dành cho GV $ HS ôn thi vào chuyên Toán

Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol P và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng th

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi

3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai

tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn

ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếptuyến của nửa đờng tròn

1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng EDluôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác

2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

Hết

Bài 1 ý Nội dung Điểm

1.1 (2,0 điểm)

Phơng trình đờng thẳng d 1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a +

Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d 1 và (P) là:

4 2

2

3 3

(*) 3

m m m

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:

 =  < > ⇔ < >  +

Gọi M x y là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P) Ph-0 ( ; ) 0 0

ơng trình đờng thẳng d' qua M 0 và có hệ số góc k là: y kx b= + , đờng

thẳng này đi qua M 0 nên y0 =kx0 + ⇔ =b b y0 −kx0, suy ra pt của d':

Giải các hệ phơng trình tích, tổng: 1

6

x y xy

x y xy

+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì

dờng thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng

3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By,

:

+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.

+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI 3,0

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E

là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

1 Chứng minh rằng tích OM ON

AM DNì là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng

OM ON

AM +DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH khôngphải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K

để chu vi của tam giác GHK lớn nhất

Hết

Bµi ý Néi dung §iÓm

2. 6,0

2.1 (3,0 ®iÓm)

2 2

1

x x y

OM

ED =CE ⇔ = CE

Ta cã: AMC∆ : ∆EAC v×:

x y

x y xy

Trên tia đối của tia KG lấy

điểm N sao cho KN = KH.

định), do đó ãGNH không

đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc

ã 1

4GOH

1,5

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính

của cung tròn, suy ra ∆GHK vuông tại H, do đó ãKGH =KHGã (vì lần lợt

phụ với hai góc bằng nhau) Khi đó, K là trung điểm của cung lớn ẳGH

Vậy: Chu vi của ∆GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn ẳGH 1,5

Đề 3

Bài 1: (8 điểm)

Cho phơng trình 2x2 − 2mx m+ 2 − = 2 0 (1).

4 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt

5 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoảmãn hệ thức 3 3

1 2

5 2

x +x =

6 Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị của m để nghiệm

d-ơng của phd-ơng trình đạt giá trị lớn nhất

1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó

2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.Tính diện tích của hình vuông đó

Hết

2 0 2 0

m m P

2

2 0

m m

Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:

2 2

3 0 3

1

1 13

0 2

t =− − < (loại);

2

1 13

0 2

2

9 13 2

2

x = ± −

1,0

0,5

3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam

giác ABC Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.

+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng

hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta

Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở

trên cạnh BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.

Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

Đề 4

Bài 1: (7 điểm)

3 Giải hệ phơng trình:

4 4

4 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy congái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngời songsinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong bangời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?

Bài 3: (7 điểm)

Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau

Đờng tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và

OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với 2cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4)tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các

đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

1.1 (4,0 ®iÓm)

4 4

x y

Nếu y lẻ: y= 1;3;5;7;9 ⇒y2 = 1;9; 25; 49;81 ⇒ =b 1;5;9 Khi đó 2xy có chữ

số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k phải là số chẵn khác2

Với y = 4; 6: y2 = 16;36, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k 2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là k2 ≠abbb.

Với y = 8: y 2 = 64; k2 = 100x2 + 160x+ 64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng chục của k 2 mới bằng 4, suy ra k2 = 38 2 = 1444 hoặc

2 88 2 7744

k = = (không thoả điều kiện bài toán).

Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh

Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:

+ Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh thế thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể

là C nên phải là A, do đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai

+ Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả

thiết B phải là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C (gt) nên phải là A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là

Vậy chỉ có duy nhất trờng hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai

⇔ =

+ Đờng tròn (O 2 ) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O 2 ở trên tia phân giác

của góc ãBOD , (O2 ) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở trên đờng thẳng nối 2 tâm O và O 2 , chính là giao điểm của tia phân giác

góc ãBOD với (O).

+ Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là tiếp tuyến chung của (O) và (O 2 ) Do đó (O 2 ) là đờng tròn nội tiếp

+ §êng trßn (O 4 ) cã hai trêng hîp:

2

4 2 2 1 1

b) Tr ờng hợp 2: (O' 4 ) ở bên phải (O 1 ):

Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD

tại E' và F', CD tiếp xúc với (O' 4 ) tại H.

4 2 2 1 4 2 2 '

§Ò 5

Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

3 2 và 2 3

Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2 − −1 x2 + =1 0

Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự

kiến chia lớp thành các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ

- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ

- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chínngười

Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với

nhau Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tạiđiểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn(O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) CM.CN = 2R2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn

(O, R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trênđường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

Hết Câu Nội dung – yêu cầu Điểm

0,25

⇔

x= ± = ±

(4đ) * Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,

số bạn nam được chia vào tổ là y,

0,5 0,5

* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

0,5

0,25 0,25 0,25 0,5

· ·

NMP NCD= (hai góc đồng vị)

ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

·NMP NOP= · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP· = · ; do đó, OP//MC.

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c) ∆CND: ∆COM g g( )

Nên OC CM

CN = CD hay CM.CN = OC.CD = 2R 2

d) Vì MP = OC = R không đổi.

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy

trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song

nói trên.

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5

AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định Do đó D chuyển

động trên đường tròn (A; 2R).

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

D C

O

§Ò 6

Bài 1 (2 điểm):

Cho biểu thức A = 1 - 3 + 2

x +1 x x +1 x- x +1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A

Bài 2 (2 điểm):

Cho hàm số y = - 2x + 2 có đồ thị (D) và hàm số y =-4

x có đồ thị (H)a) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (H)

b) Tìm trên (H) điểm A(xA , yA) và trên (D) điểm B(xB , yB) thoả mãn cácđiều kiện: xA+ xB = 0 và 2yA - yB = 15

Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ 2 tiếp tuyến

AE và AF đến (O) (E, F là 2 tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D(O nằm giữa A và C)

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M Tính tỷ sốdiện tích hai tam giác OAM và OFM.

c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q Chứng minh cácđường thẳng AC, EF và QM đồng qui

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2008

2007-Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

= ( )

= x- x +1

Vậy toạ độ giao điểm của (D) và (H) là (-1 ; 4) và (2 ; -2) (0,25 đ)

Vẽ hình chính xác (0,25

∆ OEA có ·OEA = 90 0 (t/c tiếp tuyến) và EI ⊥ OA

Ta có OM // AE ( ⊥ OE) nên MOA = OAE· ·

mà OAE = OAM· · Do đó MOA = OAM· ·

Suy ra ∆ OMA cân tại M ⇒ MO = MA

mà OMF = EAF = 2EAO· · ·

sin ·EAO = OE R 1 ⇒ ·EAO 0

=

c) (1,25 đ)

- Chứng minh ∆ DEQ = ∆ OFM

Suy ra: QD = OM

- Chứng minh QDMO là hình bình hành

Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = R

2 ) nên I là trung điểm của QM

Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I.

Bài 4 (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại

H Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắtnhau tại G

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC

b) ∆ABC ~ ∆AEF

c) B DˆF=C DˆE

d) H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF

Bài 5 (1đ) Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ) Giải bất phương trình 2007< 2008

HẾT

Bài 1b)

x2+7x+10 =x2+5x+2x+10

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ) (1đ)

Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là

x ≠5và x ≠2

2 2

Gợi ý đáp án Điểm

hoặc x=-8

Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG

//CH,

tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ

giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song

nên nó là hình bình hành Do đó hai đường

chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đường Vậy GH đi qua trung điểm M của

BC

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác

ABE và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

Suy ra DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia

phân giác góc EFD Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

giác DEF Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF

Gợi ý đáp án Điểm

Hoặc biểu diễn trên trục số :

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng,

hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng

HẾT

Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J

đối xứng nhau qua O M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO,

MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C Đường thẳng đi qua F song song

AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K Gọi H là trung điểm của FG

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

ĐÁP ÁN Bài 1: a) x4- x3+ -x2 11x+ =10 0.

x y

ì =ïï

Û íï =ïî

K D

H C

G E

F

B O

mà GME· =GFE· Þ ·HDE=GFE· Þ DHEF

nội tiếp được.

b) Từ câu a suy ra·DEH =·DFH

mà ·DFH=OCH· Þ OHEC nội tiếp được

Þ OEC· =OHC· =900 Vậy CE là tiếp tuyến của (O).

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30

x2 + 8y2 + 9z2 = 168Bài 3 (2 điểm):

Cho hàm số f(x) =

2 x x

1 x x 2

b) Với giá trị nào của x thì

4

3 ) x ( 2

1 < <

Bài 4 (4 điểm):

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh

BC lấy 2 điểm M và E sao cho ME = 21 BC (BM < BE) Qua M kẻđường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D Qua E kẻ đườngthẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N

a) Chứng minh: BM BH = MD HN

b) Chứng tỏ N là một điểm cố định

c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm Tính khoảng cách giữa tâmđường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tamgiác ABC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007

Môn: Toán - Lớp 9

Bài 1(2 điểm)

a) (1 điểm)

x x 10 xy 10 xy 21 y x 7 y x 3 y

=( y− 3 3x) ( y2 − 7 3x y+ 10x)

=(y− 3 3x) ( y2 − 2 3x y− 5 3x y+ 10 60x) o

(0,5 đ) =( y− 3 3x) ( y− 2 x) ( 3y− 5 x)

b) (1 điểm)

x y 0

4

3 x

2

3 x

x 2

2

0 12 3

4

3 x

x 5

12

16 3

2

5 x

4

3 x

4 ; y = 15

2 ) và ( x =121 ; y =65) Bài 2 (2 điểm)

Hoặc: x + y = 5 và x - y = 3 (4)

Từ (3) ⇒ x = 8, y = 7, các giá trị này không thỏa (2)

Từ (4) ⇒ x = 4, y = 1 Thay vào (2) ta có:

1 x x

1 1

1 x

f

− +

=

Với 1 < x 1 < x 2 thì 0 < x 1 - 1 < x 2 - 1 nên: ( )2

1 1 x

1

− > ( )2

2 1 x

1 1

1 1

1

− + hay f(x1 ) < f(x 2 ) Vậy với 1 ≤ x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 )

b) 1 điểm

f(x) > 1

2 ⇔

2 x x

1 x x 2

2 x x

1 x x 2

= 4 2

⇒ AH = 4cm Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC, thì BK là phân giác của µB và K ∈ AH.

Do đó:

5

3 BA

BH KA

8

4 8

KA KH 5

KA 3

KH = 1,5cm

KA = 2,5cm Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp ∆ ABC thì IP là đường trung trực của cạnh AB và I ∈AH nên 5 2,5( )

= ⇒cos(PAI· ) 0,8=

∆ API ( Pˆ = 90 0 ) có cos (·PAI) =APAI ⇒ · 2,5 3,125

0,8 cos( )

AP AI

a Xác định m để phương trình sau vô nghiệm

Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị Biết rằng :

a Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt

b Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp

c Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1

a Nêu cách dựng và dựng ∆ABC sao cho ·BAC 60= 0và trực tâm H của ∆ABC

b Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC

c Chứng minh ∆AOH cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0

a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A

b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thìđường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K )

c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = 3

2AK Khi A di động trên đườngtròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?

xyz 1

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ 0,5 đ Câu 3

Câu 4

(2đ)

Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1

Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1