Chương PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẤN ĐỀ Phương trình bậc ẩn : ax + b = I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Đònh nghóa: Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ? ax + b = (a ≠ 0), a b hệ số, x ẩn số Giải biện luận phương trình : ax + b = Cho phương trình : ax + b = (1) b * Nếu a ≠ : (1) có nghiệm x = − a * Nếu a = : (1) ⇔ 0x + b = ⇔ 0x = − b b ≠ : (1) vô nghiệm b = : x ∈ R nghiệm (1) Đại số II CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình : mx + (x – m) = (m + 1)2 + Giải Phương trình ⇔ mx + 2x = 2m + m + 2m + + ⇔ (m + 2)x = m + 4m + = (m + 2)2 (1) m + ≠ ⇔ m ≠ −2 : phương trình có nghiệm nhất: (m + 2)2 =m+2 m+2 m = - : (1) ⇔ 0x = : ∀x ∈ R vô nghiệm (1) x= a = : Phương trình vô nghiệm a = : ∀x ∈ R Ví dụ 4: Đònh m để phương trình sau vô nghiệm: x+m x−2 + = (1) x +1 x Giải ⎧x + ≠ ⎧x ≠ −1 Điều kiện : ⎨ ⇔⎨ ⎩x ≠ ⎩x ≠ Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình : a(ax + 2b2 ) − a2 = b2 (x + a) Giải Phương trình cho ⇔ a x − b x = b a + a2 − 2b a 2 ⇔ (a2 − b2 )x = a2 − ab2 = a(a − b2 ) (1) a − b ≠ ⇔ a ≠ ± b : Phương trình có nghiệm nhất: x= a(a − b2 ) a2 − b a = b : (1) ⇔ 0x = a2 − a3 = a2 (1 − a) (1) ⇔ x(x + m) + (x + 1)(x − 2) = 2x(x + 1) ⇔ x + mx + x − x − = 2x + 2x * a = ∨ a = 1: ∀x ∈ R nghiệm * a ≠ a ≠ 1: Phương trình vô nghiệm ⇔ (m − 3)x = Phương trình vô nghiệm khi: m – = nghiệm tìm –1 ⎡ ⎢m − = ⎢ ⎡m = ⎢ = −1 ⇔⎢ ⎢m −3 ⎣m = ⎢ ⎢ = (không tồn tại) ⎣⎢ m − Ví dụ : Đònh m để phương trình sau có tập nghiệm R m3x = mx + m2 –m Giải Ta có : m3x = mx + m2 –m ⎧⎪ m − m = ⎪⎧m(m − 1) = ⇔⎨ Phương trình có nghiệm ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎪⎩ m − m = ⎩⎪m(m − 1) = ⎧m = ∨ m = ±1 ⇔⎨ ⇔ m = ∨ m =1 ⎩m = ∨ m = a = - b (1) ⇔ 0x = b2 + b3 = b2 (1 + b) * b = ∨ b = −1: ∀x ∈ R nghiệm * b ≠ b ≠ 1: Phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình : a 3a2 − 4a + (*) + = 2 x−a x+a a −x Giải ⎪⎧x ≠ ± a (*) ⇔ ⎨ ⎪⎩−a(a + x) + 3a − 4a + = a − x ⎧x ≠ ±a ⎪ (**) ⇔⎨ ⎪⎩(1 − a)x = −2a + 5a − = −2(a − 1)(a − ) = (a − 1)(3 − 2a) (a − 1)(3 − 2a) = 2a − – a ≠ ⇔ a ≠ 1: (**) ⇔ x = 1− a ⎧2a − ≠ a ⎧a ≠ Chỉ nhận khi: ⎨ ⇔⎨ ⎩2a − ≠ −a ⎩a ≠ − a = ⇔ a = 1: (**) ⇔ 0x = ⇔ ∀x ∈ R Tóm lại: a ≠ a ≠ 3: Phương trình có nghiệm x = 2a – 3 Ví dụ : Đònh m để phương trình có nghiệm: 3x − m 2x + 2m − + x−2 = x−2 x−2 Giải Điều kiện x –2 > ⇔ x > Phương trình cho ⇔ 3x − m + x − = 2x + 2m − ⇔ 2x = 3m + 3m + ⇔x= nhận : x > 2 3m + ⇔ > ⇔ 3m + > ⇔ m > Vậy phương trình có nghiệm m > Ví dụ 7: Đònh m để phương trình sau có nghiệm nhất: x + x +1 = (1) x − m x −1 Giải x ≠ m,x ≠ ⎧x ≠ m,x ≠ ⎧ ⇔⎨ (1) ⇔ ⎨ ⎩mx = − m ⎩(x + 2)(x − 1) = (x − m)(x + 1) III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1 Giải biện luận phương trình : (m + 1)x + m − x−m x−2 b a =m = x+3 x +1 x −1 1.2 Đònh m để phương trình có nghiệm : (2m + 1)x + (2m + 3)x + m − = − x2 − x2 1.3 Đònh m để phương trình có nghiệm x > : m (x − 1) = 4x − 3m + 1.4 Đònh m để phương trình sau vô nghiệm : (m + 1)2 x + − m = (7m − 5)x 1.5 Đònh m để phương trình sau có tập nghiệm R : (m − 1)x = m − ⎧ ⎪m ≠ ⎧m ≠ ⎧m ≠ ⎪ ⎪ ⎪2 − m ⎪ ≠ m ⇔ ⎨m + m − ≠ ⇔ ⎨m ≠ (1) có nghiệm ⇔ ⎨ ⎪ m ⎪2m ≠ ⎪m ≠ −2 ⎩ ⎩ ⎪2 − m ≠ ⎪⎩ m HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1 (m + 1)x + m − a = m (ĐK : x ≠ −3 ) ⇔ x = 2m + ≠ −3 x+3 m ≠ − : nghiệm x = 2m + 2 m = − : VN ⎧ x ≠ ±1 x−m x−2 = ⇔⎨ b x +1 x −1 ⎩xm = m + m = : VN m ≠ : + m = −1: VN x+2 m (2m + 3)x + m − + m ≠ −1 : nghiệm x = 1.2 (2m + 1)x + − x2 = − x2 (*) ĐK : − x > ⇔ −2 < x < 5−m 5−m phải thoả điều kiện −2 < < ⇔1< m < (*) ⇔ x = 2 1.3 Phương trình cho ⇔ (m + 2) − 4x = m − 3m + ⎡m − ≠ ⎢ ⇔ m = ∧ m ≠ −2 Phương trình có nghiệm ⇔ ⎢ ⎪⎧m − = ⎢⎨ ⎣⎢⎪⎩m − 3m + = m −1 x= > ⇔ m > ∨ m < −2 m+2 1.4 (m + 1)2 x + − m = (7m − 5)x ⇔ (m − 2)(m − 3)x = m − ⎧(m − 2)(m − 3) = Phương trình VN ⇔ ⎨ ⇔ m =2∨ m =3 ⎩m − ≠ 1.5 (m − 1)x = m − Phương trình có tập nghiệm R ⇔ m =