Nguyễn Thế Cường - 12 Toán k17 - THPT chuyên Hà Tĩnh Trong viết muốn giới thiệu với bạn ñịnh lý mạnh có nhiều ứng dụng.:) Tạm thời lấy tên ðịnh lý T.I.C: (Three degree Inequality Condition) Cho x, y, z số thực không âm, p, q, r số thực ðặt f ( x, y, z ) = x + y + z + p( x y + y z + z x) + q( xy + yz + zx ) + 3rxyz Khi ñó ñiều kiện cần ñủ ñể f ( x, y, z ) ≥ 0∀x, y, z ≥ f (t ,1, 0) ≥ 0∀t ≥ f (1,1,1) ≥ Chứng minh: Dễ thấy ñiều kiện cần hiển nhiên Vậy ta cần chứng minh ñiều kiện ñủ Khi ñó, từ gt ta suy f (1,1,1) = 3(1 + p + q + r ) ≥ f (1,1, 0) = + p + q ≥ Với x,y,z không âm ñặt g (t ) = f ( x + t , y + t , z + t ) = f ( x, y, z ) = ∑ ( x + t )3 + p ∑ ( x + t ) ( y + t ) + q ∑ ( x + t )( y + t ) + 3r ( x + t )( y + t )( z + t ) Xét g(t) D = [ − min( x, y, z ); +∞ ] Ta có: g '(t ) = 3∑ ( x + t ) + p ∑ ( x + t ) + 2∑ ( x + t )( y + t ) + q ∑ ( x + t ) + 2∑ ( x + t )( y + t ) + 3r ∑ ( x + t )( y + t ) = (3 + p + q )∑ ( x + t ) + (3r + p + 2q )∑ ( x + t )( y + t ) = (3 + p + q) ∑ ( x + t ) − ∑ ( x + t )( y + t ) + 3(1 + p + q + r ) ∑ ( x + t )( y + t ) ≥ 424 14444 14243 1442443 4244444 3 >0 >0 ≥0 ≥0 Suy g(t) ñồng biến D Không tính tổng quát ta giả sử z = min( x, y, z ) , ñó từ ta suy x−z f ( x, y, z ) = g (0) ≥ g (− z ) = f ( x − z, y − z, 0) = ( y − z ) f ( ,1, 0) ≥ (do y ≥ z f (t ,1, 0) ≥ 0∀t ≥ ) y−z Vậy ñịnh lý ñược chứng minh Nhận Xét: 1) ðk BðT ñúng với hàm số dạng f ( x, y, z ) = p ( x + y + z ) + q( x y + y z + z x) + t ( xy + yz + zx ) + rxyz Trong ñó p,q,r,t số thực bất kì.(cách chứng minh hoàn toàn tương tự) 2) ðịnh lý cho phép chuyển từ việc chứng minh BðT ba biến bậc ba việc chứng minh TH biến có biến biến 0, ñiều có lợi việc chứng minh BðT biến hiển nhiên ñơn giản nhiều (còn trường hợp biến thông thường ñúng thường ñó có dấu “=” xảy ra) Có thể nói ñã giải triệt ñể tất BðT biến bậc ba ñối xứng hay hoán vị ðể chứng minh cho sức mạnh nó, xin nêu vd ☺ VD1 (BðT Schur): CMR với số thực không âm x, y, z x3 + y + z + 3xyz ≥ xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx( z + x) Lời giải: Nguyễn Thế Cường - 12 Toán k17 - THPT chuyên Hà Tĩnh ðặt f ( x, y, z ) = x + y + z + xyz − xy ( x + y ) − yz ( y + z ) − zx( z + x) = x + y + z + xyz − ( x y + y z + z x) − ( xy + yz + zx ) Áp dụng ñịnh lý ta thấy cần chứng minh f (t ,1, 0) = t − t − t + ≥ (trường hợp ba biến hiển nhiên) ⇔ (t − 1) (t + 1) ≥ , ñúng với t không âm Vậy BðT ñược chứng minh ðẳng thức xảy ba biến hai biến nhau, biến VD2 (Phạm Kim Hùng): CMR với x, y, z không âm x + y y + 2z z + 2x + + ≥3 z + y x + 2z y + 2x Lời giải: Quy ñồng mẫu số khai triển, BðT cần chứng minh trở thành x3 + y + z + xyz ≥ ( x y + y z + z x ) Áp dụng ñịnh lý ta thấy cần chứng minh f (t ,1, 0) = t + − t ≥ t3 t3 3 Mặt khác, theo BðT AM_GM t + = + + ≥ t > t , ta có ñpcm 2 ðẳng thức xảy x = y = z Sau ñây toán mở mà anh Hùng ñã nhắc tới: VD3: Cho x,y,z số không thực không âm, k>1 CMR x + ky y + kz z + kx + + >2 z + ky x + kz y + kx Lời giải: Nhận xét sau quy ñồng khai triển BðT có dạng ba biến có chứa sô hạng x3 + y + z , áp dụng ñịnh lý ta thấy cần chứng minh BðT trường hợp có biến biến (trường hợp ba biến hiển nhiên).Giả sử y=1,z=0, ta cần chứng minh x+k kx + + >2 k x + kx x kx ⇔ + + >1 k x + kx x kx x2 + k kx x + kx + k kx + Mà + + = + > ≥ =1 k x + kx kx + kx + kx + kx Vậy ta có ñpcm NX: Dùng máy tính ta thấy k lớn vô GTNN biểu thức dần tới 2, có nghĩa cận nhỏ Nguyễn Thế Cường - 12 Toán k17 - THPT chuyên Hà Tĩnh VD4: CMR với số thực không âm x, y, z 4a 4b 4c 1+ 1+ 1 + ≥ 25 b + c c + a a + b Lời giải: Với nhận xét ta thấy cần chứng minh BðT trường hợp: a=b=c=1: 33 ≥ 27 , hiển nhiên ( a − 1) ≥ , ñúng 4 b=1,c=0: (1 + 4a ) 1 + ≥ 25 ⇔ a a Vậy ta có ñpcm ðẳng thức xảy va có hai biến nhau, biến BðT sau cho ta thấy ý nghĩa T.I.C: VD5: CMR với x,y,z không âm ( x3 + y + z ) − 15( x y + y z + z x) + 12( xy + yz + zx ) − xyz ≥ Lời giải: ðây hệ T.I.C.Thoạt nhìn ta nghĩ ñánh giá AM_GM, thực chất BðT khó, dấu biến nhau, ñạt dấu chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ... lý ta thấy c n chứng minh f (t ,1, 0) = t − t − t + ≥ (trường hợp ba biến hiển nhiên) ⇔ (t − 1) (t + 1) ≥ , ñúng v i t không âm Vậy B T ñư c chứng minh ðẳng th c xảy ba biến hai biến nhau, biến... ñịnh lý ta thấy c n chứng minh f (t ,1, 0) = t + − t ≥ t3 t3 3 M t kh c, theo B T AM_GM t + = + + ≥ t > t , ta c ñpcm 2 ðẳng th c xảy x = y = z Sau ñây toán mở mà anh Hùng ñã nh c t i: VD3: Cho... + kx + kx Vậy ta c ñpcm NX: Dùng máy t nh ta thấy k lớn vô GTNN biểu th c dần t i 2, c nghĩa c n nhỏ Nguyễn Thế C ờng - 12 Toán k17 - THPT chuyên Hà T nh VD4: CMR v i số th c không âm x, y,