Đang tải... (xem toàn văn)
Tính diện tích hình phẳng Tài liệu Tích Phân, ứng dụng tích phân, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích tổng hợp các bài tập và cách giải chi tiết sẽ giúp các bạn ôn tập dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo
Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng Tính thể tích Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích Bài tốn tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay chương trình Giải Tích 12 dạng tốn bản, thực tế quen thuộc Tuy nhiên em học sinh thường chưa có phân tích tư thực tế dẫn tới mắc sai lầm đưa lời giải sai, chưa xác Việc hệ thống hoá phương pháp giải, số sai lầm giải tốn cho phép nhìn nhận toán theo hệ thống quán từ giúp em học sinh thấy thuật toán chung tránh sai lầm giải tốn có liên quan Khắc phục khó khăn sửa chữa sai lầm cần thiết, giúp cho q trình giải toán dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, mạnh dạn đề xuất ý kiến nhỏ “Phân loại tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: Nếu hàm số liên tục đoạn diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng (1) Để khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f(x) ta thường thực hiện: Cách 1: Sử dụng “định lí dấu nhị thức bật nhất”và “định lí dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f (x) ( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu [a ; b] ta có: Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn ) để suy dấu f (x) đoạn Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hồnh Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục hồnh Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi Khi để tính tích phân ta tính sau : Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số thẳng x=3, trục tung trục hoành Giải: Đặt Ta thấy thức (1), diện tích S hình xét là: , đường Theo cơng Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hoành, đường thẳng x =-3 đường thẳng x= Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm x = -2, x = 0, x= Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có: Khi diện tích S hình xét là: Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số: , trục Dựa vào đồ thị ta có: Cách 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm x = -2, x = 0, x= Khi diện tích cần tìm: Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = e Hình 16 Hình 16 Giải Trục tung có phương trình x = Diện tích S cần tìm Đặt Do (đvdt) Nhận xét: Trong ví dụ 1, hai tốn vận dụng dạng đơn giản, nhớ công thức tốn ví dụ nhiều học sinh dễ nhầm lẫn việc xác định cận lấy tích phân Do cách vẽ đồ thị hàm số để xác định hình cần tính quan trọng Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành, trục tung đường thẳng x = , Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong hai đường thẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đoạn hai đường thẳng , ta có cơng thức sau: Trong cơng thức trên: Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S: liên tục Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S: Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S: ( c hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số ) Một cách thức chung người ta thường thực bước sau: Bước1: Nếu hai đường giải phương trình đề cho thiếu hai để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (2) Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau xét dấu hiệu Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàn số hai đường thẳng x =-1, x= Giải: Trước hết ta tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: Khi ta có : Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm Bảng xét dấu x – + Vậy (đvdt) Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn Giải Ta có, phương trình hồnh độ giao điểm: Vậy diện tích cần tìm (đvdt) Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số: Giải: Trước hết ta vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục: Từ hình vẽ ta suy hoành độ giao điểm A, B nghiệm phương trình: Khi : (đvdt) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: Giải: Ta có: Elip Do đồ thị nửa phía Từ ta có đồ thị hai hàm số hệ trục: Hoành độ hai giao điểm A, B nghiệm phương trình: Khi đó, diện tích cần tính: Chú ý: tập học sinh gặp lúng túng xác định cận lấy tích phân Lưu ý học sinh tốn vẽ đồ thị, khơng rắc rối khó khăn (có thể vẽ phác họa) việc vẽ hình giúp nhận diện hình cần tính cách dễ dàng Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định dấu biểu thức nên sử dụng cơng thức tính cách khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số: Khi diện tích cần tìm: Khi 0