Phương pháp tính thể tích bằng tỉ số

Để tính tỉ số diện tích của hai tam giác, ta chuyển về tính tỉ số giữa độ dài của các cạnh đáy và đường cao.. Giả sử thể tích khối chóp S.ABCD bằng v, tính thể tích khối nón có đỉnh S và

Khai thác tỉ số trong hình học không gian cổ điển

GV: Trần Lê Quyền1, Bùi Hùng Vương2

Một trong những hướng tiếp cận và xử lí nhanh bài toán hình không gian chính là việc chú ý đến tỉ số giữa các đối tượng cùng loại Thông qua việc lập tỉ số, chúng ta chuyển bài toán ban đầu về giải quyết một bài toán đơn giản và quen thuộc hơn Ngoài ra, một số thao tác sử dụng MTCT cũng đôi lần được nhắc đến

Để tính tỉ số diện tích của hai tam giác, ta chuyển về tính tỉ số giữa độ dài của các cạnh đáy và đường cao Ý tưởng tương tự được áp dụng cho tỉ

số thể tích của hai khối chóp Sau đây là một số nhận xét đơn giản:

(1) Nếu M là trung điểm cạnh BC của ∆ABC thì ta có

SABM = SACM = 1

2.SABC (2) Nếu ABCD là một hình bình hành thì ta có

SABC = SBCD = SCDA = SDAB = 1

2.SABCD (3) Đối với hình thang ABCD mà AB k CD, ta có SACD = SBCD

(4) Đối với hình thang ABCD mà AB k CD, AB = 2CD, ta có SACD =

1

3 SABCD

(5) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

(6) Xét ∆ABC với B0, C0 lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC Khi

đó ta có

SABC

SAB0 C 0

= AB

AB0.

AC

AC0. (7) Xét hình chóp S.ABC vớiA0, B0, C0 lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

SA, SB, SC Khi đó ta có

VABC

VAB0 C 0

= SA

SA0.

SB

SB0.

SC

SC0.

1 TP HCM - 0122 667 8435

2 TP HCM - 0908 939 004

Luyện giải nhanh tự luận, trắc nghiệm Toán - Casio & tư duy là mạnh nhất!

(8) Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P ) tại I Khi

đó ta có

d(A; (P )) d(B; (P )) =

AI

BI.

Riêng với trường hợp AB k (P ) thì ta có d(A; (P )) = d(B; (P ))

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang nội tiếp đường tròn(C) tâm I, cho biết AB k CD, CD = 2AB,∠CDA = 60◦ Giả sử thể tích khối chóp S.ABCD bằng v, tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là hình tròn (C)

Giải Do hình chóp và hình nón đã cho có cùng đường cao nên tỉ số thể tích của khối chóp và khối nón bằng tỉ số diện tích của hai đáy, tức là bằng

k =

1

2 (AB + AC).AH

π.r 2

Dễ thấy tâm I là trung điểm CD, để cho đơn giản cho AB = 1 ta có

k = (1 + 2).

√ 3

2 = 3

√ 3

Vậy thể tích khối nón bằng 4π

3 √

3.v

Ví dụ 2 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =

a, SB = a √

3và(SAB) ⊥ (ABCD) GọiM, N lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, BC Tính thể tích của khối chóp S.BM DN

Giải Độ dài ba cạnh cho thấy ∆SAB vuông tạiS Kẻ SH ⊥ AB tại H ta có

SH ⊥ (ABCD) Trong ∆SAB ta có

SH.AB = SA.SB ⇒ SH =

√ 3a

2 .

Theo (1), VBM DN = 12.VABCD, trong khi VABCD = 1

3.

√ 3a

2 .(2a)

2

Ví dụ 3 (Câu 40 ĐMH) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm ×

240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2 Tính tỉ số V1

V2

Giải Vì hai thùng có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số của diện tích đáy, do đó bằng bình phương tỉ số của hai bán kính Ta có

r1= 240 2π , r2=

120 2π ⇒ V1

V2 = (

r1

r2)

2 = 4.

Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H

là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC Tính thể tích của khối chóp

S.ABH theo a

Giải Vì AB ⊥ (SM C) nên thu được SC ⊥ (AHB) Ta có theo (8)

k = VH.SAB

VC.SAB =

d(H, (SAB)) d(C, (SAB)) =

HS CS

Xema = 1, nhờAH.CS = 2.SSAC =

√ 15

2 nênAH =

√ 15

4 ⇒ SH =√SA 2 − AH 2 =

7

4 Dễ tính được VS.ABC =

√ 11

12 , kết hợp với k = 78 thu được VS.ABH = 7

√ 11

16 Kết quả tính theo a là VS.ABH = 7

√ 11

16 a3

Ví dụ 5 (Câu 38 ĐMH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng √2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4

3.a

3 Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD)

Giải Gọi H là trung điểm AD, ta có SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ (ABCD) Khi đó

h = d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 2.d(H, SCD).

Để ý rằng d(H, (SCD)) được cho bởi công thức1

1 d(H, (SCD)) 2 = 1

d(H, CD) 2 + 1

SH 2

Xem a = 1, ta có SH = 3.

4 3

√

22 = 2, d(H, CD) = HD =

√ 2

2 và X = d(H, SCD)2

là nghiệm pt

1

X =

1

4 + 2

solve

−−−→ X = 4

9.

Vậy h = 4

3.a

Ví dụ 6 Cho lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ Biết A0.ABD là hình chóp đều, tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng

(BB0D0D)

Giải Gọi H là trọng tâm của tam giác đều ABD thì ta có A0H ⊥ (ABD)

do A0.ABD là hình chóp đều Gọi E = AC ∩ BD và lấy K ∈ AC sao cho

1 Có thể tổng quát công thức này như sau: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (P ) Với ∆ là đường thẳng chứa trong (P ) sao cho H 6∈ ∆, khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S; ∆) được cho bởi:

1 d(H, (S; ∆)) 2 = 1

d(H, ∆) 2 + 1

SH 2

trong đó (S; ∆) là mặt phẳng đi qua S và chứa ∆, và chỉ có những mặt phẳng có đặc điểm như vậy mới có thể áp dụng công thức trên.

A0EKH là hình chữ nhật, ta có AO = 32.KO và EK ⊥ (ABCD) Ta có

d(A, (BB0D0D)) = d(A0, (BB0D0D)) do AA0 k (BB0D0D) Mà theo (8),

d(A, (BB0D0D) d(K, (BB 0 D 0 D) =

AO

KO =

3

2.

Tương tự bài trên, xem a = 1 và để tính d(K, (BB0D0D) ta cần có

d(K, BD) = KO = AH = 2

3.AO =

2

3.

√ 3 2

store

−−−−→ Y

Tiếp tục EK = A0H = Y tan 60◦ store−−−−→ M, solve pt

1

X =

1 M

2

+ 1 Y

2

thu được X = 14 Khoảng cách cần tìm tính theo a bằng 3

4.a

Ví dụ 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Cạnh bên

SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

Giải Gọi H là trung điểm AB, ta có SH ⊥ (ABCD) Xem a = 1 và đặt

BH = x ta có

tan 30◦ = SH

CH ⇔

√ 3

3 =

x √ 3

√

1 + x 2 ⇒ x = 1

2 √ 2

store

−−−−→ A

Với E là điểm sao cho AEBO là hình bình hành, ta có

d(SA, BD) = d(B, (SAE)) = 2.d(H, (SAE))

Ta có d(H, AE) = d(H, BD) = SABD

BD =

√ 3 3

store

−−−−→ B, vậy d(H, (SAE))2 = X

cho bởi

1

X =

1 B

2

+ √1 3A

2 solve

−−−→ X = 3

17

Vậy d(SA, BD) = 2

r

3 a

Ví dụ 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm

O Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), SA = avà M là trung điểm của cạnh SD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và BC

Giải Gọi N là trung điểm CD, ta có BC k (OM N ) nên

d(BC, OM ) = d(BC, (M N O)) = d(C, (M N O)) = 3.VM.ON C

SM N O

Trong đó, VS.ABCD = 16.VM ON C do

VS.ABCD

VM ON C =

SD

M D.

SABCD

SON C =

1

2.

1 8

vàSM N O = 14.SSBC do ∆M N O ∼ ∆CSB với tỉ số đồng dạng bằng 2 Bạn đọc hãy tự tính lấy VS.ABCD và SSBC để kết thúc bài toán

Bài tập

BT 1 Cho hình chópS.ABCD, có đáy là hình thang cân vớiBC k AD Biết

SA = a √

2, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A

√

3

2 .a

√ 3

3 .a

√ 3

4 .a

√ 3

4 .a

3

BT 2 Cho hình chóp S.ABCD có (SAC) ⊥ (ABCD) Biết B và D cách đều

(SAC) và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2 Tính thể tích V của khối tứ diện SABC

A V = 1 B V = 1

2 C V = 3

4 D V = 2

3

BT 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng 1 Tính thể tích khối tứ diện B0ABC

A 2

2

BT 4 Nếu tăng chiều dài tất cả các cạnh của một tứ diện lên 2 lần thì thể tích tứ diện tăng mấy lần?

BT 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA = SC = a

và SA ⊥ (ABC) Gọi M là trung điểm SC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MB và AC

√ 3

2 .a C √2.a D

√ 2

2 .a

BT 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn (C) tâm I Cho biết AB k CD, AB = 2CD và ∠BAD = 45◦ Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD, V0 là thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là hình tròn (C) Tính tỉ số V

V0

A 1

5π B 2

5π C 3

5π D 4

5π

BT 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,∠BAD =

60◦ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) trùng với hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AD Góc giữa SA và (ABCD) bằng 60◦, tính thể tích V của khối chóp S.AHCB

A 3

4.a

8.a

4.a

8.a

3

BT 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Cạnh bên

SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A V =

√

3

8 .a

3 B V = 2

√ 3

5 .a

3 C V = 4

√ 3

5 .a

3 D V =

√ 3

4 .a

3

BT 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =

a, SB = a √

3 và (SAB) ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng

(SAD)

A 3

√

5

5 .a B 4

√ 5

5 .a C a

BT 10 Cho hình chópS.ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiA, AB = a Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S Hai mặt phẳng(SAB)và (SAC)

cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc60◦ Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC

A d =

r

3

10.a B d = 2

√ 3

5 .a C d =

√ 3

2 .a D d = √

3.a

BT 11 Cho hình trụ (T ) và mặt phẳng (P ) cố định, hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (Q) thõa mãn:

• (Q) song song hoặc trùng với (P ) và

• (Q) chia hình trụ (T ) thành hai phần có thể tích bằng nhau,

A 1 mặt phẳng B 2 mặt phẳng C 3 mặt phẳng D 4 mặt phẳng

BT 12 Cho hình nón (N ) và đường thẳng ∆ không cùng phương với trục của hình nón (N ) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P ) thỏa mãn:

• (P ) song song hoặc chứa ∆ và

• (P ) chia hình nón (N ) thành hai phần có thể tích bằng nhau

A 1 mặt phẳng B 2 mặt phẳng C 3 mặt phẳng D 4 mặt phẳng

BT 13 Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông có độ dài cạnh bằng2a Tam giác SAB vuông tại S và (SAB) ⊥ (ABCD) Biết ∠(SC, (ABCD)) =

∠(SD, (ABCD)) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

3.a

3 D a3

BT 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Tam giác

SAB cân tại S và (SAB) ⊥ (ABCD) Cho biết góc giữa SC và mặt phẳng

(ABCD) bằng 60◦, tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

A arctan

√

15

2 B arctan

r

15

2 C arctan √

6 D arctan

r

3 4