GIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤTGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Trang 1GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I.Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên D⊆R
1.Nếu tồn tại một điểm x0∈D sao cho f x( )≤ f x( ),0 ∀ ∈x D thì số M = f x( )0
được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D,
ký hiệu M =M x D∈ax ( )f x
2 Nếu tồn tại một điểm x0∈D sao cho f x( )≥ f x( ),0 ∀ ∈x D thì số m= f x( )0
được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D,
ký hiệu m Min f x= x D∈ ( )
Như vậy:
x D
, ( )
ax ( )
, ( )
x D f x M
M M f x
x D f x M
∈
x D
, ( ) ( )
m Min f x
∈
II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số :
Cho hàm số y= f x( )xác định trên D⊆R
Bài toán 1.Nếu D=( , )a b thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên
2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x'( ) 0= tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4 Dựa vào BBT.kết luận
Ví dụ1 Tim GTNN của hàm số y x= 4−2x2+1 trên tập xác định của nó
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ , xlim→±∞y= +∞
1
x
x
Bảng biến thiên:
x −∞ −1 0 1 +∞ '
y − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 1 +∞
0 0
Dựa vào BBT ta có min ( )(−∞ +∞,f x) = ± =f( 1) 0
Trang 2Ví dụ 2 Tìm GTLN –GTNN của hàm số =
+
1
x y
x :trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ , xlim→±∞y=0
Đạo hàm:
( − )
+
2 2 2
1
1
x
x
Bảng biến thiên:
x −∞ −1 1 +∞
' y − 0 + 0 −
y 0 1
2
1
2 − 0
Dựa vào BBT ta có ( , ) ( , ) 1 1 max ( ) (1) ; min ( ) ( 1) 2 2 f x f f x f −∞ +∞ −∞ +∞ − = = = − = Ví dụ 3 :Tìm GTNN của hàm số = + − − 2 1 1 x x y x trên (1,+∞) Hướng dẫn giải Tập xác định: D = ¡ \ {1} , lim1 , lim x y x y → = +∞ →+∞ = +∞ Đạo hàm: ( ) ( ) = = − − 2 = ⇔ − 2= ⇔ = 0 1 ' 1 , ' 0 1 1 2 1 x y y x x x Bảng biến thiên: Dựa vào BBT tacó min ( )(1,+∞f x) = f(2) 5= Bài toán 2 Nếu D=[ ]a b, thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau: 1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x'( ) 0= tìm nghiệm x x1, 2 thuộc tập xác định 3.Tính f a f x( ), ( ), ( ) ( )1 f x2 f b x −∞ 0 1 2 +∞
' y + 0 − − 0 +
y 1
−∞ −∞
+∞ +∞
5
Trang 34.Kết luận
• Đặc biệt:
Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì max[ ;b f](x)= f(b) ; min[ ;f b](x)= f(a)
Nếu f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì max[ ;b f](x)= f(a) ; min[ ;f b](x)= f(b)
Ví dụ 1 :
Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:y=2x3+3x2−12x+1trên [–1; 5] là:
A.
−
=
;
maxy B.
−
= −
;
miny C.
−
=
;
maxy D.
−
=
;
miny
- Giải :Ta có: 6 2 6 12 0 1 1 5
2 1 5
;
;
x
x
= ∈ −
= − ∉ −
Tính
( )
( )
( )
1 14
f
f
f
− =
= −
=
Vậy : 1 5 ( )5 266
;
−
= = 1 5 ( )1 6
;
miny y
−
= = −
Ví Dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 3 1
3
x y x
−
=
− trên [0;
2] là:
Giải Ta có:
( )2
10
3
x
−
0
3
;
= = 0 2 ( )2 5
;
miny y
= = −
Ví dụ 3 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 2sin 1
sin 2
x y
x
−
=
+ là:
- TXĐ:¡
- Đặt: t=sinx⇒ ∈ −t 1 1; Khi đó: bài toán trở thành :
2
t
t
−
- Ta có: ( )
( )2
5
2
= > ∀ ∈ − +
- Ta tính: ( )1 3, ( )1 1
3
f − = − f =
Trang 4Vây
1 3
;
−
;
miny minf t f
−
Bài tập tự luận
1)y =x3 −3x2 +1 trên ( -1,3) 2)
x
x y
+
−
=
3
1 trên (−2;+∞)
3)
1
1 2
2
2
+
−
− +
=
x
x
x
x
y trên R 4)
1
1 2
−
−
=
x
x
y trên [2;5)
5)y= 4 x− 2 trên TXĐ 6) y= x3 + x−1 trên [ ]1;5
7) y=4x3 −3x4 trên TXĐ 8)y= x3 +(m2 −m+2)x+5trên [ ]0;1
9 )
1
1
2
4
2
+
−
−
=
x
x
x
y trên R 10)
2
3 2
1 4 − 2 −
y
2) tìm GTLN-GTNN trên đoạn:
1)y= f(x)=x5 −5x4 +5x3 +1 trên [−1,2]
2) y = f(x)= x3 −3x +3 trên [−0,2]
3)
2
4 5
2 2
+
+ +
=
x
x x
y trên [ ]0;1
4) y= f(x)=−x3 +3x trên [−2,3]
5) y= f(x)=x4 −2x2 +3 trên [−3,2]
6) y= f(x)= x3 −3x2 −9x trên [−4,6]
7) y= f(x)=4x3 −3x4
8)
x x x
f
y= ( )= 2 + 2 với x >0
9) y= f(x)=x3 −6x2 +9x trên [ ]0,4
10) y=x + 2 x− 2
11y= f(x)= 2cos2x+4sinx trên 0,2
π
3
4 sin 2 )
4
1
x x x
14) y=2sin2 x+2sinx−1
15 )y=cos22x−sinxcosx+4
16) y=
1 sin
1 sin
2
+
−
x
x
17) y=sin10x+cos10 x
Trang 518) Tìm m để GTNN của hàm số y=f(x)= [ ]0;1
1
2
trên x
m m x
+
+
19)Tìm GTLN- GTNN của f(x)= 2x−1+ 2x+2 với x∈[ ]−1;1
Bài Tập Trắc nghiệm
Câu 1 Tìm GTLN của các hàm số sau:y= 100−x2trên [–6; 8] là:
A.
−
=
;
maxy B.
6 8 10
−
=
;
maxy C.
−
= −
;
maxy D.
−
=
;
maxy
Câu 2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:y= 2+ +x 4−x là:
A.
−
=
;
−
=
;
min y
C. 2 4 ( )1 2 3
;
−
−
=
;
miny
Câu 3 Tìm GTLN của các hàm số sau:y=2sin2x−cosx+1 là:
8
=
8
=
8
=
25
8
=
Câu 4 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 2
2
1 1
x x y
x x
+ +
=
− + là:
1 3
max
min
y
y
1 3
max
min
y y
1 3
max
min
y y
1
max
min
y y
Câu 5 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 2sin cos 1
sin 2cos 3
y
=
1 2
max
min
y
y
1
max
min
y y
C.
1 1 2
max
min
y y
1 2
max
min
y y
Câu 6 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2 2 1
1
x x y
x
+ +
= + trên đoạn [ ]0;1 là:
A min[ ]0;1 f x( ) =1;max[ ]0;1 f x( ) = 2 B min[ ]0;1 f x( ) =1;max[ ]0;1 f x( ) =2
C min[ ]0;1 f x( ) = −2;max[ ]0;1 f x( ) =1 D Một số kết quả khác
Câu 7.Tìm GTLN và GTNN của hàm số:y=sinx−cosxlà:
A GTLN 1,GTNN= = −2 B.
GTLN= 2,GTNN= − 2
Trang 6C GTLN 2, GTNN 0= = D GTLN 1, GTNN= = −1
Câu 8.Tìm GTLN và GTNN của hàm số ( ) ( ) (2 )2
1
;2
2
−
là:
A 4 và 0 B 6 và 0 C 4 và 1 D 6 và 1 Câu 9 Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: y=−x4 +2x2+1 trên đoạn
−
2
1
;
2 là:
A 8 và −8 B 3 và −7 C 4 và −8 D 2 và −7
Câu 10 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=2x3+3x2−12x+1 trên [–1; 5] là:
A 256 và −6 B 266 và −6 C 265 và −5 D 255 và −5
Câu 11 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 3 6
1
− +
=
−
f(x)
2 4
; là:
A 4 và 10
Câu 12 Tìm GTNN của 4 3 2 3
y x 4x 4x
4
A 3
4
B 3 2
3
D 2 3
-Câu 13 Tìm GTLN của y x 1
x
= - trên (0;3 bằng là:]
3
C 3 8
D 0
Câu 14 Tìm GTLN của y= -x 3 3x 2- 9x 35+ trên đoạn [- 4;4] là:
Câu 15 Tìm GTLN của y= 5 4x- trên đoạn [- 1;1] bằng là:
Câu 16 Tìm GTLN của y x
x 2
= + trên nửa khoảng (- 2;4] bằng là:
A 1
5
B 1 3
C 2 3
D 4 3
Trang 7Câu 17 Cho hàm số y=sin x cos x sin x 2 3 - 2 + + Tìm GTNN của hàm số
2 2
π π
çè ø là:
A 23
Câu 18 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: f x( )= +x 18−x là:2
A 6 và 3 2 B 6 và 3 2− C 8 và 5 2 D 8 và
5 2
−
Câu 19 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x= 3+3x2 −9x+1 trên đoạn [−
2; 2] là:
A 25 và −3 B 23 và −4 C 22 và −4 D 24 và −3
Câu 20 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x( ) = +x 4−x2 trên đoạn 1
2;
2
−
là:
A 1 13
2
+ và −2 B 1 15
2
2
+ và −2 D 1 13
2
2
Câu 21 Tìm GTLN và GTNN của hàm số ( ) 3 4
1
f x x
x
= − +
− trên đoạn
[ ]2;5 là:
Câu 22 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
5 2
2
−
+
−
=
x
x x
là:
A 6 và 2 B 6 và 3 C 5 và 2 D 5 và 3 Câu 23 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x( ) x 9
x
= + trên đoạn [ ]1;4 là:
A 10 và 25
4
B 12 và 25
4
C 10 và 6 D 12 và 6
Câu 24: Cho hàm số y x 2016 1
x
=- + - Tìm GTLN của hàm số trên khoảng (0;4 đạt tại x bằng là:)
Câu 25 Tìm GTLN của hàm số: y= −2x2+4x−5là:
Trang 8A −5 B −4 C −3 D −2
Câu 26 Tìm GTLN của hàm số: y= x− +2 4−x là:
Câu 27 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y= 1+ +x 3− −x x+1 3−x
là:
A 3
2 và 2 2 2− B 2 và 2 2 2− C 1 và 2 2 2− D 2 và
2 2−
Câu 28 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x( )= −2x4+4x2+10 trên đoạn
[ ]0;2 là:
A 10 và −6 B 12 và −6 C 10 và −8 D 12 và −8
Câu 29 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2 3 6 ( )
1
f x
x
− +
=
[ ]2;4 là:
A 4 và 10
3
B 13 3
3
Câu 30 Tìm GTLN và GTNN của hàm số ( ) 3 4
1
= − +
−
x trên đoạn
[ ] 2;5 là:
A 5 và 2 B 3 và −2 C 5 và −2
D 3 và 2
Câu 31 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2
x y x
−
= + trên đoạn [0;3]là:
A 1
7 và −2 B 1
14 và −2 C 1
7 và −4 D 1
14 và −4
Câu 32 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2
1
x y x
=
− trên đoạn [ ]2; 4 là:
A.16
3 và 4
D.20
3 và 0
Câu 33 Tìm GTLN của hàm số f x( ) = +x3 3x2−9x+1 trên đoạn [ ]0;4 là:
Câu 34 Tìm GTLN của hàm số y=3x x− 3trên đoạn [–2; 3] là:
Trang 9 −
=
;
maxy B.
;
maxy
−
−
= −
;
maxy D.
;
maxy
−
=
Câu 35 Tìm GTLN của hàm số y x= 4−2x2+3trên đoạn [–3; 2] là:
A.
−
=
;
maxy B.
;
maxy
−
= C 3 2 ( )3 66
;
−
;
maxy
−
= −
Câu 36 Tìm GTLN của hàm số y x= 4−2x2+5trên đoạn [–2; 2] là:
A.
−
=
;
maxy B.
2 2 13
−
=
;
maxy C.
;
maxy
−
2 2 14
;
maxy
−
=
Câu 37 Tìm GTLN của hàm số 1
1
x y x
−
= + trên đoạn [0; 4] là:
A.
0 4
6 5
=
;
maxy B. max0 4; y 2.
0 4
3 5
=
;
maxy D. max0 4; y 1.
=
Câu 38 Tìm GTLN của hàm số 4 2 7 7
2
y
x
=
+ trên đoạn [0; 2] là:
A.
0 2
37 4
=
;
0 2
27 4
=
;
C. 0 2
7 2
;
= − D.
0 2
17 2
;
= −
Câu 39 Tìm GTLN của hàm số 2
2
1 1
x x y
x x
− +
= + − trên đoạn [0; 1] là:
A.
;
maxy
0 1
3 5
;
maxy
0 1
3 5
;
maxy
= D. max 0 1; y=2.
Câu 40 Tìm GTNN của hàm số y=cos2x−2sinx−1là:
A. miny= −2 B. miny= −4 C. miny= −3 D. miny= −1