CÔNG THỨC các bài tập về đa GIÁC

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả + Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác.. Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đư

CÔNG THỨC CÁC BÀI TẬP VỀ ĐA GIÁC

I LÝ THUYẾT 1

1 Đa giác 1

2 Đa giác đơn 2

3 Đa giác lồi 2

4 Đường chéo của đa giác 2

5 Đa giác đều 2

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 2

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 3

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 4

1 Tính số cạnh của một đa giác 4

2 Tính số đo góc trong đa giác 8

3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác 13

4 Diện tích đa giác 19

4.1 Hàm diện tích: 19

4.2 Diện tích đa giác đơn 19

4.3 Diện tích của các hình phẳng 19

a Hình đơn giản: 19

b Hình khả diện 19

c Các tính chất của diện tích đa giác 19

4.4 Các công thức tính diện tích 20

5 Các khoảng cách trong đa giác 25

6 Một số bài toán cơ bản khác 28

I LÝ THUYẾT

1 Đa giác.

Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n ≥3) A1A2…An+1 sao cho đỉnh đầu

Aa và đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1A2 và cạnh cuối AnAn+1 ( cũng coi

là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng

Đa giác như thế kí hiệu là A1A2…An Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng AiAi+1 gọi là các cạnh của

đa giác Góc Ai-1AiAi+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai

2 Đa giác đơn

ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không

có điểm chung

3 Đa giác lồi

ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa

bất lì một cạnh nào của đa giác đó

4 Đường chéo của đa giác

ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường

chéo của đa giác đó

ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch

thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn n

5 Đa giác đều.

ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau.

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC

VD1: Cho hình n_ giác lồi

a Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800

b Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác

Giải:

a Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó

Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác.Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng (n - 2).1800

b Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng

1800

Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằngn.1800

Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).1800.

Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.1800 – (n - 2).1800 =

Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo

Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả

+ Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác

Vậy hình n_ giác có n n( 2−1) - n = n n( 2−3) đường chéo

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN

TRONG ĐA GIÁC

1 Tính số cạnh của một đa giác

2 Tính số đo góc trong một đa giác

3 Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác

4 Diện tích đa giác.

5 Các khoảng cách trong đa giác

6 Một số bài toán cơ bản

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN

1 Tính số cạnh của một đa giác.

Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nóbằng 5700 Tính số cạnh của đa giác đó và µA

b Số đường chéo gấp đôi số cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700

Giải:

a Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).1800

+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600

Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600 ⇔ n = 4

Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4

b Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có:

2 = 2n ⇔ n2 – 3n = 4n ⇔ n = 7

Vậy đa giác đó có 7 cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên:

Vậy đa giác đó có 15 cạnh

Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là 23 Tính số cạnh của mỗi

TH3: n - 6 = - 3m + 4 = 8 n = 3m = 4

Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4

Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2mảnh Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2 Ta làm như vậy nhiều lần Hỏi

số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh

Giải:

+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh

Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh

Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh

+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1 ⇒ Sau n lần cắt số mảnhgiấy là n + 1

+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99 ⇒

Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh

a Khi n ≥1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn = n2+ n + 22 phần

b Khi n ≥3 thì trong Pn phần nói trên có Qn = n2- 3n + 22 đa giác

Chứng minh:

a n = 1 ta có: P1 = 1+ 1 + 22 = 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳngthành 2 phần ⇒ mệnh đề nói đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh

đề đúng cho trường hợp n đường thẳng

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài toán

Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 đường

thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn = (n - 1) + (n - 1) + 2 n - n + 22 = 2

Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong

đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là ∆ 1, ∆ 2,… Δ n

Mỗi Δ i đều nằm trong một và chỉ một Dj nào đó và chia Dj thành 2 phầnbởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là:

Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n ≥ 4) và tachứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không có 3đường thẳng nào đồng quy) Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1,

d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có :

Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó

có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là Δ ,Δ , Δ 1 2 n-2 Mỗi một đoạn ∆ 1 nằmtrong một đa giác D j nào đó và chia D j thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà nđường thẳng phân chia là:

b Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không?

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’

là lục giác đều

Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là

22250 Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dàibằng nhau

Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màuxanh hoặc đỏ Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu

2 Tính số đo góc trong đa giác.

Bài tập mẫu:

Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều.

Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE

a Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP Chứng minh rằng IK

Mà IQ = IN ⇒ I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành

⇒ I,M,F thẳng hàng và IM = IF

Ta có: IM IF         KM KP== 

⇒IK = 12PF (1)

A B

C D

Bài 3: Cho hình vuông ABCD Lấy một điểm E thuộc miền trong của hìnhvuông sao cho ·EAB = ·EBA = 150 Chứng minh

rằng ΔCDE đều

Giải:

+ Dựng Δđều EFB sao cho F và C ở cùng

phía đối với EB

⇒ ·FBC = 900 – (·EBA+·EPF) = 150

AB = BC  ABE = CBF = 15

⇒ ·FCB = 150 ⇒ ·FCE = 150, ·FCB = 1500 ⇒ ·EFC = 1500 ⇒ ·CEF = 150

⇒ ΔCBF cân tại C ⇒ CE = CB = CD Vậy ΔCDEđều

Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn

Giải:

Giả sử đa giác lồi có K ≥ 4 góc nhọn Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh

đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù Vì vậy nếu đagiác có K ≥ 4 góc nhọn thì sẽ có K ≥ 4 góc ngoài là góc tù ⇒ tổng các góc

ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi bất kì tổng các gócngoài chỉ bằng 3600).

Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn

Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và ABC = 2DBE· · Hãy tính ·ABC

Giải: Ta có ·DBE = 12 ·ABC

Giải:

+ Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD

và DE Gọi I là giao điểm của AM và BN

a Tính ·AIB

b ·OID (Với O là tâm của lục giác đều)

Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra A+C+Eµ µ µ =

µ µ µ

B+D+F Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song

Bài 3: Cho ∆ cân ABC (AB = AC) và A µ = 1000 M là một điểm trong tam giácsao cho · MBC = 100 và · MCB = 200 Tính · AMB

Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều

bé hơn 1200 Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù.Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF,

CD và AE vừa song song vừa bằng nhau Lục giác ABCDEF có nhất thiếy làlục giác đều hay không?

Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau Chứng minh rằnghiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau

Bài 7: Cho ∆ABC với AB = BC và · ABC = 800 Lấy trong tam giác đó điểm Isao cho · IAC = 100 và · ICA = 300 Tính AIB ·

Bài 8: Cho ΔABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE Hãy xác định cácgóc ¶ A, µ B, µ C biết ·BDE = 240 và ·CED = 180

Bài 9: Cho hình vuông ABCD Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BCtương ứng sao cho BP = BQ Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm Bxuống cạnh PC Chứng minh rằng ·DHQ = 1v.

Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BCPAD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB, BC, CD, DA

a Chứng minh MP là tia phân giác của góc ·QMN.

b Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đườngchéo để ·MNQ = 450

Bài 11: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng đơn vị Gọi P và Q là 2điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD Chứng minh: Chu vi ∆APQ= 2 khi vàchỉ khi QCP· = ° 45

Bài 12: Khoảng cách giữa 2 chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh của hìnhthoi xuống hai cạnh của nó bằng ½ độ dài đường chéo của hình thoi Tính cácgóc của hình thoi

Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M là trungđiểm của AH, K là trung điểm của CD Tính ·BMK

Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD, biết µB+Cµ =200°, B Dµ + = µ 180°, C Dµ + = µ 120°

a Tính các góc của tứ giác

b Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I CM: · µ µ

2

C D AIB= +

Bài 15: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhauthì có ít nhất một góc là góc tù

Bài 16: Cho tứ giác ABCD có ·BAC= ° 25 ,CAD· = ° 75 ,·ABD= ° 40 ,CBD· = ° 85 Tính số đocủa ·BCD

3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác.

Bài tập mẫu:

Trong hình n_ giác có tất cả n n( 2−3) đường chéo.

Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ biếtđược số đường chéo của đa giác đó Ngược lại nếu cho số đường chéo củamột đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó

Chằng hạn:

+ Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 10(10 3)2 − =35

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu?

Ta có n n( 2−3) = 35 ⇔n2 – 3n = 70 ⇔ 3 2 17 2

n− = ⇔ =n

Vậy đa giác đó có 10 cạnh

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu?

Giải pt n n( 2−3)= 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm,nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36

Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéocủa một đa giác

+ Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéokhông?

Giải phương trình: n n( 2−3) = n (n Z n∈ + ≥ 3) ta sẽ tìm được câu trả lời

( 3)

2

n n−

= n⇔n2 – 5n = 0 ⇔ n = 5

Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác

+ Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như cótồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay là tìm

số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảng xác đinh.VD: Cho 14 < n( n - 3)2 < 27 ⇔ 28 < n2 – 3n < 54

⇔ 11 2 3 2 15 2 11 3 15

2 < −n 2 < 2 ⇔ 2 < − <n 2 2

⇔7 < n < 9 ⇒ n = 8

Bài 1: Tính số đường chéo củ hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều

Giải: + Số đường chéo của hình 5 cạnh đều là: 5(5 3) 5

2 − =

+ Số đường chéo của hình 9 cạnh đều là 9( 9 - 3) = 18

2

Bài 2: Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi, tổng độ dài các cạnh nhỏ

Chứng minh:

+ Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho

Gọi H là giao điểm của AD và CF.

Ta có S ADEF = S CDEF = 12 S ABCDEF

+ Mà S EID= 12 S EFD; S EID+ S DIKC+ S BKC = 12 S ABCDEF

Mặt khác: S EDCB = 12 S ABCDEF ⇒ SEDCB= S EDI+ S DIKC+ S BKC

+ H’ = BE ∩ KI ⇒ SBKH' = S EIH' ⇒ BI // KE

Ta có KE // IB; KC // IF, CE // BF (theo chứng minh trên)

⇒ ∆ EKC đồng dạng ∆ BIF ⇒ BI

EK = KCIF = ACFD+ Mà BI // BE ⇒ BI

KE = H'KH'IVậy H'KH'I = ACFD

Từ (1) , (2) ⇒ H'I

H'K = HKHI ⇒ H ≡ H’

Vậy AD, BE, CF đồng quy

Bài 4: Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD (AD//BC) cặt nhautại O Bán kính đường tròn nội tiếp các ΔAOD, ΔAOB, ΔBOC,ΔCODlần lượt là r1,

F

cB

I

K H

Giả sử ΔAOD,ΔAOB,ΔBOC,ΔCODcó diện tích và nửa chu vi lần lượt là S1, P1, S2,

P

P ⇔S1=

2

1 3 2 3

P S P

3 1 3 2 3

P P

S P S P

về phía ngoài của nó, dựng các hình

các đường chéo bằng nhau và

vuông góc với nhau

Giải: Gọi M là trung điểm của

A

D

B

C O

A

O4

O 1

B

O 2

C

O 3 M

D

+ Dễ thấy ΔO AB 1 ,ΔO BC 2 ,ΔO CD 3 ,ΔO DA 4 là các tam giác vuông cân.

1 đa giác)

Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3) Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là bađường chéo của đa giác

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD)

a Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O của hai đường chéocắt các cạnh bên ở E và F Chứng minh: OE = OF

b Đường thẳng n song song với đáy và cắt 2 đường chéo ở H và K, cắt haicạnh bên ở M,N Chứng minh rằng NH = KN

Bài 5: Chứng minh rằng có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp một hìnhbình hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh của hình bình hành MNPQ nằm trên

mỗi cạnh của hình bình hành ABCD) và các hình bình hành này có chung tâmđối xứng.

4 Diện tích đa giác.

4.1 Hàm diện tích:

là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng ánh xạ S: → R+ (R+ làtập hợp tất cả các số thực dương) gọi là hàm diện tích nếu nó thoả mãn cáctính chất sau đây

+ Nếu 2 đa giác H1 và H2 bằng nhau thì S(H1) = S(H2)

+ Nếu đa giác H được phân hoạch thành các đa giác H1, H2,…,Hn thì

4.2 Diện tích đa giác đơn.

Định lí: Nếu hàm diện tích tồn tại thì nó là duy nhất

+ Diện tích hình khả diện:

Diện tích S(X) của hình X là giá trị S(X) = S(X) = S(X)

c Các tính chất của diện tích đa giác.

+ Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

+ Nếu một trong hai đa giác được chia thành các đa giác không có điểmtrong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác đó.

+ Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích bằng một đơn vịvuông

4.4 Các công thức tính diện tích

a Diện tích hình chữ nhật: S = ab

b Diện tích hình vuông: S = a2

c Diện tích tam giác:

+ Tam giác vuông: S = 12ab

+ Tam giác bất kì: S = 12a.h

d Diện tích hình thang: S = 12(a+b)h

e Diện tích hình bình hành: S = a.h

f Diện tích hình thoi: S = a.h = m.n (m.n là 2 đường chéo)

* Diện tích của hình có 5 cạnh trở lên dựa vào việc phân chia thành các tamgiác và các tứ giác đặc biệt để tính

Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, qua giao điểm O của 2 đường chéo ta kẻ 2đường thẳng vuông góc MON và POQ cắt các cạnh AD,BC,CD,AB theo thứ

tự tại M,N,P,Q Chứng minh rằng 2 đường thẳng này chia hình vuông thành 4

tứ giác có diện tích bằng nhau