Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6

Cỏc chuyờn ụn thi HSG CC BI TON Cể CH S GING NHAU Lý thuyt: Cu to s cú ch s ging nhau: Ta cú: 101 102 11 = 103 111 = 1= k 111 = k k 999 1000 10 k = = 9 Cỏc ch s 2, 22, 222, cú vit thnh: ì 101 102 10n = 2; ì = 22; ; ì = 22 9 V cỏc s khỏc cng cú th vit theo quy tc trờn: Bi tp: Bi 1: Cho s t nhiờn n cú k ch s Chng t tng cỏc ch s ca s n2 l 9k Gii: Ta vit N = 999 = 9(111 1) = k 10k = 10k Tớnh ch s ca N2 theo cụng thc: N = N N = (999 9).(10k 1) = 999 9000 999 = 999 98000 01 k k k k k Vy tng cỏc ch s l: 9(k 1) + + = 9k Bi 2: Cho cỏc s 49, 4489, 444889, , l s ta vit thờm s 48 vo gia cỏc ch s ca s 49, chng t rng tt c cỏc s vit theo quy tc nh vy l bỡnh phng ca s t nhin Gii: Ta it cỏc s di dng: 49 = 4.1.101 + 8.1 + 1;4489 = 4.11.102 + 8.11 + 1;444889 = 4.111.103 + 8.111 + V c th, c th N = 444 488 89 = 4.111 1.10n + 8.111 + n M 11 11 = n n n n 2.10 n + 10n 4 8 nờn: N = (10n 1).10n + (10n 1) + = 102 n 10n + 10n + = 9 9 9 S 2.10n + chia ht cho 3, vy chng t N l bỡnh phng ca s t nhiờn Phm Bỏ Qunh Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG Bi 3: Cho s A(n) v B(n) vi 2n ch s v n ch s Cú th hay khụng A(n) B(n) l bỡnh phng ca s t nhin? Gii: Ta cú: A(n) B(n) = 111 222 vi 222 = 2n nờn: A(n) B(n) = A(n) B(n) = n n 10n 102 n v 111 = , 9 2n 102 n 10n (10 n 1)(10n + 1) 10n (10n 1)[(10n + 1) 2] (10n 1) 2 = = = 9 9 9 (10n 1)2 32 Vy A(n) B( n) s chớnh phng Bi : Tớnh giỏ tr ca B= (999.999.999) Gii: Ta vit 109 18 (999.999.999) = = 10 2.10 + = 1000 2000 + = (999.999.999) = 999 98000 01 18 8 Bi 5: Cho s A = 666 v s B = 333 Tớnh A B ? 666 666 Gii: Ta cú A = 666 = 6.111 v B = 333 = 3.111 = 666 666 666 666 10666 , Vy AB = 3.6.(111 1) 10666 AB = 2.(111 1)(10666 1) AB = (222 2)(10666 1) AB = (222 2).10666 222 AB = 222 2000 222 AB = 222 21777 78 666 666 666 665 665 tớch AB:- cú mt s 1;- cú mt s 8;- cú 665 s 2;- cú 665 s Bi 6: Tớnh tng : + 22 + + 222 s hng cui cựng cú n ch s Bi 7: Chng minh rng : 111 = 222 + (333 3)2 2n n n Bi 8: Chng minh rng 111 chia ht cho 41 nu n chia ht cho n Bi 9: Cú th hay khụng cỏc s : 11,111,1111,11111, cú mt s l s chớnh phng Bi 10: Cú th hay khụng cỏc : 1111,111111, , ủú cú chn ch s 1, l hp s Bai 11 Chứng minh số sau viết đợc thành tích hai số tự nhiên liên tiếp: a) 111222 ; b) 444222 Bài 12 Tìm kết phép nhân a) A = 33 3.99 b) B = 33 3.33 2005 c s 2005 c s 2005 c s Phm Bỏ Qunh 2005 c s Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG Chuyên đề 3: luỹ thừa với số mũ tự nhiên Phơng pháp tìm số tận luỹ thừa Chú ý: a./ Các số có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0, 1, 5, b./ Các số có tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa có tận c./ Các số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa có tận d./ Số a a4n+1 có chữ số tận giống ( n, a N , a ) 2./ Phơng pháp Để giải toán tìm chữ số tận luỹ thừa ta tìm cách đa số luỹ thừa dạng đặc biệt đa số mũ dạng đặc biệt đ biết cách tính theo phần ý Tìm chữ số tận tích: +Tích số lẽ số lẽ + Tích số chẵn với số số tự nhiên số chẵn - Tìm chữ số tận luỹ thừa + Các số tự nhiên có tận 0,1,5,6 nâng lên luỹ thừa (khác 0) giữ nguyên chữ số tận + Các số tự nhiên tận chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) có tận .24n = ; 44n = ; 84n = + Các số tự nhiên tận chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) có tận .34n = ; 74n = ; 94n = - Một số phơng tận 2,3,7,8 Trng hp : Nu a chn thỡ x = am 2m Gi n l s t nhiờn cho an - 25 Vit m = pn + q (p ; q N), ủú q l s nh nht ủ aq ta cú :x = am = aq(apn - 1) + aq Vỡ an - 25 => apn - 25 Mt khỏc, (4, 25) = nờn aq(apn - 1) 100 Vy hai ch s tn cựng ca am cng chớnh l hai ch s tn cựng ca aq Tip theo, ta tỡm hai ch s tn cựng ca aq Trng hp : Nu a l, gi n l s t nhiờn cho an - 100 Vit m = un + v (u ; v N, v < n) ta cú : x = am = av(aun - 1) + av Vỡ an - 100 => aun - 100 Vy hai ch s tn cựng ca am cng chớnh l hai ch s tn cựng ca av Tip theo, ta tỡm hai ch s tn cựng ca av Tớnh cht : Nu a N v (a, 5) = thỡ a20 - 25 VD1: Tìm chữ số tận 6195 ; 5151 ; 21000 ; 99 99 Phm Bỏ Qunh 08 Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng d: a/ Khái niệm: Trong ý d./ phần ta nói a đồng d với a4n+1 theo modun 10 (là hai số có số d chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d với số tự nhiên b theo modun m (m 0) a b chia cho m có số d Ký hiệu a b( mod m ) với a, b, m N m (1) Khi a m ta viết a (mod m ) Hệ thức (1 ) đợc gọi đồng d thức b/ Một số tính chất đồng d thức Nếu a b(mod m) c d (mod m) thì: a + c b + d (mod m) a.c b.d (mod m) a n b n (mod m) a c b d (mod m) Các tính chất đợc áp dụng cho nhiều đồng d thức modun c/ Ví dụ: VD1 Tìm số d 3100 cho 13 Tìm số d phép chia tìm số tự nhiên nhỏ 13 đồng d với 3100 theo modun 13 33 100 99 Ta có = 3.3 = 3.(3 ) Vì 33 = 27 = 13 +1, nên 33 1(mod 13) (33)33 133 (mod 13) hay 399 1(mod 13) (mod 13) 399 (mod 13) nên 3100 (mod 13) Vậy 3100 chia cho 13 có số d VD Chứng minh 22008 chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 (mod 31) Ta có : 22008 = 23 22005 = 23 (25)401 mà 25 =32 (mod 31) nên ta có (25)401 1401(mod 31) 23 22005 23 1(mod 31) 22008 8(mod 31) Mặt khác 8(mod 31) 22008 - - (mod 31) Nên 22008 - (mod 31) Vậy 22008 chia hết cho 31 Đpcm VD 3: CM rng vi mi s t nhiờn n thỡ s 122n+1 + 11n+2 chia ht cho 133 Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 144n Vỡ 144 11(mod133) nờn 144n 11n (mod 133) Phm Bỏ Qunh Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG suy 12 144n 12 11n (mod 133) n+2 Mt khỏc: 11 = 121 11 (1) n M 121 - 12 (mod 133) nờn 121 11n - 12 11n (mod 133) (2) Cng v (1) v (2) ta ủc 122n+1 + 11n+2 (mod 133) Vy 122n+1 + 11n+2 chia ht cho 133 VD 4: CM 58 2008 pcm + 23 24 2008 Ta cú 58 = 254 m 25 1(mod 24) nờn 254 1(mod 24) 25 1(mod 24) cũn 23 23(mod 24) Suy 58 2008 + 23 0(mod 24) Vy 58 Phm Bỏ Qunh 2008 + 23 24 pcm Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG BI TP V LY THA Bài toán Viết tích sau thơng sau dới dạng luỹ thừa số a) 25 84 ; b) 256.1253 ; c) 6255:257 Bài toán 2: Viết tích , thơng sau dới dạng luỹ thừa: a) 410.230 ; b) 925.27 4.813 ; c) 2550.1255 ; d) 643.48.164 ; e) 38 : 36 ; f) 210 : 83 ; g) 127 : 67 ; h) 215 : 813 i) 58 : 252 ; j) 49 : 642 ; k) 225 : 324 ; l) 1253 : 254 Bài toán Tính giá trị biểu thức a) A = 310.11 + 310.5 39.24 ; b) B = 210.13 + 210.65 723.542 11.322.37 915 c) ; d) D = C = 28.104 1084 (2.314 )2 Bài toán 4: Viết số sau dới dạng tổng luỹ thừa 10 213; 421; abc ; 2009; abcde Bài toán So sánh số sau, số lớn hơn? a) 2711 818 b) 6255 1257 c) 523 522 d) 213 216 Bài toán 6: Tính giá trị biểu thức sau: a) a3.a9 b) (a5)7 c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 32 e) 4.52 - 2.32 Bài toán Tìm n N * biết a) 32.3n = 35 ; e) b) (22 : 4).2n = 4; n + 4.2n = 9.5n ; g) 32 < 2n < 128; c) n 3 = 37 ; d) n 27 = 3n ; h) 2.16 2n > Bài toán Tìm x N biết a) ( x - )3 = 125 ; b) 2x+2 - 2x = 96; d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5 c) (2x +1)3 = 343 ; e) 16x < 1284 Bài toán Tính tổng sau cách hợp lý A = + 22 + 23 + 24 + +2100 B = + + 32 +33 + + 32009 C = + + 52 + 53 + + 51998 D = + 42 + 43 + + 4n Bài toán 10: Cho A = + + 22 + 23 + 24 + +2200 H y viết A + dới dạng luỹ thừa Bài toán 11 Cho B = + +32 +33 + + 32005 CMR 2B + luỹ thừa Bài toán Chứng minh rằng: a) 55-54+53 b) + 75 11 c) 109 + 108 + 107 222 d) 106 57 59 e) 3n + 2n + + 3n 2n 10n N * f) 817 279 913 45 Bài toán 12: a) Viết tổng sau thành tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24 Phm Bỏ Qunh Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG b) Chứng minh rằng: A = + 22 + 23 + 24 + +22004 chia hết cho 3;7 15 Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành tích 34 +325 +36+ 37 b) Chứng minh rằng: B = + + +32 +32 + + 399 40 A = + 22 + 23 + 24 + +2100 31 C = 165 + 215 33 D = 53! - 51! 29 Bài toán 14: Thực phép tính sau cách hợp lý: a) (217+172).(915 - 159)(42- 24) b) (71997- 71995):(71994.7) c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 812 ) d) (28 + 83 ) : (25.23 ) Bi toỏn 15: Tỡm hai ch s tn cựng ca cỏc s : a) a2003 b) 799 Gii : a) Do 22003 l s chn, theo trng hp 1, ta tỡm s t nhiờn n nh nht cho 2n - 25 Ta cú 210 = 1024 => 210 + = 1025 25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 100 Mt khỏc :22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k N) Vy hai ch s tn cựng ca 22003 l 08 b) Do 799 l s l, theo trng hp 2, ta tỡm s t nhiờn n nht cho 7n - 100 Ta cú 74 = 2401 => 74 - 100 Mt khỏc : 99 - => 99 = 4k + (k N) Vy 799 = 74k + = 7(74k - 1) + = 100q + (q N) tn cựng bi hai ch s 07 Bi toỏn 16: Tỡm s d ca phộp chia 3517 cho 25 Gii : Trc ht ta tỡm hai ch s tn cựng ca 3517 Do s ny l nờn theo trng hp 2, ta phi tỡm s t nhiờn n nh nht cho 3n - 100 Ta cú 310 = 95 = 59049 => 310 + 50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) 100 Mt khỏc : 516 - => 5(516 - 1) 20 => 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, cú hai ch s tn cựng l 43 Vy s d ca phộp chia 3517 cho 25 l 18 Trong trng hp s ủó cho chia ht cho thỡ ta cú th tỡm theo cỏch giỏn tip Trc tiờn, ta tỡm s d ca phộp chia s ủú cho 25, t ủú suy cỏc kh nng ca hai ch s tn cựng Cui cựng, da vo gi thit chia ht cho ủ chn giỏ tr ủỳng Cỏc thớ d trờn cho thy rng, nu a = hoc a = thỡ n = 20 ; nu a = thỡ n = Bài toán 17: Tỡm hai ch s tn cựng ca cỏc tng : a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 Phm Bỏ Qunh Page Cỏc chuyờn ụn thi HSG Li gii : a) D thy, nu a chn thỡ a2 chia ht cho ; nu a l thỡ a100 - chia ht cho ; nu a chia ht cho thỡ a2 chia ht cho 25 Mt khỏc, t tớnh cht ta suy vi mi a N v (a, 5) = ta cú a100 - 25 Vy vi mi a N ta cú a2(a100 - 1) 100 Do ủú S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042 Vỡ th hai ch s tn cựng ca tng S1 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca tng 12 + 22 + 32 + + 20042 ỏp dng cụng thc : 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cựng l 30 Vy hai ch s tn cựng ca tng S1 l 30 b) Hon ton tng t nh cõu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 Vỡ th, hai ch s tn cựng ca tng S2 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 13 + 23 + 33 + + 20043 ỏp dng cụng thc : => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tn cựng l 00 Vy hai ch s tn cựng ca tng S2 l 00 Bài toán 18: Tìm chữ số tận số sau 73 22003 ; 499 ;999 ;399 ; 799 ;899 ;7895 ;8732 ;5833 Bài toán 19: Chứng minh tổng hiệu sau chia hết cho 10 481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321 Bài toán 20: Tìm chữ số tận tổng: + 52 + 53 + + 596 Bài toán 21: Chứng minh A = 20042006 9294 số tự nhiên 10 ( ) Bài toán 22: Cho S = + +32 +33 + + 330 Tìm chữ số tận S CMR: S không số phơng Bài toán 23: Cho A = + 22 + 23 + 24 + +2100 a) Chứng minh A b) Chứng minh A 15 ; c) Tìm chữ số tận A n n Bài toán Chú ý: + x01 = y 01(n N * ) + x 25 = y 25(n N * ) + Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận 01 + Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận 76 + 26n (n >1) có tận 76 áp dụng: Tìm hai chữ số tận số sau Phm Bỏ Qunh Page 10 Cỏc chuyờn ụn thi HSG 99 2100; 71991; 5151; 9999 ; 6666; 14101; 22003 Bài toán 24: Tìm chữ số tận hiệu 71998 - 41998 Bài toán 25: Các tổng sau có số phơng không? a) 108 + ; b) 100! + ; c) 10100 + 1050 + Bài toán 26: Chứng minh a) 20022004 - 10021000 10 b) 1999 2001 + 2012005 10; Bài toán 27: Chứng minh rằng: a) 0,3 ( 20032003 - 19971997) số từ nhiên b) (19972004 19931994 ) số từ nhiên 2006 1998 10 Bài toán 28: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: a) 714n chia hết cho b) 124n + + 34n +1 chia hết cho c) 92001n + chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 Bài toán 29: Tìm chữ số tận a) 2008 2009 99 e) 19971 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 Bài toán 30: Cho A = 21 + 22+ 23 + + 220 B = 31 + 32 + 33 + + 3300 a) Tìm chữ số tận A b) Chứng minh B chia hết cho b) Chứng minh B - A chia hết cho Bài toán 31: Tìm số d phép chia sau: a) 3100 : b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 Bài toán 32 Chứng minh rằng: a) 301293 c) 62n + 3n+2 3n 11 d) (15325 1) : b) 2093n 803n 464n 261n 271 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19 (với n N) Bài toán 33 Ngày tháng năm 2010 bạn Nam kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 Biết ngày tháng năm 2008 ngày thứ a) H y tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày b) Bạn Nam tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài toán 34: Chng minh rng nu a2 + b2 + c2 thỡ ớt nht mt cỏc hiu a2 b2 hoc a2 c2 hoc b2 c2 chia ht cho Bài toán 35 So sánh số sau: a) 3281 3190 b) 11022009 11022008 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 B = (20082008 + 20072008)2007 Phm Bỏ Qunh Page 11 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Chuyên Chuyên đề 4: chia hết tập số tự nhiên I Kiến thức bổ sung: +)TíNH CHấT CHIA HếT CủA MộT TổNG Tính chất 1: a m , b m , c m (a + b + c) m Chú ý: Tính chất với hiệu a m , b m , (a - b) m Tính chất 2: a m , b m , c m (a + b + c) m Chú ý: Tính chất với hiệu a m , b m , (a - b) mCác tính chất 1& với tổng(hiệu) nhiều số hạng +)DấU HIệU CHIA HếT CHO 2, CHO Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia hết cho số chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận chia hết cho số chia hết cho S chia ht cho v cú ch s tn cựng bng +)DấU HIệU CHIA HếT CHO 3, CHO Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho Chú ý: Số chia hết cho chia hết cho Số chia hết cho không chia hết cho 2- Sử dụng tính chất chia hết tổng hiệu a m ; b m k1a + k2b m a m ; b m ; a + b + c m c m II Bài tập: * Các phơng pháp chứng minh chia hết PP 1: Để chứng minh A b (b ) Ta biểu diễn A = b k k N PP Sử dụng hệ tính chất chia hết tổng Nếu a b m a m b m PP Để chứng minh biểu thức chứa chữ (gi sử chứa n) chia hết cho b(b khác 0) ta xét trờng hợp số d chia n cho b PP Để chứng minh A b Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n Khi Phm Bỏ Qunh Page 12 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Bi toỏn : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16 Bi toỏn : Tỡm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72 Bi toỏn : Tỡm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140 BI TP 1) Tìm hai số biết ƯCLN chúng: Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 100 có ƯCLN 10 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng chúng có tích 300 Ví dụ 3: Chứng minh số nguyên tố p > (p - 1).(p + 1) 24 2) Các toán phối hợp ƯCLN BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 d Các dạng tập Bi t gii : Bi : a) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16 b) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 216 v (a, b) = c) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 d) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = e) Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140 Bi 2: Tỡm hai s a, b bit: a) 7a = 11b v (a, b) = 45 b) a + b = 448, CLN (a,b) = 16 v chỳng cú ch s tận ging Bài 3: Cho hai s t nhiờn a v b Tỡm tt c cỏc s t nhiờn c cho ba s, tớch ca hai s luụn chia ht cho s cũn li Bài 4: Tìm số tự nhiên m n cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho 5n + 45 n + Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Bài 7: Cho p, q , r ba số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 hợp số Bài Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 Bài Tổng số nguyên tố 1012.Tìm số nhỏ số Bài Cho A = + 52 + 53 + + 5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phơng không? Bài Phm Bỏ Qunh Page 18 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Bài Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số? b) 1.3.5.713 + 20 c) 147.247.347 13 Bài6.Tìm số nguyên tố p cho a) 4p + 11 số nguyên tố nhỏ 30 b) P + 2; p + số nguyên tố c) P + 10; p +14 số nguyên tố Bài Cho n N*; Chứng minh rằng: A = 111 12111 hợp số nc / s1 nc / s1 Bài + Cho n số không chia hết cho CMR n2 chia d + Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p2 + 2003 số nguyên tố hay hợp số? Bài Cho n N, n> n không chia hết cho CMR n2 n2 + đồng thời số nguyên tố Bài 10 Cho p số nguyên tố hai số 8p + 8p số nguyên tố, số lại số nguyên tố hay hợp số? Bài 11 Cho p số nguyên tố lớn CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Bài 12 Cho p 2p + hai số nguyên tố (p > 3) CMR: 4p + hợp số A Bài tập Bài Tìm ƯCLN tìm ƯC 48 120 Bài Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết 120 a 150 a Bài Tìm số tự nhiên x biết 210 x , 126 x 10 < x < 35 Bài Tìm số tự nhiên a nhỏ khác 0, biết a 120 a 86 Bài Tìm bội chung nhỏ 300 25 20 Bài Một đội y tế có 24 bác sỹ 108 y tá Có thể chia đội y tế nhiều thành tổ để số bác sỹ y tá đợc chia cho tổ? Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 vừa đủ bó Biết số sách khoảng 200 đến 500 Tìm số sách Bài Một liên đội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa ngời Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150 Bài Một khối học sinh xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng thiếu ngời, nhng xếp hàng đủ Biết số học sinh cha đến 300 Tính số học sinh Bài 10 Một chó đuổi thỏ cách 150 dm Một bớc nhảy chó dài dm, bớc nhảy thỏ dài dm chó nhảy bớc thỏ củng nhảy bớc Hỏi chó phải nhảy bớc đuổi kịp thỏ? Bài 11 Tôi nghĩ số có ba chữ số Nếu bớt số nghĩ đợc số chia hết cho Phm Bỏ Qunh Page 19 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Nếu bớt số nghĩ đợc số chia hết cho Nếu bớt số nghĩ đợc số chia hết cho Hỏi số nghĩ số nào? Bài 12 chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Bài 13 CMR số sau nguyên tố a) Hai số lẻ liên tiếp b) 2n + 3n + Bài 14 ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ Bài 15 Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18 Bài 16 Tìm hai số tự nhiên a b, biết BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15 Bài 17 Tìm hai số tự nhiên a b biết tích chúng 2940 BCNN chúng 210 Bài 18 Tìm số tự nhiên a nhỏ chia cho 5, cho 7, cho có số d theo thứ tự 3,4,5 Bài 19 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3, cho 4, cho có số d theo thứ tự 1;3;1 Bài 20 Cho ƯCLN(a,b)= CMR a) ƯCLN(a+b,ab) = b) Tìm ƯCLN(a+b, a-b) Bài 21 Có 760 cam, vừa táo, vừa chuối Số chuối nhiều số táo 80 quả, số táo nhiều số cam 40 Số cam, số táo, số chuối đợc chia cho bạn lớp Hỏi chia nh số học sinh nhiều lớp bao nhiêu? phần có loại? Bài 22 a) Ước chung lớn hai số tự nhiên 4, số nhỏ tìm số lớn b) Ước chung lớn hai số tự nhiên 16, số lớn 96, tìm số nhỏ Bài 23 Tìm hai số tự nhiên biết : a) Hiệu chúng 84,ƯCLN 28, số khoảng từ 300 đến 440 b) Hiệu chúng 48, ƯCLN 12 Bài 24 Tìm hai số tự nhiên biết rằng: a) Tích 720 ƯCLN b) Tích 4050 ƯCLN Bài 25 CMR với số tự nhiên n , số sau hai số nguyên tố a) 7n +10 5n + b) 2n +3 4n +8 Phm Bỏ Qunh Page 20 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Chuyên đề : Các phép toán với số nguyên B Bài tập: Bài tập Mệnh đề sau hay sai? Nếu a < b a < b Bài tập Tìm x Z biết a) x = b) x < c) x >4 Bài tập Cho A = { x Z / x > 9} B = { x Z / x < 4} C = { x Z / x 2} Tìm A B; B C ; C A Bài tập mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Mệnh đề sai? a) Nếu a = b a = b b) Nếu a = b a = b c) Nếu a < b a < b Bài tập Tìm x biết: a) x + = b) x = 54 Bài tập Tìm x, y, z Z biết x + y + z = Tr bi kim tra mt tit S hc v Hỡnh hc Phép cộng hai số nguyên - Tính chất phép cộng số nguyên Bài tập Tính nhanh a) 2004 + [ 520 + (-2004)] c) 921 + [97 + (-921) + (-47)] b) [(-851) + 5924] + [(-5924) + 851] d) 2003 + 2004 + (-2005) + (-2006) Bài tập Tính tổng số nguyên x thỏa m n a) - < x < b) > x > -5 c) x < Bài tập Tính tổng A = + (-4) + (-6) + + 10 + (-12) + (-14) + 16 + + 2010 B = + (-3) + (-5 ) + + +(-11) + (-13) + 15 + + 2009 Phm Bỏ Qunh Page 21 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Bài tập Cho x y hai số nguyên dấu Tính x + y biết x + y = 10 Bài tập Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa m n a) x + y = b) x + y = Bài tập Với giá trị x y tổng S = x + y + y + 1998 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài tập Tìm số nguyên x biết a) x + số nguyên dơng nhỏ b) 10 -x số nguyên âm lớn Bài tập Tìm số nguyên a, b, c biết rằng: a + b = 11, b + c = 3; c + a = Bài tập Tìm số nguyên a, b, c, d biết rằng: a + b + c + d = 1, a + c + d =2, a + b + d = 3, a + b + c = Bài tập 10 Cho x + x2 + x3 + + x49 + x50 + x51 = x1+ x2 = x3 + x4 = = x47 + x48 = x49 + x50 = x50 + x51 = 1.Tính x50 Phm Bỏ Qunh Page 22 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Ôn tập học kỳ i Dạng Thực phép tính Bài Tính nhanh a) 32 47 + 32 53 b) (-24) + + 10 + 24 c) (24 + 42) + (120 - 24 - 42) e) 25 22 + (15 18 ) + (12 - 19 + 10) d) (13 - 145 + 49) - (13 + 49) Bài Thực phép tính (tính nhanh có thể) a) 3.52 - 16:22 b) 23.17 23.14 c) 20 [ 30 (5 - 1)] d) 600 : [450 :{ 450 (4.53 23 52 )}] e) A = 310.11 + 310.5 39.24 Dạng Tìm x Bài Tìm số tự nhiên x biết a) 6.x = 613 b) x 15 = 24 c) 2.x 138 = 23.32 d) 10 + 2.x = 45 : 43 e) 70 5.(x - 3) = 45 g) 315 + (146 x ) = 401 Bài Tìm số nguyên x biết a) + x = b) x + = d) x = 17 (- 5) c) 11 (15 + 21) = x (25 -9) e) x 12 = (-9) 15 g) 25 = (7 x ) (25 + 7) Dạng ƯC - ƯCLN BC BCNN Bài Tìm ƯCLN tìm ƯC 90 126 Bài Tìm số tự nhiên a lớn biết 480 a 600 a Bài Tìm số tự nhiên x biết 126 x, 210 x 15 < x < 30 Bài Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a 126; a 198 Bài Tìm bội chung 15 25 mà nhỏ 400 Bài Biết số học sinh trờng khoảng 700 đến 800 học sinh, Khi xếp hàng 30, hàng 36, hàng 40 thừa 10 học sinh Tính số học sinh trờng Dạng Hình học a) Vẽ đoạn thẳng AB = cm Trên AB lấy hai điểm M, N cho; AM = cm; An = cm b) Tính độ dài đoạn thẳng MN,NB Hỏi M có phải trung điểm đoạn AN hay không? sao? Phm Bỏ Qunh Page 23 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Ôn tập Quy tắc dấu ngoặc Quy tắc chuyển vế Bài tập Tìm số nguyên x biết a) x = 17 (-5) ; b) x 12 = (-9) (-15) ; c) 25 = (-7 x ) (25 - 7) d) 11 + (15 - 11 ) = x (25 - 9) e) 17 {-x [-x (-x)]}=-16 g) x + {(x + ) [(x + 3) (- x - 2)]} = x Bài tập Tính tổng sau cách hợp lý: a) 2075 + 37 2076 47 ; b) 34 + 35 + 36 + 37 14 15 16 17 c) 7624 + (1543 + 7624) ; d) (27 514 ) ( 486 - 73) Bài tập Rút gọn biểu thức a) x + 45 [90 + (- 20 ) + (-45)] ; b) x + (294 + 13 ) + (94 - 13) Bài tập Đơn giản biểu thức a) b (b a + c) ; b) (a b + c ) (c - a) c) b (b + a c ) ; d) a (- b + a c) Bài tập Bỏ ngoặc thu gọn biểu thức sau a) (a + b ) (a b ) + (a c ) (a + c) b) (a + b c ) + (a b + c ) (b + c - a) (a b c) Bài tập Xét biểu thức N = -{-(a + b) [(a b ) (a + b)]} a) Bỏ dấu ngoặc thu gọn b) Tính giá trị N biết a = -5; b = -3 Bài tập Tìm số nguyên x biết a) x 16 = b) 26 x + = 13 Bài tập Chứng minh đẳng thức - (- a + b + c) + (b + c - 1) = (b c + ) (7 a + b ) Bài tập Cho A = a + b C=bc4 B=-bc+1 D=ba Chứng minh: A + B = C + DBài tập 10 Viết số nguyên vào đỉnh cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền -6 Phm Bỏ Qunh Page 24 Cỏc chuyờn ụn thi HSG Dạng Thực phép tính Bài Tính a) (-15) + 24 ; b) (-25) - 30 ; e) (-34) 30 ; g) (-12) (-24) c) (-15) + 30 ; d) (-13) + (-35) h) 36 : (-12) i) (-54) : (-3) Bài Thực phép tính(tính nhanh có thể) a) (-5).6.(-2).7 c) 3.(-3)3 + (-4).12 - 34 b) 123 - (-77) - 12.(-4) + 31 d) (37 - 17).(-5) + (-13 - 17) ; e) 34 (-27) + 27 134 ; g) 24.36 - (-24).64 Dạng Tìm số nguyên x biết Bài Tìm số nguyên a biết a) a = ; b) + = 12 c) a + = d) a + = 14 Bài Tìm số nguyên x biết a) x + 12 = 3; b) 2.x - 15 = 21; c) 13 - 3x = d) 2(x - 2) + = 12; e) 15 - 3(x - 2) = 21; g) 25 + 4(3 - x) = h) 3x + 12 = 2x - 4; i) 14 - 3x = -x + ; k) 2(x - 2)+ = x - 25 Bài Tìm số nguyên n để a) n + chia hết cho n -1 ; c) 6n + chia hết cho 2n + Phm Bỏ Qunh b) 2n - chia hết cho n + d) - 2n chia hết cho n+1 Page 25 Cỏc chuyờn ụn thi HSG C Bài tập: Bài tập Tìm số nguyên x y biết a) x = 24 b) 20 = y 14 c) 12 = x d) y = 21 Bài tập Viết phân số sau đay dới dạng phân số có mẫu dơng 17 ; (với a < 3); a a Bài tập Trong phân số sau, phân số 15 28 ; ; ; ; 60 15 20 12 Bài tập Tìm x biết a) 111 91