Gọi C là điểm chớnh giữa cung AB.. Gọi M là điểm di động trờn cung BC, dõy AM cắt OC ở E.Chứng minh tõm I của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OME luụn thuộc đoạn thẳng cố định.. Giải Ta c
Trang 1I
F
H
P E
C B
A
Tôi mới làm đợc chừng này thôi cung cấp cho các bạn cùng tham khảo
TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H èNH HỌC 9
Bài 1: Cho một đường trũn (O) đường kớnh AB Gọi C là điểm chớnh giữa cung AB.
Gọi M là điểm di động trờn cung BC, dõy AM cắt OC ở E.Chứng minh tõm I của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OME luụn thuộc đoạn thẳng cố định
Giải
Ta có tứ giác BMEO nội tiếp đờng tròn tâm I là trung điểm
của EB
I thuộc trung trực của OB
I thuộc đoạn HK cố định
Bài 2: Cho tam giỏc ABC nhọn cú trực tõm H Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC.
Cỏc đường phõn giỏc gúc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng
Giải
Ta có:
90 0
PBC PCB ABH AHB AHC
ABH BAC
=> BPC = 900
=> PF = FC = BF
=> PFB = 2PCF = ACB + HCK (1)
Gọi I là trung điểm của BH => FI // HC
=> IFB = HCK (2)
=> EI //AB ; EI = 1
2AB
Ta có: ABK ~ CHK => EI AB AK
IF HC CK => EIF ~ AKC (G.C.G)
=> EIF = ACK (3)
từ (2) (3) => EFB = ACB + HCK Kết hợp (1) => EFB = PFB =>
F, P, E Thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O),H là trực tõm của
tam giỏc ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC
a) Chứng minh E thuộc đường trũn (O)
b) Gọi I là giao điểm của hai đường phõn giỏc trong của tam giỏc ABC và D là điểm đối xứng của I qua BC Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để D thuộc đường trũn (O)
Giải
a) Do H đối xứng E qua BC
=> BEC = BHC = 1800 - BAC
=> BEC + BAC = 1800
=> E thuộc đờng tròn tâm O
b) Gọi D đối xứng với I qua BC; D thuộc đờng tròn tâm O
<=> BHE =BEH ; EHI = HED => BHI = BED
ICB =BCD Mà BCD + BED = 1800
E
I M
O
K
H C
B A
D
O I H
E
C B
A
Trang 2M
O I
F
H P
E
C B
A
O'
R
Q
M O
H
P
O'
R
Q N
M
O
K I
H
P
=>BHI +ICB = 1800 => tứ giác BHIC nội tiếp
=> BHC =BIC => 180-0 - Â = 900 + Â/2 <=> Â = 600
Bài 4: Cỏc đường cao AH, BE,CF của tam giỏc nhọn ABC cắt đường trũn ngoại tiếp
tam giỏc đú tại cỏc điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :
a) AM BN CP + + = 4
AH BE CF
b) HA.HM + BE.EN + FC.FK1 (AB + AC + BC ) 2 2 2
4
Giải
a)Ta có: IH = MH ; IE = EN ; FI = FP
=> AM BN CP 3 HI IE FI
AH BE CF AH BEFC
= 3+ BIC
ABC
S
S S
S S
b) AH.HM = BH.HC
2 4
BC (1)
BE.EN = AE.EC
2 4
AC (2)
CF.FP = AF.FB
2 4
AB
(3) Cộng => dpcm Dấu bằng xảy ra <=> ABC là tam giác đều
Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường trũn tiếp xỳc trong tại M Đường tiếp tuyến với
đường trũn bờn trong tại P cắt đường trũn bờn ngoài tại Q và R.Chứng minh :
QMP = RMP
Giải
Dễ có O’P // OH
mà O’P QR OH QR
H là điểm chính giữa của cung QR
QMP = PMR
Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung
PQ (gần N hơn )của hai đường trũn.P (O);Q (O') PN cắt đường trũn (O’) tại
R.Chứng minh:
a) MQ là phõn giỏc PMR
b) Diện tớch hai tam giỏc MNP và MNQ bằng nhau
c) OMO' = 2PMQ
Giải
a) MQP = MNR=NPM+NMP
=NPM+NPQ=MPQ
Lại có: MQP = MRQ (= 1/2 sđ cung MQ)
PMQ = AMR
Trang 3MG lµ ph©n giac cña PMR
b)PI2 = QI2 = IM.IN PI=QI
SMPN = SMNQ
a) N, H, K,th¼ng hµng MHN MPN
MKN NRM
OMO’=PMR=2PMQ