§Ò kiÓm tra häc sinh giái m«n to¸n Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A MB biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + =0 y − x −1 x y + Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HẾT Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) A 10x −7x −5 = =5x +4 + Xét B 2x −3 2x −3 Với x ∈ Z A MB ∈ Z ⇒ M( 2x – 3) 2x − Mà Ư(7) = { −1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; ; A MB (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x y x − x − y4 + y − c) (1,5đ) Biến đổi = y − x − (y3 − 1)(x − 1) = = (x − y ) − (x − y) xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y) ( x + y) ( x ( x + y = ⇒ y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) + y ) − (x − y) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) ( x − y ) (x + y − 1) = xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + = = = ( x − y ) (x − x + y − y) ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] = xy x y + (x + y) + xy(x y + 3) (0,25đ) ( x − y ) [ x(− y) + y(−x) ] xy(x y + 3) −2(x − y) x y2 + (0,25đ) = ( x − y ) (−2xy) xy(x y + 3) Suy điều cần chứng minh Bài 2: (3 điểm) a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x+1 x+ x+3 x+ x+5 x+6 + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ ( x + 2009)( Vì (0,25đ) 1 1 1 + + − − − )=0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ) 1 1 1 < < < ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 Do : 1 1 1 + + − − −