De TSL10 toan HCM nang khieu(chuyen) 13 14(giai)

ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2013 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾUMÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút 2 Câu I: Cho phương trình: x − 4mx + m − 2m+ 1= 0(1) với m tham số a) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 phân biệt Chứng minh rằng: x1;x2 tái dấu b) Tìm m cho: x1 − x2 = 3x2 + 2y + 1= 2z ( x + 2)  Câu II: Giải hệ phương trình: 3y + 2z + 1= 2x ( y + 2)  3z + 2x + 1= 2y ( z + 2) Câu III: Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x3 + y3 ≤ x − y a) Chứng minh rằng: y ≤ x ≤ b) Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ Câu IV: Cho M = a2 + 3a+ với a số nguyên dương a) Chứng minh ước M số lẻ b) Tìm a cho M chia hết cho Với giá trò a M lũy thừa 5? µ = 600 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) Câu V: Cho ∆ABC có A tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường tròn (I) S diện tích tứ giác IEAF Tính S S theo r chứng minh SIMN ≥ ( SIMN diện tích ∆IMN ) Câu VI: Trong kỳ thi, 60 thí sinh phải giải toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh có toán mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có toán mà thí sinh không giải phải có toán khác mà thí sinh giải b) Có toán mà có 40 thí sinh giải ĐÁP ÁN Câu I: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ ∆ ' = 4m2 − m2 + 2m− 1> ⇔ 3m2 − m+ 3m− 1> ⇔ m( 3m− 1) + ( 3m− 1) > ⇔ ( 3m− 1) ( m+ 1) >    m > vàm >-1 3m− 1> vàm+ 1> m> ⇔ ⇔ ⇔   m < vàm