Phưong pháp giải toán hình học lớp 11

Phương pháp giải toán hình học lớp 11 : Được soạn thảo đầy đủ giúp các em học sinh và thầy cô giáo có một kiến thức đầy đủ . Tài liệu này đuợc phân phối rộng với tất cả các kiến thức hình học lớp 11 .

Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm TOÁN LỚP 11 – HÌNH HỌC Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng: 1.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 3.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm song song với hai đường thẳng cho trước 4.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước 5.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vuông góc đường thẳng cho trước 6.Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm vuông góc với mặt phẳng Dạng 1: Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm không thẳng hàng Phương pháp: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình chóp Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp ta điểm chung (P) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt Bước 3: Tiếp tục tới đoạn giao tuyến tạo thành đa giác phẳng khép kín ta thiết diện Bươc 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M điểm nằm cạnh SC (không trùng với S, C), N P lần luợt trung điểm AB, AD Tìm thiết diện hình chóp với (MNP) S Giải: Ta có: ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = NP M Kéo dài BC NP cắt I, ( MNP ) ∩ ( SBC ) = KM Kéo dài DC cắt NP J, ( MNP ) ∩ ( SCD ) = MQ Q J K ( MNP ) ∩ ( SAD ) = PQ A P Vậy thiết diện ngũ giác KMQPN N I B C D Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 2:Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b cho trước ( a b chéo nhau)) @Phương pháp: Bước 1: Chỉ mp (P) (Q) chứa hai đường thẳng song song a b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng ( dựng thêm đường phụ) Bước 3: Khi đó: ( P ) ∩ ( Q ) = Mt P a P b Bước 4: Sử dụng cách tìm thiết diện biết ta tìm giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt lại hình chóp Bước 5: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình bình hành, M trung điểm SC, (P) mặt phẳng qua AM song song BD Tìm thiết diện hình chóp cắt (P) Giải: Ta có: S BD P ( P ) , BD ⊂ ( SBD ) Gọi O tâm hình bình hành ABCD Gọi I = SO ∩ AM Khi ( P ) ∩ ( SBD ) = Ix P BD Ix cắt SB K, cắt SD N Do đó: ( P ) ∩ ( SBC ) = MK ( P ) ∩ ( SCD ) = MN ( P ) ∩ ( SAB ) = AK ( P ) ∩ ( SAD ) = AN Vậy thiết diện tứ giác KMNA M K N I A D O B C Dạng 3:Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm song song với hai đường thẳng cho trước: @Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm M ∈ (P) ∩ (Q) Bước 2: Chỉ mp (P) P a ( b ) ⊂ (Q) Suy giao tuyến (P) (Q) đường thẳng qua M song song a ( b ) Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến mặt khác hình chóp với (P) cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình thang ( AD song song BC ), M điểm thuộc AB (α ) mặt phẳng qua M song song với AD SB Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α ) S Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) (α ) song song với AD nên: P (α ) ∩ ( ABCD ) = Mx P AD Gọi N = Mx ∩ CD (α ) song song với SB nên: (α ) ∩ ( SAB ) = MP P SB A Tương tự ta có: (α ) ∩ ( SAD ) = Px P AD Gọi K = Px ∩ SD (α ) ∩ ( SCD ) = KN K D M N B Vậy thiết diện hình thang MNKP C Dạng 4:Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua điểm song song với mặt phẳng cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng (P) mặt phẳng hình chóp Bước 2: Chỉ ( P ) P ( Q ) Tìm a = ( P ) ∩ ( R ) (b = ( Q ) ∩ ( R ) ) Khi giao tuyến đường thẳng qua M song song với a ( b ) Bước 3: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình thang, cạnh đáy AB, CD < AB ( α ) mặt phẳng qua M cạnh AB song song với mặt phẳng (SAD) Tìm thiết diện hình chóp với ( α ) Giải: Ta có: M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD ) , S P K M ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Do ( α ) song song với (SAD) nên: ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN P AD ( α ) ∩ ( SAB ) = MK P SA ( α ) ∩ ( SCD ) = NP P SD ( α ) ∩ ( SBC ) = KP Vậy thiết diện hình thang KMNP A D M B N C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Dạng 5:Thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng cho trước Giả sử cần xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua điểm M vuông góc với d cho trước Phương pháp chung: Bước 1: Tìm hai đường thẳng a b cắt vuông góc với d ( đường thẳng qua điểm M) Bước 2: Khi (P) P ( a ,b) Bước 3: Tìm giao tuyến (P) với hình chóp cách biết Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Chú ý: Nếu có sẵn đường thẳng cắt chéo mà vuông góc với d ta chọn (P) song song với a (hay chứa a ) b song song với (P) (hay chứa b) Rồi thực bước lại Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vuông góc với SB Xác định thiết diện ( α ) cắt hình chóp (S.ABCD) Giải: Ta có: S AD ⊥ AB   ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SA  ⇒ AD ⊥ SB Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB H Do ( α ) ≡ ( HAD ) Khi đó: H ( α ) ∩ ( SAB ) = AH ( α ) ∩ ( SAD ) = AD ( α ) ∩ ( ABCD ) = AD Do ( α ) ⊃ AD P BC Nên ( α ) ∩ ( SBC ) = Hx P BC I D A B C Gọi I = Hx ∩ SC Khi ( α ) ∩ ( SBC ) = HI Vậy thiết diện cần tìm hình thang AHID Dạng 6: Thết diện chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng Bước 1: Chọn điểm A nằm đường thẳng a cho qua A dựng đường thẳng b vuông góc với mp ( α ) cách dễ Bước 2: Khi đó, mp ( a ,b) mp ( α ) cần dựng Bước 3: Tìm giao tuyến ( α ) với hình chóp cách biết Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Bước 4: Dựng thiết diện kết luận Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, J trung điểm AB, CD Gọi (P) mặt phẳng qua Ị vuông góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) Giải: IJ ⊥ AB  S Ta có  ⇒ IJ ⊥ ( SAB ) ⇒ IJ ⊥ SB IJ ⊥ SA  Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB K Do ( P ) ≡ ( KIJ ) Ta có ( P ) ∩ ( SAB ) = KI ( P ) ∩ ( ABCD ) = IJ ( P ) ⊃ IJ P BC ⇒ ( P ) ∩ ( SBC ) = KN P BC ( P ) ∩ ( SCD ) = NI Vậy giao tuyến hình thang KNIJ A K D N I J B C Chú ý: Việc tìm thiết diên mặt phẳng ( α ) với hình lăng trụ tiến hành tương tự hình chóp Nhưng ý hình lăng trụ có mặt đáy song song nhau, ( α ) cắt mặt đáy cuãng cắt mặt đáy lại theo giao tuyến song song vơi giao tuyến vừa tìm Việc tìm thiết diện hình lập phương tiến hành giống đói với hình lăng trụ Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M, N trung điểm BC CC1 Xác định thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng (A1MN) Giải: ( A1MN ) ∩ ( BCB1C1 ) = MN A Kéo dài AC A1N cắt I Khi đó: ( A1MN ) ∩ ( ABC ) = MP C M P ( A1MN ) ∩ ( ABB1 A1 ) = PA1 B Vậy thiết diện tứ giác PMNA1 N A1 C1 B1 I Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Những khó khăn giải toán thiết diện biện pháp khắc phục  Tìm thiết diện hình cắt mặt phẳng chẳng hạn tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P: ta tìm giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo cắt mặt hình chóp mặt phẳng (P) hình thành đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác thiết diện tạo mặt phẳng (P) với hình chóp Như vậy, thực chất toán tìm thiết diện toán tìm giao điểm mặt phẳng (P) với cạnh hình chóp tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt hình chóp Từ ta thấy khó khăn giải toán thiết diện phần lớn bắt nguồn từ khó việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng cạnh hình chóp cắt mặt phẳng) xác định “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng mặt hình cắt mặt phẳng)  Ta khó khăn đó, khó khăn mà ta bắt gặp giải toán thiết diện có hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, hình học không gian (HHKG) đòi hỏi tư trừu tượng cao mà thiết diện vấn đề tương đối phức tạp HHKG, hình vẽ thích hợp tăng khả tư Những khó khăn việc vẽ hình không gian việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu sở từ định lý hay hệ dẫn lời giải sai: Hình vẽ chưa thể hết giả thiết toán, hình vẽ sai gây nên bế tắc việc tìm lời giải, hay trực giác không xác dẫn tới giải sai Một số học sinh chịu ảnh hưởng nặng hình học phẳng vẽ hình HHKG lại tuân thủ cách máy móc độ dài, diện tích, góc…điều làm cho em bị bế tắt giải toán HHKG Ví dụ 0: vẽ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông em vẽ hình chóp có đáy ABCD S hình vuông có đỉnh S Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu toán việc vẽ gặp nhiều khó khăn giải toán - Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta hạn chế Điều gây nhiều khó khăn giải toán phức tạp - Thứ hai: cạnh AD nét khuất chưa thể hình vẽ - Thứ ba: giao diện mặt bên ( SAD ) nhỏ, điều gây nhiều khó khăn việc giải toán mà A ta cần kẻ thêm đường thẳng nằm mặt phẳng - Thứ tư: đa giác đáy hình vuông học sinh thể hoàn hình vuông bên hình học phẳng B D C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Nếu đề yêu cầu thêm mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy học sinh khó mà vẽ ý Ngoài ra, việc thể hình vẽ làm cho học sinh nhiều thời gian cho việc vẽ hình Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Dựng thiết diện hình lập phương với mặt phẳng di qua trung điểm M cạnh DD ' , trung điểm N cạnh D ' C ' đỉnh A Học sinh giải toán sau: C' Do hai mặt bên ( BB′A′A ) ( CC ′D′D ) song song với nên giao tuyến hai mặt với mặt phẳng N AMN ( ) phải song song với Do A' D' ( AMN ) ∩ ( AA ' B ' B ) = AB ', AB′ P MN ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = B ' N C M Vậy thiết diện cần tìm hình AMNB′ Phân tích sai lầm: Học sinh biết giao tuyến mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( BB′A′A) đường thẳng B' B D A qua A song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến đường thẳng AB′ Điều chưa chưa có sở chứng minh AB′ P MN Giải Ta có: ( AMN ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AM Trong mặt phẳng ( AA ' D ' D ) dựng AM cắt A ' D ' P ( AMN ) ∩ ( A ' B ' C ' D ') = PN Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ' ) C' B' N ta nhận thấy P, M , B ' thẳng hàng P thật vậy, Ta có: MD′ PD′ = ⇒ = AA PA′ D′N = Ta lại có A′B′ D' A' C M NB′ = từ suy PN qua B′ PB′ ( AMN ) ∩ ( CC ′D′D ) = MN ( AMN ) ∩ ( AA′B′B ) = AB′ B D Vậy thiết diện cần tìm hình AMNB′ A Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Đối với toán tìm thiết diện hình vẽ quan trọng @ Nguyên nhân: Vẽ hình hết giả thiết vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc với hình học không gian đòi hỏi trừu tượng tư cao, không thường xuyên luyện tập vẽ hình Không nắm vững khái niêm dó hết giả thiết dẫn đến không đủ kiện để giải toán Các khái niệm HS không nắm vững hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng có đáy đa giác đều, mặt bên hình chữ nhật…) @ Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững quy tắc vẽ hình không gian, rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình không gian như: hình chóp( hinh chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh nắm vững khái niệm hình không gian để có cách vẽ hình xác… Các quy tắc vẽ hình không gian: - Dùng nét ( _ ) để biểu diễn cho đường nhìn thấy - Dùng nét ( -) để biểu diễn đường khuất - Hai đường thẳng song song ( cắt ) biểu diễn thành hai đường thẳng song song ( cắt ) - Hình biểu diễn hình thang hình thang - Hình biểu diễn hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông hình bình hành - Một tam giác ABC xem hình biểu diễn tam giác bất kì… Chú ý: vẽ hình không gian quy tắc chưa đủ mà phải đảm bảo thật có lợi cho việc quan sát trực giác, điều giúp ta dễ tìm lời giải cho toán Khả tư trừu tượng tạo khó khăn trực giác Khi giải số tập HS thường mắc phải sai lầm quan sát trực quan tạo Khó khăn việc tìm lời giải từ giả thiết Học sinh thường rơi vào bế tắc không cho toán tìm thiết diện Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông, S SA ⊥ ( ABCD ) Gọi ( α ) mặt phẳng qua A vuông góc với SB Hãy xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( α ) Trong toán học sinh thường rơi vào bế tắc, bắt đầu lời giải từ đâu, không thấy hình biểu diễn mặt phẳng ( α ) A B Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm phương pháp chung để giải dạng tập tìm thiết diện giải D C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng AM ⊥ SB AD ⊥ SA Ta có: AD ⊥ AB AD ⊥ ( SAB ) suy AD ⊥ SB (1) mặt khác AM ⊥ SB (2) từ (1) (2) suy ( ADM ) ⊥ SB S M ( ADM ) ≡ ( α )  AD ⊂ ( α )   BC ⊂ ( SBC ) ⇒ Mt = ( α ) ∩ ( SBC ) ta có:  AD P BC   M ∈ ( α ) ∩ ( SBC )  Mt P BC , Mt P AD Mt cắt SC N ( α ) ∩ ( SAB ) = AM A B N ( α ) ∩ ( SDC ) = DN Vậy thiết diện cần tìm tứ giác DAMN D @ Biện pháp khắc phục: C - Hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải toán tìm thiết diện: Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp hay hình lăng trụ…Từ suy đoạn giao tuyến Nối đoạn giao tuyến ta đa giác phẳng, thiết diện cần tìm Phân loại dạng tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết cách giải với dạng toán đề cho (phần trình mục 1) - Như nói nguồn gốc khó khăn giải toán thiết diện xuất phát phần lớn khó khăn tìm “giao điểm” xác định “đoạn giao tuyến” Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” ta có sẳn xác định đoạn giao tuyến cách tìm giao điểm phổ biến (tuy nhiên có phương pháp khác nêu sau) - Như quy cho vấn đề tìm “giao điểm” cốt lõi toán thiết diện Vậy để tìm “giao điểm” chẳng hạn giao điểm hình chóp cắt mặt phẳng Khó khăn mà nguyên nhân chủ yếu em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn đến sai lầm Có thể nêu hai phương pháp tìm giao điểm đường thẳng đường thẳng: Cách 1: Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) ta tìm giao điểm đường thẳng a đường thẳng b nằm mặt phăng (P) Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm b ⊂ ( P ) ⇒ a ∩ ( P) = I   a ∩ b = I Cách 2: Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a, sau xác định giao tuyến b hai mặt phẳng (P) (Q) Khi giao điểm cần tìm giao điềm hai đường thẳng a b a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ∩ ( P ) = I a ∩ b = I  Chú ý: cách tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng thường ta tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Nhưng việc xác định lại gặp khó khăn từ dẫn đến khó khăn cho toán tìm thiết diện Ta có cách khác tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Ta tìm điểm chung hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với hai đường thẳng Một ví dụ minh họa: Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm nằm tam giác SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) S K M C B J I P A O D : Giải: 10 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Đầu tiên ta tìm giao điểm I AM (SBD) Gọi P = SM ∩ DC Khi mp(ABCD), gọi O = AP ∩ BD Ta có SO = ( SAP ) ∩ ( SBD ) Gọi I = AM ∩ SO Mà AM ⊂ ( SAP) Vậy ta suy I = AM ∩ ( SBD ) Trên mp(SBD), gọi J = BI ∩ SD Khi mp(SCD), gọi K = JM ∩ SC Vậy tứ giác ABKJ thiết diện cần tìm Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm nằm cạnh BC CD cho BM = 2MC CN = 2ND Gọi P trung điểm AD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(MNP) Giải: A Q P D B E N M C Vì BM = 2MC CN = 2ND nên MN không song song với BD, BD MN cắt E Trên mp(ABD), PE cắt AB Q, đó: MN,NP,PQ,QM đoạn giao tuyến cắt mặt tứ diện mp(MNP) Vậy tứ giác MNPQ thiết diện cần tìm Những khó khăn không hiểu kỹ định lý, hệ dẫn đến kết luận sai - Sử dụng định lý, hệ cách chủ quan dựa trực giác ý nghĩ hình học phẳng, chẳng hạn HS thường cho không gian có định lý sau: “hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với nhau”, “ hai mặt 11 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm phẳng vuông góc với mặt phẳng song song với nhau”,… định lý, hệ mà HS thường hiểu nhầm: + Một đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng + Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến, đường thẳng nằm mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng + Luôn dựng mặt phẳng qua điểm phân biệt Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đ ều, SA ⊥ ( ABC ) Lấy điểm M cạnh SC G ọi ( α ) mặt phẳng qua M vuông góc với AB học sinh giải sau: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ( α ) ⊥ AB Suy ( α ) P SA Trong mặt phẳng (SAC) kẽ đường thẳng qua M song song với SA cắt AC Q Gọi I trung điểm AB, đó: AB ⊥ CI Mặt khác MQ P SA , nên MQ ⊥ ( ABC ) ⇒ MQ ⊥ AB Do MQ P CI Suy ( α ) P CI S M N Mà CI ⊂ ( ABC ) ⇒ ( ABC ) P ( α ) Suy ( α ) P BC Q A ( α ) ∩ ( SBC ) = MN P BC ( α ) ∩ ( ABC ) = QP P BC ( α ) ∩ ( SAB ) = NP P SA C Do đó: P B Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ S Giải Ta c ó SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ( α ) ⊥ AB Suy SA P( α ) Ta có SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Do đ ó ( α ) ∩ ( SAC ) = MQ , I N MQ PSA cắt AC t ại Q gọi I trung điểm AB ta có CI ⊥ AB M A Q C P I 12 B Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Suy CI P ( α ) CI ⊂ ( ABC ) Do đ ó ( α ) ∩ ( ABC ) = QP , QP PCI cắt AB P Ta có SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) P ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) suy PN = ( α ) ∩ ( SAB ) với PN PSA , PN cắt SB N MN = ( α ) ∩ ( SBC ) Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ @ Nguyên nhân: - Hình học không gian trừu tượng nên việc nắm kỹ định lý khó khăn, trực giác không mang lại kết hình học phẳng mà đánh lừa người giải toán họ thể sai hình vẽ - HS dựa nhiều vào kiến thưc hình học phẳng, thản nhiên áp dụng cách tùy ý cách suy diễn từ hình học phẳng sang hình học không gian @ Khắc phục: - Giúp HS nắm vững định lý SGK cách vận dụng vào giải tập Việc vận dụng định lý, hệ vào giải phải hiểu định lý, hệ thuộc quan hệ song song hay quan hệ vuông góc, phát biểu xác hệ định lý - Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều có lợi để áp dụng định lý - Phân dạng tập thiết diện Mỗi dạng thường vận dụng định lý, hệ nào,… Khó khăn hiểu nhầm khái niệm, dẫn tới bế tắc có lời giải sai Các khái niệm mà học sinh không nắm vững dẫn tới việc thể thiếu kiện toán, đưa khái niệm sai Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mặt bên hợp với đáy góc α Hãy xác định thiết diện tạo nên mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh BC với mặt bên hình chóp Phân tích: trực giác cho HS thấy mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh BC ¼ SCD ¼ S phải chứa hai đường phân giác góc SBA N HS tiến hành giải sau: Trong mp (SAB) ta dựng đường phân giác BM ¼ cắt SA M góc SBA Ta có: ( α ) ∩ ( SAB ) = BM C Trong mặt phẳng (SAD) dựng đường ¼ phân giác góc SCD cắt SD N ( α ) ∩ ( SCD ) = CN D M 13 B A Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm ( α ) ∩ ( SAD ) = MN ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC Vậy thiết diện cần tìm tứ giác BCNM Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: học sinh không hiểu mặt phẳng phân giác góc nhị diện gì, định nghĩa góc hai mặt phẳng Giải: Gọi ( P ) mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh BC , ( P ) qua BC ( α ) ∩ ( ABCD ) = BC S Dựng trung điểm I, J cạnh BC BD Ta có: SI ⊥ BC ( tam giác SBC cân S ) IJ ⊥ BC » góc phẳng nhị diện cạnh BC Do SIJ » cắt SJ K Dựng phân giác IK góc SIJ Vậy ( P ) ≡ ( BC , IK ) N K C Ta có: BC P AD, BC ⊂ ( P ) , AD ⊂ ( SAD ) D M K ∈ ( P ) ∩ ( SAD ) Do MN = ( P ) ∩ ( SAD ) MN P AD, MN P BC với MN qua K cắt SA, SD M N MB = ( P ) ∩ ( SAB ) NC = ( P ) ∩ ( SCD ) I J B A Vậy thiết diện cần tìm tứ giác BCNM @ Nguyên nhân: không nắm khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác để hình thành khái niệm sở hình học phẳng… @ Khắc phục: - Giúp học sinh nắm vững khái niệm, định nghĩa chẳng hạn: góc hai mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng… - Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc hai mặt S phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,… S CÁC KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIẾT DIỆN a) Rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình xác, giúp cho em cao khả tư tưởng tượng hình học không gian chẳng hạn ví dụ sau: B - Nếu đáy tứ giác lồi tùy ý, ta vẽ hình thường dùng là: D A 14 B C A D C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm - Nếu đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông: S A D B S - C Nếu đáy hình thang: A D B C Hay cho em biết thiết diện tứ diện ngũ giác, tứ diện có bốn mặt, thiết diện tứ diện không thiết tứ giác … Ví dụ 1: Chẳng hạn ví dụ 2, mà ta xét sau 15 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm b) Nâng cao kỹ giải toán tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thực chất toán tìm giao tuyến hai mặt phẳng tìm hai điểm chung hai mặt phẳng, giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung Chú ý giúp học sinh hiểu định lý : “Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng đó” + Trường hợp: đề cho sẵn hai điểm chung hai mặt phẳng ta cần dựng giao tuyến đường thẳng qua hai điểm + Trường hợp đề cho điểm chung hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao tuyến sau: cách 1: dựng thêm điểm chung khác cách kéo dài đường thẳng cắt thuộc hai mặt phẳng Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, K điểm AB, AD BC cho MN không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MNK) Giải: A Ta có: ( MNK ) ∩ ( ABC ) = MK M ( MNK ) ∩ ( ABD ) = MN Trong mặt phẳng ( ABD ) dựng MN cắt BD I N ta ( MNK ) ∩ ( ABC ) = IK , IK cắt DC P ( MNK ) ∩ ( ADC ) = NP D I B Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPK P K C Cách 2: từ điểm chung có ta sử dụng định lý quan hệ song song để tìm quan hệ giao tuyến với đường thẳng có mà ta dựng đường giao tuyến Chẳng hạn sử dụng hệ quả: “nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” 16 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I , J lầm lượt trọng tâm tam giác ∆SAB tam giác ∆SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( IJM ) Trong mặt phẳng ( SLN ) ta có SJ SI = = IJ P LN JL IN IJ ⊂ ( JIM ) , NL ⊂ ( ABCD ) S M ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Suy Mt ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) Mt cắt AD, BC T W ta được: MW ∈ ( JIM ) ∩ ( ABCD ) TJ = ( JIM ) ∩ ( SAD ) V T U J D I A L Trong mặt phẳng ( SAD ) dựng JT cắt SA, SD U V M X UI = ( JIM ) ∩ ( SAB ) , Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng UI cắt SB X C N W Ta có XW = ( JIM ) ∩ ( SBC ) B MV = ( JIM ) ∩ ( SCD ) , thiết diện cần tìm ngũ giác UVMWX c) Rèn luyện cho học sinh kỹ có phương pháp giải dạng toán toán A thiết diện (trình bày mục 1) d) Rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích dự đoán trường hợp xảy yêu cầu toán giải toán thiết diện Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm cạnh AC, BC Trong tam H Tìm thiết diện tứ giác BCD lấy điểm M cho hai đường thẳng KM CD cắt B diện với mặt phẳng (HKM) D Giải Gọi P = KM ∩ CD Ta có hai trường hợp: M K 17 C P Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Trường hợp 1: Điểm P thuộc đoạn CD Khi ta được: ( HKM ) ∩ ( BCD ) = KP ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HP ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH Do đó, thiết diện cần tìm ∆HKP A Trường hợp 2: điểm P đoạn CD Khi đó: Gọi I = KM ∩ BD N ( HKM ) ∩ ( ABC ) = KH ( HKM ) ∩ ( BCD ) = KI B H I Trong mặt phẳng (ACD) dựng HP cắt AD N Khi : K ( HKM ) ∩ ( ACD ) = HN D M C ( HKM ) ∩ ( ABD ) = NI P Vậy thiết diện tứ giác KHNI Ví dụ 5: Cho tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm tùy ý cạnh AC, ( α ) mặt phẳng qua M vuông góc với AC Tùy theo vị trí điểm M cạnh AC, có nhận xét thiết diện tạo ( α ) với tứ diện S.ABC Giải Gọi E trung điểm AC, ta có BE ⊥ AC Do đó, ta cần xét hai trường hợp khác vị rí M cạnh AC ta giả sử dựng SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC 18 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Trường hợp 1: M thuộc CE Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC ( α ) ⊥ AC Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC N S Do ( α ) ∩ ( SAC ) = MN Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta có: N ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE Mx cắt BC P Do ( α ) ∩ ( ABC ) = MP E A M ( α ) ∩ ( SBC ) = NP C Vậy thiết diện cần tìm tam giác vuông MNP vuông M Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm E) P Gọi E trung điểm AC, ta có BE ⊥ AC B Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AC ( α ) ⊥ AC Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAC ) M ∈ ( α ) ∩ ( SAC ) S Vậy ( α ) ∩ ( SAC ) = Mt P SA , Mt cắt SC P P Do ( α ) ∩ ( SAC ) = MP Ta có BE ⊥ AC nên tương tự ta có: ( α ) ∩ ( ABC ) = Mx P BE Mx cắt AB N Do ( α ) ∩ ( ABC ) = MN Q A M Do đó: SA P ( α ) , SA ⊂ ( SAB ) N ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) E C N 19 B Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Vậy ( α ) ∩ ( SAB ) = Ny P SA , My cắt SB Q Do ( α ) ∩ ( SAB ) = NQ ( α ) ∩ ( SBC ) = QP Như vậy, trường hợp ta thiết diện hình thang vuông MNQP ( vuông M N) d) Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm đoạn giao tuyến thông qua việc dựng thêm chi tiết ( điểm, đoạn thẳng, mặt phẳng ) hình vẽ Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SD OC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng ( MNP ) Với mặt hình chóp Ta có MN P BD mà MN ⊂ ( MNP ) , BD ⊂ ( ABCD ) P ∈ ( MNP ) ∩ ( ABCD ) S K Nên ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = Pt với Pt P MN , Pt P BD Trong mặt phẳng ( ABCD ) N dựng M Pt P BD cắt AB, BC , CD T , L, Q Vậy ( MNP ) ∩ ( ABCD ) = LQ A D Trong mặt phẳng ( SAB ) nối KM cắt O Q SA M ta được: ( MNP ) ∩ ( SAB ) = MK B T ( MNP ) ∩ ( SAD ) = KN ( MNP ) ∩ ( SCD ) = NQ ( MNP ) ∩ ( SBC ) = LM Vậy thiết diện cần tìm ngũ giác MKNQL 20 L P C Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN Dạng 1:Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) qua điểm không thẳng hàng Bài : Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M,N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (AMN) Bài : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình bình hành Gọi M, N,P, trung điểm SA, BC, CD Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB AC, E điểm cạnh CD với ED = EC F điểm cạnh BD cho EF // BC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNE) tứ diện ABCD Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên cạnh đáy a.Gọi M, N, P trung điểm AB, AD SC a) Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) b) Tìm diện tích thết diện c) Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương ( tức hai phần tích nhau) Dạng : Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) qua đường thẳng a song song với đường thẳng b ( a b chéo nhau) Bài : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, CD cho điểm M, N Gọi (P) qua MN song song với AD XÁc định thiết diện (P) tứ diện (ABCD) Bài : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N hai điểm lấy cạnh AB CD Gọi (P) mặt phẳng qua MN song song với SA Tìm thiết diện (P) hình chóp S.ABCD Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm lấy BD AC, (P) mặt phẳng qua MN song song với AD.Tìm thiết diện tứ diện mặt phẳng Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung đểm AB N điểm thuộc BC Gọi (P) mặt phẳng qua MN song song với SD Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) Dạng 3: Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) qua điểm song song với hai đường thảng cho trước 21 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi, O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua O, song song với AB SC Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB song song với BD SA Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD O giao điểm AC BD, M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng (P) vói hình chóp S.ABCD (P) qua M đồng thời song song với SC AD Dạng 4: Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng cho trước: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy hình thang ABCD có AD song song với BC, AD =2BC Gọi E trung điểm AD O giao điểm AC BE I điểm di động cạnh AC khác với A C Qua I, ta vẽ mặt phẳng (P) song song với (SBE) Tìm thiết diện tạo (P) hình chóp S.ABCD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD Gọi I điểm di động đoạn AC với AI = x(0 < x < a ) Lấy (P) mặt phắng qua I song song với mặt phẳng (SBD) a) Xác định thiết diện mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD b) Tìm diện tích S thiết diện câu a) theo a, b, x Tìm x để S lớn Bài 3: Cho tứ diện SABC cạnh A Gọi I trung điểm đoạn AB, M điểm di động đoạn AI Qua M vẽ mặt phẳng (P) song song với (SIC) Tìm thiết diện tạo ((P) SABC Dạng 5: Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) qua điểm M cho trước vuông góc với đường thẳng d cho trước Bài 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) (Q) có giao tuyến ∆ Lấy A, B thuộc ∆ lấy C ∈ ( P ) , D ∈ ( Q ) cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB AB = AC = BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt bới mặt phẳng ( α ) qua điểm A vuông góc với CD Tính diện tích thiết diện AC = AB = BD = a Bài 2: Cho tứ diện SABC có đáy tam giác cạnh SA vuong góc với mặt phẳng ABC Gọi (P) mặt phẳng qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC cắt mặt phẳng (P) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M điểm cạnh AB (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD mặt phẳng (P) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA vuông góc với mặt (ABCD) Gọi O giao điểm AC BD Mặt phẳng (P) mặt phẳng qua O vuông gốc với AD Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD mặt phẳng (P) 22 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, ABC tam giác vuông A, với AB = a, ·ABC = 600 Cạnh SC = a vuông góc với (ABC) a) Tìm thiết diện qua M ∈ SA vuông góc SA b) Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện c) Vẽ đường biểu diễn diện tích Tìm vị trí M để thiết diện đạt diện tích lớn Dạng 6: Thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q) Bai 1: Cho hình vuông ABCD cạnh A Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) A lấy điểm S Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vuông góc với mặt phẳng (SCD) Hãy xác định mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật tâm O Gọi (P) mặt phẳng qua SO vuông góc với mặt phẳng (SAD) Hãy tìm thiết diện hình chóp S.ABCD mặt phẳng (P) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vuông góc với mặt phẳng (SCD) Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (P) hình chóp S.ABCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I,J trung điểm AB CD Gọi (P) mặt phẳng qua I,J vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tìm thiết diện (P) hình chóp S.ABCD Bài 5: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên tạo với đáy góc ϕ a) Tìm thiết diện qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) b) Tìm tỉ số thể tích V1 hai phần hình chóp bị chia thiết diện nói V2 Một số toán khác Bài 1: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Hai điểm M N nằm hai cạch AD AM CN = CC ' cho Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MD NC ' MN song song với mặt phẳng ( ACB ') Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' trung điểm E,F cạnh AB, DD ' Hãy xác định thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (EFB), ( EFC ') (AFK) với K trung điểm cạnh B ' C ' Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O tâm hình lập phương a) Tìm thiết diện qua O vuông góc với đường chéo A ' C b) Chứng minh thiết diện chia hình lập phương thành hai phần tương đương 23 Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Bài 4: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M N tâm đáy ABCD mặt bên DCC ' D ' a) Tìm thiết diện tạo ( A ' MN ) b) Tìm tỉ số thể tích V1 hai phần hình lập phương bị chia thiết diện nói V2 Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a M điểm di động AB a) Tìm thiết diện tạo ( A ' MC ) Thiết diện hình b) Xác định vị trí M để thiết diện hình chữ nhật Có vị trí M để thiết diện hình vuông không? c) Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích bé tính giá trị 24