Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu các các phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết định cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệ thông tin, lý thuyết xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội. Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê được giảng dạy cho hầu hết các nhóm ngành ở đại học.
Trang c tình ñ tr ng XÁC SU T VÀ TH NG KÊ (ð i h c Cao ñ ng) Nguy n Công Nh t XÁC SU T VÀ TH NG KÊ (ð i h c Cao ñ ng) Tài li u tham kh o: Giáo trình Xác su t – Th ng kê ng d ng – Nguy n Phú Vinh – NXB Th ng kê Ngân hàng câu h i Xác su t – Th ng kê ng d ng – ðHCN TP.HCM Lý thuy t Xác su t Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c Lý thuy t Xác su t Th ng kê toán – Nguy n Thanh Sơn, Lê Khánh Lu n – NXBTKê Xác su t – Th ng kê – Lý thuy t t p – ð u Th C p – NXB Giáo d c Lý thuy t Xác su t Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c Xác su t – Th ng kê ng d ng – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c Xác su t Th ng kê – ð ng H n – NXB Giáo d c Giáo trình Xác su t Th ng kê – Ph m Xuân Ki u – NXB Giáo d c 10 Giáo trình Lý thuy t Xác su t & Th ng kê Toán–Nguy n Cao Văn–NXB Kt Qu c dân PH N I LÝ THUY T XÁC SU T B Tính ch t phép toán ∩ , ∪ a) Tính giao hoán: ∩ = ∩ , ∪ = ∪ b) Tính k t h p: ∩ ∩ = ∩ ∩ , ∪ c) Tính phân ph i: ∩ ∪ ∪ = ∪ = ∩ ∪ ∩ = ∪ d) Tính ñ i ng u (De–Morgan): = ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ = TÚC ð I S Quy t c c ng Gi s m t công vi c có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk k t qu Khi ñó vi c th c hi n công vi c cho m = m1 + m2 + … + mk k t qu , ∩ M u l p, m u không l p − M u không l p: ph n t c a m u ch có m l n (các ph n t khác t ng ñôi m t) − M u có l p: ph n t c a m u có th l p l i l n m u − M u không th t : thay ñ i v trí ph n t c a m u ta không nh n ñư c m u m i − M u có th t : thay ñ i v trí ph n t c a m u ta nh n ñư c m u m i tm t Các công th c thư ng dùng 5.1 Hoán v ð nh nghĩa: Hoán v c a n ph n t m t nhóm có th t g m ñ m t n ph n t ñã cho S hoán v c a n ph n , = t ñư c ký hi u nhi u khác khác 5.3 Ch nh h p (m u không l p, có th t ) ≤ ð nh nghĩa: Ch nh h p ch p k c a n ph n t m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t khác ch n t n ph n t ñã cho S ch nh h p ch p k c a n ph n t ký hi u T H P Quy t c nhân Gi s m t công vi c ñó ñư c chia thành k giai ño n Có n1 cách th c hi n giai ño n th 1, có n2 cách th c hi n giai ño n th 2, , có nk cách th c hi n giai ño n th k Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách th c hi n toàn b công vi c 5.2 Ch nh h p l p (có th t ) ð nh nghĩa: Ch nh h p l p k c a n ph n t ≤ m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t không nh t thi t khác ch n t n ph n t ñã cho S ch nh h p l p k c a n ph n t nk h p (m u không l p, th t ) ð nh nghĩa: T h p ch p k c a n ph n t ≤ m t nhóm (b ) không phân bi t th t g m k ph n t khác ch n t n ph n t ñã cho S t h p ch p k c a n ph n t ký hi u = = − − + = − ( − ) Quy c: 0! = Tính ch t: = − = − − + − Chương CÁC KHÁI NI M CƠ B N C!A XÁC SU T §1 BI N C NG"U NHIÊN 1.1 Phép th# bi$n c% • Phép th vi c th c hi n thí nghi m hay quan sát m t hi n tư ng ñó ñ xem có x y hay không Hi n tư ng có x y hay không phép th ñư c g i bi n c ng u nhiên Bi n c ng u nhiên thư ng ñư c ký hi u A, B, C… VD + Tung ñ ng ti n lên m t phép th , bi n c “m t s p xu t hi n” hay “m t ng a xu t hi n” + Ch n ng u nhiên m t s s n ph m t m t lô hàng ñ ki m tra phép th , bi n c “ch n ñư c s n ph m t t” hay “ch n ñư c ph ph m” + Gieo m t s h t lúa phép th , bi n c “h t lúa n y m m” hay “h t lúa không n y m m” b) Bi$n c% ch c ch n bi$n c% không th& • Trong m t phép th , bi n c nh t ñ nh x y ch#c ch#n, ký hi u • Bi n c không th bi n c không th x y th c hi n phép th , ký hi u ∅ VD T m t nhóm có nam n$ ch n ngư i Khi ñó, bi n c “ch n ñư c ngư i n$” không th , bi n c “ch n ñư c nh t nam” ch#c ch#n c) S% trư ng h p ñ'ng kh • Hai hay nhi u bi n c m t phép th có kh x y ñư c g i ñ ng kh • Tích c a A B C, ký hi u = = ∩ ,x y ch c A B x y VD M t ngư i ch n mua áo G i A: “ch n ñư c áo màu xanh”, B: “ch n ñư c áo sơ–mi” C: “ch n ñư c áo sơ–mi màu xanh” C = AB VD Ch n ng u nhiên 10 linh ki n lô ki m tra G i Ai: “ch n ñư c linh ki n th t t” C: “ch n ñư c 10 linh ki n t t” = ∩ ∩ ∩ = ∩ = • H bi n c A1, A2,…, An ñư c g i xung kh#c (hay ñôi m t xung kh#c) m t bi n c b t kỳ h x y bi n c l i không x y Nghĩa ∩ =∅ ∀ ≠ VD M t h p có viên ph n màu ñ , xanh tr#ng Ch n ng u nhiên viên G i A: “ch n ñư c viên màu ñ ”, B: “ch n ñư c viên màu tr#ng” C: “ch n ñư c viên màu xanh” A, B, C xung kh#c b) Bi$n c% ñ%i l*p • Hai bi n c A B ñư c g i ñ i l p n u chúng th a mãn ñi u sau: 1) A B xung kh#c v i 2) Ph i có nh t m t bi n c x y 1.2 Các lo i bi$n c% a) Không gian m u bi$n c% sơ c p • Trong m t phép th , t p h p t t c k t qu có th x y ñư c g i không gian m u ký hi u • M!i ph n t ω ∈ không th phân nh thành hai bi n c ñư c g i bi n c sơ c p VD Xét phép th gieo h t lúa G i Ai bi n c “có i h t n y m m” (i = 0, 1, 2, 3) Khi ñó Ai bi n c sơ c p = {A0, A1, A2, A3} G i B “có nh t h t n y m m” B không bi n c sơ c p • Trong m t phép th mà m i bi n c sơ c p ñ u ñ ng kh s ph n t c a không gian m u ñư c g i s trư ng h p ñ ng kh c a phép th VD G i ng u nhiên m t h c sinh l p ñ ki m tra m!i h c sinh l p ñ u có kh b g i d) Các phép toán • T ng c a A B C, ký hi u = ∪ hay C = A + B, x y nh t hai bi n c A, B x y VD B#n hai viên ñ n vào t m bia G i A1: “viên th nh t trúng bia”, A2: “viên th hai trúng bia” = C: “bia b trúng ñ n” ∪ • Ph n bù c a A, ký hi u: = {ω ∈ = } ω∉ VD B#n l n lư t viên ñ n vào t m bia G i Ai: “có i viên ñ n trúng bia” (i = 0, 1, 2), B: “có không viên ñ n trúng bia” Khi ñó = , ≠ ≠ 1.3 Quan h gi)a bi$n c% a) Bi$n c% xung kh c • Hai bi n c B ñư c g i xung kh#c n u chúng không ñ ng th i x y m t phép th VD 10.Tr ng b ch ñàn G i A: “cây b ch ñàn s ng”, B: “cây b ch ñàn ch t” A B ñ i l p • H bi n c {Ai} (i = 1,…, n) ñư c g i h ñ y ñ bi n c n u th a mãn ñi u sau: 1) H xung kh#c, nghĩa ∩ =∅ ∀ 2) Ph i có nh t bi n c h x y ra, ∪ ∪ ∪ = nghĩa VD 11 H {A, B, C} VD ñ y ñ Chú ý H { } ñ y ñ v i bi n c A tùy ý ≠ §2 XÁC SU T C!A BI N C 2.1 ð nh nghĩa xác su t d ng c ñi&n • Trong m t phép th có t t c n bi n c sơ c p ñ ng kh năng, ñó có m kh thu n l i cho bi n c A xu t hi n xác su t c a A là: = = VD M t h p ch a 10 s n ph m ñó có ph ph m Tính xác su t: a) Ch n ng u nhiên s n ph m t h p ñư c ph ph m b) Ch n ng u nhiên l n t h p s n ph m ñư c ph ph m Ưu ñi m h n ch c a ñ nh nghĩa d ng c ñi n • Ưu ñi m: Tính ñư c xác giá tr c a xác su t mà không c n th c hi n phép th • H n ch : Trong th c t có nhi u phép th vô h n bi n c bi n c không ñ ng kh 2.3 ð nh nghĩa theo hình h c ñ dài, di n tích, th Cho mi n G i ñ ño c a tích ( ng v i ñư ng cong, mi n ph)ng, kh i) G i A bi n c ñi m ∈ ⊂ = Ta có VD Tìm xác su t c a ñi m M rơi vào hình tròn n i ti p tam giác ñ u c nh cm §3 CÔNG TH,C TÍNH XÁC SU T 3.1 Công th c c ng xác su t a) Bi$n c% xung kh c • A B xung kh#c thì: ∪ = • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì: ( ∪ ∪ ∪ ) VD M t h p có 10 s n ph m ñó có ph ph m L y ng u nhiên t h p ñó s n ph m (l y l n), tính xác su t ñ : a) C s n ph m ñ u t t; b) Có ñúng ph ph m VD M t l p có 60 h c sinh ñó có 28 em gi i toán, 30 em gi i lý, 32 em gi i ngo i ng$, 15 em v a gi i toán v a gi i lý, 10 em v a gi i lý v a gi i ngo i ng$, 12 em v a gi i toán v a gi i ngo i ng$, em gi i c môn Ch n ng u nhiên m t h c sinh c a l p Tính xác su t: a) Ch n ñư c em gi i nh t môn b) Ch n ñư c em ch gi i toán c) Ch n ñư c em gi i ñúng môn VD Hai ngư i b n h*n g p t i ñ a ñi m theo quy c sau: – M!i ngư i ñ c l p ñi ñ n ñi m h*n kho ng t ñ n gi – M!i ngư i ñ n ñi m h*n n u không g p ngư i ñ i 30 phút ho c ñ n gi không ñ i n$a Tìm xác su t ñ hai ngư i g p 2.4 Tính ch t c+a xác su t 1) ≤ ≤ , v i m i bi n c A; 2) ∅ = ; 3) = 2.5 Ý nghĩa c+a xác su t • Xác su t s ño m c ñ tin ch#c, thư ng xuyên x y c a bi n c phép th Chú ý Xác su t ph thu c vào ñi u ki n c a phép th c) Bi$n c% ñ%i l*p + b) Bi$n c% tùy ý • A B hai bi n c tùy ý thì: ∪ = + − • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) bi n c tùy ý thì: −∑ ∪ = ∑ = = < +∑ − − ( )= − VD M t h p ph n có 10 viên ñó có viên màu ñ L y ng u nhiên t h p viên ph n Tính xác su t ñ l y ñư c nh t viên ph n màu ñ VD Có 33 h c sinh tham d kỳ thi ch n h c sinh gi i g m vòng thi Bi t r+ng có 17 h c sinh thi ñ! vòng 1; 14 h c sinh thi ñ! vòng 11 h c sinh trư t c hai vòng thi Ch n ng u nhiên m t h c sinh danh sách d thi Tìm xác su t ñ h c sinh ñó ch thi ñ! nh t vòng thi Xác su t có ñi u ki n c a A v i ñi u ki n B ñã x y ñư c ký hi u ñ nh nghĩa: ( )= • Xác su t có ñi u ki n cho phép s d ng thông tin v s x y c a bi n c ñ d báo xác su t x y bi n c khác • Tính ch t: 1) ≤ ( )≤ ; 2) ( )= ; 3) ( )= − ( ); 4) n u A1 A2 xung kh#c thì: ( ∪ )= ( )+ ( ) VD M t h p có 10 vé, ñó có vé trúng thư,ng Ngư i th nh t ñã b c vé không trúng thư,ng Tính xác su t ñ ngư i th b c ñư c vé trúng thư,ng (m!i ngư i ch b c vé) b) Công th c nhân • A B bi n c ñ c l p n u B có x y hay không không nh hư,ng ñ n kh x y A ngư c l i, nghĩa ( ( )= )= Khi ñó ta có = • V i A, B không ñ c l p (ph thu c) thì: = ( )= ( ) VD M t lô hàng có 100 s n ph m ñó có 10 ph ph m Ki m tra liên ti p không hoàn l i s n ph m, n u có nh t ph ph m không nh n lô hàng ñó Tính xác su t ñ nh n lô hàng VD M t lô hàng g m 12 s n ph m ñó có s n ph m t t ph ph m Rút ng u nhiên s n ph m t lô hàng không ñ ý t i s n ph m ñó, sau ñó rút ti p s n ph m th Tính xác su t ñ s n ph m th hai t t VD M t c u th bóng r có qu bóng ñang ném t ng qu vào r N u bóng vào r ho c h t bóng c u th ng ng ném Bi t xác su t vào r c a qu bóng th 1, 2, l n lư t 90%, 80%, 85% 70% Tính xác su t c u th ném ñư c bóng vào r 3.3 Công th c xác su t ñ.y ñ+ Bayes a) Công th c xác su t ñ.y ñ+ • Cho h bi n c {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñ y ñ B bi n c b t kỳ phép th , ta có: b) Công th c Bayes • Cho h bi n c {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñ y ñ B bi n c b t kỳ phép th Xác su t ñ xu t hi n Ak sau ñã xu t hi n B là: VD Có bao lúa lo i Bao n ng 20kg ch a 1% h t lép, bao n ng 30kg ch a 1,2% h t lép bao n ng 50kg ch a 1,5% h t lép Tr n c bao l i r i b c ng u nhiên h t ñư c h t lép Tính xác su t ñ h t lép c a bao th ba ( ( )= ∑ = ) ( = = ∑ = ( ) ( )+ ( + ) VD M t ñám ñông có s ñàn ông b+ng n a s ñàn bà Xác su t ñ ñàn ông b b nh tim 0,06 ñàn bà 0,0036 Ch n ng u nhiên ngư i t ñám ñông, tính xác su t ñ ngư i b b nh tim ) VD T s ôtô t i ôtô ñi qua ñư ng có tr m bơm d u 5/2 Xác su t ñ ôtô t i ñi qua ñư ng vào bơm d u 10%; ôtô 20% Có ôtô qua ñư ng ñ bơm d u, tính xác su t ñ ñó ôtô t i VD 10 Ba ki n hàng ñ u có 20 s n ph m v i s s n ph m t t tương ng 12, 15, 18 L y ng u nhiên ki n hàng (gi s ki n hàng có kh năng) r i t ki n ñó l y tùy ý s n ph m a) Tính xác su t ñ s n ph m ch n t t b) Gi s s n ph m ch n t t, tính xác su t ñ s n ph m ñó thu c ki n hàng th hai Chương II BI N (ð I LƯ NG) NG"U NHIÊN §1 BI N NG"U NHIÊN VÀ LU0T PHÂN PH I XÁC SU T b) Phân lo i bi$n ng u nhiên 1.1 Khái ni m phân lo i bi$n ng u nhiên • Bi n ng u nhiên (bnn) ñư c g i r i r c n u giá a) Khái ni m tr có th có c a l p nên t p h p h$u h n ho c • M t bi n s ñư c g i ng u nhiên n u k t qu ñ m ñư c c a phép th s/ nh n m t ch m t giá • Bi n ng u nhiên ñư c g i liên t c n u giá tr có tr có th có c a tùy thu c vào s tác ñ ng c a th có c a l p ñ y kho ng tr c s nhân t ng u nhiên VD + Bi n X VD bnn r i r c (t p h$u h n) • Các bi n ng u nhiên ñư c ký hi u: X, Y, Z, …còn + G i Y s ngư i ñi qua ngã tư ñư ng ph Y giá tr c a chúng x, y, z,… bnn r i r c (t p ñ m ñư c) VD VD + B#n viên ñ n vào bia, g i X “kho ng cách Khi ti n hành gieo n h t ñ u ta chưa th bi t có bao t ñi m ch m c a viên ñ n ñ n tâm c a bia” X nhiêu h t s/ n y m m, s h t n y m m có th 0, 1, …, bi n ng u nhiên liên t c n K t thúc phép th gieo h t ta bi t ch#c ch#n có bao + G i Y “sai s ño ñ i lư ng v t lý” Y nhiêu h t n y m m G i X s h t n y m m X bi n ng u nhiên liên t c bi n ng u nhiên X = {0, 1, 2, …, n} 1.2 Lu*t phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên • Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên m t cách bi u di n quan h gi a giá tr c a bi n ng u nhiên v i xác su t tương ng mà nh n giá tr ñó 1.2.1 Phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên a) Trư ng h p r i r c = • Cho bi n ng u nhiên r i r c X có = = Ta có phân ph%i xác su t (d ng b ng) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn v i xác su t tương ng Trong ñó: ≥ ∞ ∑ ; ∑ = ; = < < = (vô h n); = ∑ = < < VD M t lô hàng có 12 s n ph m t t ph ph m L y ng u nhiên t lô hàng s n ph m G i X s ph ph m s n ph m l y Tìm phân ph i xác su t c a X ch ng minh: + + + + = VD Xác su t ñ ngư i thi ñ t m!i thi l y b+ng lái xe 0,3 Ngư i ñó thi cho ñ n ñ t m i G i X s l n ngư i ñó d thi Tìm phân ph i xác su t c a X tính xác su t ñ ngư i ñó ph i thi không l n b) Trư ng h p liên t1c • Cho bi n ng u nhiên liên t c X Hàm f(x), ∈ℝ ñư c g i hàm m t ñ xác su t c a X n u th a: +∞ 1) ! ≥ ∀ ∈ ℝ ; 2) ∫ ! Chú ý 1) Nhi u ngư i ta dùng ký hi u fX(x) ñ ch hàm m t ñ xác su t c a X = 2) Do < < = ∫! " " = ; = ≥ ∀ ∈ ℝ ∫ ! " = −∞ f(x) hàm m t ñ xác su t c a bnn ñó 4x , x ∈ (0; 1) VD Ch ng t f (x) = hàm m t ñ 0, x ∉ (0; 1) xác su t c a bi n ng u nhiên X VD Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t: x VD Tu i th X(gi ) c a thi t b có hàm m t ñ xác x < 100 0, su t f (x) = 100 x , x ≥ 100 a) Tìm hàm phân ph i xác su t c a X b) Thi t b ñư c g i lo i A n u tu i th c a kéo dài nh t 400 gi Tính t l (xác su t) lo i A VD 10 Bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t: π π '() ∈ − & ! = π π ∉ − & Tìm a hàm phân ph i xác su t F(x) " = nên ta không quan < < = ∫! " 3) V m t hình h c, xác su t bi n ng u nhiên (bnn) X nh n giá tr (a; b) b+ng di n tích hình thang cong gi i h n b,i x = a, x = b, y = f(x) tr c Ox (a < b) +∞ 4) N u f(x) th a ! ∫! tâm ñ n xác su t ñ X nh n giá tr c th Suy ≤ < = < ≤ = ≤ ≤ −∞ 3) = 1.2.2 Hàm phân ph%i xác su t • Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, ký hi u F(x) ho c FX(x), xác su t ñ X nh n giá tr nh x (v i x s th c b t kỳ) F(x) = P(X < x), ∀ ∈ ℝ – Hàm phân ph i xác su t cho bi t t l ph n trăm giá tr c a X n+m bên trái c a s x – V i bi n ng u nhiên r i r c X = {x1, x2, …, xn}: # = ∑ = = ∑ < < – V i bi n ng u nhiên liên t c X: # = ∫ ! $ "$ −∞ • Tính ch t: 1) ≤ # ≤ ∀ ∈ ℝ; 2) F(x) không gi m 3) # −∞ = & # +∞ = ; 4) ≤ < = # −# • Liên h v2i phân ph%i xác su t 1) X r i r c: pi = F(xi+1) – F(xi); =! 2) X liên t c: F(x) liên t c t i x #′ VD M t phân xư,ng có máy ho t ñ ng ñ c l p Xác su t ngày làm vi c máy ñó h ng tương ng 0,1 0,2 G i X s máy h ng ngày làm vi c L p hàm phân ph i xác su t c a X v/ ñ th c a F(x) VD 11 Th i gian ch ph c v c a khách hàng bnn 0, x ≤ X(phút) liên t c có hàm ppxs F(x) = ax , x ∈ (0; 3] 1, x > a) Tìm a hàm m t ñ xác su t f(x) c a X b) Tính P ( ) < Y ≤ v i Y = X2 + c) V/ ñ th c a F(x) 1.3 Phân ph%i xác su t c+a hàm c+a bi$n ng u nhiên • Trong th c t , ñôi ta xét bnn ph thu c vào hay nhi u bnn khác ñã bi t lu t phân ph i Bài toán Cho hàm ϕ bnn r i r c X có phân ph i xác su t cho trư c Tìm phân ph i xác su t c a ϕ a) Trư ng h p bi$n VD 12 L p b ng phân ph i xác su t c a *=ϕ X –1 P 0,1 = 0,3 + , bi t: 0,4 0,2 Chú ý 1) N u X, Y ñ c l p hàm phân ph i ñ ng th i c a X, Y ñư c xác ñ nh qua hàm phân ph i c a X, c a Y 2) Chương trình ch xét hàm phân ph i biên c a X, Y c) Phân ph%i xác su t biên (l-) T b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X, Y ta có: • Phân ph%i xác su t biên c+a X x1 x2 … xi … xm X P X p1 p2 … pi … pm = = ∑ = *=- = = = = = = ∑ = *=- = *=- = = §2 CÁC ð3C TRƯNG S (THAM S 0,15 0,2 0,05 0,2 a) * = b) + = ϕ + − * = − * + , c) + = ϕ * = −* b) B ng phân ph%i xác su t ñ'ng th i c+a (X, Y) y2 … yj … yn PX y1 Y X p11 p1 x1 p12 … p1j … p1n x2 p21 p22 … p2j … p2n p2 … xi pi1 pi pi2 … pij … pin … ……………………………… … pm1 pm pm2 … pmj … pmn xm PY q1 q2 … qj … qn Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) xác su t ñ X = xi, Y = yj ∑∑ = Tính ch t X Y ñ c l p ⇔ • Phân ph%i xác su t biên c+a Y y1 y2 … yi … yn Y P Y q1 q2 … qi … qn ∑ L p b ng phân ph i xác su t c a: 1.4 Phân ph%i xác su t c+a bnn chi-u (X, Y) r i r c a) ð nh nghĩa • C p ñ i lư ng ng u nhiên r i r c ñư c xét ñ ng th i (X, Y) ñư c g i vector ng u nhiên r i r c Ký hi u bi n c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y) • Hàm phân ph i xác su t ñ ng th i c a X Y là: # - = < & * ∈ 7( σ , ký hi u ) , n u hàm m t ñ phân ph i xác su t c a X có d ng: = ! − σ π − σ ∈ ℝ Các s% ñ c trưng (" = 5" =/ = & =σ b) Phân ph%i chu7n ñơn gi n ∈ 7( σ • Cho ), ñ t − T có phân σ 8= ph i chu n ñơn gi n ∈ ( ) • Hàm m t ñ phân ph i xác su t c a T: ! $ = − $ π • Công th c xác su t: (giá tr ñư c cho b ng A) ϕ ≈ ,; > $α ) = α VD 12 Th ng kê ñi m thi X (ñi m) m t kỳ n sinh ð i h c môn toán c a h c sinh c nư c cho th y X ∈ 0& , bi n ng u nhiên v i Tính t l ñi m thi X ≥ 5,5 VD 13 Tu i th c a lo i bóng ñèn X (năm) v i ∈ & , Khi bán bóng ñèn lãi ñư c 100 ngàn ñ ng n u bóng ñèn ph i b o hành l! 300 ngàn ñ ng V y ñ có ti n lãi trung bình bán m!i bóng ñèn lo i 30 ngàn ñ ng c n ph i quy ñ nh th i gian b o hành bao nhiêu? VD 14 Cho X có phân ph i chu n v i EX = 10 ( < < ) = % Tính ( < ≤ , ) 3.2.3 Phân ph%i χ2(n) (xem giáo trình) 3.2.4 Phân ph%i Student T(n) (v2i n b*c t do) • Cho ∈ = * * ∈ χ ∈8 ! ∈ 7( σ + ) thì: ∈ 7( + − ∫ (8 c) Phương pháp tính xác su t phân ph%i chu7n t ng quát • Cho = 3) < = ,+ϕ Phân v m c α • Ta g i $α phân v m c α c a T n u: $ Hàm ϕ = có hàm m t ñ xác su t: Γ + π Γ + − + Giá tr ñư c c a t(n) ñư c cho b ng C Chương III ð9NH LÝ GI:I H N TRONG XÁC SU T §1 M5T S LO I H5I T6 TRONG XÁC SU T VÀ CÁC ð9NH LÝ (H ñ i h c) 1.1 H i t1 theo xác su t – Lu*t s% l2n ⇔ ∑ ( − / ) → a) ð nh nghĩa = • Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i h i t theo xác su t ñ n bi n ng u nhiên X n u: b) B t ñ ng th c Tchébyshev ∀ω ∈ ∀ε > : ; ω − ω ≥ ε) = ( →∞ • N u bi n ng u nhiên X có EX VarX h$u h n thì: Ký hi u: → →∞ ∀ε > : ( − / ≥ ε ) ≤ ε • H bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i hay tuân theo lu t s l n (d ng Tchébyshev) n u: ( − / < ε) ≥ − = ∀ε > : ; − / < ε ∑ ∑ ε →∞ = = VD (tham kh o) Thu nh p trung bình hàng năm c a dân cư vùng 700USD v i ñ l ch chu n 120USD Hãy xác ñ nh m t kho ng thu nh p hàng năm xung quanh giá tr trung bình c a nh t 95% dân cư vùng ñó Gi i G i X(USD) thu nh p hàng năm c a dân cư vùng ñó Ta có: ( − / < ε) ≥ − ε ⇔ ( < ε) ≥ − − ε = : ; − ∑/ ≥ ε = ∑ →∞ = = H qu • N u h bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c l p t ng ñôi có EXi = VarXi = σ2 thì: ⇒ ε = ,%9 9,9= > V y nh t 95% dân cư vùng ñó có thu nh p hàng năm kho ng (163,344USD; 1236,656USD) ∑ → = 1.2 H i t1 y$u – ð nh lý gi2i h n trung tâm Ý nghĩa • Th hi n tính n ñ nh c a trung bình s h c bi n ng u nhiên ñ c l p phân ph i có phương sai h$u h n a) ð nh nghĩa • Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i h i t y u hay h i t theo phân ph i ñ n b.n.n X n u: ; # =# ∀ ∈ # →∞ • ð ño ñ i lư ng v t lý ñó ta ño n l n l y trung bình k t qu làm giá tr th c c a ñ i lư ng c n ño • Áp d ng th ng kê d a vào m t m u nh ñ k t lu n t ng th Trong ñó, C(F) t p ñi m liên t c c a F(x) l p t ng ñôi ð t * = ∑ = = σ = ∑3 ∑/ , = → = ∑ →∞ ; = / " → §2 CÁC LO I X P X; PHÂN PH I XÁC SU T 2.1 Liên h gi)a phân ph%i Siêu b i Nh th c • N u n c ñ nh, N tăng vô h n → ≠ ≠ N u EXi, VarXi h$u h n " hay # →# Chú ý N u b) ð nh lý Liapounop (gi2i h n trung tâm) • Cho h bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c " → Ký hi u: − 7− " → − % −/ = σ% * ∈ ( σ ) Ý nghĩa • Dùng ñ nh lý gi i h n trung tâm ñ tính x p x (g n ñúng) xác su t • Xác ñ nh phân ph i x p x ñ gi i quy t v n ñ c a lý thuy t c lư ng, ki m ñ nh,… 2.3 ð nh lý gi2i h n Moivre – Laplace 2.2 Liên h gi)a Nh th c Poisson → → λ thì: •N u → ∞ − " → 5−λ λ X p x phân ph i siêu b i b ng Nh th c • N u N l n n r t nh so v i N (n < 0,05N) ∼ & = VD M t vư n lan có 10000 s#p n, hoa, ñó có 1000 hoa màu ñ Ch n ng u nhiên 20 lan vư n Tính xác su t ñ ch n ñư c lan có hoa màu ñ ð nh lý (gi2i h n ñ a phương) X p x phân ph i Nh th c b ng Poisson • Cho X có phân ph i nh th c B(n, p), λ = Khi ñó: ∼ λ a) N u n l n p bé (g n b+ng 0) b) N u n l n p l n (g n b+ng 1) ∼ λ VD M t lô hàng có 0,1% ph ph m Tìm xác su t ñ ch n 1000 s n ph m có: a) T t c ñ u t t; b) Không ph ph m • G i pk xác su t xu t hi n k l n bi n c A n phép th Bernoulli v i P(A) = p (p không g n không g n 1) ; →∞ Trong ñó, ! = − π = ! = − h$u h n ð nh lý (gi2i h n Moivre – Laplace) − ∈ thì: • Cho = # →7 VD Trong m t kho lúa gi ng có t l h t lúa lai 13% Tính xác su t cho ch n 1000 h t lúa gi ng kho có không 15 h t lúa lai X p x Nh th c b ng phân ph i chu n • Cho ∈ , n u n l n, p không g n ∼ & σ Khi ñó: = 1) ≤ 2) = v i = σ = a) Có 300 khách ñ n vào ngày 1/1 nh n phòng − (tra b ng A, f(–x) = f(x)) ! σ σ ≤ = ϕ − − ϕ σ VD M t khách s n nh n ñ t ch! c a 325 khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/1 theo kinh nghi m c a nh$ng năm trư c cho th y có 10% khách ñ t ch! không ñ n Bi t m!i khách ñ t phòng, tính xác su t: b) T t c khách ñ n vào ngày 1/1 ñ u nh n ñư c phòng − σ ………………………………………………………………… PH N II LÝ THUY T TH NG KÊ Chương IV LÝ THUY T M"U §1 KHÁI NI M V< PHƯƠNG PHÁP XÁC ð9NH M"U 1.1 M u t ng th& (ñám ñông) • T p h p có ph n t ñ i tư ng mà ta nghiên c u ñư c g i t ng th S ph n t c a t ng th ñư c g i kích thư c c a t ng th • T t ng th ta ch n n ph n t n ph n t ñó ñư c g i m t m u có kích thư c (c m u) n M u ñư c ch n ng u nhiên m t cách khách quan ñư c g i m u ng u nhiên VD Khi nghiên c u v s cá m t h s cá h kích thư c c a t ng th T h ñó b#t lên 10 cá ñư c m u không hoàn l i kích thư c 10 • M u ñ nh lư ng m u mà ta quan tâm ñ n m t y u t v lư ng (như chi u dài, cân n ng,…) c a ph n t m u VD Cân 100 trái dưa gang ñư c ch n ng u nhiên t cách ñ ng m u ñ nh lư ng • M u có kích thư c n t p h p c a n bi n ng u nhiên ñ c l p X1, X2,…, Xn ñư c l p t bi n ng u nhiên X có lu t phân ph i v i X m u t ng quát Ti n hành quan sát (cân, ño,…) t ng bi n Xi nh n ñư c giá tr c th Xi = xi, ñó ta ñư c m u c th x1, x2,…, xn • Xét v- lư ng – Trung bình t ng th = / – Phương sai t ng th σ = bi u th cho m c ñ bi n ñ ng c a d u hi u X • Xét v- ch t – ðám ñông ñư c chia thành lo i ph n t : lo i có tính ch t A ñó mà ta quan tâm lo i tính ch t A – G i X = n u ph n t tính ch t A X = n u ph n t có tính ch t A, p t l ph n t có tính ch t A thì: ∈ =/ = N u t h ñó b#t lên cá r i th xu ng, sau ñó ti p t c b#t khác, ti n hành 10 l n th ta ñư c m u có hoàn l i kích thư c 10 • Khi m u có kích thư c l n ta không phân bi t m u có hoàn hay không hoàn l i 1.2 Phương pháp xác ñ nh m u • M u ñ nh tính m u mà ta ch quan tâm ñ n ph n t c a có tính ch t A ñó hay không VD ði u tra 100 h dân c a m t thành ph v thu nh p năm N u h có thu nh p dư i 10 tri u ñ ng/năm h nghèo Thì 100 h ñư c ñi u tra ta quan tâm ñ n h nghèo (tính ch t A) VD Chi u cao c a b ch ñàn bi n ng u nhiên có phân ph i chu n ðo ng u nhiên X1, X2,…, Xn ta ñư c X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} m u t ng quát có phân ph i chu n {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} m u c th • Xác su t nghiên c u v t ng th ñ hi u v m u th ng kê ngư c l i 1.3 S p x$p s% li u th c nghi m 1.3.1 S p x$p theo giá tr khác • Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác X1, X2,…, Xk ( ≤ ) Xi có t n s ni (s l n l p l i) v i + + + = S li u ñư c s#p x p theo th t tăng d n c a Xi VD Ki m tra ng u nhiên 50 sinh viên, k t qu : X (ñi m) ni (s SV) 4 20 10 10 1.3.2 S p x$p dư2i d ng kho ng • Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có nhi u quan sát khác nhau, kho ng cách gi$a quan sát không ñ ng ñ u ho c Xi khác r t ta s#p x p chúng dư i d ng kho ng Xét kho ng ( ) ch a toàn b quan sát Xi Ta chia ( ) VD ðo chi u cao c a n = 100 niên, ta có b ng s li u , d ng kho ng: thành kho ng b+ng (còn g i l p ) theo nguyên t#c: S kho ng t i ưu + 3,322lgn, ñ dài kho ng là: − ?= + % % ;@ = S d ng công th c + − ta có b ng s li u , d ng b ng (dùng ñ tính toán): xi T n s ni 150 154 158 162 166 20 35 25 15 T n su t T n s ni (s niên) 148 – 152 152 – 156 156 – 160 160 – 164 164 – 168 20 35 25 15 T n su t 0,05 0,2 0,35 0,25 0,15 VD Theo dõi m c nguyên li u hao phí ñ s n xu t m t ñơn v s n ph m , m t nhà máy, ta thu ñư c s li u sau (ñơn v : gam) Hãy s#p x p s li u dư i d ng b ng? 20; 19; 21; 20; 19; 0,05 0,2 0,35 0,25 0,15 L p (kho ng) (ñơn v : cm) 22; 19; 20; 22; 19; 21; 20; 18; 21; 20; 20; 18; 19; 21; 21; 22; 19; 19; 22; 21 22; 20; 21; 20; 20; 20; 22; 20; 19; 18; 21; 20; 20; 19; 21; 19; 22; 20; 20; 20; 21; 20; 19; 21; Chú ý • ð i v i trư ng h p s li u ñư c cho b,i cách li t kê ta s#p x p l i , d ng b ng §2 CÁC ð3C TRƯNG M"U (tham kh o) 2.1 Các ñ c trưng m u • Gi s t ng th có trung bình / = , phương sai = σ t l p ph n t có tính ch t A 2.1.1 T l m u Fn • Cho m u ñ nh tính kích thư c n, ta g i = t l m u t ng quát # = ∑ = • Cho m u ñ nh tính kích thư c n, ñó có m ph n t có tính ch t A Khi ñó ta g i: ! =! = Tính ch t a) Kỳ v ng c a t l m u b+ng t l t ng th : + + ( # ) = = b) Phương sai c a t l m u: + 4# = = (các Xi có phân ph i Bernoulli) t l m u c th 2.1.2 Trung bình m u • Trung bình m u: = ∑ • T l m u # = = Trung bình m u c th : = ∑ = = Tính ch t / ( )= =/ + Chú ý = = , ( )= σ = + + + + trung bình m u khác , ch! Fn, Xn ch có phân ph i Bernoulli: = • Trong tính toán ta s d ng công th c: 2.1.3 Phương sai m u ∑( • Phương sai m u: ɵ = ɵ = ) − = ∑( ) =ɵ ) = M u c th : ɵ ) − = = M u c th : ) = ) = Tính ch t / ɵ ∑( − = ∑( − − ) − = )=σ th ng kê dùng σ tương ng c a ñ nghiên c u ñ c trưng t ng th T lu t s l n ta có: ) − = σ , /( ( ) • Các ñ c trưng m u # • Phương sai m u hi u ch nh: = − = ∑ − = 2.2 Liên h gi)a ñ c trưng c+a m u t ng th& ) = # → → ɵ ) ≈σ ≈ ! ≈ ng c a t ng th : → σ (theo xác su t) • Trong th c hành, c7 m u n l n (c7 hàng ch c tr, lên) ñ c trưng m u x p x ñ c trưng tương ) ≈σ §3 PHÂN PH I XÁC SU T C!A CÁC ð3C TRƯNG M"U (tham kh o) 3.1 Phân ph%i xác su t c+a t l m u F σ • Do EF = p / = = nên: nên v i n l n thì: • Do EF = p 4# = σ − ? ∈ ∈ 7( ) σ # ∈ 7 • V i m u c th kích thư c n ñ l n, σ ≈ ) Ta • V i m u c th kích thư c n, t l m u f ≈ ! ) − Ta có: ? có: ∈ ∈ 7( ) ) ! − ! #− ∈7 # ∈ 7 ? ! −! • Khi n < 30 σ chưa bi t thì: 3.2 Phân ph%i xác su t c+a trung bình m u − ∈χ − có phân ph i Student v i n – 3.2.1 Trư ng h p t ng th& X có phân ph%i chu7n ) ∈ 7( σ ) b c t 3.2.2 Trư ng h p X phân ph%i chu7n • T ñ nh lý gi i h n trung tâm, ta suy ra: − σ •V i → 7( b) σ chưa bi t thì: − ) " − " → 7( ) ) ≥ % , ta có phân ph i x p x chu n: ≈ 7( ) σ ≈ ≈ ) 3.3 Phân ph%i xác su t c+a phương sai m u ∈ 7( σ • Gi s t ng th a) σ ñã bi t thì: − σ ≈ 7( σ ɵ = ph i χ − = σ − σ ) , ñó: ∑( ) − = s/ có phân §4 TH=C HÀNH TÍNH CÁC ð3C TRƯNG M"U C6 TH> 4.1 Tính t l m u f • Trong m u có m ph n t có tính ch t A mà ta quan tâm VD Xét 10 k t qu quan sát: 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402 t l m u ! = Ta có: + + + = ∑ = • N u xi l p l i ni (i = 1,…, k ≤ m u là: = ∑ = + %+% 0+0 4.3 Tính phương sai m u ɵ 4.2 Tính trung bình m u • M u có n giá tr xi trung bình m u là: = = ) l n trung bình • Tính = ( + • Phương sai m u là: ɵ ) = + + )= ∑ = − ( ) • Phương sai m u có hi u ch nh là: ) = − ɵ ) S? D6NG MÁY TÍNH B@ TÚI ð> TÍNH CÁC ð3C TRƯNG C!A M"U S LI U ðƠN (không có t.n s%) VD Cho m u có c7 m u 5: w = (12, 13, 11, 14, 11) a) Máy fx 500MS • Xóa nh : MODE -> -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – MODE -> (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> (ch n SD ñ i v i fx570MS) – Nh*p s%: 12 M+ 13 M+… 11 M+ • Xu t k t qu : trung bình m u) – SHIFT -> -> -> = (xu t k t qu ⌢ – SHIFT -> -> -> = (xu t k t qu ) = σ : ñ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> -> -> = (xu t k t qu s = σ − : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh) b) Máy fx 500ES • Xóa nh : SHIFT -> -> -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n m c Stat -> (ch ñ không t n s ) – MODE -> (stat) -> (1-var) -> (nh p s ) 12 = 13 =… 11 = • Xu t k t qu – SHIFT -> -> (var) -> -> = (n: c7 m u) – SHIFT -> -> (var) -> -> = ( : trung bình m u) – SHIFT -> -> (var) -> -> = ( σ : ñ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> -> (var) -> -> = ( σ − : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh) S LI U CÓ T N S VD Cho m u sau xi ni 12 11 15 a) Máy fx 500MS • Xóa nh : MODE -> -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – MODE -> (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> (ch n SD ñ i v i fx570MS) – Nh*p s%: 12 -> SHIFT -> , -> -> M+ 11 -> SHIFT -> , -> -> M+ 15 -> SHIFT -> , -> -> M+ • Xu t k t qu , làm 1a) b) Máy fx 500ES • Xóa nh vào ch ñ th ng kê nh p d li u có t n s : – SHIFT -> MODE (SETUP) d ch chuy n mũi tên -> -> – MODE -> (stat) -> (1-var) – Nh*p giá tr t.n s% vào c t hình X FREQ 12 11 15 • Xu t k t qu , làm 1b) VD ði u tra su t c a 100 lúa vùng, ta có b ng s li u sau: Năng su t (t n/ha) - 3,5 3,5 - 4 - 4,5 4,5 - 5 - 5,5 5,5 - Di n tích (ha) 12 18 27 20 Nh$ng th a ru ng có su t 4,4 t n/ha có su t th p a) Tính t l di n tích lúa có su t th p b) Tính su t lúa trung bình, phương sai ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh …………………………………………………………… - 6,5 6,5 - Chương V Ư:C LƯ NG ð3C TRƯNG C!A T NG TH> (ðÁM ðÔNG) §1 Ư:C LƯ NG ðI>M VD 1.1 Th%ng kê • M t hàm c a m u t ng quát T = T(X1, X2,…, Xn) ñư c g i th ng kê • Các v n ñ c a th ng kê toán ñư c gi i quy t ch y u nh vào vi c xây d ng hàm th ng kê ch ph thu c vào m u t ng quát, không ph thu c tham s 1.2 Ư2c lư ng ñi&m • Ư c lư ng ñi m c a tham s θ (t l , trung bình, θ =ɵ θ( phương sai,…) th ng kê ɵ ) ch ph thu c vào n quan sát X1, …, Xn, không ph thu c vào θ VD • EF = p (t l m u c lư ng không ch ch c a t l t ng th ) • / ( )= (trung bình m u c lư ng không ch ch c a trung bình t ng th ) • /( ) = / ɵ = σ (phương sai m u c lư ng không ch ch c a phương sai t ng th σ ) VD Cân 100 s n ph m c a xí nghi p ta có b ng s li u: x (gr) 498 502 506 510 ni 40 20 20 20 Gi i a) / = / /( )+ /( ( ) % + + % % )+ % /( ) = ⇒ (ñpcm) c lư ng + + c lư ng ñi m c a trung bình t ng th 1.3 Ư2c lư ng không ch ch (tham kh o) θ( • Th ng kê ɵ ) c lư ng không ch ch c a θ n u / ɵ θ( ) = θ Ta có: = 0< , , , =, @4 D ñoán (ư c lư ng): Tr ng lư ng trung bình c a @4 s n ph m xí nghi p ≈ , VD (tham kh o) T m u t ng quát W = (X1, X2) ta xét hai c lư ng c a trung bình t ng th sau: = + ′= + % % ′ c lư ng không ch ch c a a) Ch ng t b) Ư c lư ng hi u qu hơn? ( ) = = = % / ( + + = • Trung bình m u ) + = ′ = / % = = + + ñi m c a t l t ng th p b) ( ) = / + • T l m u #= 4( )+ ( ′ ) = % = < ⇒3 4( + )+ 4( + )= % 4( < )= ( ) < 4( ′) V y c lư ng σ σ σ + = 0 σ 0σ ,σ + = < < < hi u qu §2 Ư:C LƯ NG KHO NG 2.1 ð nh nghĩa • Kho ng ɵ θ& ɵ θ ( ) c a th ng kê ɵ θ ñư c g i kho ng tin c y c a tham s θ n u v i xác su t ɵ θ < θ $α ta bác b gi thi t, nghĩa ≠ • Trong trư ng h p bác b , n u f > p0 k t lu n p > p0 f < p0 p < p0 VD Ki m tra 800 sinh viên th y có 128 sinh viên gi i Trư ng báo cáo t ng k t có 40% sinh viên gi i có th ch p nh n ñư c không v i m c ý nghĩa 5%? 1.3 Ki&m ñ nh gi thi$t trung bình t ng th& A • V i trung bình 50 cho trư c, tương t toán c lư ng kho ng cho trung bình t ng th , ta có trư ng h p sau (tóm t#t): • ð t gi thi t H: = 50 (nghĩa trung bình t ng th trung bình cho trư c) a) Trư ng h p V i • Tính $α $ = − σ ≥% σ ñã bi t • N u $ ≤ $α ta ch p nh n gi thi t; $ > $α ta bác b gi thi t Chú ý • Trong trư ng h p bác b : N u > ⇒ > < ⇒.< VD Tr ng lư ng trung bình c a c a m t lo i s n ph m 6kg Ki m tra 121 s n ph m th y tr ng lư ng ) =, trung bình 5,795 kg phương sai ɵ Hãy ki m ñ nh v tr ng lư ng trung bình c a s n ph m v i m c ý nghĩa 5% • N u $ ≤ $α− ta ch p nh n gi thi t; $ > $α− ta bác b gi thi t VD Cân th 15 gà tây , tr i chăn nuôi xu t chu ng ta tính ñư c =%9 tây bi n ng u nhiên có σ = @ Bi t tr ng lư ng gà a) Giám ñ c tr i nói r+ng tr ng lư ng trung bình c a gà tây 3,5kg, v i m c ý nghĩa 2% ki m ñ nh l i nói ? b) Gi s ngư i ta dùng th c ăn m i xu t chu ng tr ng lư ng trung bình c a gà tây 3,9 kg V i m c ý nghĩa 3%, cho k t lu n v lo i th c ăn ? VD Kh i lư ng c a m t bao g o c a nhà máy bi n ng u nhiên có ñ l ch tiêu chu n 0,3kg Ban giám ñ c tuyên b kh i lư ng m!i bao g o c a nhà máy 50kg Cân th 50 bao th y kh i lư ng trung bình 49,97kg V i m c ý nghĩa 1%, ki m tra l i tuyên b ? VD ði m trung bình môn toán c a sinh viên năm trư c 5,72 Năm theo dõi 100sv ñư c s li u: ði m S sinh viên 27 43 12 V i m c ý nghĩa 5%, ph i ñi m trung bình c a sinh viên năm cao năm trư c? VD Chi u cao gi ng X(m) m t vư m ươm bi n ng u nhiên có phân ph i chu n ðo ng u nhiên 25 ta có: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 S Theo quy ñ nh cao trung bình 1m ñem tr ng V i m c ý nghĩa 5%, có th ñem tr ng ñư c chưa ? 1.4 Ki&m ñ nh gi thi$t phương sai t ng th& có phân ph%i chu7n σ (tham kh o) V i σ cho trư c, ta th c hi n bư c sau: • ð t gi thi t H: σ = σ (nghĩa phương sai t ng th phương sai cho trư c) §2 KI>M ð9NH SO SÁNH HAI ð3C TRƯNG 2.1 So sánh hai t l px py c+a hai t ng th& X, Y • ð t gi thi t H: px = py - , !- = • T m u ta tính ! = , - = + - + (t l th c nghi m chung c a hai m u) - • Tính = − ⇒$= ! − ! + - (giá tr ki m ñ nh) VD Ki m tra 120 s n ph m , kho I th y có ph ph m Ki m tra 200 s n ph m , kho II th y có 24 ph ph m Ch t lư ng hàng , hai kho có khác không v i: 1) M c ý nghĩa 5% ? 2) M c ý nghĩa 1% ? − ) • T m u ta tính giá tr ki m ñ nh χ = •T −α ⇒ α > →χ − − − α − α ta ch p nh n gi thi t, ngư c l i bác b gi thi t • N u χ − α < χ < χ α χ σ − • Trong trư ng h p bác b , n u ) > σ k t lu n σ > σ ) < σ σ < σ VD 10 Ti n hành 25 quan sát v ch tiêu X c a lo i s n ph m, ta tính ñư c s2 = 416,667 Có tài li u nói r+ng phương sai c a ch tiêu X 400 V i m c ý nghĩa 3%, cho nh n xét v tài li u này? • N u $ ≤ $α ch p nh n H ⇒ $ > $α ⇒ n u ! < ! < - = - ; $ > $α ⇒ ;n u ! > ! > - VD T hai t ng th X1, X2 ti n hành m u có kích thư c n1 = 100, n2 = 120 ta tính ñư c f1 = 0,2 f2 = 0,3 V i m c ý nghĩa 1% so sánh hai t l c a hai t ng th ñó VD Ki m tra 120 sinh viên trư ng A th y có 80 sinh viên gi i, 150 sinh viên trư ng B có 90 sinh viên gi i H i t l sinh viên gi i c a trư ng không v i m c ý nghĩa 5%? • T m u c th ta tính ki m ñ nh $ = −σ + σ- - so sánh v i $α 2.2 So sánh hai trung bình µx µy c+a hai t ng th& Tóm t t trư ng h p (ch p nh n hay bác b# gi thi t ki m ñ nh trung bình): Ta thay σ • ð t gi thi t H: µ x = µ y Trư ng h p Trư ng h p Trư ng h p + - < % σ σ - ñã bi t ñ ng - < % σ σ - chưa bi t; X, Y VD Cân th 100 trái , nông trư ng I ta tính ñư c − )- − −) -− = so sánh v i t @4& ) = , 361 trái , nông trư ng II tính ñư c - = 99 % f ta bác b gi thi t • Trong trư ng h p bác b gi thi t: – N u ) > )- k t lu n σ > σ - ngư c l i VD Giá c phi u bi n ng u nhiên có phân ph i chu n ði u tra ng u nhiên giá c phi u c a công ty X 25 ngày tính ñư c ñ l ch tiêu chu n m u hi u ch nh 7,5 ngàn ñ ng; c a công ty Y 22 ngày 6,2 ngàn ñ ng V i m c ý nghĩa 5%, so sánh v ñ r i ro c phi u c a hai công ty 2.3 So sánh hai phương sai σ σ - c+a hai t ng th& (so sánh t l phương sai) (tham kh o) • ð t gi thi t H: σ = σ - • Tính giá tr ki m ñ nh @ = • T m c ý nghĩa α ⇒ α ) )- Tra b ng E ta tìm ñư c ! = !α − - − VD Doanh s bán hàng (ñơn v : tri u ñ ng) c a công ty A bi n ng u nhiên có phân ph i chu n Công ty A cho ngư i theo dõi doanh s bán hàng ngày , vùng X tính ñư c phương sai m u chưa hi u ch nh 82,1; , vùng Y ngày tính ñư c 25,3 V i m c ý nghĩa 3%, so sánh ñ r i ro ñ u tư c a công ty A , hai vùng Chương VII LÝ THUY T TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HBI QUY Bi u ñ liên h gi$a ñ tu i ñ cholesterol: H s% tương quan gi)a X Y • ð minh h a cho v n ñ , th xem xét nghiên c u sau ñây mà ñó nhà nghiên c u ño lư ng ñ cholesterol (Y) máu c a 10 ñ i tư ng nam , ñ tu i (X) K t qu ño lư ng sau: X 20 52 30 57 28 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 X Y 43 3,8 57 4,1 63 4,6 40 3,2 49 4,0 • ð “ño lư ng” m i liên h này, có th s d ng h s tương quan: ∑ − ∑ = − = Trong ñó - = ∑ - −- - , = = ∑ = = Chú ý - −- = 4- = ∑ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ) )- có sai s bé ) )- -− ⌢ ⌢ ) )- Bi u ñ ñây g i ý cho th y m i liên h gi$a ñ tu i (X) cholesterol (Y) m t ñư ng th)ng (tuy n tính) Ý nghĩa • H s tương quan ño m i quan h n tính gi$a x, y 1) − ≤ - ≤ 2) N u - = hai bi n s quan h n tính; n u - = ± hai bi n s có quan h n tính t ñ i 3) N u - < quan h gi$a x, y gi m bi n (có nghĩa x tăng y gi m) 4) N u - > quan h gi$a x, y ñ ng bi n (có nghĩa x tăng y tăng) VD Tính h s tương quan gi$a ñ tu i cholesterol cho , b ng Ta có: = ∑ ∑- = 0% < ; - = = -= = % ,9 ; = ∑ - = ⌢ % < ; )- = V y 4- = = = ∑ - – Các ñi m có t a ñ (xi; yi) t o thành ñư ng g p khúc g n v i ñư ng th)ng có d ng y = ax + b Ngư i ta dùng ñư ng th)ng y = ax + b ñ tính x p x giá tr yi theo xi: - = + + ε v i m t sai s ε , ñư ng th)ng ñư c g i ñư ng th)ng h i quy < < – Các thông s a, b ph i ñư c c tính t d$ li u Phương pháp ñ c tính thông s phương pháp bình phương bé nh t Phương pháp bình phương bé nh t tìm giá tr a, b cho t ng bình phương sai s ∑ε = 9; 9 MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n m c Stat-> (ch ñ không t n s ) MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p giá tr c a X, Y vào c t) X Y 20 1,9 … … 49 Xu t k t qu : SHIFT - > -> ->1(A b phương trình) - >2 (B a phương trình) -> (r - ) VD S thùng bia Y(thùng) ñư c bán ph thu c vào giá bán X (tri u ñ ng/ thùng) ði u tra 100 ñ i lý v lo i bia m t ñơn v th i gian có b ng s li u: Y 100 110 120 X 0,150 15 30 0,160 10 25 0,165 15 a) Tính h s tương quan rxy b) L p phương trình h i n tính c a X theo Y c) D ñoán n u mu n bán ñư c 115 thùng bia giá bán m!i thùng c7 bao nhiêu? VD (fx 500ES) Bài toán cho d ng b ng sau X Y 21 23 11 25 Nh p li u: SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n muc Stat-> (ch ñ có t n s ) MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p giá tr c a X, Y, t n s vào c t) X Y FREQ 21 21 23 23 11 25 Xu t k t qu gi ng ví d H t ... xi v i 3) N u a b h+ng s Var(aX + b) = a2.VarX 4) N u X Y ñ c l p thì: ± * = + 4* ; th a X P 2.2.3 Tính ch t c+a VarX 1) ≥ ; VarC = 0, v i C h+ng s 2) Var(CX) = C2.VarX; VD 12 Năng su t c a... mũi tên tìm ch n m c Stat -> (ch ñ không t n s ) – MODE -> (stat) -> (1-var) -> (nh p s ) 12 = 13 =… 11 = • Xu t k t qu – SHIFT -> -> (var) -> -> = (n: c7 m u) – SHIFT -> -> (var) -> -> = ( : trung... ñôi có EXi h$u h n VarXi b ch n b,i h+ng C thì: ∀ε > : ; − ∑/ ≥ ε = ∑ →∞ = = H qu • N u h bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c l p t ng ñôi có EXi = VarXi = σ2 thì: ⇒