Phương pháp giải toán hình học lớp 11 : Được soạn thảo đầy đủ giúp các em học sinh và thầy cô giáo có một kiến thức đầy đủ . Tài liệu này đuợc phân phối rộng với tất cả các kiến thức hình học lớp 11 .
Trang 1Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song
với một đường thẳng cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai
đường thẳng cho trước
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một
mặt phẳng cho trước
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc
một đường thẳng cho trước
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ
được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác Từ đó xác định được giao
tuyến với các mặt này
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác
phẳng khép kín ta được thiết diện
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng
với S, C), N và P lần luợt là trung điểm của AB, AD Tìm thiết diện của hình chóp với
Trang 2N I
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ).
Bước 3: Khi đó:( ) ( )P ∩ Q =Mt P P a b
Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt còn lại của hình chóp
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P)
là mặt phẳng qua AM và song song BD Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P).
Vậy thiết diện là tứ giác KMNA
Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước:
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm
bất kì thuộc AB và ( )α là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
2
Trang 3P K
K P
N
S
B
D A
C M
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )α
Vậy thiết diện là hình thang MNKP
Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình
chóp
Bước 2: Chỉ ra ( ) ( )P P Q
Tìm a=( ) ( )P ∩ R (b=( ) ( )Q ∩ R ) Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M
song song với a ( hoặc b ).
Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB, CD AB< .
( )α là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).
Tìm thiết diện của hình chóp với ( )α
Vậy thiết diện là hình thang KMNP
Trang 4I H
D
A S
Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm
M và vuông góc với d cho trước
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hai đường thẳng a và b
cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M).
Bước 2: Khi đó (P) P ( a ,b).
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận
Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d
thì ta chọn (P) song song với a (hay chứa a ) và b song song với (P) (hay chứa b) Rồi
thực hiện các bước còn lại
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID
Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được
đường thẳng b vuông góc với mp( )α một cách dễ nhất
Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp( )α cần dựng
Bước 3: Tìm giao tuyến của ( )α với hình chóp bằng các cách đã biết
4
Trang 5J I
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và
vuông góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ
Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng ( )α với hình lăng trụ được tiến hành tương tự
như đối với hình chóp Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu
( )α cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao
tuyến vừa tìm được
Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 , các điểm M, N lần lượt là trung điểm
Trang 6Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.
Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các
mặt của hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp
bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo
bởi mặt phẳng (P) với hình chóp.
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt
phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt của hình chóp
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt
nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình
chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng
và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể
bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì
hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn
đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy
của chúng ta
1 Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào
trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc
tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong
HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các
em bị bế tắt khi giải toán HHKG
Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một
hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ hình chóp có đáy ABCD là
hình vuông và có đỉnh là S
Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như
vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán
- Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể
hạn chế được Điều này gây nhiều khó khăn khi giải
những bài toán phức tạp
- Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể
hiện trên hình vẽ
- Thứ ba: giao diện mặt bên (SAD quá nhỏ, điều này)
gây nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà
ta cần kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt
phẳng đó
- Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể
hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng
6
A
B S
Trang 7M
A'
B' C'
B
C D'
Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng (SAD vuông góc với mặt phẳng đáy thì )
học sinh khó mà vẽ được hình đúng như ý mình
Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mất nhiều thời gian
cho việc vẽ hình
Ví dụ 1:
Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt
phẳng di qua trung điểm M của cạnh DD , trung điểm ' N của cạnh D C' ' và đỉnh A
Học sinh giải bài toán như sau:
Do hai mặt bên (BB A A′ ′ )và (CC D D′ ′ ) song song với
nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng
(AMN cũng phải song song với nhau Do đó)
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng
(AMN và mặt phẳng ) (BB A A′ ′ ) là đường thẳng đi
qua A và song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng AB′ Điều
này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh AB′P MN.
′
=
′ (AMN) (∩ CC D D′ ′ ) =MN
(AMN) (∩ AA B B′ ′ ) = AB′
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình AMNB′
Trang 8S
A
C D
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng
@ Nguyên nhân:
Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc với
hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ
hình
Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn
đến không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán Các khái niệm HS không nắm vững hoặc
hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”,
“hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ
nhật…)
@ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không
gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh chóp
tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh
nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có cách vẽ hình chính xác….
Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:
- Dùng nét ( _ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy
- Dùng nét ( -) để biểu diễn những đường khuất
- Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song
song ( cắt nhau )
- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang
- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình
bình hành
- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì….
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho
việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác Khi giải một số bài
tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra
2 Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.
Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết
diện
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA⊥ ABCD Gọi ( )α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )α
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,
không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng ( )α
Nguyên nhân:
Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để
giải các dạng bài tập tìm thiết diện
giải
8
Trang 9B
D
C A
- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện:
Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy
ra các đoạn giao tuyến Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết
diện cần tìm
Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng
bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1)
- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất
phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao
tuyến” Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì
xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là phổ biến (tuy nhiên còn có
phương pháp khác sẽ nêu ra sau)
- Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện
Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường
thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P).
Trang 10Chú ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q) Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thường là ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó Nhưng đôi khi việc xác định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện
Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ta tìm một điểm chung của hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thẳng song song nhau Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó
Một ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là điểm nằm trong tam giác SCD Xác định
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)
:
K
J I
Trang 11Đầu tiên ta tìm giao điểm I của AM và (SBD)
Khi đó trên mp(SCD), gọi K =JM ∩SC
Vậy tứ giác ABKJ là thiết diện cần tìm.
Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và
CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND Gọi P là trung điểm AD Xác định thiết diện của
Vậy tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm.
3 Những khó khăn do không hiểu kỹ các định lý, hệ quả dẫn đến những kết luận sai.
- Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở hình học phẳng, chẳng hạn HS thường cho rằng trong không gian có định lý sau: “hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau”, “ hai mặt
Trang 12C A
M
phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”,… hoặc các định lý,
hệ quả mà HS thường hiểu nhầm:
+ Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng
nằm trong mặt phẳng đó
+ Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong một mặt
phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia
+ Luôn có thể dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt
Ví dụ 3:
Cho tứ diệnSABCcó tam giácABC đ ều, SA⊥(ABC) Lấy một điểm M bất kỳ
trên cạnh SC.G ọi ( )α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB
học sinh giải như sau:
kẽ đường thẳng qua M và song song với SA cắt AC tại Q
Gọi I là trung điểm AB, khi đó: AB CI⊥
Trang 13M
D C
- Hình học không gian khá trừu tượng nên việc nắm kỹ các định lý rất khó khăn, và trực
giác không mang lại kết quả như hình học phẳng mà đôi khi còn đánh lừa người giải toán
khi họ thể hiện sai trên hình vẽ
- HS còn dựa nhiều vào những kiến thưc ở hình học phẳng, thản nhiên áp dụng một
cách tùy ý bằng cách suy diễn từ hình học phẳng sang hình học không gian
@ Khắc phục:
- Giúp HS nắm vững các định lý trong SGK bằng cách vận dụng vào giải các bài tập
Việc vận dụng các định lý, hệ quả vào các bài giải phải hiểu đó là định lý, hệ quả nào
thuộc quan hệ song song hay quan hệ vuông góc, phát biểu chính xác hệ quả định lý đó
- Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều này rất có lợi để áp dụng các định
lý
- Phân dạng các bài tập về thiết diện Mỗi dạng thường vận dụng những định lý, hệ quả
nào,…
4 Khó khăn do hiểu nhầm các khái niệm, dẫn tới bế tắc hoặc có một lời giải sai.
Các khái niệm mà học sinh không nắm vững có thể dẫn tới việc thể hiện thiếu dữ kiện
của bài toán, hoặc đưa ra những khái niệm sai
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và các mặt bên hợp với đáy 1 góc α Hãy
xác định thiết diện tạo nên bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các
mặt bên của hình chóp
Phân tích: trực giác cho HS thấy rằng mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC
phải chứa hai đường phân giác của góc ¼SBA và ¼ SCD
HS tiến hành giải như sau:
Trong mp (SAB) ta dựng đường phân giác BM
của góc ¼SBA cắt SA tại M
Ta có: ( ) (α ∩ SAB) =BM
Trong mặt phẳng (SAD) dựng đường
phân giác góc ¼SCD cắt SD tại N
( ) (α ∩ SCD) =CN