Bai toan tim cuc tri 2009 trong de DH

Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT thi vào Đại học VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008 Kiều Đình Minh (GV.THPT Thanh Ba, Phú Thọ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức thường toán khó kỳ thi tuyển sinh đại học Học sinh hay gặp không khó khăn giải toán dạng Bằng kinh nghiệm giảng dạy ôn luyện mình, muốn nêu lên số phương pháp giải cho toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ đề thi tuyển sinh đại học năm 2008 nhằm giúp bạn củng cố thêm dạng toán để chuẩn bị ôn tập tốt cho kỳ thi tới Bài toán (Câu IV.2 Khối D năm 2008) Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= ( x − y )(1 − xy ) (1 + x) (1 + y ) Lời giải (Đáp án Bộ Giáo Dục Đào Tạo) ( x − y )(1 − xy ) ( x + y )(1 + xy ) 1 ≤ ≤ ⇔− ≤P≤ 2 4 (1 + x) (1 + y ) [ ( x + y) + (1 + xy)] Khi x = 0, y = P = − Khi x = 1, y = P = 1 Do giá trị nhỏ P − , giá trị lớn P 4 Ta có P = Lời giải đáp án ngắn gọn nghĩ đánh Hầu hết thí sinh lúng túng với toán kể bạn học Sau đưa thêm hai lời giải Lời giải (Phương pháp khảo sát hàm số) x − x y − y + xy − y x + ( y + 1) x − y P= = = f ( x) 2 2 (1 + x) (1 + y ) (1 + y ) (1 + x) (1 + y ) − y x + ( y + 1) x − y Với f ( x) = ( x + 1) x ∈ [ 0;+∞) , y ≥ tham số Ta có f ′( x) = [− y x + y ] [ ] + ( x + 1) − − y x + ( y + 1) x − y 2( x + 1) ( x + 1) = − y x − y x + ( y + 1) x + y + + y x − 2( y + 1) x + y ( x + 1) = (−2 y − y − 1) x + y + + y ( y + 1) (− x + 1) = ( x + 1) ( x + 1) f ′( x) = ⇔ x =  y −1 Lập bảng biến thiên suy − y ≤ f ( x) ≤   , ∀x ∈ [ 0;+∞) , y ≥   y −1 f ( x) = − y x = ; f ( x) =   x =   −y  y −1 ≤P≤  = g ( y ), y ≥ Do h( y ) = 2  (1 + y ) (1 + y )   ( y − 1) g ( y ) = Với ( y + 1) Ta có 2( y − 1)( y + 1) − 2( y + 1)( y − 1) 2( y − − y + y − 1) 4( y − 1) = = , ( y + 1) ( y + 1) ( y + 1) g ′( y ) = ⇔ y = Lập bảng biến thiên suy g ( y ) ≤ 1, ∀y ≥ , dấu xảy y = x = 1 Do P ≤ , ∀x, y ≥ dấu xảy  y = x = 1 Vậy giá trị lớn P  y = g ′( y ) = Lại có h′( y ) = − (1 + y ) + y (1 + y ) − − y + y y −1 = = , h ′( y ) = ⇔ y = (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) Lập bảng biến thiên suy 1 h( y ) ≥ − , ∀y ≥ , dấu xảy y = Do P ≥ − , ∀x, y ≥ dấu xảy 4 x =  y = x = Vậy giá trị nhỏ P −  y = Lời giải dài hoàn toàn tự nhiên dễ hiểu Ở dùng phương pháp khảo sát biến cách coi biến lại tham số Đây cách giảm biến hiệu quả! Lời giải (Phương pháp lượng giác)  π π 2 Vì x, y ≥ nên đặt x = tan α , y = tan β ; α , β ∈  − ;   2 Khi P= (tan α − tan β )(1 − tan α tan β ) = (1 + tan α ) (1 + tan β ) sin α co s β − sin β co s 2α co s 2α co s β − sin α sin β co s 2α co s β co s 2α co s β = co s α co s β P = sin(α − β ) sin(α + β )co s(α + β )co s (α − β ) = Do − ≤ P ≤ sin[ 2(α − β )] sin[ 2(α + β )] 4 sin[ 2(α − β )] = sin [ 2(α − β )] = −1   [ sin[ 2(α + β )] = sin 2(α + β )] = −1 π π   ( α − β ) = ( α − β ) = − π   2 Chẳng hạn   hay α = ± , β = tức x = 1, y = 2(α + β ) = π 2(α + β ) = − π   2  sin [ 2(α − β )] = sin [ 2(α − β )] = −1 P = −   sin [ 2(α + β )] = −1 sin [ 2(α + β )] = π Chẳng hạn α = 0, β = ± tức x = 0, y = P= Ngoài phương pháp để biết thêm số phương pháp khác bạn tìm đọc : Một số phương pháp tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, đăng số 372 tháng năm 2008 Mục đích viết lấy ví dụ toán thi tác giả muốn nói “cần linh hoạt giải toán”! Cuối cùng, để luyện tập xin mời bạn giải tập sau 1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức ( x + y )(1 − xy ) , x, y ∈ R (1 + x )(1 + y ) Cho ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ R = (1 − x)(2 − y )(4 x − y ) S= 3 Cho x, y ∈ R : x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= 2( x + xy ) + xy + y Tìm giá trị lớn Q= (KB – 2008) 1 ( x + y) + + x + y + ( x + 1)( y + 1)