PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN 2013

Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A)Lý Thuyết : * Vectơ phép toán vectơ không gian Oxyz: 1)Vectơ, tọa độ vectơ, tọa độ điểm, tích vô hướng hai vectơ tính chất : Được xây dựng tương tự mặt phẳng Oxy, khác mặt phẳng Oxy công thức có mặt thành phần hoành độ tung độ , không gian Oxyz công thức có mặt thành phần hoành độ tung độ cao độ Ví dụ: r r rr Trong mpOxy có a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) a.b = a1b1 + a2b2 r r rr Trong kgOxyz có a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ………… 2)Tích có hướng hai vectơ không gian ứng dụng : r r -Định nghĩa : Trong không gian Oxyz cho vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) r r r r tích có hướng vectơ vectơ kí hiệu  a; b  (hay a ∧ b ) có tọa độ : r r a a a a a a   a; b  =  ; ; ÷    b2 b3 b3 b1 b1 b2  - Tính chất r r r r r - a phương với b ⇔  a; b  = r r r r -  a; b  vuông góc với vectơ a & b r r r r -  a; b  = a b sin ϕ - Ứng dụng : + Ứng dụng 1: Kiểm tra hai vectơ phương ( không phương ) ; vectơ đồng phẳng ( không đồng phẳng ) : r r - a phương với b r r r - a; b; c đồng phẳng r r r ⇔  a; b  = r r r r ⇔  a; b  c = + Ứng dụng 2: Tính diện tích hình bình hành ; tam giác: Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -uuur uuur uuur uuur ShbhABCD =  AB; AD  ; S ∆ABC =  AB; AC  + Ứng dụng 3: Tính thể tích hình hộp ; hình tứ diện: r uuu r uuur uuuuu VABCD A'B'C ' D' =  AB; AD  A A ' r uuur uuur uuu VABCD =  AB; AC  AD * Phương trình mặt phẳng không gianOxyz 1)Trong không gian Oxyz mặt phẳng( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ); r có vet tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có phương trình là: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0(1); ( A + B + C ≠ 0) - Khai triển, (1) có dạng : Ax + By +Cz + D = (*) ; phương trình (*) gọi phương trình tổng quát mp 2) Chú ý: r - Để viết pt mặt phẳng ta thường tìm điểm M0 vec tơ pháp tuyến n áp dụng công thức (1) r r - Hai vectơ u; v không phương mà đường thẳng chứa vectơ song song r r r nằm mp (α ) n = u; v  vec tơ pháp tuyến mp (α ) - Đặc biệt mp cắt trục tọa độ điểm A(a;0;0); B(0;b;0);C(0;0;c) pt mặt phẳng(ABC) viết nhanh hơn: x y z + + = ( Pt mp theo đoạn chắn) a b c - mp (Oxy) có pt z = ; mp (Oyz) có pt x = mp (Oxz) có pt y = • Phương trình đường thẳng không gian Oxyz r 1)Đường thẳng (d) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương u = (a; b; c ) có:  x = x0 + at  2 - PTTS là:  y = y0 + bt (a + b + c > 0) ( Từ PTTS khử t có PTCT)  z = z + ct  Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -x − x0 y − y0 z − z0 = = (abc ≠ 0) -PTCT là: a b c (α1 ) : A1x+B1 y+C1z+D1 =0 (1) 2)Nếu hai mp: (α ) : A x+B2 y+C z+D =0 (2) cắt theo giao tuyến (d) điều kiện cần đủ để M(x;y;z) thuộc đường thẳng (d) tọa độ M thỏa hệ hệ gồm hai phương trình (1)&(2) (Trong số sách tham khảo, hệ gọi phương trình tổng quát đường thẳng (d), không dùng khái niệm này) 3)Chú ý : Để viết phương trình đường thẳng cần biết điểm vectơ phương(Cách 1) tìm hai điểm (Cách 2), tìm mp cắt theo giao tuyến đường thẳng (Cách 3) • Vị trí tương đối 1)Các khái niệm: - Hai số ( A1; B1; C1 ) (A2;B2;C2 ) gọi tỉ lệ với tồn số thực t ≠ cho số hạng tương ứng gấp t lần số hạng tương ứng Khái niệm sử dụng cho n số (n ≥ 2) Nếu hai số ( A1; B1; C1 ) (A2;B2;C2 ) tỉ lệ ta kí hiệu:A1 :B1 : C1 = A2 : B2 : C2 ; A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 Ví dụ: :10 :15 = 1: : 3(t = 5);0 :1: = : − 1 : −1(t = − ) 2 -Tính chất : Hai vectơ phương ⇔ hai tọa độ chúng tỉ lệ - Để xét vị trí tương đối hai đối tượng hình học ( hai mp; đt ; 1đt 1mp) ta thường dựa vào quan hệ vectơ đặc trưng chúng ( Đường thẳng đặc trưng VTCP ; mặt phẳng đặc trưng VTPT ) dựa vào số nghiệm hệ phương trình chúng để xét Ta có kết sau: 2) Vị trí tương đối mp: - Trong kg(O xyz) cho hai mp: Ta có : (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0.(1) ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.(2) A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⇔ (α ) cắt ( β ) Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -A1 B1 C1 D1 = = ≠ ⇔ (α ) // ( β ) A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 = = = ⇔ (α ) ≡ ( β ) A2 B2 C2 D2 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:  x = x0 + at  - Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số :  y = y0 + bt (1) mp (α ) có  z = z + ct  Ax + By + Cz + D = 0(2) PTTQ Để xét vị trí tương đối của(d) (α ) ta giải hệ (1) và(2) cách x;y;z theo t (1) vào(2) ta có phương trình ẩn t; phương trình có nghiệm t (d) cắt (α ) ; phương trình vô nghiệm (d)// (α ) , phương trình có nghiệm t tùy ý (d) nằm (α ) r r - Ta dựa vào VTCP u = (a; b; c ) đường thẳng(d) VTPT n = (A;B;C) mp (α ) để xét vị trí tương đối chúng sau: r r - Nếu u không vuông góc với n cắt (d) cắt (α ) r r - Nếu u vuông góc với n (d) song song nằm (α ) (Lấy M0 nằm (d) Nếu M0 ∉ (α ) (d)//(α ); M ∈ (α ) (d) nằm (α )) Vị trí tương đối hai đường thẳng: - Trong kg(O xyz) cho: ur -Đường thẳng(d1) qua điểm M1 có VTCP u1 uu r -Đường thẳng (d2) qua điểm M2 có VTCP u2 Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta sử dụng kết sau: ur uu r uuuuuur d1 ≡ d ⇔ u1 ; u2 & M 1M dôi môt phuong ur uu r ur uuuuuur r ⇔ u1 ; u2  = u1 ; M 1M  = Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -ur uu r u1 phuong u2 d1 // d ⇔  ur uuuuuuu r u1 & M 1M không phuong ur uu r r  u1 ; u2  =   ⇔  ur uuuuuuu r r  u1 ; M 1M  ≠ ur uu r u1 không phuong u2 d1 & d cat ⇔  ur uu r uuuuuuu r u1 ; u2 & M 1M dông phang ur uu r r  u1 ; u2  ≠   ⇔  ur uu r uuuuuuu r  u1 ; u2  M 1M = ur uu r uuuuuuu r d1 & d chéo ⇔ u1 ; u2 ; M 1M không dông phang ur uu r uuuuuuu r ⇔ u1 ; u2  M 1M = *Góc: 1)Góc hai đường thẳng: 2)Góc hai mặt phẳng: 3)Góc đt mặt phẳng: ur uu r cos ϕ = cos(u1 ; u2 ) ur uu r cos ϕ = cos(n1 ; n2 r r sin ϕ = cos(u; n) *Khoảng cách: 1) Khoảng cách hai điểm A( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) : AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A ) + ( z B − z A )2 2) K/cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mp (α ) : Ax + By + Cz + D = : d ( M ;(α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -r 3) Cho đường thẳng(d) qua điểm A, có VTCP u điểm M0 Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng (d) tính theo công thức: r uuuuu r u; AM d (M ; d ) = r u ur 4) Cho đường thẳng chéo : Đường thẳng (d1) qua điểm M1; có VTCP u1 uu r đường thẳng(d2) qua điểm M2; có VTCP u2 Khoảng cách hai đường thẳng tính theo công thức: uu r uu r uuuuuuu r u2 ; u2  M 1M   d (d1 ; d ) = ur uu r u1 ; u2    Chú ý: Ngoài công thức ta tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách: -Tính độ dài đoạn vuông góc chung - Tính khoảng cách từ điểm đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ - Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 5) Khoảng cách hình song song (2đt // ; 2mp // ; đt // mp) khoảng cách từ điểm hình thứ đến hình *Mặt cầu: 1) Mặt cầu có tâm I (a; b; c) ; bán kỉnh R có phương trình là: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R 2) Mọi phương trình dạng: x + y + z + Ax + By + 2Cz + D = với điều kiện : A2 + B + C − D > phương trình mặt cầu có tâm I (− A; − B; −C ) ; bán kính R = A2 + B + A2 − D 3) Giao mặt cầu mặt phẳng: - Cho mặt cầu (S) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R có tâm I (a; b; c) ; bán kính R mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Gọi H hình chiếu vuông góc I lên mp (α ) d khoảng cách từ tâm I m/c đến mp (α ) ; tức d =IH ; xảy trường hợp : −THI : d > R ⇔ (α ) ( S ) điểm chung −TH : d = R ⇔ (α ) ∩ ( S ) = { H } ( Ta nói (α ) tiếp xúc với (S) H ( Lúc H gọi tiếp điểm; (α ) gọi tiếp diện mặt cầu (S) ) −TH : d < R ⇔ giao (α ) (S) đường tròn(C) có tâm H, bán kính r = R − IH nằm mp (α ) Lúc ta có  Ax + By + Cz + D = (α )  M ∈ (α ) M ( x; y ) ∈ (C ) ⇔  ⇔ 2 2 M ∈ (S ) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ( S ) ( Hệ phương trình đường tròn (C) không gian Oxyz Để đơn giản, SGK không đưa vào khái niệm này) B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: * Dạng 1: Vec tơ, tích có hướng, tích vô hướng, ứng dụng: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;3); B( −2;3; 4); C(2; −1;0) a) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tính diện tích tam giác ABC ; suy độ dài đường cao CH tam giác b) Cho D(4; 2;-1) Chứng minh A, B, C , D đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện ; suy độ dài đường cao DK tứ diện uuur uuur uuuu r uuuu r c) Tìm điểm M nằm trục Ox cho MA + MB + MC + MD Bài : Tứ diện ABCD có: A(0;1; −1); B (2;0;1); C (2; −1;3); D ∈ Oy Biết tứ diện tích Tìm tọa độ D Bài : Tam giác ABC có A(1; 2; −1); B(2; −1;3); C ( −4;7;5) Tìm độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh B Bài 4: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(1;0;1); B (−2;1;3); C (1; 4;0) a)Tìm hệ thức liên hệ x, y, z để điểm M(x;y;z) thuộc mp(ABC) b)Tìm trực tâm H tam giác ABC c) Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Dạng 2: Cách lập phương trình mặt phẳng Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -PP: Thông thường ta tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ mp & VTPT r n = ( A; B; C ); ( A2 + B + C > 0) , phương trình mp là: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ; khai triển có PTTQ -Nếu mp cắt trục tọa độ A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c) dùng pt: x y z + + = (P/t mp theo đoạn chắn) a b c Bài :Nêu cách lập phương trình mp (α ) trường hợp sau Ở trường hợp cho ví dụ cụ thể giải a) Qua điểm b) Qua điểm chứa đường thẳng c) Qua điểm vuông góc với đường thẳng d) Qua điểm vuông góc với mp e) Qua điểm song song với 2đt f) Qua điểm vuông góc với mp g) Chứa đường thẳng vuông góc với 1mp h) Chứa đt song song với đt.( Hai đt chéo nhau) i) Qua giao tuyến mp thỏa điều kiện sau: I) Qua điểm 2) Vuông góc với mp * Dạng 3: Cách lập phương trình đường thẳng PP:Thông thường dùng cách: Cách 1: Tìm điểm VTCP, suy PTTS PTCT(nếu có) Cách 2: Tìm điểm thuộc đường thẳng, đưa Cách Cách 3:Tìm phương trình mặt phẳng cắt theo giao tuyến đường thẳng cần lập phương trình, từ phương trình cho biến t, tính biến lại theo t, ta có PTTS đường thẳng Bài 6: Nêu cách lập phương trình đường thảng (d) trường hợp sau Ở trường hợp cho ví dụ cụ thể giải: a) Qua điểm biết vec tơ phương ( song song với 1đt) b) Qua điểm c) Qua điểm vuông góc với mặt phẳng ( Từ tìm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng cho) d) Qua điểm; cắt vuông góc với đường thẳng ( Từ tìm hình chiếu vuông góc điểm lên đường thẳng điểm đối xứng điểm qua đường thẳng cho) Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -e) Qua điểm; cắt đường thẳng vuông góc với 1đt f) Là hình chiếu vuông góc 1đt lên mp g) Qua giao điểm đt mp ; nằm mặt phẳng cho vuông góc với đt cho h) Cắt 2đt chéo song song với đường thẳng thứ3 i) Nằm 1mp cắt đt ( Hai đt cắt mp tai điểm khác nhau) k) Là đường vuông góc chung đt chéo ( cách) *Dạng 4: Cách lập phương trình nặt cầu toán liên quan PP: -Thường tìm tâm I(a;b;c)& bán kính R, phương trình mặt cầu là: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R - Đối với mặt cầu qua điểm ta thường thay tọa độ điểm vào phương trình dạng x + y + z + Ax + By + 2Cz + D = , có hệ ẩn A,B,C,D Giải hệ tìm A,B,C,D Bài 7: Viết phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a)Biết tâm I(1;-2;3) bán kính R = ; b)Biết tâm I(-1;-2;5) qua điểm M(2;4;-6); c)Có đường kính AB với A(4;-2;3); B(3;-6;0); d)Tâm gốc tọa độ tiếp xúc với mặt phẳng : 2x + y - 2z = ;(hoặc đt (d):x = 2t ;y = t + ; z = – t) e)Qua điểm A(1;1;0); B(3;1;-1); C(1;1;2); D(1;-1;2) f)Qua điểm A(-2;4;1); B(3;1;-3); C(-5;0;0) có tâm nằm mặt phẳng : 2x + y – z+3=0; g)Qua điểm A(1;2;0) tiếp xúc với mặt phẳng :x – 2y – 2z + = điểm M(1;0;0); h)Có tâm nằm đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng:  x − y − + z = 0( P ) tiếp xúc với mặt phẳng :   x + y − z + = 0(Q) ( α ) : x + y − z + = 0;& ( β ) : y − = Bài 8: Lập p/trình tiếp diện mặt cầu (S): ( x + 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2 a)Biết tiếp điểm M(-1;2;6) b)Biết tiết diện song song với mặt phẳng: 3x +2y -1 = c) Biết tiết diện chứa trục Ox Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài 9: Xét vị trí tương đối mặt phẳng (α ) mặt cầu (S) trường hợp sau , chúng cắt tìm tâm, bán kính đường tròn giao tuyến : a) (S) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − ) = 4; ( α ) mặt phẳng Oxy 2 b) (S) : x + y + z − x + y − z = 86; ( α ) : x − y − z + = Bài 10: Cho A(6;-2;3) ; B(0 ;1;6); C (2 ;0;-1); D(4 ;1 ;0) a)Chứng minh A ; B ; C ;D đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện b) Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ; tìm tâm bán kính c) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 11:Cho mặt cầu(S): (x-1)2 + (y+3)2 +x2 = 25 mp ( α ): 3x – 4y -20 =0 a) Viết pt mặt cầu (S’), đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (α ) b) Viết pt mặt phẳng ( β ) song song với mặt phẳng ( (α ) cắt mặt cầu(S) theo giao tuyến là1 đường tròn có diện tích 16π C)TOÁN TỔNG HỢP, TOÁN THI: Bài 1: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz tạo với mp(Q): x + y − z = góc 600 Bài 25: Trong không gian Oxyz 2 π b)Cho A(a;0;0); B (0;0; b); C (0;0; c) , với a; b; c dương thỏa a + b + c = a)Lập pt mp (P) qua M (0;0;1); N (3;0;0) tạo với mp(Oxy) góc Xác định a, b, c cho khoảng cách từ O đến mp(ABC) lớn x = + t  Bài : (d ) :  y = − t  z = 2t   x = − 2t  ; (d ') :  y = z = t  a) C/m (d) & (d’) chéo b) Viết pt mặt phẳng cách (d)& (d’) Bài 3:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : x +1 x − z − = = −2 −3 Chứng minh (d),(d’) cắt Viết ptrình mp (α ) chứa (d), (d’) (d ') : x + y −1 z = = ; (d , ) : 10 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -2 Viết phương trình phân giác góc tạo (d), (d’) Bài :Trong Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy BCD hình thoi, AC cắt BD taị gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0;1; 0), S(0; 0;2 ) Gọi M trung điểm canh SC a) Tính góc khoảng cách đường thẳng SA, BM b) Giả sử mp ( ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích hình chóp S.ABM Bài : Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0); B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0;1) Gọi M; N trung điểm AB CD a) Tính d(A'C; MN) b) Viết p/trình mp chứa A'C tạo với mp(Oxy) góc α với cosα = Bài : Trong k/gian Oxyz cho A(0;-1;2) đường thẳng có phương trình: x y −1 z +1 (∆1 ) : = = ; −1 x = 1+ t  (∆ ) :  y = −1 − 2t z = + t  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với (∆1 ), (∆ ) b) Tìm M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ cho điểm A; M; N thẳng hàng Bài : Lập phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1)cắt đường thẳng: 5 x − y + 3z + 20 = (d ) :  hai điểm A B cho AB = 16 3 x − y + z − = Bài : Cho (S ) : x2 + y + z − x + y + z − = ; ( P ) : x − y + z − 14 = a) Viết pt mp(Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có b/kính b) Tìm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn Bài :Cho tứ diện với đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) a) Tìm độ dài đường cao hạ từ D tứ diện ABCD b) Tìm tập hợp điểm M không gian cho uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD = 11 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Viết phương trình tập hợp Bài 10 :Trong không gian O xyz cho I(2; 3; 1) đường thẳng: 5 x − y + z + 20 = (d ) :  3 x − y + z − = r a) Tìm VTCP v đường thẳng (d) Suy phương trình mp (P) qua I vuông góc (d) b) Tính khoảng cách từ I đến (d) Suy phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho (S) cắt (d) A, B thỏa AB = 10 Bài 11 : Cho ( S)0; 0; 1), A(1; 1; 0) Hai điểm M(m; 0; ), N(0; n; 0) với m, n thay đổi cho m + n m > , n > a) Chứng minh thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m, n b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SMN) Từ suy mặt phẳng(SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định Bài 12 : Trong không gian O xyz cho mặt cầu có phương trình : x2 + y2 + z2 = 2(x + 2y +3z) a) Gọi A, B, C giao điểm mặt cầu với Ox, Oy, Oz ( khác gốc O) Xác định tọa độ A, B, C lập phương trình mặt phẳng(ABC) b) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 13 : Cho mặt phẳng ( P1 ) : x − y + z − = ( P2 ) : x − y + z + = điểm A (-1; 1; 1) nằm khoảng mặt phẳng a) Chứng tỏ bán kính mặt cầu ( S) số bán kính b) Gọi I tâm mặt cầu (S) Chứng minh I thuộc đường tròn cố định Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn Bài 14 : Cho điểm A(3; 6;-2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác địh tọa độ tâm, bán kính mặt cầu c) Viết phương trình đường tròn qua điểm A, B, C Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn Bài 15 :Trong không gian O xyz Cho điểm A(2; 3; m), B(0; -1; 2) a) Viết phương trình mặt cầu (Sm) có đường kinh AB Tìm điểm cố định khác B (Sm) b) Định m để (Sm) tiếp xúc với x’Ox 12 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài 16 : Cho mặt cầu ( S1 ) : x + y + z − x + y + z = ( S ) : x + y + z + x − y + z − 10 = a) Chứng minh ( S1 ), ( S ) cắt b) Tìm phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến phương trình đường tròn giao tuyến? c) Tìm tâm , bán kính đường tròn giao tuyến Bài 17 : 1)Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Tính góc 2mp(A'CB) (A'CD) 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề vuông góc O xyz Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ;B(a; 0; 0) D( 0; a; 0), A (0; 0; b) (a > 0, b > ) Gọi M trung điểm C C’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b) Xác định tỉ số a để mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Bài 18 :1) Trong O xyz cho hình lăng trụ đứngABC, A1B1C1 Biết A( a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C( 0; 1; 0), B1(-a; 0; b) a > 0, b > a) Tính khoảng cách đường thẳng B1C AC1 theo a,b b) Cho a, b thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm a,b để khoảng cách đường thẳng B1 C A C1 lớn 2) Trong O xyz cho điểm A(2; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1) mp (P) : x + y + z – = Viết p/trình mtj cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp(P) Bài 19 :.Trong không gianO xyz Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(− 2; −1;0), B( 2; −1;0), S (0;0;3) a) Viết phương trình mp qua trung điểm M canh AB, song song với đường thẳng AD SC b) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm B vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mp (P)  x = −1 − 2t x y z  Bài 20: d1 : = = ; d :  y = t ; (α ) : x − y + z = 1 z = t +1  13 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -a) Chuwngsw minh d1 ; d chéo b) Tìm M ∈ d1 ; N ∈ d cho MN //(α ) & MN = Bài 21: A(0;1; 2); B ( −1,1, 0);( P) : x − y + = Tìm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B Bài 22 : A((−1;3;0); B(0;1; −2);( S ) : x + y + z + x − y − = Lập phương trình mp(P) qua A, B cắt (S) theo đường tròn có bán kính 77  x = −t x = t   Bài 23: d1 :  y = 3t ; d :  y = 3t Lập p/t mp(P) // với đường thẳng đồng thời z = z =   khoảng cách từ (P) đến d1 gấp lần khoảng cách từ (P) đến d Bài 24 : ( P ) : x − y − z − = 0; d : x y +1 z − = = −1 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) khoảng đồng thời (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính Bài 25 : A(1;1;0), B(0; 2;0), C (0;0;3) a) Lập pt đường phân giác AD tam giác ABC b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x =  x = + 2t   Bài 26 : d1 :  y = ; d :  y = 2t z = + t z =   a) Lập pt mặt phẳng (P) chứa d1 vuông góc với d b) Lập pt đường thẳng d cắt hai đường thẳng đồng thời tạo với (P) góc 600 Bài 27: A(2;0;1) , B(0;-2;3) , (P): 2x – y – z + = Tìm M thuộc (P) cho MA = MB = Bài28: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x - y – 4z = , A(4;4;0) Viết pt mặt phẳng OAB biết B thuộc mặt cầu (S) tam giác OAB 14 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -x −1 y +1 z −1 = = Bài29 : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) : Viết pt 2 mặt cầu (S) có tâm I cắt (d) điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vuông I Bài 30: (d1 ) : x y −1 z x−2 y −3 z +5 = = ;(d ) : = = Viết phương trình mặt 2 −1 phảng (P) chứa đường thẳng (d1) tạo với (d2) góc 300 x − y − z −1 = = mặt −2 cầu (S) có phương trình: x + y + z − x + y − z − 19 = Tìm M thuộc (d) Bài31: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) : cho mặt phẳng qua M vuông góc với (D0 cắt (S) theo đường tròn có chu vi 8π Bài 32Trong không gian xyz; cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z + x − y + z − = mặt phẳng (P) : x + y + z + = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A(8;0 − 23), nằm mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài 33:Trong không gian ) 0xyz; cho đường thẳng (d1 ) : x y −1 z −1 x −1 y −1 z − = = , (d ) : = = điểm A(1; -1; 2) Tìm tọa độ 1 −1 điểm B,C thuộc (d1), (d2) cho đường thẳng BC nằm mặt phẳng qua A đường thẳng (d1) đồng thời đường thẳng BC vuông góc với (d2) Bài 34: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) : x − y +1 z = = mp(P): −2 −1 x + y + z - = Gọi I giao điểm d (P) Tìm M thuộc (P) cho IM vuông góc với d IM = 14 Bài 35: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) : x + y −1 z + = = hai −2 điểm A(-2;1;1), B(-3;-1;2) Tìm tọa độ M thuộc d cho tam giác MAB có diện tích Bài 36: Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng 15 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -x = + t x −1 y +1 z −1  (d1 ) : = = ; (d ) :  y = 2t mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x - 2  z = −1 + 2t  y + 2z – 16 = Viết phương trình mặt phẳng song song với d1 ; d2 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8π Bài 37: Trong không gian Oxyz cho đ/thẳng (d ) : x − y −1 z −1 = = ; mp (P): x −1 −3 + y - z +1 = Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình tham số đường thẳng a nằm (P) Vuông góc với d cách I khoảng Bài38 :Trong không gian Oxyz cho A(0;2;0); B(0;0;-1) C thuộc trục Ox Viết phương trình mp(ABC) biết khoảng cách từ C đến mp(P):2x + 2y – z = x y z −1 = = 1 x −1 y +1 z −1 = = Bài39 : Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng (d1 ) : ; 2 x = t  (d ) :  y = + t , A(-1;0;1) Tìm tọa độ điểm M ∈ d1 ; N ∈ d cho  z = −2t  uuuu r uuur MN = AM AN = x −1 y − z = = ; Bài40 : Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng (d1 ) : −3 x−5 y z +5 (d ) : = = , mp (P): x -2y + 2z - = Tìm điểm M ∈ d1 ; N ∈ d −5 khoảng cách từ C đến đường thẳng đ/thẳng (d ) : cho MN song song với (P) cách (P) khoảng Bài41 : A(-1;1;0); B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A,B đồng thời khoảng cách từ C đến mp(P) Bài 42:Tam giác ABC có A(3;1;0), B thuộc mpOxy, C nằm Oz Tìm B, C cho H(2;1;1) trực tâm tam giác 16 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -x −3 y − z −6 = = Bài43 :A(-1;0;2), (P): 2x – y –z + = ; d : Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A, cắt d B, cắt (P) C cho uuur uuu r r AC + AB = Bài44 : Trong không gian Oxyz; cho hai mặt phẳng (P) : x + z -3 = 0, (Q) : y + z + =0 điểm A(1; -1; -1) Tìm toạ độ điểm M (P), N (Q) cho MN vuông góc với giao tuyến (P) (Q) đồng thời A trung điểm MN Bài45 : Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − 15 =  x = + 2t − x y +1 z −  t (d ) : = = Viết phương hai đường thẳng: (d1 ) :  y = − 1 z=3  trình mặt phẳng(P) song song với hai đường thẳng (d1 ) (d ) đồng thời cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8π Bài46 :Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y − 15 = đường thẳng :  x = 2t  (d ) :  y=4 - t Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua đường thẳng (d) đồng thời  z=3 - 2t  cắt khối cầu (S) theo hình tròn có diện tích 16π Bài47 : Trong không gian 0xyz; cho mặt phẳng (P) : 3x + 2y –z+ 4= hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I trung điểm đoạn AB Tìm toạ độ giao điểm AB với mặt phẳng(P) xác định toạ độ điểm K cho KI ⊥ mp (P) đồng thời K cách gốc toạ độ O mp(P) Bài48 : : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho ∆ABC có A(6; -2; 3), B(0; 1; 6, C(2; 0; -1) Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC Bài49 : : Trong không gian toạ độ Oxyz ; cho điểm A(2; 0; 1),B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng P : x + y + z – 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thawmngr AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài50 : Trong không gian toạ độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = hai điểm A(0; -1; -4) B(3; 2; -1) Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), qua giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB Bài51 : Trong không gian Oxyz; chop mặt phẳng (P) : x + y + z + =0 hai điểm A(3; 3; 1), B(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M đường thẳng AB ( M ≠ B ) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) Bài52 : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x −1 y −1 z −1 x y +1 z − = = (d ) : = = 2 −2 Chứng minh (d1 ) cắt (d ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng (d1 ) , (d ) tam giác cân có đỉnh giao điểm (d1 ) (d ) (d1 ) : Bài53 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho mặt phẳng (P) : x –y + 2z – = x = + t  đường thẳng (d):  y = − t z = 1− t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua d hợp với mặt phẳng (P) góc 600 Bài54 : Trong không gian 0xyz; lập phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng(P): y + 2z = cắt hai đường thẳng x = − t x −1 y z  (d1 ) : = = , (d ) :  y = + −1 z =  Bài55 : Trong không gian 0xyz; cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến mp (P) khoảng cách từ D đến mp (P) 18 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài56 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai đường thẳng x = 1+ m x =   (d1 ) :  y = −m ; (d ) :  y = −4 + n Và mặt phẳng (P) :x – y + z – = Lập z =  z = −n   phương trình tham số đường thẳng (d) cắt hai đường thẳng (d1 ) (d ) đồng thời (d) vuông góc với mặt phẳng (P) Bài57 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai đường thẳng x = 1+ m x =   (d1 ) :  y = −m ; (d ) :  y = −4 + n Và mặt phẳng (P) :x – y + z – = Tìm z =  z = −n   toạ độ điểm M ∈ (d1 ), N ∈ (d ) cho MN // mp (P) MN = Bài58 : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai điểm A(2; -3; 1), B(0; 1; -1) x = 1− t  đường thẳng (d):  y = 2t  z = −1  Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I trung điểm đoạn AB cắt đường thẳng (d) theo dây cung có độ dài = 5 Bài59 : A(2;-1;0); B(0;1;2); (P): x – 2y +2z + = Tìm C thuộc (P) cho mp(ABC) vuông góc với (P) CA = CB Bài60 : A(2;-1;0); B(0;1;2); (P): x – 2y +2z + = Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A,B hợp với (P) góc µ có sin µ = Bài61 : A(5;-1;2); B(2;2;2); C(2;-1;5) Chứng tỏ tam giác ABC Tìm D cho ABCD tứ diện Bài62 : (P): 2x – y – 5z +1 = 0, d1 : x +1 y −1 z −1 x−2 y+2 z = = = = , d2 : −2 Viết phuopwng trình tham số đường thẳng d vuông góc với (P) cắt hai đường thẳng d1 ; d 19 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài63 : Tam giác ABC có A(-1;-3;2), đường cao BH trung tuyến CM nằm đường thẳng có phương trình: d1 : d2 : x +1 y −1 z −1 = = ; x −2 y + z −5 = = Lập phương trình tham số đường thẳng chứa −3 cạnh AB & AC tam giác Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi, góc BAD 600 Gọi M trung điểm AA', N trung điểm cạnh CC' Chứng minh điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vuông Bài 64:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H hình chiếu O lên mp(ABC).1) Chứng minh tam giác ABC có góc nhọn 2) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC 3) Chứng minh 1 1 = + + 2 OH OA OB OC 4) Gọi α , β , γ góc tạo mp(ABC) với mp(OAB); (OBC); (OCA) Chứng minh: cos 2α + cos β + cos 2γ = Bài 65:Hình chóp SABCD đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= b SA = 2a SA vuông góc với đáy, M ∈ SA với AM = m (0 ≤ m ≤ 2a ) a) Mp(MBC) cắt h/chóp theo thiết diện hình gì?Tính diện tích thiết diện b) Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn c) Tìm vị trí M để mp(MBC) chia h/chóp thành phần có t/tích D) GIẢI TOÁN HHKG BÀNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Bài 22: Bằng phương pháp tọa độ , giải toán sau: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh đường chéo AC’ vuông góc với mp(AB’D’) 20 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -b) Chứng minh giao điểm đường chéo A C’ với mp (AB’D’)là trọng tâm tam giác AB’D’ c) Tính khoảng cách mp (AB’D’)và mặt phẳng(C’BD) d) Tính góc mp (DA’C) mặt phẳng(ABB’A’) Bài 55: Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' 1) C/minh A'C vuông góc với (AB'D') Tính góc ϕ mp (DA'C) (ABB'A') 2) Trên cạnh AD', DB lấy M;N thỏa AM=DN=k( (0 < k < a 2) a) Chứng minh MN ssong với (A'D'BC) b) Tìm k để MN min, chứng tỏ MN đoạn vuông góc chung AD' DB Bài 23:Cho hình hộp chữ nhật ABCD có AB = AD = a; AA ' = b Gọi M trung điểm CC’ a) Tính thể tích tứ diện BAA’M theo a & b b) Xác định tỉ số a để mặt phẳng (A’BD) ( MBD) vuông góc b E) CÁC BÀI TOÁN TRONG K/GIAN OXYZ CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Bài 26 : A(1; 4;5), B (0;3;1), C (2; −1;0) & ( P) : x − y − z − 15 = Tìm M thuộc (P) cho MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 27 : (d) giao tuyến mp x + y − = & y + z − = (d’):  x = + 3t  y = 2+t  z = −1 + 2t  a) C/m (d) & (d’) chéo b) Tính d(d;d’) c) A;B điểm cố định d có AB= 117 ; C di động d’ Tìm giă trị nhỏ diện tích tam giác ABC Bài 30 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) đường thẳng (d) : x +1 y − z − = = −2 a)Chứng minh đường thẳng (d) đường thẳng AB đồng phẳng 21 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -b)Tìm điểm I thuộc (d) cho IA+IB nhỏ Bài 31 :Cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z + = P(3;1;0), Q(-9;4;9) Tìm M thuộc mp ( α ) cho MP − MQ đạt giá trị lớn Bài 32 : Trong không gian Oxyz cho A(2;3;0) , B( 0; − 2;0 )và đường thẳng x = t  ∆ :y = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ∆ ) cho MA + MB lớn z = − t  Bài 33 :Cho điểm A(-1;3;-2), B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x – y + z + =0 Tìm điểm K thuộc mp (P)sao cho KA + KB lớn Bài 34 :Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4)và phương trình mặt phẳng : ( α ) : x − y + 2z + = a) Tìm hình chiếu H A lên mp ( α ) b) Tìm I thuộc mp ( α ) cho IA + IB lớn Bài 51: A(2;5;3) (d ) : x −1 y z − = = 2 a)Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A d b)Lập pt mp(P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Bài 62:Trong không gian xyz; cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài canhj1 A (0;0;0).B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa CD1 tạo với mặt phẳng (BB1DD1) góc có số đo nhỏ  x = + 2t  Bài :A(10;2;-1), d :  y = t Viết phương trình mp(P) chứa d đồng thời khoảng  z = + 3t  cách từ A đến (P) lớn Bài : Trong không gian toạ độ 0xyz; cho hai điểmA(2; -3; 1), B(0; 1; -1) đường x = 1− t  thẳng (d ) :  y = 2t  z = −1  22 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Tìm toạ độ M ∈ ( d ) cho ∆MAB có diện tích nhỏ Bài : Trong không gian 0xyz; cho mặt phẳng (P) x + y +z + = hai điểm A(3; 3; 1), B(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) mà điểm d cách hai điểm A B Khi đó, tìm toạ độ đỉnh C đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ Bài : (P): x + y +z +3 = ; A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2;) Tìm M thuộc mp(P) cho uuur uuur uuuu r MA + MB + 3MC nhỏ Bài: Viết pt mp(Q) qua đường thẳng d : – 2y + 2z +1 = góc nhỏ Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: Bài: x −1 y − z −1 = = tạo với mp(P): x −2 23 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian ... B(-3;-1;2) Tìm tọa độ M thuộc d cho tam giác MAB có diện tích Bài 36: Trong không gian Oxyz cho hai đ/thẳng 15 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô... với mặt phẳng (P) 17 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ không gian Luyện thi đại học môn Toán 2013 GV: Ngô Khánh -Bài50 : Trong không gian toạ độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) : 2x... BÀNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Bài 22: Bằng phương pháp tọa độ , giải toán sau: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh đường chéo AC’ vuông góc với mp(AB’D’) 20 Chuyên đề: Phương pháp tọa