ĐỀ THI CHỌN học SINH GIỎI cấp QUỐC GIA môn TOÁN năm 2014

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2014 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ (03/01/2014) http://www.facebook.com/hoitoanhoc Bài (5 điểm) Cho hai dãy số thực dương ( xn ), ( yn ) xác định x1  1, y1   xn1 yn1  xn   với n  1, 2,3,  xn21  yn   Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng Bài (5 điểm) Cho đa thức P ( x)  ( x  x  6) n  13 với n số nguyên dương Chứng minh đa thức P( x ) biểu diễn dạng tích n  đa thức khác số với hệ số nguyên Bài (5 điểm) Cho đa giác có 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh đa giác tô màu xanh đỉnh lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề a Tìm tất giá trị nhận cặp ( A, B) b Xác định số cách tô màu đỉnh đa giác để B  14 Biết hai cách tô màu xem chúng nhận từ phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) với AB  AC Gọi I trung điểm cung BC không chứa A Trên AC lấy điểm K khác C cho IK  IC Đường thẳng BK cắt (O ) D khác B cắt đường thẳng AI E Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC F a Chứng minh EF  BC b Trên DI lấy điểm M cho CM song song với AD Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O ) P khác B Chứng minh đường thẳng PK qua trung điểm đoạn thẳng AD - Hết -