, y +) V i xy = 16 ta có: P = +) Áp d ng b t x+ y : xy ) ( P có giá tr nh nh t x+ y ) 16 16 ng th c Cauchy ta có: = x+ y x+ y ≥2 xy = 16 = P ≥ D u “=” x y x = y ⇔ x = y K t h p v i gi thi t xy = 16 ta có: x = y = +) V y xy = 16 giá tr nh nh t c a P b ng t c x = y = Câu (2.0 i m) a) Gi i ph x+4 ng trình: x( x + 2) = Gi i +) i u ki n: x ≠ −4 +) PT ⇔ x ( x + )( x + ) = ⇔ ( x + x )( x + x + ) = V i t =1 V i =− − + + + + = + = ( + ≥ ) + (− + + + ( + + + + = − + )= + = + = + + )= + = + )( )+( − )− ( + + ( } − + Gi i + ≥ ⇔ ⇔ { = − − ng trình là: − ng trình: +) i u ki n: +) Ta có h ⇔ t = −5 x + x = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 ± (nh n) + =− ⇔ + + = +) K t lu n: T p nghi m c a ph b) Gi i h ph t =1 ng trình tr thành: t ( t + ) = ⇔ t + 4t − = ⇔ t t = x + x ta có ph )+( + )= + = ⇔ − + = + + + = ⇔ + + + = + = − + = + + Gi i h : n x ph + = + + ng trình + = − + ⇔ = =− + + ≤ ≥ + ⇔ = ⇔ =− − + = Ta th y i u ki n c a = Thay x = vào ta có = (vô lí) Do ó h vô nghi m Gi i h : − + = + + + = ⇔ = + + + + = ⇔ = + + + + + + + = = + = + ⇔ + +) K t lu n: H ph + = − ≤ ⇔ ( + )( ng trình: th a i u ki n: ( + ) + = ng trình có nghi m là: Câu (1.0 i m) Cho ph nghi m ⇔ = + = ⇔ )=( − ) + + − = Tìm m − + ≥ ⇔− − + = (nh n) = = = − ≤ − ph ng trình có hai − = + Gi i +) Ph +) Vì ⇔ ( ⇔∆ = ng trình có hai nghi m nghi m c a ph + + )− +) Khi ó ta có: Mà theo − − − ng trình nên ta có: + + − = ⇔( − − + + nh lí Viet ta có: + = + ) = − = ⇔ − ( + − )− − , thay vào (*) ta có: + + ≥ ⇔ ≤ − = + − + = , (*) − − − + = = ⇔ − + = ⇔ = +) K t lu n: V i m = ph ng trình ã cho có hai nghi m th a ( + ) + − = Câu (3.0 i m) Cho tam giác ABC nh n, (AB < AC), không cân n i ti p ng tròn (O), có AD, BE, CF ba ng cao, v i H tr c tâm a) Ch ng minh r ng H tâm ng tròn n i ti p tam giác DEF +) Ta có t giác BDHF n i ti p (vì + = + = ) = , (1) A M t khác ta có t giác ABDE n i ti p (vì = = ) = , (2) T (1) (2) ta có: = hay DH phân E giác c a góc x +) Ta có t giác CDHE n i ti p (vì + = + = ) = , (3) F H M t khác ta có t giác BCEF n i ti p (vì O = = ) = , (4) T (3) (4) ta có: = hay EH phân C giác c a góc B D M +) Xét tam giác DEF có H giao c a hai ng phân giác DH, EH nên H tâm ng tròn n i ti p c a tam giác DEF b) Ch ng minh r ng OA vuông góc v i EF +) G i Ax ti p n t i A c a ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ta có: OA ⊥ Ax , (tính ch t) +) Ta có FAx = BCA (cùng b ng n a s o cung AB), AFE = BCA , (do BCEF t giác n i ti p) FAx = AFE Ax / / DE Mà OA ⊥ Ax nên OA ⊥ EF c) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DEF i qua trung i m M c!a c nh BC +) Ta có FC phân giác c a góc DFE , CFA = CFB = 900 EFA = DFB ME = MC ∆MCE cân t i M +) Ta có tam giác EBC vuông t i E có EM ng trung n MCE = MEC +) Ta có BCEF t giác n i ti p EFA = BCE T ó ta có EFA = DFB = MCE = MEC M t khác ta có EFD + EFA + DFB = 1800 EMC + MCE + MEC = 1800 EFD = EMC DMEF t giác n i ti p d) G i I, K l" l #t hình chi u vuông góc c!a B, C DE + DF = IK Gi i +) K BP ⊥ CK BIKP hình ch! nh t IK = BP +) Ta có i m B, F, E, P, C n m ng tròn ng kính BC G i Q giao i m c a FD v i ng tròn ng kính BC +) Ta có DA phân giác c a góc EDF mà DC ⊥ DA DC phân giác c a góc EDF CDE = CDQ Ta có CEB = CQB = 900 mà BQD = BFD (cùng b ng góc BEF ) CED = CQD T ó ta có ∆CQD = ∆CED ( g − c − g ) DE = DQ DE + DF = DQ + DF = FQ Nh v y ch ng ng th$ng EF Ch ng minh r ng: A K E F H I B C D minh toán ta ch" c#n ch ng minh BP = FQ +) Ta có BFD = EFA (câu c), mà BFD = PBF ( slt ) PBF = BFD PF = BQ BF / / PQ BFPQ hình thang Mà BFPQ t giác n i ti p nên BFPQ BP = FQ hình thang cân V y ta có DE + DF = DQ + QF = FQ = BP = IK ,( pcm) Câu (1.0 i m) Gi i ph Q ng trình nghi m nguyên: x + y + xy + y − = Gi i Cách +) Ta có PT ⇔ ( x + xy + y ) + y + y = ⇔ ( x + xy + y ) + y + 12 y = 16 ⇔ ( x + y ) + ( y + 12 y + ) = 25 ⇔ 2( x + y) + ( y + 3) = 25 = + 52 = 52 + 02 = 32 + 42 = 42 + 32 +) Vì x, y ∈ Z nên ta có tr TH1: 2( x + y) ( y + 3) 2 =0 = 52 ng h p sau: x+ y =0 ⇔ x = −1 x+ y =0 2y + = ⇔ y =1 y + = −5 y = −4 P ⇔ y =1 x=4 y = −4 ( TH2: ( ) + ) + = ( ⇔ = ( ( ) + ( TH4: ( ) + = + ) = = ⇔ = =− ) + ) + = ) =− ( TH3: + = ( ⇔ = ) + ( = ( =− ) + Cách +) Ta có PT ⇔ + ∆ = − + − =− − − = Xem ây ph + ∈ {− − − − +) L#n l trình là: x = −1 y =1 − x=4 ; y = −4 ; vào ph + + x = −1 y =1 x=4 ; y = −4 ; x = ±1 x = x=4 ; ; y=0 y = −3 y = −3 ng trình b c hai n x ta có : ng trình #u ta c nghi m nguyên c a ph x = ±1 x = x=4 ; ; y=0 y = −3 y = −3 Câu (1.0 i m) Cho a, b hai s% th c d = = + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Mà y s nguyên nên ta có } t thay giá tr c a y = = ng trình có nghi m ta có ∆ ≥ ⇔ − ph ⇔ =− ng trình ã cho có c p nghi m nguyên là: + = =− +) K t lu n: Ph + =± = = ⇔ = ) + ng th a + ≥ ng Tìm giá tr nh nh t c!a bi u th c: + Gi i +) Ta có = + + + + + +) Áp d ng B T Cauchy ta có: ≥ +) Khi ó + +) Ta có b t ⇔ − + + − + = − ≥ ⇔ ( − − ≥ )+( + + ≥ + + ng th c: +) Áp d ng (*) ta có ≥ + + ≥ + + + ≥ − + − − + ; + ≥ D u “=” x y a = b = + , (*) Th t v y (*) ⇔ + ≥ + + ≥ D u “=” x y a = b + − − )+ = + + − +) K t lu n: Giá tr nh nh t c a P t = + t + ≥ ta có : + ≥ D u “=” x y ⇔ = ⇔ + = c a = b = H t ... cân V y ta có DE + DF = DQ + QF = FQ = BP = IK ,( pcm) Câu (1.0 i m) Gi i ph Q ng trình nghi m nguyên: x + y + xy + y − = Gi i Cách +) Ta có PT ⇔ ( x + xy + y ) + y + y = ⇔ ( x + xy + y ) + y +... + 12 y = 16 ⇔ ( x + y ) + ( y + 12 y + ) = 25 ⇔ 2( x + y) + ( y + 3) = 25 = + 52 = 52 + 02 = 32 + 42 = 42 + 32 +) Vì x, y ∈ Z nên ta có tr TH1: 2( x + y) ( y + 3) 2 =0 = 52 ng h p sau: x+ y =0... ⇔ + ∆ = − + − =− − − = Xem y ph + ∈ {− − − − +) L#n l trình là: x = −1 y =1 − x=4 ; y = −4 ; vào ph + + x = −1 y =1 x=4 ; y = −4 ; x = ±1 x = x=4 ; ; y= 0 y = −3 y = −3 ng trình b c hai n x