Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6

CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỮ SỐ GIỐNG NHAU

Lý thuyết: Cấu tạo số có chữ số giống nhau:

Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, , là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49,

chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện

Giải: Ta iết các số dưới dạng:

Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2

Có thể hay không A(n) – B(n) là bình phương của số tự nhiện?

A =  và số

666333 3

 chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5

Bài 9: Có thể hay không trong các số : 11,111,1111,11111, có một số là số chính phương

Bài 10: Có thể hay không các : 1111,111111, , ở ñó có chẵn chữ số 1, là hợp số

Bai 11 Chøng minh r»ng mçi sè sau cã thÓ viÕt ®−îc thµnh mét tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp:

Chuyên đề

Chuyên đề 3: 3: 3: luỹ thừa với số mũ trên tự nhiênluỹ thừa với số mũ trên tự nhiênluỹ thừa với số mũ trên tự nhiên

Phương pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa

Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đưa cơ số của luỹ thừa về dạng

đặc biệt hoặc đưa số mũ về dạng đặc biệt đK biết cách tính theo phần chú ý trên

Tìm chữ số tận cùng của một tích:

+Tích của các số lẽ là một số lẽ

+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn

- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó

+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng bằng 6 .24n = 6 ; 44n = 6 ; 84n = 6

+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng bằng 1 .34n = 1 ; .74n = 1 ; 94n = 1

3./ Mở rộng

3.1/ Đồng d−:

a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng d− với a4n+1

theo modun 10 (là hai số

có cùng số d− khi chia cho 10)

Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d− với số tự nhiên b theo modun m (m ≠ 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số d−

Ký hiệu a ≡ b ( mod ) m với a, b, m ∈N và m ≠ 0 (1)

Khi đó nếu a ⋮m ta có thể viết a ≡ 0 (mod m )

VD 2 Chứng minh rằng 22008 – 8 chia hết cho 31

Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – 8 ≡ 0 (mod 31)

Nên 22008 - 8 ≡ 0 (mod 31) Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31 Đpcm

VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133

Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 144n

Vỡ 144≡11(mod133) nờn 144n ≡11n (mod 133)

⇒ 3 399 ≡ 3 1 (mod 13)

⇒ 22008 - 8 ≡ 8 - 8 (mod 31)

BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA Bµi to¸n 1 ViÕt c¸c tÝch sau hoÆc th−¬ng sau d−íi d¹ng luü thõa cña mét sè

2 13 2 65

2 104

B= + c)

3 2 4

72 54108

C = ; d)

22 7 15

14 2

11.3 3 9(2.3 )

HKy viÕt A + 1 d−íi d¹ng mét luü thõa

Bµi to¸n 11 Cho B = 3 + +32 +33 + + 32005 CMR 2B + 3 lµ luü thõa cña 3

Bµi to¸n 9 Chøng minh r»ng:

a) 55

-54

+53

⋮ 7 b) 76+75−7 114⋮ c) 109+108+10 2227⋮ d) 106−5 597⋮

b) Chøng minh r»ng: A = 2 + 22

+ 23 + 24 + +22004

- 24) b) (71997

- 71995):(71994.7) c) (12+23+34+4 ).(15 3+23+33+4 ).(33 8−81 )2 d) (28+8 ) : (2 2 )3 5 3

Bài toán 15: Tìm hai chữ số tận cùng của các số : a) a2003 b) 799

Giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ⋮ 25

Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ⋮ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ⋮ 25 => 23(220 - 1) ⋮ 100 Mặt khác :22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N)

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08

b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ⋮ 100

Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ⋮ 100 Mặt khác : 99 - 1 ⋮ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)

Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07

Bài toán 16: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25

Giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517 Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ⋮100

Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ⋮ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ⋮ 100

Mặt khác : 516 - 1 ⋮ 4 => 5(516 - 1) ⋮ 20

=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ

số tận cùng là 43

Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18

Trong trường hợp số ñã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số ñó cho 25, từ ñó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 ñể chọn giá trị ñúng

Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4

Bµi to¸n 17: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003

Lời giải : a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25

Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ⋮ 25

Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ⋮ 100

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 +

20043 Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + + 20043

áp dụng công thức :

=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00

Bµi to¸n 18: T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau

+ 112004

; 175 + 244

- 1321

Bµi to¸n 20: T×m ch÷ sè tËn cïng cña tæng: 5 + 52 + 53 + + 596

Bµi to¸n 21: Chøng minh r»ng A = 1 ( 2004 2006 92 94)

2100; 71991; 5151; 999999; 6666; 14101; 22003

Bµi to¸n 24: T×m ch÷ sè tËn cïng cña hiÖu 71998 - 41998

Bµi to¸n 25: C¸c tæng sau cã lµ sè chÝnh ph−¬ng kh«ng? a) 108 + 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10100 +

1050

+ 1

Bµi to¸n 26: Chøng minh r»ng a) 20022004 - 10021000 ⋮ 10 b) 1999 2001 + 2012005 ⋮ 10;

Bµi to¸n 27: Chøng minh r»ng:

Bµi to¸n 30: Cho A = 21

+ 22+ 23 + + 220

B = 31

+ 32 + 33 + … + 3300 a) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A b) Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 2 b) Chøng minh r»ng B - A chia hÕt cho 5

Bµi to¸n 31: T×m sè d− trong c¸c phÐp chia sau:

a) 3100

: 7 b) 9! : 11 c) (2100

+ 3105) : 15 d) (15325

– 1) : 9

Bµi to¸n 32 Chøng minh r»ng: a) 301293

– 1 ⋮ 9 b) 2093n

– 803n – 464n – 261n

⋮ 271 c) 62n + 3n+2 3n ⋮ 11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 ⋮ 19 (víi ∀ n∈N)

Bµi to¸n 33 Ngµy 1 th¸ng 1 n¨m 2010 b¹n Nam sÏ kû niÖm ngµy sinh lÇn thø 15 cña m×nh BiÕt

r»ng ngµy 1 th¸ng 1 n¨m 2008 lµ ngµy thø 3

a) HKy tÝnh xem b¹n Nam sinh vµo thø ngµy mÊy

b) B¹n Nam sÏ tæ chøc sinh nhËt lÇn thø 15 vµo ngµy thø mÊy?

Bµi to¸n 34: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 ⋮ 9 thì ít nhất một trong các hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2hoặc b2 – c2 chia hết cho 9

Bµi to¸n 35 So s¸nh c¸c sè sau: a) 3281

+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 2, CHO 5

Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 2

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 5

Số chia hết cho 2 và 5 cú chữ số tận cựng bằng 0

+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 3, CHO 9

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 3

Chú ý: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3

Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9

2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu

1 a ⋮ m ; b ⋮ m ⇒ k1a + k2b ⋮ m

2 a ⋮ m ; b ⋮ m ; a + b + c ⋮ m ⇒ c⋮ m

II Bài tập:

* Các phương pháp chứng minh chia hết

PP 1: Để chứng minh A ⋮ b (b 0≠ ) Ta biểu diễn A = b k trong đó k ∈ N

PP 2 Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng

+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A⋮ m và A ⋮ n suy ra A⋮ m.n hay A ⋮ b

+ Nếu (m,n) ≠ 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 ⋮ m; a2 ⋮n thì tích a1.a2 ⋮ m.n suy ra A⋮b

PP 5 Dùng các dấu hiệu chia hết

PP 6 Để chứng minh A⋮ b ta biểu diễn A= A1+A2+ A n và chứng minh các A i i( =1, )n b⋮

Một số dấu hiệu chia hết cho

1 Dấu hiệu chia hết cho 11:

Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ những số đó mới chia hết cho 11

2 Dấu hiệu chia hết cho 4, 25

Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những

số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)

3 Dấu hiệu chia hết cho 8, 125

Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)

Một số tính chất:

- Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p

- Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m

- Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n

Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó

- Nếu A ⋮ B thì mA ± nB ⋮ B

(m,n ∈N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên)

II Các phương pháp chứng minh chia hết

1 Sử dụng tính chất chia hết của một tổng

3 Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ: CMR: n5 – n ⋮ 30

Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1

Xét n ≥ 2:

Tìm điều kiện của x để A ⋮ 3, A ⋮ 3

BT 3:Khi chia STN a cho 24 đ−ợc số d− là 10 Hỏi số a có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 4

không?

BT 4: Chứng tỏ rằng:

a/ Tổng ba STN liên tiếp là một số chia hết cho 3

b/ Tổng bốn STN liên tiếp là một số không chia hết cho 4

Bài tập 5

Chứng minh rằng với mọi n ∈N thì 60n +45 chia hết cho 15 nh−ng không chia hết cho 30

Bài toán 6: Chứng minh rằng: a) ab ba+ ⋮11 b) ab ba− ⋮9 với a>b

Bài toán 7 : Chứng minh rằng:

Bài toán 8: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6

+ Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6

+ Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ liên tiếp thì chia 10 d− 5

Bài toán 9: Cho a,b ∈ N và a - b ⋮ 7 CMR 4a +3b ⋮ 7

Bài toán 10: Tìm n ∈ N để

a) n + 6 ⋮ n ; 4n + 5 ⋮ n ; 38 - 3n ⋮ n

b) n + 5 ⋮ n + 1 ; 3n + 4 ⋮ n - 1 ; 2n + 1 ⋮ 16 - 3n

Bài toán 11 Chứng minh rằng: (5n)100 ⋮ 125

Bài toán 12 Cho A = 2 + 22 + 23 + + 22004

CMR A chia hết cho 7;15;3

Bài toán 13 Cho S = 3 +32 +33 + + 31998 CMR

a) S ⋮ 12 ; b) S ⋮ 39

Bài toán 14 Cho B = 3 +32 +33 + + 31000; CMR B ⋮ 120

Bài toán 15 Chứng minh rằng:

a) 3n + 2 ⋮ n - 1 b) n2

+ 2n + 7 ⋮ n + 2 c) n2

+ 1 ⋮ n - 1 d) n + 8 ⋮ n + 3 e) n + 6 ⋮ n - 1 g) 4n - 5 ⋮ 2n - 1

Bài toán 17 CMR:

a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Bài toán 18 cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đ−ợc những số d− khác nhau CMR tổng của chúng chia hết cho 5

Bài toán 19 Cho số abc không chia hết cho 3 Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để d−ợc một số chia hết cho 3

Bài toán 20: Cho n ∈ N, Cmr n2

+ n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5

Bài toán 21 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

Bài toán 24 CMR: m + 4n ⋮ 13 ⇔ 10m + n⋮ 13.∀m n, ∈N

Chuyên đề 5: Số nguyên tố – Hợp số – số chính phương -

ước chung – ƯCLN – Bội chung – BCNN

A Kiến thức bổ sung

1 ƯC - ƯCLN

+ Nếu a⋮ b thì (a,b) = b

+ a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ (a,b) = 1

+ Muốn tìm ước chung của các số đK cho ta tìm các ước của ƯCLN của các số đó

+ Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 1

• Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN

- Cho (a,b) = d Nếu chia a và b cho p thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau

- Cho a.b ⋮ mà (a,m) = 1 thì b ⋮ m

- Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng

a.b = ƯCLN(a,b) BCNN(a,b)

- Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a và b thì các thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau

- Nếu a ⋮ m và a⋮ n thì a chia hết cho BCNN(m,n) Từ đó suy ra

+ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng

+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho mọi số nguyên tố

- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22

- Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24

- Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32

Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a⋮ p hoặc b⋮ p

Đặc biệt nếu an

⋮ p thì a⋮ p + Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó + Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 4n ±1

+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 6n ±1

+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị

+ Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’

Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d hoặc (a,b) = d

- - Khi m a ⋮ và m b ⋮ ta nói m là bội chung của a và b Khi m # 0 và m là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của a và b ta nói m là bội chung nhỏ nhất của a và b

Ký hiệu BCNN(a,b) = m hoặc [a,b] = m

C Các bài toán về ước và bội và số nguyên tố

Phương phỏp chung ủể giải :

1/ Dựa vào ủịnh nghĩa ƯCLN ủể biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố ủó cho ủể tỡm hai số

2/ Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ ủặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và

tớch của hai số nguyờn dương a, b, ủú là : ab = (a, b).[a, b], trong ủú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là

BCNN của a và b

Bài toỏn 1 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16

Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6

Bài toỏn 3 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60

Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5

Bài toỏn 5 :

Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140

Bài toỏn 6 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16

Bài toỏn 7 : Tỡm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72

Bài toỏn 8 : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140

BÀI TẬP

1) Tìm hai số biết ƯCLN của chúng:

Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 100 và có ƯCLN là 10

Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN của chúng là 5 và chúng có tích là 300

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p > 3 thì (p - 1).(p + 1) ⋮ 24

2) Các bài toán phối hợp giữa ƯCLN và BCNN

Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a≤ b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180

d Các dạng bài tập

Bài tập tự giải :

Bài 1 :

a) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16

b) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6

c) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết ab = 180, [a, b] = 60

d) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5

e) Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140

Bài 2: Tỡm hai số a, b biết:

a) 7a = 11b và (a, b) = 45

b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 và chỳng cú chữ số tận cùng giống nhau

Bài 3: Cho hai số tự nhiờn a và b Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn c sao cho trong ba số, tớch của hai số

luụn chia hết cho số cũn lại

Bài 4: Tìm các số tự nhiên m và n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91

Bài 5: Tìm các số tự nhiên n sao cho 5n + 45 ⋮ n + 3

Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho cả p + 4 và p + 8 đều là các số nguyên tố

Bài 7: Cho p, q , r là ba số nguyên tố lớn hơn 3

Chứng minh rằng: p2

+ q2 + r2

là hợp số

Bài 1 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601

Bài 2 Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó

Bài 3 Cho A = 5 + 52 + 53 + + 5100

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?

b) Số A có phải là số chính phương không?

Bài 4