TIỂU LUẬN CƠ LƯU CHẤT

MỞ ĐẦU Cơ lưu chất hay gọi học chất lỏng nhánh rẽ môn học Trong môn ta nghiên cứu đặc tính, diễn biến học môi trường vất chất riêng biệt lưu chất Lưu chất tên gọi chung chất lỏng khí Trong thực tế, ta thường gặp loại chuyển động chuyển động nước,dầu… ống, kênh, máy thủy lực…tức lưu chất chuyển động bên biên rắn; chuyển động không khí bao quanh nhà cửa, xe hơi, máy bay hay nước bao quanh tàu thuyền,… tức lưu chất chuyển động bên vật rắn hai trường hợp lưu chất xem môi trường liên tục, phần tử lưu chất mặt vật lí xem khối lượng vô nhỏ, mặt toán học vị trí phần tử lưu chất điểm lưu chất Để nghiên cứu đặc trưng, quy luật chuyển động dòng chảy tự không gian vô biên, môi trường chất lỏng, chất khí lực tương tác chúng hay ngành khoa học kĩ khác như: thuỷ lực học, khí động học, động lực hàng không, lí thuyết lớp biên, lí thuyết luồng, lí thuyết cánh, lí thuyết dòng xoáy,… Ngoài dựa vào kết giải phương trình vi phân chuyển động, việc thiết lập tìm hiểu phương trình liên tục( định luật bảo toàn dòng) quan trọng Sau thời gian ngắn tìm hiểu nghiên cứu vấn đề trên, nhóm xin trình bày số nội dung lý thuyết tập ứng dụng việc thiết lập phương trình vi phân lien tục lưu chất phân tích chuyển động lưu chất không gian 1.4 Bài tập ứng dụng: Bài tập 1: Chuyển động chất lưu xác định vectơ vận tốc: = Chứng tỏ chuyển động lưu chất liên tục Giải: Xét vectơ = hệ tọa độ Đêcac Oxyz gồm thành phần: ux = 5x uy = 5y uz = -10z Ta có:  div u = = + – 10 = Do chuyển động lưu chất thỏa mãn phương trình liên tục chất lưu không nén nên chất lưu chuyển động liên tục Bài tập 2: D Nước chảy ống rẽ nhánh: B A d1 (1) d2 C v3 Ch (2) E v2 C d4 Đoạn AB có đường kính d1 = 50 mm, đoạn BC có d2 = 75 mm, vận tốc trung bình v2 = 2m/s Đoạn ống CD có v3 = 1,5 m/s Đoạn ống CE có d4 = 30 mm Biết lưu lượng chảy đoạn CD lần lưu lượng chảy đoạn CE Tìm lưu lượng vận tốc trung bình đoạn ống Giải: Nước xem chất lưu không nén Áp dụng phương trình lien tục toàn dòng cho mặt cắt (1) (2) ta có: Q = Q = v2 = (m3/s) Q = v1  v1 = = = 4,5 (m/s) Theo giả thiết ta có Q2 = Q3 + Q4 = 3Q4  Q4 = = (m3/s) Q3 = Q4 = 2× (m3/s) Q4 = v  v4 = = = 4,17 (m/s) 2.Phân tích chuyển động chất lưu 2.1.Phân tích chuyển động phần tử chất lỏng - Định lý Hemholtz : Định lý Hemholtz : - Trong trường hợp tổng quát , vận tốc chuyển động lưu chất tổng hợp chuyển động Mỗi chuyển động đặc trưng vận tốc tương ứng : u x , u y u z • Chuyển động tịnh tiến đặc trưng vận tốc tịnh tiến : • Chuyển động biến dạng dài đặc trưng vận tốc biến dạng dài : • Chuyển động biến dạng góc đặc trưng vận tốc biến dạng góc : • Chuyển động quay đặc trưng vận tốc quay : ω x , ω y , ω z ε x θ , x ε y , θ ε , y z , θ z - Để phân tích chuyển động phân tử chất lưu , ta xét riêng chuyển động hình hộp mặt phẳng - Xét chuyển động phần tử phẳng hình chữ nhật ABCD tọa độ phẳng Oxz có cạnh dx , dz • Hình chữ nhật ABCD chuyển động tịnh tiến với vận tốc tịnh tiến ux , uz (1) • Hình chữ nhật ABCD biến dạng dài với vận tốc biến dạng dài : εx = ∂u x ∂x εz = ; ∂u z ∂z (2) εz = Cạnh AD ( BC ) bị thu ngắn lại ∂u z ∂z 0 Hình chữ nhật ABCD di chuyển lệch khỏi phương ban đầu gây biến dạng góc quay : o Biến dạng góc Tại A , góc BAD lúc đầu vuông sau thời gian Cạnh AD dịch chuyển góc Cạnh AB dịch chuyển góc → ∂u x ∂x dα dβ Tổng lượng góc biến đổi Do góc α β nhỏ nên bị biến dạng thành góc B’’AD’’ thành cạnh AD’’ thành cạnh AB’’ dϕ = dα + dβ dα ≈ tg (dα ) dϕ = dα + dβ ≈ tg (dα ) + tg ( dβ ) = Ta có : dt ; dβ = tg (dβ ) DD' ' BB' '  ∂u x ∂u z  + = + dt dz dx  ∂z ∂x  Do biến dạng góc xảy mặt phẳng vuông góc với trục Oy , nên vận tốc biến dạng quanh trục Oy : θy = o dϕ ( dα + dβ )  ∂u x ∂u z = =  + dt dt  ∂z ∂x Quay  dt  (3) Aa’ đường phân giác góc vuông BAD Aa’’ đường phân giác góc vuông B’’AD’’ Cạnh Aa’ dịch chuyển góc ω= Vận tốc góc quay Theo hình : ⇒ dϕ thành cạnh Â’’ dϕ dt d α + y − d ϕ = d β + y + dψ dψ = Góc quay : ( dα − dβ ) ωy = Vận tốc quay : ( dα − dβ )  ∂u x ∂u z  =  −  dt  ∂x ∂x  (4) - Tương tự ta xét chuyern động phần tử phẳng mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , ta có : ux ,uy ,uz • Vận tốc tịnh tiến : • • Vận tốc biến dạng dài : Vận tốc biến dạng : ε x ,ε y ,ε z   ∂u z ∂u y + θ x =  ∂ y ∂z     ∂u x ∂u z + θ y =   ∂z ∂x    ∂u y ∂u x + θ z =  ∂ x ∂y   •          (5) Vận tốc góc quay :   ∂u z ∂u y   − ω x =  ∂ y ∂ z      ∂u x ∂u z  −  ω y =   ∂z ∂x     ∂u y ∂u x   − ω z =  ∂ x ∂ y    (6) gọi vecto xoáy - Một chuyển động có  ω≠0  ω=0 gọi chuyển động xoáy gọi chuyển động không xoáy ( chuyển động ) - Vậy vận tốc chuyển động phần tử lưu chất có biểu thức  u1x = u x + ε x dx + (θ y dz + θ z dy ) + (ω y dz − ω z dy )  u y = u y + ε y dy + (θ z dx + θ x dz ) + (ω z dx − ω x dz ) u = u + ε dz + (θ dy + θ dx ) + (ω dy − ω dx) z z x y x y  3z Hệ phương trình (7) biểu thị định lý Hemholtz 2.2.Bài tập ứng dụng Bài tập : (7) Xét tính chất chuyển động phần tử lưu chất không nén với vecto vận tốc :    u = (2 x + 5t )i + ( −2 y + 5t ) j Giải : Để xét tính chất chuyển động phàn tử lưu chất ta áp dụng định lý Hemholtz - - ⇒ Vận tốc tịnh tiến :  u x = x + 5t  u y = −2 y + 5t  u =0 z  Vận tốc biến dạng dài ∂u x ∂ ( x + 5t )  ε = = =2 x  ∂x ∂x  ∂u y ∂ ( −2 y + 5t )  = = −2 ε y = ∂y ∂y  εz =   Phần tử lưu chất bị kéo giãn theo phương x ( εx >0) εy Phần tử lưu chất bị nén lại theo phương y ( Do  ∂u z  ∂y   ∂u y  ∂z  ∂u x  ∂z  ∂u  z  ∂x  ∂u y   ∂x  ∂u x  ∂y Nên =0 =0 =0 =0 =0 =0  θx = θy = θz =  ω x = ω y = ω z =