Nghiên cứu lý thuyết bài toán tương tác FSI ứng dụng vào mô phỏng bài toán tuabin gió và tuabin động cơ phản lực hai luồng

Mục đích nghiên cứu của đề tài Đề tài được thực hiện với hai mục đích chính: - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết các phương pháp tính toán động lực học chất lưu CFD phương pháp thể tích hữu hạ

Mẫu 1a MẪU BÌA LUẬN VĂN CÓ IN CHỮ NHŨ VÀNG Khổ 210 x 297 mm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Kỹ thuật máy và thiết bị thủy khí

Mẫu 1b MẪU TRANG PHỤ BÌA LUẬN VĂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

LƯU HỒNG QUÂN

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT BÀI TOÁN TƯƠNG TÁC FSI ỨNG DỤNG VÀO MÔ PHỎNG BÀI TOÁN TUABIN GIÓ VÀ TUABIN

ĐỘNG CƠ PHẢN LỰC HAI LUỒNG

Chuyên ngành : Kỹ thuật máy và thiết bị thủy khí

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Kỹ thuật máy và thiết bị thủy khí

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

TS NGUYỄN PHÚ KHÁNH

MỤC LỤC

Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt 4

Danh mục các hình vẽ, đồ thị 6

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI 9

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC FSI 12

Chương I TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG CFD 12

1.1 Những khái niệm cơ bản và các phương trình bảo toàn của chất lưu. 1.1.1 L ời giới thiệu 12

1.1.2 C ác định luật bảo toàn cơ bản 13

1.2 G iới thiệu về phương pháp số 19

1.2.1 P hương pháp tiếp cận động lực học dòng chất lưu 19

1.2.2 C FD là gì 20

1.2.3 K hả năng và hạn chế của phương pháp số 21

1.2.4 C ác thành phần của phương pháp số 22

1.2.5 C ác phương pháp rời rạc hóa 26

Chương II TÍNH TOÁN KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH(FEM) 28 2.1 K hái niệm 28

2.2 L ịch sử phát triển 28

2.3.3 C

ác dạng phần tử 31

2.3.4 P hần tử quy chiếu, phần tử thực 32

2.3.5 L

ực, chuyển vị, biến dạng, ứng suất 35

2.3.6 N guyên lý cực tiểu hóa thế năng toàn phần 37

2.3.7 T rình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH 37

3.1.2 P hân loại tương tác FSI 43

3.1.3 C

ác ứng dụng điển hình 45

3.2 P hương pháp số tính toán tương tác FSI 46

PHẦN II: ỨNG DỤNG TÍNH TOÁN FSI VỚI MÔ HÌNH TUABIN GIÓ VÀ TUABIN ĐỘNG CƠ MÁY BAY 56

Chương IV GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CODE TÍNH TOÁN ANSYS

WORKBENCH VÀ ANSYS FLUENT 56

4.1 T ổng quan về môi trường ANSYS WORKBENCH 57

4.1.1 G iới thiệu chung ANSYS WORKBENCH 57

4.2 G iới thiệu chung về phần mềm ANSYS Fluent 59

5.1 Đ

ặt vấn đề 62

5.2 N ghiên cứu đặc tính khí động tuabin gió 64

5.2.4 K

ết quả mô phỏng và đánh giá 70

5.3 N ghiên cứu đặc tính kết cấu cánh tuabin (FSI) 75

5.3.1 P hương pháp số 75

5.3.2 M

ô hình hình học và lưới 77

5.3.3 Đ iều kiện biên 79

5.3.4 K

ết quả mô phỏng và đánh giá 80

Chương VI MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC FSI TUABIN CAO ÁP ĐỘNG CƠ GE90 82

6.1 Đ

ặt vấn đề 82

6.2 P hương pháp số 83

6.2.1 T ính toán CFD 83

6.2.2 T ính toán kết cấu 83

6.4.1 T ính toán CFD 89

6.4.2 T ính toán tương tác FSI 92

ết quả mô phỏng tương tác FSI 95

KẾT LUẬN CHUNG VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 98

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

• a : Hệ số dòng chảy dọc theo trục-hệ số thu hẹp dòng chảy

• a’ : Hệ số dòng chảy theo phương tiếp tuyến

vị trí xa vô cùng phía trước,phía sau và ngay tại rotor

cánh

tác dụng lên cánh rotor

• C x : Hệ số lực lên phân tố cánh theo phương dọc trục

phương tiếp tuyến

ngay trước và sau rotor

vị trí xa vô cùng phía trước,phía sau và ngay tại rotor

• P: Công suất định mức

• CFD (Computational Fluid Dynamics): Động lực học chất lưu

• CSD (Computational Structure Dynamics): Động lực học kết cấu

• FEM(Finite Elements Method): Phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)

• FSI (Fluid Structure Interaction) : Tương tác chất lưu – kết cấu

• AC (Axial chord): Chiều dài của dây cung chiếu lên phương dọc trục

• HPT ( High Pressure Turbine): Turbin cao áp

• RPM (Rounds Per Minute): Vòng trên phút

• PPH (Pounds Per Hour): Pound trên giờ

• SFC (Specific Fuel Consumption): Suất tiêu hao nhiên liệu

• TO (Take-off): Sự cất cánh

• PSI (Pound Per Inch): Pound trên inch bình phương

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Ví dụ về một lưới 2D có cấu trúc, không trực giao 23

Hình 1.2 Ví dụ về lưới kết cấu khối 2D được bắt (match) tại mặt giao nhau 23

Hình 1.3 Một lưới composite 2D 24

Hình 1.4 Ví dụ về một lưới phi cấu trúc 2D 24

Hình 2.1 Sự giao nhau giữa các phần tử (biên giới) 31

Hình 2.2 Phần tử một chiều 31

Hình 2.3 Phần tử 2 chiều 31

Hình 2.4 Phần tử 3 chiều 32

Hình 2.5 Phần tử lăng trụ 32

Hình 2.6 Hình chiếu các phần tử theo các phương khác nhau 33

Hình 2.7 Phần tử 1 chiều 34

Hình 2.8 Phần tử 2 chiều 34

Hình 2.9 Phần tử 3 chiều .35

Hình 2.10 Các phần tử 3 chiều - 6 mặt 35

Hình 3.1 Tương tác FSI trong máy cánh dọc trục 43

Hình 3.2 FSI một chiều 44

Hình 3.3 FSI hai chiều 44

Hình 3.4 Cầu Tacoma Narrows bị phá hủy do hiện tượng tương tác FSI năm 194045 Hình 3.5 Phương pháp so le 47

Hình 3.6 Phương pháp lựa chọn: so le – một chiều 48

Hình 3.7 Sơ đồ thuật giải tương tác FSI một chiều 51

Hình 3.8 Lưới phân tích kết cấu (phần tử hữu hạn) và phân tích chất lưu (thể tích hữu hạn) 52

Hình 3.9 Vị trí biên CFD và biên kết cấu giống nhau .53

Hình 3.10 Ánh xạ kết quả từ bề mặt CFD lên bề mặt phân tích kết cấu 54

Hình 4.1 Các modul trong ANSYS WORKBENCH 58

Hình 4.2 Thư viện Tạ Quang Bửu 61

Hình 5.1 Miền tính toán .67

Hình 5.2 Mô hình lưới 67

Hình 5.3 Điều kiện biên .68

Hình 5.4 Trường vận tốc tại mặt cắt y0z(x=0) .70

Hình 5.5 Đồ thị vận tốc của chất điểm đi qua mặt cắt y0z, x=0 70

Hình 5.6 Trường áp suất tại mặt cắt y0z (x=0) 71

Hình 5.7 Đồ thị áp suất của chất điểm đi qua mặt cắt y0z, x=0 71

Hình 5.8 Phân bố áp suất tổng trên cánh 72

Hình 5.9 Đồ thị P/Pmax, T/Tmax theo vận tốc gió 73

Hình 5.10 Đồ thị Cp, Ct theo λ 74

Hình 5.11 Sơ đồ tính FSI trong Ansys 76

Hình 5.12 Mô hình hình học tính FSI .77

Hình 5.13 Mô hình lưới chất lưu của hai domain trong và ngoài 78

Hình 5.14 Mô hình lưới kết cấu cánh .78

Hình 5.15 Trường áp suất tác dụng lên cánh .80

Hình 5.16 Ứng suất tại gốc cánh .80

Hình 5.17 Chuyển vị trên cánh 81

Hình 6.1 Hình ảnh cấu tạo động cơ GE90 82

Hình 6.2 Mô hình 3D tầng một Tuabin cao áp .84

Hình 6.3 Mô hình rút gọn 85

Hình 6.4 Mô hình tính toán trong FSI 85

Hình 6.5 Lưới trên mặt hub 86

Hình 6.6 Lưới trên mặt đầu vào và cạnh 87

Hình 6.7 Mô hình lưới trên cánh Rotor và Stator 89

Hình 6.8 Mô hình lưới trượt 90

Hình 6.9 Điều kiện biên .91

Hình 6.10 Áp suất đặt trên cánh Rotor và Stator 92

Hình 6.11 Trường áp suất trên cánh 93

Hình 6.12 Trường áp suất trên mặt trung bình 93

Hình 6.13 Trường vận tốc trên mặt trung bình 94

Hình 6.14 Sơ đồ ứng suất 96

Hình 6.15 Sơ đồ chuyển vị 97

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

Lý do chọn đề tài

Trước đây, khi muốn kiểm nghiệm một mô hình tính toán lý thuyết, cách duy nhất là chế tạo một mô hình thực sau đó cho vận hành trong thực tế Trong trường hợp mô hình quá lớn, người ta có thể dùng lý thuyết tương tự để tạo ra các mô hình nhỏ hơn Mặc dầu vậy, quá trình tính toán tương tự rất phức tạp với vô số tiêu chuẩn cần đáp ứng Một vấn đề nữa đặt ra là không phải lúc nào nguyên mẫu cũng đáp ứng được yêu cầu ngay lần đầu chế tạo Điều đó có nghĩa là nguy cơ phải chế tạo mô hình nhiều lần khá cao Việc này không chỉ tốn kém về mặt tiền bạc mà còn mất rất nhiều thời gian Nảy sinh yêu cầu làm thế nào để tiết kiệm thời gian, công sức và tăng chất lượng sản phẩm? Và công nghệ mô phỏng số đã ra đời đáp ứng những yêu cầu đó

Nhận ra những ưu điểm của công cụ số, thực tế Việt Nam đã bắt đầu quan tâm và ứng dụng phương pháp số để mô phỏng các bài toán phục vụ nghiên cứu hoặc trong công nghiệp cho rất nhiều lĩnh vực mà hai mảng quan trọng nhất là chất lưu (CFD) và kết cấu (sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn) Tuy nhiên trong thực tế các hiện tượng thường không xảy ra độc lập mà luôn có sự tương tác ảnh hưởng lẫn nhau, vì vậy để quan sát đánh giá cũng như kiểm tra một cách chính xác nhất ứng xử của kết cấu cũng như chất lưu thì cần phải thực hiện phân tích toàn diện tương tác rắn lỏng FSI (Fluid Structure Interaction)

Đề tài tính toán tương tác FSI trên thế giới đã được nghiên cứu nhiều năm nay nhưng tại Việt Nam còn rất mới mẻ Vì vậy tác giả muốn thực hiện đề tài tương tác FSI với hi vọng đề tài có thể là sự khởi đầu định hướng cho các nghiên cứu chuyên sâu hơn của chính tác giả cũng như là tài liệu tham khảo hữu ích trong lĩnh vực tính toán tương tác vô cùng thú vị này

Trong luận văn này tác giả sử dụng các module của họ phần mềm ANSYS cho quá trình tính toán mô phỏng hai bài toán ứng dụng: bài toán tuabin gió và tuabin cao áp động cơ hàng không ANSYS là một phần mềm mạnh của Hoa Kì được phát triển và ứng dụng rộng rãi trên thế giới Phần mềm ANSYS có thể liên kết với các phần mềm thiết kế mô hình hình học 2D và 3D, lấy đó làm mô hình hình học phục vụ quá trình mô phỏng: phân tích trường ứng suất, biến dạng … của kết cấu Nhờ đó, có thể đưa ra các thông số tối ưu cho quá trình thiết kế chế tạo

Mục đích nghiên cứu của đề tài

Đề tài được thực hiện với hai mục đích chính:

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết các phương pháp tính toán động lực học chất lưu CFD (phương pháp thể tích hữu hạn), kết cấu (phương pháp phần tử hữu hạn)

và tính toán tương tác FSI

- Ứng dụng cụ thể cho hai bài toán thực tế: tính toán tương tác FSI của cánh tuabin gió và cánh tuabin cao áp động cơ hàng không GE90 sử dụng các module của họ phần mềm ANSYS của Hoa Kì

Nội dung cơ bản của đề tài

Đề tài thực hiện với hai phần và sáu chương chính:

Phần 1: Cơ sở lý thuyết

- Tính toán động lực học chất lưu CFD

- Tính toán kết cấu

- Tính toán tương tác FSI

Phần 2: Ứng dụng tính toán FSI cho hai bài toán tuabin gió và TUABIN ĐỘNG CƠ MÁY BAY

- Giới thiệu phần mềm

- Mô phỏng FSI tuabin gió

- Mô phỏng FSI tuabin động cơ máy bay

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa khoa học: đề tài này nhằm mục đích trình bày lý thuyết phương pháp số tính toán tương tác FSI và ứng dụng cơ sở lý thuyết này vào tính toán hai bài toán thực tế Ngoài ra để tài mở ra một hướng nghiên cứu mới…

- Ý nghĩa thực tiễn: Hai ứng dụng tính toán mô phỏng tương tác FSI cho cánh tuabin gió và tuabin của động cơ máy bay có nhiều ý nghĩa thực tiễn Tuabin gió đang là một đề tài nóng hổi có thể triển khai tại các vùng hải đảo nông thôn mà điện lưới khó tiếp cận được Tuabin động cơ cao áp GE90 trợ giúp cho quá trình

bảo dưỡng cũng như làm tài liệu giảng dạy nghiên cứu

PHẦN I CƠ SỞ LÍ THUYẾT TÍNH TOÁN TƯƠNG

TÁC FSI Chương I TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG CFD

1.1 Những khái niệm cơ bản và các phương trình bảo toàn của chất lưu

1.1.1 Lời giới thiệu

Bản chất của dòng chất lưu là các phần tử kết cấu không chống lại được các lực cắt tác động từ bên ngoài thậm chí một lực rất nhỏ cũng có thế làm biến dạng chất lưu Mặc dù có sự khác biệt đáng kể giữa chất lỏng và chất khí, nhưng cả hai kiểu chất lưu này đều tuân theo cùng các định luật di chuyển Trong hầu hết các trường hợp nghiên cứu, chất lưu có thể xem như là một miền liên tục

Dòng chất lưu bị ảnh hưởng của các ngoại lực, bao gồm các áp lực khác nhau như trọng lực, lực cắt, lực quay và sức căng bề mặt, chúng ta có thể phân làm hai loại là lực mặt và lực khối

Trong khi tất cả các chất lưu ứng xử giống nhau dưới tác dụng của các lực, thì những tính chất vĩ mô của chúng khác nhau đáng kể, đó là những đặc tính cần phải biết nếu nghiên cứu đến sự di chuyển của chất lưu Đặc tính quan trọng nhất

của chất lưu đơn chất là khối lượng riêng và độ nhớt Mặt khác, các thông số khác như số Prandtk, nhiệt dung riêng và sức căng bề mặt tác động vào dòng chất lưu chỉ

dưới những điều kiện đã biết Mặc dù có thể đánh giá được một vài trong số chúng qua cơ học thống kê hoặc thuyết động năng , chúng thường nhận được bởi các phép

đo trong phòng thí nghiệm

Tốc độ của dòng chất lưu ảnh hưởng đến tính chất của chúng Ở tốc độ thấp

lực quán tính của chất lưu có thể bỏ qua và đây là dòng chảy bò creeping low Khi

tốc độ tăng lên, lực quán tính trở nên quan trọng nhưng mỗi phân tử chất lưu chảy

theo một quỹ đạo suôn mượt, dòng chất lưu này gọi là chảy tầng (laminar) Nếu tiếp tục tăng vận tốc sẽ dẫn đến dòng bất ổn định không thể đoán trước, gọi là dòng chảy rối (turbulent) Tỉ số giữa vận tốc dòng chất lưu và vận tốc âm thanh (số Mach) lúc này sẽ quyết định sự trao đổi giữa động năng di chuyển và bậc tự do cần

xem xét Với số Mach bé, M < 0,3 dòng có thể coi là không nén được; ngược lại thì gọi là nén được Nếu M < 1 dòng gọi là dưới âm, M > 1 dòng là trên âm và có thể xảy ra hiện tượng sóng va Cuối cùng M > 5 gọi là dòng siêu âm, xuất hiện biến đổi hóa tính của môi trường như ion hóa chất khí

Trong nhiều dòng chất lưu, tác động của độ nhớt chỉ quan trọng khi ở gần tường, do đó phần lớn dòng chất lưu chúng ta có thể xem là không nhớt Chất lỏng tuân theo định luật Newton gọi là Newtonian

1.1.2 Các định luật bảo toàn cơ bản

Các định luật bảo toàn có thể được suy ra bằng cách xem xét một đại lượng

đặc trưng đã biết của vật chất hoặc khối lượng điều khiển control mass (CM) và các đặc tính toàn cục (extensive) của chúng như khối lượng, động lượng và năng lượng

Phương pháp này thường được sử dụng để nghiên cứu động lực học vật rắn vì các đặc tính tổng thể của chúng (CM) có thể được xác định dễ dàng Tuy nhiên khi áp dụng cho chất lưu sẽ gặp nhiều khó khăn Vì vậy đối với dòng chất lưu, người ta xem xét dòng chất lưu tại một vùng không gian nhất định gọi là thể tích điều khiển (control volume) thay vì toàn bộ vật thể, phương pháp này gọi là phương pháp thể

tích điều khiển (control volume approach) [1]

Với khối lượng, nó không tự sinh ra mà cũng không tự mất đi trong dòng chất lưu, phương trình bảo toàn được viết như sau :

(1.1)

Mặt khác, động lượng có thể thay đổi bởi tác động của lực và phương trình bảo toàn của nó là định luật 2 Newton:

(1.2) Trong đó t là thời gian, m là khối lượng, v là vận tốc, f là lực tác động

Gọi φ là một đặc tính bảo toàn nào đó (với bảo toàn khối lượng φ =1; bảo toàn động lượng φ =v, bảo toàn vô hướng Φđại diện cho một đặc tính bảo toàn trên một đơn vị khối lượng ), có thể tính φ theo công thức

(1.3) Trong đó Ωcm là thể tích chiếm trong khối lượng điều khiển (CM), bằng cách sử dụng định nghĩa này, phương trình bảo toàn trong thể tích điều khiển (CV) có thể viết

(1.4)

Trong đó Ω CV là thể tích CV, S cv là bề mặt bao CV, n là vector đơn vị pháp tuyến với

S cv và hướng ra ngoài, v là vận tốc chất lưu và v b là vận tốc di chuyển của CV Phương trình này thể hiện rằng tốc độ biến thiên của đặc tính trong CM bằng độ biến thiên của đặc tính đó trong CV cộng thông lượng của nó qua biên CV do chuyển động của chất lưu qua biên đó Số hạng đạo hàm đầu tiên của vế phải trở thành một đạo hàm cục bộ (riêng phần), số hạng thứ hai thường được gọi là thông lượng đối lưu (convective) của φ qua biên CV

a, Bảo toàn khối lượng

Dạng tích phân của phương trình bảo toàn khối lượng cho Φ = 1

(1.5)

Áp dụng định lý Gauss’ divergence cho số hạng đối lưu, chúng ta có thể biến đổi tích phân bề mặt sang dạng tích phân thể tích Phương trình liên tục có dạng vi phân:

(1.6)

b, Bảo toàn động lượng:

Sử dụng các phương trình (1.2) và (1.4) và thay thế Φ bằng v; ví dụ cho

phương trình bảo toàn thể tích dòng chất lưu trong không gian:

(1.7) Các lực tác động vào dòng chất lưu trong một thể tích điều khiển:

• Lực mặt (áp suất, ứng suất tiếp, ứng suất pháp, sức căng bề mặt ….)

• Lực khối (trọng lượng, lực hướng tâm, lực theo, lực điện từ )

Lực mặt do áp suất và ứng suất là các dòng động lượng vi mô qua một bề mặt Với dòng chất lưu Newton, ten-sơ ứng suất T, là tỉ lệ chuyển hóa động lượng của phân tử, có thể được viết như sau

(1.8)

Trong phương trình trên µ là độ nhớt động học, I là tensor đơn vị, p là áp suất

tĩnh còn D là tỉ số tensor biến dạng

(1.9) Với dòng phi Newton, mối quan hệ giữa tensor ứng suất và vận tốc được xác định thông qua bộ các phương trình khá phức tạp Trên thực tế, những dạng khác nhau của dòng chất lưu phi Newton yêu cầu những phương trình cấu thành khác nhau với mỗi phương pháp giải Vấn đề này hiện tại đang được nghiên cứu chuyên sâu hơn, do đó nó sẽ không đề cập sâu hơn trong luận án này

Với những lực khối (trên một đơn vị khối lượng) được biểu diễn bằng b,

dạng tích phân của phương trình bảo toàn động lượng trở thành:

(1.10) Dạng vector của phương trình bảo toàn động lượng (1.10) nhận được sau khi

áp dụng định lý Gauss’ divergence cho các số hạng dòng đối lưu và khuếch tán như sau

(1.11)

Vì động lượng là đại lượng vector, dòng đối lưu và khuếch tán của nó qua một

lớp biên CV là tích vô hướng của tensor bậc 2 (pvv và T) với vector mặt ndS

Một trường vector có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau trong hệ tọa độ đề-các hoặc các hệ tọa độ địa phương, những vector cơ bản có thể được xác định ở cục bộ hay toàn bộ [1] Hệ tọa độ cục bộ thường được yêu cầu khi vùng biên rất phức tạp Trong hệ tọa độ Đề Các, hai phương trình trở nên đồng nhất Do vậy

các vecto cơ bản có thể phi thứ nguyên hoặc có thứ nguyên Bao gồm tất cả các lựa chọn này, ta sẽ có tổng cộng hơn 70 dạng phương trình bảo toàn động lượng Nói một cách toán học, tất cả chúng đều tương đương với nhau

c, Bảo toàn của các đại lượng vô hướng

Dạng tích phân của phương trình miêu tả tính bảo toàn của các đại lượng vô hướng , Φ, tương tự được viết :

(1.12) Trong đó miêu tả biến đổi của Φ

Ví dụ cho phương trình bảo toàn năng lượng có thể viết như sau:

(1.15)

d, Các dạng phương trình không thứ nguyên

Các nghiên cứu về dòng được tiến hành trên các mẫu thử, kết quả được thể hiện trên dạng không thứ nguyên cho phép đo đạc được với các điều kiện dòng thực Cách tiếp cận tương tự có thể sử dụng các nghiên cứu số thay thế Các phương trình điều khiển có thể chuyển sang dạng không thứ nguyên bằng cách sử dụng các phép phi thứ nguyên thích hợp Các biến không thứ nguyên gồm:

Nếu các đặc tính của dòng chất lưu là liên tục, phương trình liên tục, phương trình mô men, nhiệt độ không thứ nguyên là

(1.16) Các đại lượng không thứ nguyên có trong phương trình:

Chúng đc gọi là các số Strouhal, Reynold, Froude… λi là thành phần của vectơ gia tốc trọng trường được chuẩn hóa theo hướng xi

Sự lựa chọn các đại lượng chuẩn hóa là hiển nhiên đối với dòng đơn giản, v0 là vận tốc thực, L0 là tỉ lệ chiều dài hình học, T0 ,T1 là nhiệt độ tường lạnh và nóng Nếu hình dáng phức tạp thì các tính chất dòng chất lưu không còn liên tục,các điều kiện

biên không liên tục, số thông số không thứ nguyên cần để mô tả dòng rất lớn và việc sử dụng các phương trình không thứ nguyên không còn có ích

Các phương trình không thứ nguyên hữu ích cho các nghiên cứu mang tính phân tích và để quyết định tầm quan trọng tương đối của các biến trong các phương trình này.Ví dụ, những dòng chất lưu ổn định trong kênh hoặc trong ống chỉ phụ thuộc vào số Reynold, tuy nhiên nếu hình dáng thay đổi thì dòng chất lưu có thể ảnh hưởng đến đường biên

1.2 Giới thiệu về phương pháp số

1.2.1 Phương pháp tiếp cận động lực học chất lưu

Như đã biết, các phương trình của cơ học chất lưu có thể được giải quyết cho một số dòng chất lưu giới hạn Các lời giải này thực sự hữu ích giúp ta hiểu về dòng chất lưu nhưng hiếm khi có thể được sử dụng trực tiếp trong phân tích hoặc thiết kế

kỹ thuật Vì vậy chúng ta buộc phải sử dụng cách tiếp cận khác

Phương pháp phổ biến nhất là đơn giản hóa các phương trình dựa trên sự kết hợp giữa các phép xấp xỉ và phân tích thứ nguyên và các giá trị thực nghiệm luôn cần thiết Ví dụ, phân tích thứ nguyên cho ta lực cản của một vật thể có thể được tính bằng công thức:

= SVới S là diện tích mặt tác dụng lực, v là vận tốc dòng chất lưu và là khối lượng riêng; thông số được gọi là hệ số cản thu được từ thực nghiệm Phương pháp tiếp cận này rất thành công khi hệ thống hình học phức tạp

Một cách tiếp cận khác là xem hệ số Reynold là một tham số độc lập đối với rất nhiều dòng phi thứ nguyên hóa của phương trình Navier-Stokes Nếu hình dạng vật thể cố định có thể thí nghiệm trên mô hình thu nhỏ để thu được số Reynold bằng

cách lựa chọn các thông số dòng chảy phù hợp Phương pháp tiếp cận này rất có giá trị và là phương pháp chính của thiết kế kỹ thuật thực tế

Vấn đề là nhiều dòng chảy đòi hỏi một số thông số phi thứ nguyên không thể thiết lập một cách chính xác từ thực nghiệm.Ví dụ như dòng chảy xung quanh máy bay hoặc tàu thủy Để đạt được cùng số Reynold với các mô hình nhỏ hơn, vận tốc chất lưu phải được tăng lên rất cao Đối với máy bay điều này có thể yêu cầu số Mach quá lớn với cùng một chất lưu Đối với tàu thủy, vấn đề là phù hợp cả hai hệ

số Reynold và Froude là gần như không thể

Trong các trường hợp khác, việc thực hiên thí nghiệm là rất khó khăn, nếu không muốn nói là không thể Ví dụ các thiết bị đo làm nhiễu loạn dòng chảy hoặc một số thông số không đo được bằng kỹ thuật hiện tại

Trước các khó khăn đó một phương pháp thay thế hoặc ít nhất là bổ sung đã đến với sự ra đời của máy tính điện tử Hơn một thế kỷ trước nhiều người đã có ý tưởng về phương pháp số Tuy nhiên mãi đến những năm 1950 máy tính phát triển rất nhanh kỹ thuật số tăng lên đáng kể làm cho việc nghiên cứu dòng chất lưu dễ dàng và hiệu quả hơn Một khi sức mạnh của máy tính đã được công nhận, công nghệ số áp dụng giải phương trình cơ học chất lưu trên máy tính trở nên rất quan

trọng và ngày càng phát triển nhanh chóng Lĩnh vực này được biết đến như Động lực học chất lưu (CFD)

1.2.2 CFD là gì

Như chúng ta đã biết, dòng chất lưu có thể được mô tả bằng phương trình vi phân từng phần (hoặc phương trình vi – tích phân) và chúng không thể được giải trực tiếp bằng phương pháp giải tích ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt Để nhận được nghiệm số gần đúng chúng ta sử dụng một phương pháp rời rạc hóa vùng tính toán theo không gian và thời gian và xấp xỉ các phương trình vi phân bằng một hệ phương trình đại số có thể giải trên máy tính Cũng như độ chính xác của dự liệu

thực nghiệm phụ thuộc vào chất lượng của các công cụ sử dụng, độ chính xác của nghiệm số phụ thuộc vào chất lượng rời rạc hóa

Các phương pháp này được thiết kế để giải các phương trình chuyển động chất lưu trong không gian hai chiều hoặc ba chiều và đã được sử dụng trong các ngành kỹ thuật công nghệ cao (như hàng không và vũ trụ) ngay từ khi bắt đầu nghiên cứu và đang được áp dụng thường xuyên hơn trong các lĩnh vực khác với dạng hình học phức tạp hoặc một số đặc tính quan trọng không thể xử lý với các phương pháp thông thường Tối ưu hóa với CFD có thể giúp tiết kiệm chi phí và giảm thiểu ô nhiễm môi trường

1.2.3 Khả năng và hạn chế của phương pháp số

Chúng tôi đã lưu ý một số vấn đề khó khăn của thực nghiệm Một số trong những vấn đề này dễ dàng giải quyết trong CFD Các loại điều kiện biên dễ dàng quy định trong tính toán

Nếu không thể nhận được nghiệm chính xác cho tất cả các dòng, ta phải xác định cái mà ta có thể nhận được và học cách phân tích đánh giá kết quả Đầu tiên phải luôn nhớ rằng kết quả số luôn luôn là gần đúng Có nhiều lý do cho sự khác nhau giữa kết quả tính toán và thực tế:

• Các phương trình vi phân có thể chứa các xấp xỉ hoặc các giả thiết lý tưởng hóa

• Các xấp xỉ được thực hiện trong quá trình rời rạc hóa

• Trong quá trình giải các phương trình rời rạc, ta sử dụng phương pháp lặp nên không bao giờ nhận được nghiệm chính xác

Hiển thị các nghiệm số sử dụng vector, contour hoặc các dạng khác nhau của hình ảnh hay video của dòng chảy tức thời là rất quan trọng đối với việc phân tích

và khai thác kết quả.Tuy nhiên có có thể xảy ra trường hợp kết quả cho ra rất đẹp

nhưng không tương ứng với điều kiện biên, thuộc tính dòng thực tế Vì vậy cần phải kiểm tra rất cẩn thận trước khi chúng được tin tưởng sử dụng

1.2.4 Các thành phần của phương pháp số

a, Mô hình toán học

Điểm khởi đầu của bất kỳ phương pháp số là các mô hình toán học, tức là tập hợp các phương trình vi phân từng phần hoặc các phương trình vi-tích phân và các điều kiện biên Lựa chọn một mô hình thích hợp áp dụng cho bài toán của mình (không nén được, không nhớt, dòng rối, hai hoặc ba chiều, ) Như đã đề cập mô hình này có thể đơn giản hóa từ các định luật bảo toàn chính xác

b, Phương pháp rời rạc hóa

Sau khi chọn các mô hình toán học, người ta phải chọn một phương pháp chia rời rạc hóa thích hợp, nghĩa là một phương pháp xấp xỉ các phương trình vi phân bằng một hệ phương trình đại số cho các biến số tại các điểm rời rạc trong không gian và thời gian Có nhiều cách tiếp cận, nhưng quan trọng nhất trong số đó là: sai phân hữu hạn (FD), thể tích hữu hạn (FV) và phần tử hữu hạn (FE)

c, Lưới số

Các vị trí rời rạc mà tại đó các biến sẽ được tính toán được định nghĩa bởi các lưới số Nó phân chia miền cần giải thành một số hữu hạn miền con (các phần

tử, thể tích điều khiển vv…) Một số các tùy chọn như sau:

• Lưới có cấu trúc (Structured grid): Bao gồm nhiều họ các đường lưới, với

đặc tính là các đường lưới của một họ lưới không cắt qua nhau và cắt mỗi đường lưới của họ đường khác chỉ một lần,điều này cho phép các đường được đánh số liên tiếp Vị trí của điểm lưới là duy nhất xác định bởi 2 (trong 2D) hoặc 3 (trong 3D) chỉ số (i,j,k) Đây là lưới đơn giản vì nó tương đương với một mạng lưới Cartesian Lưới này được biểu diễn như hình 1.1

Hình 1.1.Ví dụ về một lưới 2D có cấu trúc, không trực giao, được thiết kế để tính dòng trong trong một phần đối xứng của hệ thống ống sole

• Lưới kết cấu khối (block-structured grid): trong một lưới kết cấu khối có hai

(hoặc hơn) mức độ phân chia của vùng tính toán khác nhau Cấu trúc của chúng có thể bất thường đặc biệt tại các mặt giao nhau.Trong hình 1.2 là một lưới khối được thiết kế để tính dòng 2D bao quanh một xi lanh trong một kênh và có ba khối

Hình 1.2 Ví dụ về lưới kết cấu khối 2D được bắt (match) tại mặt giao nhau, được dùng để tính toán dòng chảy bao quanh một xi lanh trong một kênh

Lưới khối chồng chéo đôi khi được gọi là lưới Composite hoặc Chimera như

hình 1.3 Bất lợi là các định luật bảo toàn rất khó thực hiện tại biên khối.lợi thế là xử lý những vùng phức tạp dễ dàng hơn, một khối có thể gắn với vật

và di chuyển cùng còn mạng lưới môi trường đứng im

Hình 1.4

Ví dụ về một lưới phi cấu trúc 2D

Lưới phi cấu trúc thường sử dụng với phương pháp phần tử hữu hạn và thể tích hữu hạn Code tính toán với lưới phi cấu trúc linh hoạt hơn, chúng không phải thay đổi khi lưới của một phần cục bộ được tinh chỉnh hoặc khi sử dụng các loại phần tử và thể tích điều khiển khác nhau.Tuy nhiên việc xử lý lưới trước gặp nhiều khó khăn hơn

d, Các phép xấp xỉ hữu hạn

Sau khi chọn kiểu lưới thích hợp, người ta phải chọn phép xấp xỉ được sử dụng trong quá trình rời rạc hóa Trong phương pháp sai phân hữu hạn, chọn phép xấp xỉ cho đạo hàm tại các điểm lưới, trong phương pháp thể tích hữu hạn cần chọn phép xấp xỉ cho tích phân bề mặt và tích phân thể tích, trong phương pháp phần tử hữu hạn phải chọn hàm dạng và hàm khối lượng

Việc lựa chọn phép xấp xỉ ảnh hưởng tới độ chính xác của bài toán và cũng tác động đến việc phát triển các phương pháp giải , lập trình, gỡ lỗi và tốc độ của chương trình Xấp xỉ chính xác hơn khi nhiều nút hơn và đưa ra ma trận hệ số đầy

đủ hơn

e, Phương pháp giải

Việc rời rạc hóa tạo ra một hệ thống lớn các phương trình đại số phi tuyến Phương pháp giải phụ thuộc vào từng bài toán Đối với dòng chảy tức thời, phương pháp giải sử dụng giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường (dịch chuyển theo thời gian) Tại mỗi bước thời gian một bài toán elip được giải (xem chương 5 tài liệu tham khảo [1]) Với bài toán dòng ổn định, bởi vì các phương trình là phi tuyến nên thường được giải bằng cách lặp tương đương Sự lựa chọn bộ giải phụ thuộc vào kiểu lưới và số lượng các nút liên quan đến từng phương trình đại số

f, Tiêu chuẩn hội tụ:

Cuối cùng một trong các yêu cầu của phương pháp lặp là các tiêu chuẩn hội

tụ Thông thường có hai mức độ lặp: lặp bên trong, trong đó các phương trình tuyến tính được giải Và lặp bên ngoài, giải quyết các phương trình phi tuyến và các phương trình ghép Dựa vào sự cân đối về độ chính xác và hiệu quả tính toán mà xác định thời điểm ngừng lặp cho thích hợp

1.2.5 Các phương pháp rời rạc hóa

a Phương pháp sai phân hữu hạn:

Đây là phương pháp lâu đời nhất để giải số hóa hệ phương trình vi phân từng phần, được giới thiệu bởi Ơle vào thế kỷ 18 Đây cũng là phương pháp dễ nhất cho hình học đơn giản Điểm khởi đầu là phương trình bảo toàn dưới dạng tích phân Miền tính toán được bao phủ bởi một lưới Tại mỗi điểm lưới, phương trình vi phân được xấp xỉ bằng cách thay thế đạo hàm riêng phần bằng các xấp xỉ trong các số hạng của giá trị nút của các hàm Kết quả là một phương trình đại số cho một nốt lưới với sự xuất hiện các nút lân cận dưới dạng ẩn số

Về nguyên tắc phương pháp sai phân hữu hạn có thể áp dụng cho mọi lưới, tuy nhiên thường dùng cho lưới có cấu trúc Trên một lưới có cấu trúc, phương pháp

sai phân hữu hạn là rất đơn giản và hiệu quả, sử dụng khai triển chuỗi Taylor để nhận được xấp xỉ đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến Nhược điểm của phương pháp này là tính bảo toàn không bắt buộc trừ một vài trường hợp đặc biệt và chỉ dùng cho hình dạng đơn giản

b Phương pháp thể tích hữu hạn

Phương pháp thể tích hữu hạn sử dụng phương trình bảo toàn dạng tích phân như điểm khởi đầu Miền tính toán được chia nhỏ thành một số hữu hạn các thể tích điều khiển liên tiếp nhau (Control volume) và phương trình bảo toàn áp dụng cho mỗi thể tích điều khiển Tại tâm của mỗi thể tích điều khiển là một nút tính toán mà tại đó các giá trị biến được tính toán Phép nội suy được sử dụng để tính các giá trị biến ở bề mặt thể tích điều khiển theo các giá trị nút trung tâm Tích phân bề mặt và tích phân thể tích được xấp xỉ bằng cách sử dụng các công thức bậc hai thích hợp Kết quả là mỗi thể tích có một phương trình đại số

Phương pháp thể tích hữu hạn áp dụng cho bất kì loại lưới nào nên thích hợp cho hình học phức tạp Phương pháp này bảo toàn và các tích phân bề mặt (chứa số hạng đối lưu và khuếch tán) là như nhau cho các thể tích điều khiển có chung biên Phương pháp thể tích hữu hạn có lẽ là đơn giản nhất để hiểu và lập trình Bất lợi là khi phương trình đạo hàm bậc cao hơn hai thì khó phát triển trong 3D do phương pháp này yêu cầu ba mức độ xấp xỉ: nội suy, sai phân, và tích phân

c Phương pháp phần tử hữu hạn

Tương đối giống với phương pháp thể tích hữu hạn, miền tính toán trong phương pháp PTHH được chia thành các khối thể tích rời rạc hoặc các phần tử hữu hạn nói chung là phi cấu trúc, trong 2D thường là hình tam giác hoặc tứ giác,trong khi trong 3D thường là tứ diện hoặc lục diện Đặc tính khác biệt của phương pháp

PTHH là các phương trình được nhân với một hàm khối lượng (weight function)

trước khi chúng được tích phân trên toàn miền tính toán

Ưu điểm quan trọng của phương pháp PTHH là khả năng xử lí hình dạng bất

kỳ Lưới dễ dàng tinh chỉnh, dễ phân tích toán học Phương pháp PTHH là tương đối dễ dàng để phân tích toán học và tối ưu hóa các phương trình Hạn chế chủ yếu

là ma trận của phương trình tuyến tính không có cấu trúc và do lưới không đồng đều nên cách giải ma trận khó khăn

Chương II TÍNH TOÁN KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH (FEM )

2.1 Khái niệm

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt hiệu quả để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân từng phần (PTVPTP) cùng với các điều kiện biên cụ thể

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử) Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử

Về mặt toán học, phương pháp PTHH được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn

2.2 Lịch sử phát triển

Phương pháp phần tử hữu hạn được hình thành từ nhu cầu cần thiết để giải quyết các bài toán đàn hồi phức tạp và những khó khăn khi phân tích cấu trúc trong kỹ thuật xây dựng và kỹ thuật hàng không [2]

Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942) Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có chung một quan điểm, đó là chia những miền liên tục

thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách

sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho PPVPTP elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley trong những năm 1960 trong ngành xây dựng Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc tổng kết và xuất bản cuốn “An Analysis of The Finite element Method” của tác giả Gilbert Strang(1934) và George Fix(1939), kể từ đó PPPTHH được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lưu

Sự phát triển của PPPTHH trong cơ học kết cấu đặt cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví dụ như: nguyên lý công khả dĩ, PPPTHH cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư cơ học kết cấu

2.3 Nội dung

2.3.1 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển

vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ ) Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước

và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó

Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau Các miền con ve được gọi là các phần tử hữu hạn

2.3.2 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn

Nút hình học:

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các phần

tử hữu hạn Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó

Quy tắc chia miền thành các phần tử (Elements):

Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai quy tắc sau:

¾ Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt

Hình 2.1 Sự giao nhau giữa các phần tử (biên giới)

¾ Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền

V cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử

Hình2.6 Hình chiếu các phần tử theo các phương khác nhau

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các quy tắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho nó có các tính chất sau:

¾ Phép biến đổi phải có tính chất hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm ξtrong phần tử quy chiếu hoặc trên biên, mỗi điểm của vt ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại

¾ Mỗi phần biên của phần tử quy chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng

Chú ý:

Một phần tử quy chiếu vt được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần tử quy chiếu còn được gọi là phần tử bố mẹ

Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép biến đổi đơn giản