Bài toán người bán hàng

Mặc dù bài toán rất khó giải trong trường hợp tổng quát, có nhiều phương pháp giải chính xác cũng nhưheuristicđã được tìm ra để giải quyết một số trường hợp có tới hàng chục nghìn thành

Luyện tập: Giải bài toán bằng cách lập

phương trình

1 Bài toán người bán hàng 1

1.1 Lịch sử 1

1.2 Phát biểu 2

1.2.1 Dưới dạng đồ thị 2

1.2.2 Đối xứng và bất đối xứng 2

1.3 Tìm kiếm lời giải 2

1.3.1 Ví dụ minh họa 3

1.3.2 Công thức 3

1.3.3 Các thuật toán 4

1.3.4 Ứng dụng 5

1.3.5 Độ phức tạp tính toán 6

1.3.6 Các trường hợp đặc biệt 7

1.3.7 Cải thiện ngẫu nhiên 7

1.4 Ghi chú 7

1.5 Liên kết ngoài 7

2 Yakov Isidorovi Perelman 9 2.1 Sự nghiệp 9

2.2 Tác phẩm 9

2.3 Vật lý giải trí 10

2.4 am khảo 10

2.5 Liên kết ngoài 10

2.6 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 11

2.6.1 Văn bản 11

2.6.2 Hình ảnh 11

2.6.3 Giấy phép nội dung 11

i

Chương 1

Bài toán người bán hàng

Nếu người bán hàng xuất phát từ điểm A, và nếu khoảng cách

giữa hai điểm bất kì được biết thì đâu là đường đi ngắn nhất

mà người bán hàng có thể thực hiện được sao cho đi hết tất cả

các điểm mỗi điểm một lần để quay về lại điểm A ban đầu?

Bài toán người bán hàng (tiếng Anh: travelling

salesman problem - TSP) là một bài toánNP-khóthuộc

thể loạitối ưu rời rạchaytổ hợpđược nghiên cứu trong

vận trù họchoặclý thuyết khoa học máy tính Bài toán

được phát biểu như sau Cho trước một danh sách các

thành phố và khoảng cách giữa chúng, tìm chu trình

ngắn nhất thăm mỗi thành phố đúng một lần

Bài toán được nêu ra lần đầu tiên năm 1930 và là một

trong những bài toán được nghiên cứu sâu nhất trong

tối ưu hóa Nó thường được dùng làm thước đo cho

nhiều phương pháp tối ưu hóa Mặc dù bài toán rất khó

giải trong trường hợp tổng quát, có nhiều phương pháp

giải chính xác cũng nhưheuristicđã được tìm ra để giải

quyết một số trường hợp có tới hàng chục nghìn thành

phố

Ngay trong hình thức phát biểu đơn giản nhất, bài toán

TSP đã có nhiều ứng dụng trong lập kế hoạch, hậu cần,

cũng như thiết kế vi mạch

Tronglý thuyết độ phức tạp tính toán, phiên bản quyết

định của TSP (cho trước độ dài L, xác định xem có tồn

tại hay không một chu trình đi qua mỗi đỉnh đúng một

lần và có độ dài nhỏ hơn L) thuộc lớpNP-đầy đủ Do

đó, có nhiều khả năng là thời gian xấu nhất của bất kì

thuật toán nào cho TSP đều tăng theo cấp số nhân với

số thành phố

TSP có một vài ứng dụng thậm chí trong dạng thức nguyên thuỷ của nó như lập kế hoạch,logistic, và sản xuất cácmicrochip ay đổi đi chút ít nó xuất hiện như một bài toán con trong rất nhiều lĩnh vực như việc phân tích gen trong sinh học Trong những ứng dụng này, khái niệm thành phố có thể thay đổi thành khách hàng, các điểm hàn trên bảng mạch, các mảnh DNA trong gen, và khái niệm khoảng cách có thể biểu diễn bởi thời gian du lịch hay giá thành, hay giống như sự so sánh giữa các mảnh DNA với nhau Trong nhiều ứng dụng, các hạn chế truyền thống như giới hạn tài nguyên hay giới hạn thời gian thậm chí còn làm cho bài toán trở nên khó hơn

Trong lý thuyết của độ phức tạp tính toán, phiên bản quyết định của bài toán TSP thuộc lớpNP-đầy đủ Vì vậy không có giải thuật hiệu quả nào cho việc giải bài toán TSP Hay nói cách khác, giống như thời gian chạy xấu nhất cho bất ký giải thuật nào cho bài toán TSP tăng theo hàm mũ với số lượng thành phố, vì vậy thậm chí nhiều trường hợp với vài trăm thành phố cũng đã mất vài năm CPU để giải một cách chính xác

1.1 Lịch sử

Nguồn gốc của bài toán người bán hàng vẫn chưa được biết rõ Một cuốn sổ tay dành cho người bán hàng xuất bản năm 1832 có đề cập đến bài toán này và có ví dụ cho chu trình trong nước Đức và ụy Sĩ, nhưng không chứa bất kì nội dung toán học nào

Bài toán người bán hàng được định nghĩa trong thế kỉ

19 bởi nhà toán học IrelandWilliam Rowan Hamilton

và nhà toán học Anhomas Kirkman.Trò chơi Icosa của Hamilton là một trò chơi giải trí dựa trên việc tìm kiếmchu trình Hamilton Trường hợp tổng quát của TSP có thể được nghiên cứu lần đầu tiên bởi các nhà toán học ở Vienna và Harvard trong những năm 1930, đặc biệt làKarl Menger, người đã định nghĩa bài toán, xem xét thuật toán hiển nhiên nhất cho bài toán, và phát hiện ra thuật toán láng giềng gần nhất là không tối ưu

1

Hassler Whitneyởđại học Princetonđưa ra tên bài toán

người bán hàng ngay sau đó.

Trong những năm 1950 và 1960, bài toán trở nên phổ

biến trong giới nghiên cứu khoa học ở châu Âu và Mỹ

George Dantzig,Delbert Ray Fulkersonvà Selmer M

Johnson ở công ty RAND tại Santa Monica đã có đóng

góp quan trọng cho bài toán này, biểu diễn bài toán

dưới dạngquy hoạch nguyênvà đưa ra phương pháp

mặt phẳng cắtđể tìm ra lời giải Với phương pháp mới

này, họ đã giải được tối ưu một trường hợp có 49 thành

phố bằng cách xây dựng một chu trình và chứng minh

rằng không có chu trình nào ngắn hơn Trong những

thập niên tiếp theo, bài toán được nghiên cứu bởi nhiều

nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, khoa học

máy tính, hóa học, vật lý, và các ngành khác

Năm 1972,Richard M Karpchứng minh rằng bài toán

chu trình HamiltonlàNP-đầy đủ, kéo theo bài toán TSP

cũng làNP-đầy đủ Đây là một lý giải toán học cho sự

khó khăn trong việc tìm kiếm chu trình ngắn nhất

Một bước tiến lớn được thực hiện cuối thập niên 1970

và 1980 khi Grötschel, Padberg, Rinaldi và cộng sự đã

giải được những trường hợp lên tới 2392 thành phố, sử

dụng phương pháp mặt phẳng cắt vànhánh cận

Trong thập niên 1990, Applegate, Bixby, Chvátal, và

Cook phát triển một chương trình mang tên Concorde

giải được nhiều trường hợp có độ lớn kỉ lục hiện nay

Gerhard Reinelt xuất bản một bộ dữ liệu các trường hợp

có độ khó khác nhau mang tên TSPLIB năm 1991, và nó

đã được sử dụng bởi nhiều nhóm nghiên cứu để so sánh

kết quả Năm 2005, Cook và cộng sự đã giải được một

trường hợp có 33810 thành phố, xuất phát từ một bài

toán thiết kế vi mạch Đây là trường hợp lớn nhất đã

được giải trong TSPLIB Trong nhiều trường hợp khác

với hàng triệu thành phố, người ta đã tìm được lời giải

với sai số không quá 1% so với lời giải tối ưu

1.2 Phát biểu

Có một người giao hàng cần đi giao hàng tại n thành

phố Anh ta xuất phát từ một thành phố nào đó, đi qua

các thành phố khác để giao hàng và trở về thành phố

ban đầu Mỗi thành phố chỉ đến một lần, và khoảng

cách từ một thành phố đến các thành phố khác đã được

biết trước Hãy tìm một chu trình (một đường đi khép

kín thỏa mãn điều kiện trên) sao cho tổng độ dài các

cạnh là nhỏ nhất

1.2.1 Dưới dạng đồ thị

Bài toán người bán hàng có thể được mô hình hoá như

mộtđồ thị vô hướng có trọng số, trong đó mỗi thành

phố là một đỉnh của đồ thị còn đường đi giữa các thành

phố là mỗi cách Khoảng cách giữa hai thành phố là độ

dài cạnh Đây là vấn đề cực tiểu hoá với điểm đầu và

20

12

TSP đối xứng với bốn thành phố

điểm cuối là cùng một đỉnh sau khi thăm hết các đỉnh còn lại đúng một lần Mô hình này thường là mộtđồ thị đầy đủ(giữa mỗi cặp đỉnh đều có cạnh) Nếu không

có đường giữa hai thành phố thì có thể thêm một cạnh với độ dài đủ lớn vào đồ thị mà không ảnh hưởng đến kết quả tối ưu sau cùng

1.2.2 Đối xứng và bất đối xứng

Trong bài toán TSP đối xứng, khoảng cách giữa hai thành phố là không đổi dù đi theo chiều nào Như vậy

đồ thị trong bài toán này làđồ thị vô hướng Việc đối xứng này làm giảm đi một nửa số lời giải có thể Trong khi đó, với bài toán TSP bất đối xứng thì đường đi giữa hai thành phố có thể chỉ một chiều hoặc có độ dài khác nhau giữa mỗi chiều, tạo nênđồ thị có hướng Cáctai nạn giao thông,đường một chiềuhay phí hàng không giữa các thành phố với phí điểm xuất phát và điểm đến khác nhau là những ví dụ về sự bất đối xứng

1.3 Tìm kiếm lời giải

Cũng như các bài toán NP-khó khác, có các hướng sau đây để tiếp cận bài toán người bán hàng

• iết kế thuật toán tìm kiếm lời giải tối ưu (thường

hoạt động hiệu quả cho những trường hợp nhỏ)

• iết kếthuật toán heuristicđể tìm những lời giải tốt nhưng không nhất thiết tối ưu

• iết kếthuật toán xấp xỉđể tìm những lời giải không quá lớn so với lời giải tối ưu

• Giải quyết các trường hợp đặc biệt.

1.3 TÌM KIẾM LỜI GIẢI 3

Tổng chi phí ACEBDA là 8+4+15+10+14 = 51

1.3.1 Ví dụ minh họa

Sử dụngthuật toán láng giềng gần nhất (tiếng Anh:

nearest neighbour algorithm)

Các bước của thuật toán:

• Bước 1: Chọn một đỉnh bắt đầu V.

• Bước 2: Từ đỉnh hiện hành chọn cạnh

nối có chiều dài nhỏ nhất đến các đỉnh

chưa đến Đánh dấu đã đến đỉnh vừa

chọn

• Bước 3: Nếu còn đỉnh chưa đến thì quay

lại bước 2

• Bước 4: ay lại đỉnh V.

Bài toán có năm thành phố với khoảng cách giữa

các thành phố được tính bằng km Sử dụng thuật

toán láng giềng gần nhất, bắt đầu lần lượt từ mỗi

đỉnh, tìm đường đi thích hợp cho người bán hàng,

cửa hàng đặt tại A và cần đi qua tất cả thành phố còn lại

Bắt đầu với đỉnh A

• Từ A, đỉnh gần nhất là C, chiều dài AC

= 8

• Từ C, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là

E, CE = 4

• Từ E, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là

B, EB = 15

• Từ B, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là

D, BD = 10

• Không còn đỉnh chưa viếng thăm, vì

vậy quay về A, DA = 14

Tổng chi phí ACEBDA là 8 + 4 + 15 + 10 + 14 = 51

Lặp lại bắt đầu với những đỉnh khác:

Có ba đường đi có chiều dài 45 km là giống nhau Một nhân viên bán hàng có cửa hàng tại A, đường đi tốt nhất tìm ra bởithuật toán láng giềng gần nhấtlà ABDCEA

= 45 km

1.3.2 Công thức

Công thức: Bước đầu tiên để giải quyết trường hợp của TSPs lớn phải để tìm một công thức toán học tốt của vấn đề Trong trường hợp của các vấn đề nhân viên bán hàng đi du lịch, các cấu trúc toán học là một đồ thị,

ở mỗi thành phố được biểu thị bằng một điểm (hoặc nút) và dòng được rút ra kết nối hai nút (gọi là vòng cung hoặc cạnh) Liên kết với mỗi dòng là một khoảng cách (hoặc chi phí) Khi nhân viên bán hàng có thể nhận được từ mỗi thành phố để mọi thành phố khác trực tiếp, sau đó đồ thị được cho là hoàn chỉnh Một chuyến đi vòng quanh những thành phố tương ứng với một số tập hợp con của các dòng, và được gọi là một tour du lịch hoặc một chu trình Hamilton (Đường đi Hamilton) trong lý thuyết đồ thị Chiều dài của một tour du lịch là tổng độ dài của các đường trong chuyến đi vòng quanh Tùy thuộc vào có hay không sự chỉ đạo, trong đó một cạnh của đồ thị là đi qua các vấn đề, một trong những phân biệt đối xứng từ đối xứng đi vấn đề nhân viên bán hàng Xây dựng các bất đối xứng TSP trên m thành phố, một trong những giới thiệu không-một biến

và do thực tế là tất cả các nút của đồ thị phải có đúng một cạnh chỉ tay về phía nó và một trong những chỉ

đi từ nó, có được một vấn đề chuyển nhượng cổ điển Những khó khăn này một mình là không đủ vì công thức này sẽ cho phép “subtours”, có nghĩa là, nó sẽ cho phép các vòng phân chia xảy ra Vì lý do này, một mô hình thích hợp của các vấn đề đi du lịch nhân viên bán hàng không đối xứng phải loại bỏ những subtours từ xem xét việc bổ sung “subtour loại bỏ" hạn chế Vấn đề sau đó trở thành

nơi mà K là bất kỳ tập hợp con thích hợp khác rỗng

trong những thành phố 1,…, m Chi phí c ij được phép

khác với chi phí c ji Lưu ý rằng có m (m-1) không-một

biến trong công thức này

Xây dựng các đối xứng đi vấn đề nhân viên bán hàng,

người ta ghi nhận rằng hướng đi qua là không đáng kể,

do đó c ij = c ji Từ hướng không quan trọng bây giờ,

người ta có thể xem xét các đồ thị, nơi chỉ có một vòng

cung (vô hướng) giữa hai nút Vì vậy, chúng tôi cho x

j e { 0,1 } là biến quyết định nơi j chạy qua tất cả các

cạnh E của đồ thị vô hướng và c j là chi phí đi cạnh

đó Để tìm một tour du lịch trong biểu đồ này, người ta

phải chọn một tập hợp con của các cạnh như vậy mà tất

cả các nút được chứa trong hai chính xác của các cạnh

được lựa chọn Như vậy, vấn đề có thể được xây dựng

như một vấn đề 2 khớp trong đồ thị G v có m (m-1) / 2

không-một biến, tức là một nửa số lượng các công tác

xây dựng trước đó Như trong trường hợp bất đối xứng,

subtours phải được loại bỏ thông qua hạn chế loại bỏ

subtour Vấn đề do đó có thể được xây dựng như:

1.3.3 Các thuật toán

Các thuật toán: phương pháp chính xác để giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi các thuật toán tạo ra cả một giới hạn dưới và một trên ràng buộc về giá trị nhỏ nhất thực

sự của các trường hợp vấn đề Bất kỳ tour du lịch vòng quanh chuyến đi mà đi qua mỗi thành phố đúng một lần là một giải pháp khả thi với một chi phí nhất định

mà không thể nhỏ hơn so với các tour du lịch chi phí tối thiểu uật toán xây dựng các giải pháp khả thi, và

do đó giới hạn trên đối với các giá trị tối ưu, được gọi

là công nghệ tự động Những giải pháp chiến lược sản xuất câu trả lời nhưng không có bất kỳ đảm bảo chất lượng như thế nào xa họ có thể từ câu trả lời tối ưu Các thuật toán heuristic mà cố gắng để tìm ra giải pháp khả thi trong một nỗ lực duy nhất được gọi là công nghệ tự động xây dựng trong khi các thuật toán đó lặp đi lặp lại thay đổi và cố gắng cải thiện một số giải pháp bắt đầu được gọi là công nghệ tự động cải thiện Khi một giải pháp có được phụ thuộc vào điểm xuất phát ban đầu của thuật toán, cùng một thuật toán có thể được sử dụng nhiều lần từ nhiều điểm khởi đầu (ngẫu nhiên) Đối với một cuộc khảo sát tuyệt vời của công nghệ

tự động cải thiện ngẫu nhiên, xem Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)[1] ông thường, nếu một trong những nhu cầu một giải pháp nhanh chóng, người ta có thể giải quyết cho một thuật toán heuristic được thiết kế tốt đã được chứng minh bằng thực nghiệm để tìm tour

du lịch “gần như tối ưu” đến nhiều vấn đề TSP Nghiên cứu của Johnson (1990)[2], và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)[1]mô tả thuật toán tìm giải pháp cho TSPs rất lớn (vấn đề với hàng chục ngàn, thậm chí hàng triệu biến) để trong vòng 2% của tối ưu trong thời gian rất hợp lý Đối với phương pháp tiếp cận thuật toán di truyền để TSP, xem Potvin (1996)[3], cách tiếp cận ủ mô

1.3 TÌM KIẾM LỜI GIẢI 5

phỏng thấy Aarts, et al (1988), cách tiếp cận mạng lưới

thần kinh, xem Potvin (1993)[4], và cách tiếp cận tìm

kiếm kỵ, xem Fiechter (1990)[5] Bảo lãnh thực hiện cho

chẩn đoán được đưa ra trong Johnson và Papadimitriou

(1985)[6], phân tích xác suất của công nghệ tự động sẽ

được thảo luận trong Karp và Steele (1985)[7], và sự phát

triển và thử nghiệm thực tế về chẩn đoán được báo cáo

trong Golden và Stewart (1985)[8]

Để biết về sự gần gũi của các ràng buộc trên với giá trị

tối ưu, người ta cũng phải biết một thấp hơn ràng buộc

về giá trị tối ưu Nếu trên và giới hạn dưới trùng, một

bằng chứng của tối ưu là đạt được Nếu không, một ước

tính bảo thủ của sai số tương đối thực sự của các ràng

buộc trên được cung cấp bởi sự khác biệt của phần trên

và phần dưới bị ràng buộc chia cho ràng buộc thấp hơn

Do đó, cần cả trên và kỹ thuật ranh giới thấp hơn để tìm

thể chứng minh giải pháp tối ưu cho các vấn đề tổ hợp

khó khăn hoặc thậm chí để có được các giải pháp đáp

ứng một sự đảm bảo chất lượng

Vì vậy, làm thế nào để có được và cải thiện thấp hơn

ràng buộc? Một thư giãn của một vấn đề tối ưu hóa

là một vấn đề tối ưu hóa mà bộ các giải pháp khả thi

đúng có chứa tất cả các giải pháp khả thi của vấn đề ban

đầu và có giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn hoặc bằng với

đúng giá trị hàm mục tiêu cho các điểm khả thi cho vấn

đề ban đầu Do đó chúng tôi thay thế các “true” vấn đề

bằng một với một khu vực có tính khả thi hơn đó là khả

năng giải quyết dễ dàng hơn ư giãn này được tiếp tục

tinh chế để thắt chặt các khu vực có tính khả thi để nó

đại diện cho chặt chẽ hơn vấn đề thực sự Các kỹ thuật

tiêu chuẩn để đạt được giới hạn thấp hơn trên các vấn

đề TSP là sử dụng một thư giãn mà là dễ dàng hơn để

giải quyết hơn vấn đề ban đầu Những nới lỏng có thể

có một trong hai bộ khả thi rời rạc hay liên tục Một số

nới lỏng đã được xem xét cho TSP Trong số đó là thư

giãn n-đường dẫn, thư giãn chuyển nhượng, thư giãn 2

phù hợp, thư giãn 1-cây, và các chương trình thư giãn

tuyến tính Để tạo ra một cách ngẫu nhiên TSPs không

đối xứng, vấn đề có đến 7500 thành phố đã được giải

quyết bằng cách sử dụng thư giãn khoán, trong đó cho

biết thêm subtours trong một khuôn khổ chi nhánh và

ràng buộc và trong đó sử dụng một phỏng đoán ranh

giới trên dựa trên subtour vá, (Miller và Pekny, 1991)

[9] Đối với TSP đối xứng, thư giãn 1-cây và nới lỏng 2

phù hợp đã thành công nhất Những nới lỏng đã được

nhúng vào một khuôn khổ chi nhánh và cắt

á trình tìm kiếm hạn chế được vi phạm bởi một thư

giãn nhất định, được gọi là một máy bay cắt kỹ thuật

và tất cả những thành công cho các vấn đề TSP lớn

đã sử dụng máy bay để cắt liên tục thắt chặt việc xây

dựng của vấn đề Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng

tất cả các phương pháp tính toán thành công với TSP

sử dụng khía cạnh-định bất bình đẳng như cắt máy bay

Máy bay cắt chung loại của văn học lập trình số nguyên

sử dụng đơn cơ sở-đại diện để có được cắt giảm, chẳng

hạn như Gomory hoặc cắt giảm giao lộ, từ lâu đã bị bỏ

rơi vì tính chất hội tụ nghèo

Một trong những cắt giảm đơn giản đã được chứng minh để xác định các khía cạnh của TSP polytope cơ bản là cắt giảm loại bỏ subtour Bên cạnh những khó khăn, bất bình đẳng lược, sự bất bình đẳng cây bè lũ, con đường, xe cút kít và xe đạp bất bình đẳng, bất bình đẳng thang và vương miện đã được hiển thị để xác định các khía cạnh của polytope này Lý thuyết

cơ bản của thế hệ khía cạnh cho việc đi lại vấn đề nhân viên bán hàng đối xứng được cung cấp trong Grötschel và Padberg (1985)[10] và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)[1] Các mô tả thuật toán như thế nào chúng được sử dụng trong việc cắt giảm các cách tiếp cận chiếc máy bay sẽ được thảo luận trong Padberg và Rinaldi (1991)[9]và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)[1] Triển khai thực hiện xử lý song song được trình bày trong Christof và Reinelt (1995)[11]và Applegate, et al (1998)[12] Cắt giảm các thủ tục máy bay sau đó có thể được nhúng vào một cây tìm kiếm được gọi là chi nhánh

và cắt giảm Một số vấn đề TSP lớn nhất giải quyết đã

sử dụng xử lý song song để hỗ trợ trong việc tìm kiếm tối ưu eo sự hiểu biết của chúng ta về cấu trúc toán học cơ bản của vấn đề TSP được cải thiện, và với sự tiến

bộ liên tục trong công nghệ máy tính, có khả năng là nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn và quan trọng

sẽ được giải quyết bằng cách kết hợp cắt thủ tục thế hệ máy bay, chẩn đoán, sửa chữa biến thông qua tác động hợp lý và giảm chi phí và tìm kiếm cây

1.3.4 Ứng dụng

Người ta có thể hỏi, tuy nhiên, cho dù vấn đề để nhận được tất cả sự chú ý của nó có Ngoài việc là một

“polytope” của một vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn

từ một phức tạp điểm lý thuyết của xem, có những trường hợp quan trọng của các vấn đề thực tế có thể được xây dựng như các vấn đề TSP và nhiều vấn đề khác là những khái quát của vấn đề này Bên cạnh việc khoan mạch in bảng mô tả ở trên, vấn đề có cấu trúc TSP xảy ra trong phân tích cấu trúc của các tinh thể, (Bland và Shallcross, 1987)[13], các đại tu động cơ tuốc bin khí (Pante, Lowe và Chandrasekaran, 1987)[14], trong xử lý vật liệu trong một nhà kho (Ratliff và Rosenthal, 1981)[15], trong việc cắt giảm các vấn đề chứng khoán, (Garfinkel, 1977), các phân nhóm của các mảng dữ liệu, (Lenstra và Rinooy Kạn, 1975), trình tự các công việc trên một máy tính duy nhất (và Gilmore Gomory, 1964) và phân công các tuyến đường cho máy bay của một hạm đội quy định (Boland, Jones,

và Nemhauser, 1994) Biến thể có liên quan về vấn đề nhân viên bán hàng đi du lịch bao gồm các nguồn tài nguyên hạn chế đi du lịch vấn đề nhân viên bán hàng trong đó có các ứng dụng trong lập kế hoạch với thời hạn tổng hợp (Pekny và Miller, 1990) Nghiên cứu này cũng cho thấy giải thưởng thu thập đi vấn đề nhân viên bán hàng (Balas, 1989)[16] và các vấn đề Orienteering (Golden, Levy và Vohra, 1987)[14]là trường hợp đặc biệt của tài nguyên hạn chế TSP an trọng nhất là vấn

đề nhân viên bán hàng đi du lịch thường thể hiện như

một bài toán con trong nhiều vấn đề tổ hợp phức tạp,

là nổi tiếng và quan trọng nhất trong số đó là vấn đề

định tuyến xe, có nghĩa là, vấn đề xác định cho một đội

xe mà khách hàng sẽ được phục vụ bởi mỗi chiếc xe

và theo thứ tự mỗi chiếc xe nên đến các khách hàng

được giao Đối với các cuộc điều tra có liên quan, xem

Christofides (1985) và Fisher (1987)

uật toán tối ưu hóa đã được áp dụng cho nhiều

vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác nhau, từ phân bậc hai

với Proteingấp hoặc định tuyến xe (Vehicle routing

problem) và rất nhiều phương pháp có nguồn gốc đã

được thích nghi với các vấn đề năng động trong thực

tế các biến ngẫu nhiên, các vấn đề ngẫu nhiên, đa

mục tiêu và triển khai song song Nó cũng đã được sử

dụng để sản xuất các giải pháp gần tối ưu cho vấn đề

nhân viên bán hàng đi du lịch Họ có lợi thế hơn mô

phỏng luyện kim (Simulated annealing) và thuật toán

di truyền (Genetic algorithm) của phương pháp tiếp cận

vấn đề tương tự khi đồ thị có thể thay đổi tự động;

thuật toán đàn kiến có thể chạy liên tục và thích ứng

với những thay đổi trong thời gian thực Đây là quan

tâm trong mạng định tuyến (Network routing) và các

hệ thống giao thông đô thị

Các thuật toán ACO đầu tiên được gọi là hệ thống Ant

[17] và nó nhằm mục đích để giải quyết vấn đề nhân

viên bán hàng đi du lịch, trong đó mục đích là để tìm

ngắn chuyến đi vòng quanh để liên kết một loạt các

thành phố Các thuật toán chung là tương đối đơn giản

và dựa trên một tập hợp các kiến, mỗi người làm của

vòng các chuyến đi có thể cùng các thành phố Ở mỗi

giai đoạn, các kiến lựa chọn để di chuyển từ một thành

phố khác theo một số quy tắc:

1 Nó phải đến mỗi thành phố đúng một lần

2 Một thành phố xa xôi có ít cơ hội được lựa chọn (khả năng hiển thị

3 Cường độ cao hơn đường mòn pheromone đặt ra trên một cạnh giữa hai thành phố, lớn hơn xác suất mà cạnh

đó sẽ được chọn

4 Đã hoàn thành cuộc hành trình của nó, là kiến gia gửi pheromone hơn trên tất cả các cạnh nó đi qua, nếu cuộc hành trình ngắn

5 Sau mỗi lần lặp, những con đường mòn các kích thích

tố bay hơi

1.3.5 Độ phức tạp tính toán

Phiên bản quyết định của bài toán người bán hàng là NP-đầy đủ Ngay cả khi khoảng cách giữa các thành phố làkhoảng cách Euclide, bài toán vẫn là NP-khó

- Với n thành phố thì có: 1/2 × (n − 1)! đường đi + Giả sử n = 16 =>> 1/2 * 15! = 6.54 ×1011đường đi =>>

Số đường đi quá lớn

Độ phức tạp của tính xấp xỉ

Trong trường hợp tổng quát, bài toán người bán hàng

là NPO-đầy đủ Khi các khoảng cách thỏa mãn bất đẳng thức tam giác và đối xứng, bài toán là APX-đầy đủ và thuật toán Christofidescó thể tìm lời giải xấp xỉ không quá 1,5 lần lời giải tối ưu

Khi các khoảng cách là bất đối xứng nhưng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, thuật toán tốt nhất hiện nay

đạt tỉ lệ xấp xỉ O(log n/ log log n) [18]

1.5 LIÊN KẾT NGOÀI 7

1.3.6 Các trường hợp đặc biệt

1.3.7 Cải thiện ngẫu nhiên

Tối ưu hóa chuỗi Markov thuật toán sử dụng để phát

tìm kiếm địa phương phụ các thuật toán có thể tìm

thấy một con đường rất gần với các tuyến đường tối

ưu cho 700 đến 800 thành phố TSP là một chuẩn mực

cho nhiều chẩn đoán chung đưa ra để tối ưu hóa tổ hợp

như các thuật toán di truyền, tìm kiếm Tabu, kiến thuộc

địa tối ưu hóa và các phương pháp entropy chéo

Không gian Euclide

Khi các thành phố là các điểm trong không gian

Euclide, bài toán vẫn là NP-đầy đủ Tuy nhiên, khi

số chiều của không gian là hằng số, có thuật toán

để tìm lời giải xấp xỉ với độ chính xác bất kì Cụ

thể hơn, với bất kì ϵ > 0 , và d là số chiều của

không gian Euclide, có thuật toán chạy trong thời gian

(√

d/ϵ) O(d( √

d/ϵ) d −1)

n + O(dn log n)và tìm ra lời giải

không quá 1 + ϵ lời giải tối ưu.[19]

1.4 Ghi chú

[1] M Jünger, G Reinelt and G Rinaldi (1994) “e

Traveling Salesman Problem,” in Ball, Magnanti,

Monma and Nemhauser (eds.), Handbook on

Operations Research and the Management Sciences

North Holland Press, 225-330

[2] D S Johnson (1990) “Local Optimization and the

Traveling Salesman Problem,” Proc 17th Colloquium

on Automata, Languages and Programming, Springer

Verlag, 446-461

[3] J.V Potvin (1996) “Genetic Algorithms for the Traveling

Salesman Problem”, Annals of Operations Research 63,

339-370

[4] J.V Potvin (1993), “e Traveling Salesman Problem:

A Neural Network Perspective”, INFORMS Journal on

Computing 5 328-348

[5] C.N Fiechter (1990) “A Parallel Tabu Search Algorithm

for Large Scale Traveling Salesman Problems”

Working Paper 90/1 Department of Mathematics, École

Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland

[6] D S Johnson and C.H Papadimitriou (1985)

“Performance Guarantees for Heuristics,” in e

Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy

Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 145-180

[7] R Karp and J.M Steele (1985) “Probabilistic Analysis of

Heuristics,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler,

Lenstra, Rinnooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley,

181-205

[8] B.L Golden and W.R Stewart (1985) “Empirical

Analysis of Heuristics,” in e Traveling Salesman

Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 207-250

[9] D Miller and J Pekny (1991) “Exact Solution of Large Asymmetric Traveling Salesman Problems,” Science

251, 754-761

[10] ] M.W Padberg and M Grötschel (1985) “Polyhedral Computations,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 307-360

[11] T Christof and G Reinelt, (1995) “Parallel cuing plane generation for the TSP in Parallel Programming and Applications (P Fritzson, L Finmo, eds.) IOS Press, 163-169

[12] D Applegate, R.E Bixby, V Chvatal, and W Cook (1998) “On the solution of traveling salesman problems” Documenta Mathematica - Extra Volume, ICM III 645-658

[13] RE Bland và DF Shallcross (1987) "Đi du lịch lớn người bán hàng vấn đề phát sinh từ thí nghiệm trong X-quang tinh thể: Báo cáo sơ bộ về tính toán,” Báo cáo kỹ thuật

số 730, Trường OR / IE, Đại học Cornell, Ithaca, New York

[14] BL Golden, L Levy và R Vohra (1987) “Vấn đề Orienteering,” Hải quân nghiên cứu Logistics 34, 307-318

[15] HD Ratliff và AS Rosenthal (1981) “Trật tự hái trong một kho hình chữ nhật: Một trường hợp khả năng giải quyết cho vấn đề người bán hàng Du lịch,” PDRC Báo cáo Dòng số 81-10 Viện Công nghệ Georgia, Atlanta, Georgia

[16] E Balas (1989) “Giải thưởng Du lịch u vấn đề người bán hàng,” Mạng 19, 621-636

[17] M Dorigo, V Maniezzo, et A Colorni, Ant system:

optimization by a colony of cooperating agents, IEEE

Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part

B, volume 26, numéro 1, pages 29-41, 1996

[18] Arash Asadpour, Michel X Goemans, Aleksander Mądry, Shayan Oveis Gharan, Amin Saberi (2010)

“An O(log n/ log log n)-approximation algorithm for the asymmetric traveling salesman problem” (PDF)

Proceedings of the Twenty-First Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '10) Society

for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia,

PA, USA tr 379–389

[19] Satish B Rao, Warren D Smith (1998).“Approximating geometrical graphs via “spanners” and “banyans"”

Proceedings of the thirtieth annual ACM symposium on

eory of computing (STOC '98) ACM, New York, NY,

USA tr 540–550.doi:10.1145/276698.276868

1.5 Liên kết ngoài

Tiếng Anh:

• Demo applet of a genetic algorithm solving TSP

and VRPTW online

• TSPLIB

• Travelling Salesman ProblematGeorgia Tech

• Example of finding approximate solution of TSP

problem using a genetic algorithm

• A Java implementation of a TSP-solution using

JGAP (Java Genetic Algorithms Package) e

technique used is aGenetic Algorithm

• Solution of the Travelling Salesman Problem

using a Kohonen Map

• Kohonen Neural Networkapplied to the Traveling

Salesman Problem (using three dimensions)

• Most TSP loop families grow polynomiallyPrivate

web page shows that a method exists for obtaining

a set of optimal “travelling salesman” routes that

is a member of a family that grows no faster

than about 2nIn2 However, even for large n, the

method yields a polynomial rate for most sets of

fields of nodes

• VisualBots - Freeware multi-agent simulator

in Microso Excel Sample programs include

genetic algorithm, ACO, and simulated annealing

solutions to TSP

• Work-in-progress aempted proofon private web

page of polynomial calculation time on the 2-D

undirected graph

• Links to TSP source codes

• http://www.delphiforfun.org/Programs/

traveling_salesman.htme Travelling Salesman

Problem (TSP) requires that we find the shortest

path visiting each of a given set of cities and

returning to the starting point

• CONCORDE Home of the CONCORDE TSP

Solver, an ANSI C library dedicated to solving the

TSP problem

• tham khảo