MỞ ĐẦUCơ lưu chất hay còn gọi là cơ học chất lỏng là một nhánh rẽ của môn cơ học.. Trong môn này ta đi nghiên cứu các đặc tính, diễn biến cơ học của một môi trường vất chất riêng biệt đó
Trang 1MỞ ĐẦU
Cơ lưu chất hay còn gọi là cơ học chất lỏng là một nhánh rẽ của môn cơ học Trong môn này ta đi nghiên cứu các đặc tính, diễn biến cơ học của một môi trường vất chất riêng biệt đó là lưu chất Lưu chất là tên gọi chung của chất lỏng và khí
Trong thực tế, ta thường gặp các loại chuyển động như chuyển động của nước,dầu… trong ống, kênh, các máy thủy lực…tức là lưu chất chuyển động bên trong biên rắn; hoặc chuyển động của không khí bao quanh nhà cửa, xe hơi, máy bay hay nước bao quanh tàu thuyền,… tức là lưu chất chuyển động bên ngoài vật rắn trong cả hai trường hợp lưu chất được xem là một môi trường liên tục, phần tử lưu chất về mặt vật lí được xem là khối lượng vô cùng nhỏ, về mặt toán học vị trí của từng phần tử lưu chất là 1 điểm trong lưu chất ấy
Để có thể nghiên cứu các đặc trưng, quy luật chuyển động của dòng chảy tự do trong một không gian vô biên, trong môi trường chất lỏng, chất khí và các lực tương tác giữa chúng hay các ngành khoa học kĩ khác như: thuỷ lực học, khí động học, động lực hàng không, lí thuyết lớp biên, lí thuyết luồng, lí thuyết cánh, lí thuyết dòng xoáy,… Ngoài dựa vào kết quả giải các phương trình vi phân của chuyển động, việc thiết lập và tìm hiểu phương trình liên tục( định luật bảo toàn dòng) cũng rất quan trọng
Sau một thời gian ngắn tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề trên, nhóm chúng tôi xin trình bày một số nội dung về lý thuyết và bài tập ứng dụng việc thiết lập phương trình vi phân lien tục của lưu chất và phân tích sự chuyển động của lưu chất trong không gian
Trang 31.4 Bài tập ứng dụng:
Bài tập 1:
Chuyển động của một chất lưu được xác định bởi vectơ vận tốc:
=
Chứng tỏ chuyển động của lưu chất là liên tục
Giải:
Xét vectơ = trong hệ tọa độ Đêcac Oxyz gồm các thành phần:
ux = 5x
uy = 5y
uz = -10z
Ta có: div u = = 5 + 5 – 10 = 0
Do chuyển động của lưu chất này thỏa mãn phương trình liên tục của chất lưu không nén được nên chất lưu chuyển động liên tục
Bài tập 2:
Nước chảy trong ống rẽ nhánh:
Đoạn AB có đường kính d1 = 50 mm, đoạn BC có d2 = 75 mm, vận tốc trung bình v2 = 2m/s Đoạn ống CD có v3 = 1,5 m/s Đoạn ống CE có d4 = 30 mm Biết rằng lưu lượng chảy trong đoạn CD bằng 2 lần lưu lượng chảy trong đoạn CE
Tìm lưu lượng và vận tốc trung bình trong từng đoạn ống
Giải:
D v3
Ch
d 4
v 2
d 2
d 1
A
(2) (1)
E C
Trang 4Nước có thể xem là chất lưu không nén được Áp dụng phương trình lien tục đối với toàn dòng cho mặt cắt (1) và (2) ta có:
Q1 = Q2 = v2 = (m3/s)
Q1 = v1
v1 = = = 4,5 (m/s)
Theo giả thiết ta có Q2 = Q3 + Q4 = 3Q4
Q4 = = (m3/s)
Q3 = 2 Q4 = 2× (m3/s) Q4 = v4 v4 = = = 4,17 (m/s)
2.Phân tích chuyển động của chất lưu
2.1.Phân tích chuyển động của phần tử chất lỏng - Định lý Hemholtz :
Định lý Hemholtz :
- Trong trường hợp tổng quát , vận tốc chuyển động của lưu chất là tổng hợp của các chuyển động Mỗi chuyển động được đặc trưng bằng vận tốc tương ứng :
• Chuyển động tịnh tiến đặc trưng bằng vận tốc tịnh tiến :
z y
x u u
u ,
• Chuyển động biến dạng dài đặc trưng bằng vận tốc biến dạng dài : ε
x , ε
y , ε z
• Chuyển động biến dạng góc đặc trưng bằng vận tốc biến dạng góc : θ
x , θ
y , θ z
• Chuyển động quay đặc trưng bằng vận tốc quay : ω
x , ω
y , ω z
Trang 5- Để phân tích chuyển động của phân tử chất lưu , ta xét riêng chuyển động của hình hộp trong từng mặt phẳng
- Xét chuyển động của phần tử phẳng hình chữ nhật ABCD trong tọa độ phẳng Oxz có cạnh dx , dz
• Hình chữ nhật ABCD chuyển động tịnh tiến với vận tốc tịnh tiến ux , uz (1)
• Hình chữ nhật ABCD biến dạng dài với vận tốc biến dạng dài :
x
u x
x ∂
∂
=
ε
u z
z ∂
∂
=
ε
(2)
Cạnh AD ( BC ) bị thu ngắn lại z
u z
z
∂
∂
=
ε
< 0
Trang 6Cạnh AB ( CD ) được kéo dài ra x
u x
x ∂
∂
=
ε
> 0
• Hình chữ nhật ABCD di chuyển lệch khỏi phương ban đầu gây ra biến dạng góc
và quay :
o Biến dạng góc
Tại A , góc BAD lúc đầu vuông sau thời gian dt bị biến dạng thành góc B’’AD’’
Cạnh AD dịch chuyển 1 góc dα
thành cạnh AD’’
Cạnh AB dịch chuyển 1 góc dβ
thành cạnh AB’’
→
Tổng lượng góc biến đổi là dϕ=dα +dβ
Do góc α
và β
rất nhỏ nên
) ( α
α tg d
d ≈
;
) ( β
β tg d
d =
Ta có :
dt x
u z
u dx
BB dz
DD d
tg d tg d d
∂
∂ +
∂
∂
= +
= +
≈ +
ϕ
Do biến dạng góc xảy ra trong mặt phẳng vuông góc với trục Oy , nên vận tốc biến dạng quanh trục Oy bằng :
x
u z
u dt
d d dt
d
∂
∂ +
∂
∂
=
+
=
=
2
1 2
1 2
θ
(3)
o Quay
Trang 7Aa’ là đường phân giác của góc vuông BAD
Aa’’ là đường phân giác của góc vuông B’’AD’’
Cạnh Aa’ dịch chuyển 1 góc dϕ
thành cạnh Â’’
Vận tốc góc quay dt
dϕ
ω =
Theo hình : dα +y−dϕ =dβ + y+dψ
⇒
Góc quay :
2 1
Vận tốc quay :
∂
∂
−
∂
∂
=
−
=
x
u x
u dt
d
1 2
ω
(4)
- Tương tự ta xét chuyern động của từng phần tử phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , ta có :
• Vận tốc tịnh tiến :
z y
x u u
u , ,
• Vận tốc biến dạng dài :
z y
x ε ε
ε , ,
• Vận tốc biến dạng :
Trang 8
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
=
y
u x u
x
u z u
z
u y u
x y z
z x y
y z x
2 1 2 1 2 1
θ
θ
θ
(5)
• Vận tốc góc quay :
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u x u
x
u z u
z
u y u
x y z
z x y
y z x
2 1 2 1 2 1
ω
ω
ω
(6)
gọi là vecto xoáy
- Một chuyển động có
0
≠
ω
gọi là chuyển động xoáy
0
=
ω
gọi là chuyển động không xoáy ( chuyển động thế )
- Vậy vận tốc chuyển động của 1 phần tử lưu chất có biểu thức
− +
+ +
+
=
− +
+ +
+
=
− +
+ +
+
=
) (
) (
) (
) (
) (
) (
3
2
1
dx dy
dx dy
dz u
u
dz dx
dz dx dy
u u
dy dz
dy dz
dx u
u
y x
y x
z z z
x z
x z
y y y
z y
z y x
x x
ω ω
θ θ
ε
ω ω
θ θ
ε
ω ω
θ θ
ε
(7)
Hệ phương trình (7) biểu thị định lý Hemholtz
2.2.Bài tập ứng dụng
Bài tập 1 :
Trang 9Xét tính chất chuyển động của 1 phần tử lưu chất không nén được với vecto vận tốc :
j t y i
t
x
u=(2 +5 )+(−2 +5 )
Giải :
Để xét tính chất chuyển động của 1 phàn tử lưu chất ta áp dụng định lý Hemholtz
- Vận tốc tịnh tiến :
=
+
−
=
+
=
0
5 2
5 2
z y x
u
t y u
t x u
- Vận tốc biến dạng dài
=
−
=
∂
+
−
∂
=
∂
∂
=
=
∂
+
∂
=
∂
∂
=
0
2 ) 5 2 (
2 ) 5 2 (
z
y y
x x
y
t y y
t x x
u
ε ε
ε
⇒
Phần tử lưu chất bị kéo giãn theo phương x ( do x
ε
> 0 )
Phần tử lưu chất bị nén lại theo phương y ( do
y
ε
< 0 )
Do
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0 0 0 0 0 0
y
u x
u x
u z
u z
u y u
x y z x y z
Nên
=
=
=
=
=
=
0
0
z y x
z y x
ω ω ω
θ θ θ
Trang 10phần tử lưu chất không bị biến dạng góc và quay
Vậy phần tử lưu chất chuyển động thế với vận tốc tịnh tiến và vận tốc biến dạng dài Bài tập 2 :
Chuyển động của 1 lưu chất không nén được được xác định bởi vận tốc :
k z j
y
i
x
u=− +2 +(5− )
a-Chuyển động có hiện hữu không
b-Xét tính chất chuyển động của phần tử
Giải:
a-Phương trình liên tục trong hệ tọa độ vuông góc có dạng :
0 )
+
∂
∂ div p u
t
- Ta có :
−
=
=
−
=
) 5 (
2
z u
y u
x u
z y x
−
=
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
⇒
1 2 1
z
u y
u x u
z y x
0 1 2
1+ − =
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
z
u y
u x
u
u
Vậy chuyển động của lưu chất không nén được thỏa phương trình liên tục nên chuyển động này hiện hữu
b-Xét tính chất chuyển động của phần tử :
- Vận tốc tịnh tiến :
−
=
=
−
=
z u
y u
x u
z y x
5 2
Trang 11- Vận tốc biến dạng dài :
−
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
=
1 2 1
z u y u x u
z z
y y
x x
ε ε ε
⇒
Phần tử lưu chất bị nén lại theo phương Ox Phần tử lưu chất bị giãn ra theo phương Oy Phần tử lưu chất bị nén lại theo phương Oz
- Vận tốc góc biến dạng:
- Vận tốc quay:
Vậy phần tử lưu chất chuyển động thế