Nghiên cứu lý thuyết trục vít và ứng dụng trong giải các bài toán cơ học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TRỤC VÍT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC Mã số: T2

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TRỤC VÍT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC

Mã số: T2022-06-26

Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Phú Sinh

Đà Nẵng, 11/2023

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠ M KỸ THUẬT

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TRỤC VÍT VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC

Mã số: T2022-06-26

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài

PHÓ HIỆU TRƯỞNG

Mẫu 3 Thông tin kết quả nghiên cứu đề tài KH&CN cấp Trường

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúcTHÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Nghiên cứu lý thuyết trục vít và ứng dụng trong giải các bài toán cơ

học

- Mã số: T2022-06-26

- Chủ nhiệm: TS Nguyễn Phú Sinh

- Thành viên tham gia:

- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật

- Thời gian thực hiện: 3/2023 – 11/2023

2 Mục tiêu:

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết trục vít (screw theory)

- Ứng dụng lý thuyết trục vít để giải các bài toán về cơ học

3 Tính mới và sáng tạo:

- Lý thuyết trục vít hiện được sử dụng rộng rãi trên thế giới trong việc giảiquyết các bài toán cơ học nhưng hiện nay lý thuyết vít vẫn chưa được nghiêncứu phổ biến trong nước Chính vì vậy tác giả đề xuất nghiên cứu này để tạotiền đề cho việc nghiên cứu, ứng dụng lý thuyết vít trong giải quyết các bài toán

cơ học trong nghiên cứu và dạy học

4 Tóm tắt kết quả nghiên cứu:

- Nghiên cứu này trình bày về cơ sở lý thuyết trục vít và ứng dụng trong phântích topology cơ cấu cũng như áp dụng phương pháp tính tích các hàm mũ tựnhiên PoE để giải bài toán động học của cánh tay robot nối tiếp Cơ sở lýthuyết đã được áp dụng trong một số ví dụ phân tích topology chuỗi động học

hở và chuỗi động học kín Sau đó, tác giả trình bày một ví dụ để giải bài toánđộng học thuận robot công nghiệp ABB-IRB 120 của hãng ABB Kết quảđược kiểm nghiệm và so sánh với dữ liệu của nhà sản xuất Lý thuyết trình bàytrong bài báo là cơ sở để nhóm cùng các nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu và

áp dụng lý thuyết này để giải các bài toán về mô hình vận tốc, gia tốc và độnglực học robot

5 Tên sản phẩm: Báo cáo về lý thuyết trục vít và ứng dụng trong giải các bài toán

7 Hình ảnh, sơ đồ minh họa chính

PGS TS Võ Trung Hùng

Mẫu 4 Thông tin kết quả nghiên cứu bằng tiếng Anh

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

Project title: Screw theory and its application to mechanism analysis

Code number: T2022-06-26

Coordinator: TS Nguyễn Phú Sinh

Implementing institution: University of Technology and Education – The University of Da Nang

Duration: from 3/2023 to 11/2023

2 Objective(s):

- Study basics of screw theory

- Application of Screw theory to mechanism analysis

3 Creativeness and innovativeness:

Screw theory is widely used worldwide for solving mechanical problemssuch as topology or structure model, kinematic analysis, velocity models…However, this theory has not yet been studied and applied in Viet Nam Therefore,the author proposes this research to create a basis for researching and applyingscrew theory in solving mechanical problems in both research and teaching

by comparing with manufacturer data The theory presented in this study is thefoundation for further research on solving inverse kinematics, velocity model,acceleration and dynamics

5 Products:

- A report of the screw theory and its application to mechanism analysis

6 Effects, transfer alternatives of research results and applicability:

- This study results in the theoretical foundation for solving mechanical problems

- This research results can be continued to improve and be used as a basis todevelop teaching content at universities

- This study result will be transferred to the Department of MechanicalEngineering and the Library of University of Technology and Education – TheUniversity of DaNang for teaching and research purposes

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC HÌNH ẢNH iii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRỤC VÍT 4

1.1 Giới thiệu về lý thuyết trục vít 4

1.2 Giới thiệu lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite screw theory) 6

1.3 Lý thuyết trục vít t ức thời (Instantaneous screw theory) 11

1.4 Một số phép tính v ề lý thuyết trục vít 13

1.5 Mối liên h ệ giữa trục vít h ữu hạn vàtr ục vít t ức thời 15

1.6 Thuật ngữ Twist vàWrench trong lý thuy ết trục vít 17

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TRỤC VÍT TRONG PHÂN TÍCH TOPOLOGY CỦA KHỚP VÀ CHUỖI ĐỘNG HỌC 20

2.1 Mô hình topology c ủa các kh ớp 20

2.2 Mô hình topology c ủa cơ cấu hở hay chuỗi động học hở 25

2.3 Mô hình topology c ủa cơ cấu kín hay chu ỗi động học kín 31

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TRỤC VÍT PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC TAY MÁY 33

3.1 Phép bi ến đổi hệ trục tọa độ 33

3.1.1 Biểu diễn vị tríc ủa một điểm trong không gian ba chi ều 33

3.1.2 Biểu diễn hướng của vật rắn vàma tr ận quay 34

3.1.3 Phép bi ến đổi thuần nhất 37

3.2 Giải bài toán động học thuận tay máy b ằng phương pháp DH 41

3.3 Giải bài toán động học thuận tay máy b ằng lý thuyết trục vít 48

3.3.1 Công th ức Rodrigues’ 48

3.3.2 Phép bi ến đổi sử dụng lý thuyết trục vít 50

3.3.3 Ứng dụng phép bi ến đổi của lý thuyết trục vít để giải bài toán động học robot ABB-IRB120 53

KẾT LUẬN 55TÀI LIỆU THAM KHẢO 56THUYẾT MINH ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

HỢP ĐỒNG TRIỂN KHAI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤPTRƯỜNG

PHỤ LỤC HỢP ĐỒNG

MỤC LỤC MINH CHỨNG SẢN PHẨM ĐỀ TÀI

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1 Lý thuy ết trục vít được giới thiệu bởi Robert Stawell Ball năm 1900 5

Hình 2 Lý thuyết trục vít h ữu hạn 7

Hình 3 Biểu diễn mô hình v ận tốc tức thời 12

Hình 4 Kh ớp quay 21

Hình 5 Kh ớp tịnh tiến 21

Hình 6 Khớp vít 22

Hình 7 Khớp trụ 23

Hình 8 Khớp U 24

Hình 9 Khớp cầu 25

Hình 10 Cấu trúc chu ỗi động học hở [1] 26

Hình 11 Cấu trúc chu ỗi động học hở PPR 28

Hình 12 Chuỗi động hở UP 31

Hình 13 Chuỗi động học kín 32

Hình 14 Bi ểu diễn tọa độ của điểm P trong hệ trục tọa độ Oxyz 34

Hình 15 Mô hình robot công nghi ệp 42

Hình 16 B ộ thông s ố Denavit – Hartenberg 44

Hình 17 Robot RRR 46

Hình 18 Cơ sở lý thuy ết trục vít – Screw theory 51

Hình 19 H ệ tọa độ và kích thước của robot ABB IRB120 (hình b cung c ấp bởi nhàs ản xuất) 53

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên c ứu

Lý thuyết trục vít hay lý thuy ết vít (screw theory) làm ột trong các công c ụ toán h ọckhá m ạnh để giải quyết các bài toán v ề hình h ọc Ngày nay, nó đã và đang được nhiềunhàkhoa h ọc nghiên c ứu vàhoàn thi ện lý thuy ết này để hướng tới việc ứng dụng nó

để giải các bài toán v ề cơ học máy như các cơ cấu truyền động, thiết kế, phân tích robot Lý thuyết trục vít được nghiên c ứu và phát tri ển bởi Ngài Robert Stawell Ball [1] d ựa trên các nghiên c ứu của Julius Plücker về hình h ọc đường thẳng (geometry of lines) vào thế kỷ 19 [2, 3] Sau này, lýthuy ết này đã được Hunt [4] đề xuất để giải bài toán v ận tốc trong robot Trong nghiên c ứu này, Hunt đã đề xuất phương pháp mới xây

d ựng môhình vận tốc của một cơ cấu robot song song bằng lý thuy ết trục vít Angeles

và T sai [5,6] tiếp tục nghiên c ứu và phát tri ển phương pháp này để xây d ựng các ma

tr ận Jacobean của lực Vànhi ều nghiên c ứu khác v ề lýthuyết trục vít trong cơ học như Byungwoo Lee và Kazuhiro Saitou [ 11] trình bày phương pháp phân tích lắp ghép c ấu trúc 3D dựa trên lýthuyết vít Keerthi Sagar et al [ 12] trình bày k ết quả xây d ựng chương trình có tên là STORM (Screw Theory Toolbox For Robot Manipulator and Mechanisms), đây là công cụ được phát tri ển bằng ngôn ng ữ Python hỗ trợ phân tích động học robot vàc ơ cấu cơ khíb ằng lý thuy ết trục vít Qingcheng Chen et al [ 13] trình bày phương pháp biến đổi hệ trục tọa độ và ứng dụng trong giải bài toán động học của một cánh tay robot 6 b ậc tự do Rongbo Zhao et al [14] đã trình bày phương pháp phân tích động học của cánh tay robot nối tiếp 6 bậc tự do bằng lý thuyết trục vít thay cho phương pháp truyển thống dùng B ảng thông s ố động học DH (Danavit – Hatenberg) Zhiwei Liao và các c ộng sự

[15] đã nghiên cứu và trình bày các phương pháp phân tích động học vàmôhình vận tốccủa cơ cấu robot song song kiểu 3-PSP dựa vào lý thuy ết trục vít Qua đó chúng ta nhận thấy rằng lý thuyết trục vít hi ện đang được nghiên c ứu và áp d ụng trong nhiều bàitoán cơ học trên th ế giới

Theo tìm hi ểu của tác gi ả qua mạng internet vàcác bài báo trên các t ạp chíkhoa học trong nước, tác gi ả nhận thấy rằng lý thuy ết này hi ện nay vẫn chưa được quan tâm,

nghiên c ứu và v ận dụng nhiều trong việc giải quyết các bài toán cơ học Hầu hết cácphương pháp được áp d ụng phổ biến là phương pháp giải tích hoặc phương pháp hìnhhọc Chính vìv ậy nhóm tác gi ả đề xuất nghiên c ứu này để tạo tiền đề cho việc nghiêncứu, ứng dụng lýthuyết trục vít trong gi ải quyết các bài toán cơ học trong nghiên c ứu vàdạy học.

2 Mục tiêu

- Nghiên c ứu cơ sở lý thuyết trục vít hay lý thuyết trục vít (screw theory)

- Ứng dụng lý thuy ết trục vít để giải các bài toán v ề cơ học

3 Phương pháp tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

- Nghiên c ứu các bài báo khoa h ọc về lý thuyết vít để tìm hi ểu các v ấn đề liênquan đến lý thuyết vít

- Nghiên c ứu lý thuyết và ứng dụng

4 Đối tượng nghiên c ứu

- Nghiên c ứu lý thuy ết trục vít

 Screw – Wrench - Twist

 Algebra of screws

 Coordinate transformation of screws

 Twists as elements of a Lie algebra

-Ứng dụng lý thuy ết giải các bài toán trong cơ học

5 Nội dung nghiên c ứu

Nghiên c ứu này trình bày v ề cơ sở lý thuyết trục vít và ứng dụng trong phân tích topology cơ cấu cũng như áp dụng phương pháp tính tích các hàm mũ tự nhiên PoE đểgiải bài toán động học của cánh tay robot n ối tiếp Cơ sở lýthuyết đã được áp d ụng trongmột số víd ụ phân tích topology chu ỗi động học hở và chu ỗi động học kín Sau đó, tácgiả trình bày m ột víd ụ để giải bài toán động học thuận robot công nghi ệp ABB-IRB 120 của hãng ABB K ết quả được kiểm nghiệm vàso sánh v ới dữ liệu của nhàs ản xuất Lýthuyết trình bày trong bài báo là cơ sở để nhóm cùng các nhà khoa h ọc tiếp tục nghiên

cứu và áp d ụng lý thuy ết này để giải các bài toán v ề mô hình v ận tốc, gia tốc và động lực học robot.

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRỤC VÍT

1.1 Giới thiệu về lý thuy ết trục vít

Lý thuyết trục vít hay lý thuy ết vít (Screw theory) là m ột công c ụ toán h ọc dùng để giải các bài toán v ề động học và động lực học các h ệ truyền động cơ khí Năm

1763, Mozzi là người đầu tiên đề xuất lýthuyết này, môt ả vận tốc góc c ủa vật rắn xung quanh một trục và v ận tốc dài d ọc theo trục đó Mozzi đặt tên cho tr ục này là tr ục tức thời (Instantaneous axis) [1] Nhưng đến năm 1900, ngài Robert Stawell Ball mới

hệ thống hóa thành lý thuy ết trong báo cáo “A Treatise on The Theory of

Screws”(hình 1) [2, 3] Tuy nhiên, lýthuy ết này không thu hút được sự quan tâm c ủa

các nhàkhoa h ọc Đến năm 1978, Hunt đã trình bày nghiên cứu đầu tiên ứng dụng lý thuy ết trục vít c ủa Ball trrong việc giải bài toán cánh tay robot [4] Trong nghiên c ứu này, Hunt trình bày phương pháp xây d ựng ma trận Jacobean dựa trên v ận tốc của tấm

di động thông qua các twist Môhình toán h ọc thể hiện được sự liên h ệ giữa vận tốc củakhâu di động vàv ận tốc của cơ cấu chấp hành Năm 1999 và năm 2004 Tsai và Hunt đã phát triển lýthuy ết này tr ong việc giải các bài toán động học hình h ọc [1] Sau này, Angeles và Tsai đề xuất phương pháp l ập ma trận Jacobean liên quan đến lực cũng như

ma trận Jacobean tổng quát bằng lý thuyết trục vít [5, 6] Joshi và Tsai [ 8], Huang và Liu [ 9, 10] giải bài toán động học cho robot nối tiếp vàsong song Vànhi ều nghiên c ứu khác v ề lý thuy ết trục vít trong cơ học như Byungwoo Lee và Kazuhiro Saitou [11] trình bày phương pháp phân tích lắp ghép c ấu trúc 3D d ựa trên lý thuy ết vít Keerthi Sagar et al [ 12] trình bày kết quả xây dựng chương trình có tên là STORM (Screw Theory Toolbox For Robot Manipulator and Mechanisms), đây là công cụ được phát tri

ển bằng ngôn ng ữ Python hỗ trợ phân tích động học robot và cơ cấu cơ khí bằng lýthuyết trục vít Qingcheng Chen et al [13] trình bày phương pháp biến đổi hệ trục tọa độ và ứng dụng trong giải bài toán động học của một cánh tay robot 6 b ậc tự do Rongbo Zhao et al [14] đã trình bày phương pháp phân tích động học của cánh tay robot n ối

tiếp 6 bậc tự do bằng lý thuy ết trục vít thay cho phương pháp truyển thống dùng B ảng thông s ố động học DH (Danavit – Hatenberg).

Zhiwei Liao vàcác c ộng sự [15] đã nghiên cứu và trình bày các phương pháp phân tíchđộng học và mô hình v ận tốc của cơ cấu robot song song kiểu 3-PSP dựa vào lý th uyếttrục vít Qua đó chúng ta nhận thấy rằng lýthuy ết trục vít hi ện đang được nghiên c ứu và

áp d ụng trong nhiều bài toán cơ học trên th ế giới

Hình 1 Lý thuy ết trục vít được giới thiệu bởi Robert Stawell Ball năm 1900

Theo tài li ệu [1], lý thuyết trục vít chia thành hai nhóm lý thuy ết là lý thuy ết trụcvít t ức thời (Instantaneous Screw Theory) và lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite ScrewTheory)

Theo định lý Chasles hay Mozzi –Chasles' theorem cho rằng bất cứ chuyển độngcủa vật rắn có th ể được xem là sự tổ hợp của chuyển động quay quanh một trục vàtịnh tiến theo phương của trục đó Độ dịch chuyển này còn được gọi là d ịch chuyển trục

vít vàtr ục này có tên g ọi làtr ục Mozzi hay asse di Mozzi trong tiếng Italy.

Trong một số tài li ệu thìthu ật ngữ trục vít này b ắt nguồn từ định lý Mozzi mô t ảvận tốc góc c ủa vật rắn quay quanh một trục và theo đó là vận tốc tuyến tính c ủa vật rắndọc theo trục đó Độ lớn của trục vít t ức thời được xác định bằng vận tốc góc và bướcvít (pitch), trong đó bước trục vít được xác định bằng tỷ số giữa vận tốc tuyến tính vàvận tốc góc Nh ờ lý thuy ết này màchúng ta có th ể xác định được chuyển động tức thờicủa vật rắn nhờ vào tr ục vít t ức thời biểu diễn bởi một cặp véc tơ, được gọi là t ọa độPlücker ( Plücker coordinates)

Nếu một vật rắn chuyển động dọc theo một quỹ đạo liên t ục thì có hai nhómchuyển động liên quan đến vị trí và hướng (pose) của vật rắn Nhóm đầu tiên là quantâm đến toàn b ộ chuyển động (total motion) của vật rắn đối với vị trí ban đầu Nhómchuyển động này g ọi là chuy ển động hữu hạn (Finite motion) Nhóm th ứ hai thìkhôngquan tâm đến vị trí ban đầu của vật rắn, nóch ỉ quan tâm đến vận tốc tức thời của vật rắn

ở thời điểm hiện tại Do đó nhóm này được gọi là chuy ển động tức thời (Instantaneousmotion)

Trong một số tài li ệu thì2 lý thuy ết trục vít hữu hạn vàtr ục vít t ức thời này đượcgọi chung làlý thuy ết FIS (Finite and Instantaneous Screw Theory)

1.2 Giới thiệu lý thuy ết trục vít h ữu hạn (Finite screw theory)

Theo định lý Chales thìb ất cứ chuyển động của vật rắn có th ể xem là sự tổ chợpcủa chuyển động quay quanh 1 trục vàt ịnh tiến song song với trục đó” (Hình 2) Chuyểnđộng này được gọi làs ự dịch chuyển trục vít (Screw displacement) Như vậy cóba thành phần chính để biểu diễn chuyển động vít là: Tr ục Chasles hay còn g ọi làtr ục vít h ữu hạn(Finite Screw Axis), góc quay θ xung quanh trục đó và quãng đường dịch chuyển tịnh

tiến một đoạn t theo trục Chasles Trước đây, việc biểu diễn chuyển động trục vít thìthường biểu diễn dưới dạng ma trận nhóm Lie ho ặc dual quaternion Sau này, m ột sốnhà khoa h ọc đã phát triển cách bi ểu diễn bằng dual quaternion sang biểu diễn bởicặp véc tơ hay gọi làdual vectors.

Hình 2 Lý thuyết trục vít h ữu hạn

Chuyển động hữu hãn của một vật rắn có v ị trí và hướng ban đầu đến một vị trí

và hướng mới bất kỳ thìcó th ể được biểu diễn bởi một dual quaternion đơn vị:

𝑫 = cos𝜃̂

2 + sin

( ) (

𝒔𝒇 là véc tơ đơn vị của trục vít Chasles

𝒓𝒇 là véc tơ vị tríc ủa 1 điểm bất kỳ nằm trên tr ục vít đối với hệ trục tọa độ tham chiếu

𝜀 làdual unit v ới tính ch ất 𝜀2

= 0𝜃̂ = 𝜃 + 𝜀𝑡 làdual angle

Sau đó bằng cách tuy ến tính hóa hàm sin( 𝜃̂) vàcos( 𝜃̂)

Chúng ta có th ể biểu diễn Công th ức (1.1) thành m ột dual scalar vàm ột dual véc tơ:

𝜃

= cos

2− 𝜀

𝑡 𝜃sin

2 2

sin𝜃 + 𝜀𝑡 2

𝜃

= sin

2+ 𝜀

𝑡 𝜃cos

cos 𝜃 vàs ắp xếp lại ta sẽ được một quasi vector sáu chi ều

2 2(six-dimensional quasi-vector) như sau:

𝑺𝒇 = 2𝑡𝑎𝑛

2 (𝒓𝒇 × 𝒔𝒇) + 𝑡 ( 𝒔𝒇) (1.4)

Với cách bi ểu diễn này, ta d ễ dàng th ấy 𝑺𝒇 có 2 thành ph ần: thành ph ần trước dấu

“+” biểu diễn chuyển động quay còn thành ph ần sau dấu “+” biểu diễn chuyển động tịnh tiến

Ta thường gặp hai trường hợp, nếu vật rắn chỉ có chuyển động tịnh tiến nghĩa là 𝜃 = 0khi đó

Nếu t = 0 tức làv ật rắn chỉ chuyển động quay quanh một trục thì:

𝜃 𝒔𝒇

𝑺𝒇 = 2𝑡𝑎𝑛

2 (𝒓𝒇 × 𝒔𝒇) (1.7)Chúng ta có 2 khái ni ệm trong phương trình (1.4):

 2𝑡𝑎𝑛 𝜃 gọi là biên độ (amplitude) của trục vít h ữu hạn

Giả sử một vật rắn chuyển động với trục vít 𝑺𝒇𝟏 sau đó tiếp tục chuyển động với trục vít

𝑺𝒇𝟐 thìchúng ta có th ể xác định được trục vít chuy ển động toàn ph ần 𝑺𝒇𝟏𝟐 :

𝑺 = 1

(𝑺 + 𝑺 1𝑺 × − 𝑡𝑎𝑛 𝜃1 𝑡𝑎𝑛 𝜃2 (𝑡 ( 𝟎 ) +𝒇𝟏𝟐 1−𝑡𝑎𝑛 𝜃1𝑡𝑎𝑛𝜃2𝒔𝑇

𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐: làtích tam giác tr ục vít (screw triangle product)

𝑺𝒇𝟏 × 𝑺𝒇𝟐: là tích vô hướng trục vít (screw cross product)

Hai tính ch ất quan trọng của trục vít h ữu hạn:

Tính ch ất trên g ọi là tính kết hợp – associativity

𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐∆𝑺𝒇𝟑 = 𝑺𝒇𝟏𝟐∆𝑺𝒇𝟑 = 𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐𝟑 (1.12)Vàta chú ý:

𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐 (1.13)

Có th ể biến đổi như sau

𝑺𝒇𝟏𝟐∆(−𝑺𝒇𝟐) = 𝑺𝒇𝟏 (1.14)Hoặc

−𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟐 (1.15)

Và

𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐 = 𝑺𝒇𝟐∇𝑺𝒇𝟏 (1.16)

“∆” được gọi làtích tam giác tr ục vít ph ải (the right screw triangle product)

“∇” được gọi làtích tam giác tr ục vít trái (the left screw triangle product)

Tương tự

𝑺𝒇𝟏𝟐∆(−𝑺𝒇𝟐) = (−𝑺𝒇𝟐)∇𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟏 (1.17)

−𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟏𝟐∇(−𝑺𝒇𝟏) = 𝑺𝒇𝟐 (1.18)Trục vít đơn vị làgóc quay 𝜃 = 0 và độ dịch chuyển 𝑡 = 0

𝑺𝒇𝟎 = 2𝑡𝑎𝑛

2 (𝒓𝒇𝟎 × 𝒔𝒇𝟎) + 0 ( 𝒔𝒇𝟏) (1.19)Hay

𝑺𝒇𝟎 = (

Khi đó

𝑺𝒇𝟏∆(𝑺𝒇𝟎) = 𝑺𝒇𝟎∆𝑺𝒇𝟏 = 𝑺𝒇𝟏 (1.21)Và

𝑺𝒇𝟏∆(−𝑺𝒇𝟏) = 𝑺𝒇𝟎 (1.22)(−𝑺𝒇𝟏)∆𝑺𝒇𝟏 = 𝑺𝒇𝟎 (1.23)

1.3 Lý thuy ết trục vít t ức thời (Instantaneous screw theory)

Tương tự như trên, trục vít t ức thời (Instantaneous screw) được biểu diễn bởi cặpvéc tơ hay còn gọi vec tơ tọa độ Plucker 6 chiều (Six-dimensional Plucker’s

𝜔 vận tốc góc c ủa vật rắn quay quanh trục vít t ức thời

v làv ận tốc dài c ủa vật rắn dọc theo trục vít t ức thời

𝒔𝒕 là véc tơ đơn vị chỉ phương dọc theo trục quay, ‖𝒔𝒕‖ = 1

𝒓𝒕 là véc tơ vị tríc ủa một điểm bất kỳ nằm trên tr ục quay

Hình 3 Biểu diễn mô hình v ận tốc tức thời

Ta thường gặp hai trường hợp như sau:

Khi vận tốc góc 𝜔 = 0 nghĩa là chuyển động tịnh tiến thì:

𝜔1 𝒕𝟏

𝑺𝒕𝟐 = 𝜔2 (𝒓 × 𝒔

𝒔𝒕𝟐𝑣+ 𝒔𝒕𝟐 𝒕𝟐

𝜔2 𝒕𝟐

𝑺𝒕𝟏𝟐 = 𝜔12

𝒔𝒕𝟏𝟐𝑣+ 𝒔𝒕𝟏𝟐 𝒕𝟏𝟐 𝜔12 𝒕𝟏𝟐Trong đó

𝜔1𝒔𝒕𝟏 + 𝜔2𝒔𝒕𝟐

𝒔𝒕𝟏𝟐 =

|𝜔 𝒔𝒕 𝟏+ 𝜔2𝒔𝒕𝟐|

−𝑺𝒕𝟏 + 𝑺𝒕𝟏𝟐 = 𝑺𝒕𝟐

𝑺𝒕𝟏𝟐 + (−𝑺𝒕𝟐) = 𝑺𝒕𝟏

b) Tích có hướng hai trục vít (Screw cross product)

𝑺𝒕𝟏𝟐𝒄 = 𝑺𝒕𝟏 × 𝑺𝒕𝟐 (1.30)𝑺

𝜔

× 𝒔

𝒔𝒕𝟏

𝑣1+ 𝒔

) × 𝜔2 (𝒓1

c) Tính phân ph ối (distributivity)

(𝑺𝒕𝟏 + 𝑺𝒕𝟐) × 𝑺𝒕𝟑 = 𝑺𝒕𝟏 × 𝑺𝒕𝟑 + 𝑺𝒕𝟐 × 𝑺𝒕𝟑 (1.31)

𝑺𝒕𝟏 × (𝑺𝒕𝟐 + 𝑺𝒕𝟑) = 𝑺𝒕𝟏 × 𝑺𝒕𝟐 + 𝑺𝒕𝟏 × 𝑺𝒕𝟑 (1.32)𝑘(𝑺𝒕𝟏 × 𝑺𝒕𝟐) = 𝑺𝒕𝟏 × 𝑘𝑺𝒕𝟐 = (𝒌𝑺𝒕𝟏) × 𝑺𝒕𝟐 (với k làs ố thực) (1.33)

d) Tính ngh ịch đảo (inverse commutativity)

1.5 Mối liên h ệ giữa trục vít h ữu hạn và tr ục vít t ức thời

Giả sử hai trục vít h ữu hạn 𝑺𝒇𝟏 và 𝑺𝒇𝟐 thìchúng ta có th ể xác định được trục vít chuyển động toàn ph ần 𝑺𝒇𝟏𝟐 :

𝑺 = 1 (𝑺 + 𝑺 1

× 𝑺𝒇𝟏𝟐 1−𝑡𝑎𝑛 𝜃1𝑡𝑎𝑛𝜃2𝒔𝑇 𝒔 𝒇𝟏 𝒇𝟐 −

𝜃2 (𝑡 ( 𝟎 ) +

𝑡 ( 𝟎 )))

2 2 2 𝒔𝒇

𝟏

1 𝒔𝒇𝟐

𝑺𝒇𝟏𝟐 = 𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐 =

𝐹Trong đó

𝒔𝒇𝟏) +

𝑡1

𝟎 (

𝐹 = −𝐺̇ 𝒔𝑇

𝒔𝒇𝟐

(1.40)

𝒕 𝒕 𝒕

Khi vật rắn ở vị trí ban đầu thì 𝜃𝑗 = 0 và 𝑡𝑗 = 0, thìtr ục vít h ữu hạn (finitescrew axis hay Chasles’s axis) trùng với trục vít t ức thời (instantaneous screw axis hayMozzi’s axis), nên

𝑬 = 𝟎, 𝐺 = 0, 𝐹 = 1, 𝐺̇ = 0, 𝐹̇ = 0, 𝑺̇𝒇𝟏 × 𝑺𝒇𝟐 + 𝑺𝒇𝟏 × 𝑺̇𝒇𝟐 = 𝟎Suy ra

𝒇𝒋 × 𝒔𝒇𝒋) +

𝑡𝑗̇

𝟎 (

𝒔𝒇𝒋

𝑚𝑗) = ( 𝒗𝑗 ) (1.42)

Kết quả này cho th ấy rằng đạo hàm tr ục vít h ữu hạn 𝑺𝒇 ở tọa độ ban đầu chính b ằng trục vít h ữu hạn 𝑺𝒕

1.6 Thuật ngữ Twist và Wrench trong lý thuy ết trục vít

Như ở trên chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết trục vít, bây gi ờ chúng ta tìm hi ểu

về 2 thuật ngữ Twist và Wrench

Như ta đã đề cập ở trên, định lý Mozzi’s cho rằng một vật rắn chuyển động cóth ểxem làs ự tổ hợp của 2 chuyển động: chuyển động quay quanh một trục vàchuy ển độngtịnh tiến dọc theo trục đó Và công thức được xác định:

𝑺𝒕 = 𝜔 ( 𝒓 × 𝒔 +𝒔𝒕

𝑣 𝒔𝜔

S t được gọi là Twist

Khi vận tốc góc 𝜔 = 0 nghĩa là chuyển động tịnh tiến thì:

𝑺𝒕 = ( 𝟎

Tương tự, Theo định lý Poinsot’s thì hợp lực tác d ụng lên v ật rắn có th ể xem

là sự tổng hợp của lực tác d ụng lên v ật dọc theo 1 trục và mô men tác d ụng quayquanh trục đó Khi vật rắn bị tác d ụng lực làm v ật rắn di chuyển thìl ực tác d ụng đó đượcbiểu diễn dưới dạng véc tơ Plucker 6 chiều như Twist và được gọi là Wrench :

(1.49)

Trong trường hợp f = 0 thì:

𝑺𝒘

= 𝑟 (𝒔𝒘) (1.50)𝟎

𝑺 = (𝜔 ( 𝒔𝒕

𝑻) + 𝑣 ( 𝟎))

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TRỤC VÍT TRONG PHÂN TÍCH

TOPOLOGY CỦA KHỚP VÀ CHUỖI ĐỘNG HỌC

Khi phân tích bài toán động học của một cơ cấu thìhai y ếu tố cần xác định làthông tin cơ bản (basic information) vàcác tham s ố (parameters) Thông tin cơ bản được hiểu

là mô t ả khâu nào được nối với nhau và n ối bằng loại khớp nào, thông tin này

thường được gọi với nhiều thuật ngữ khác nhau như cấu trúc (structure) , cấu hình

(architecture), tôpô(topology) hay lo ại cơ cấu (type) Thông tin cơ bản này thường chưa thể hiện được hoạt động của cơ cấu Víd ụ như cơ cấu 4 khâu b ản lề thìtùy thu ộc vào thông s ố kích thước của các khâu mà cơ cấu sẽ hoạt động khác nhau Chính vìv ậy thông s ố khâu hay gọi làtham s ố cơ cấu đóng vai trò quan trọng trong phân tích cơ cấu Trong chương này chúng ra s ẽ xem xét vi ệc ứng dụng lý thuyết trục vít để phân tích topology c ủa một số loại khớp và cơ cấu thường gặp

2.1 Môhình topology của các kh ớp

Topology hay cấu trúc c ủa một cơ cấu cơ khí là mô t ả sự liên k ết giữa các kh ớptrong cơ cấu như loại khớp, thứ tự sắp xếp khớp, phương hay chiều của trục khớp…Qua mô hình topology chúng ta có th ể xác định được cấu trúc cơ cấu và xác định khả năngchuyển động của cơ cấu Trong một số tài li ệu tiếng anh, topology được định nghĩa là tổhợp động học (kinematic composition) với các ràng bu ộc (essential constraints) Trướctiên chúng ra s ẽ tìm hi ểu về các lo ại khớp thường gặp

a) Khớp quay (Revolute joint)

Khớp quay làkh ớp thấp loại 5 nghĩa là ràng buộc 5 bậc tự do Giả sử 𝒔𝒇 là véc tơchỉ phương của trục khớp quay và trong h ệ trục tọa độ Oxyz, một điểm bất

kỳ nằm trên tr ục khớp cót ọa độ là 𝒓𝒇 Nếu khớp quay với một góc 𝜃 thì trục vít hữuhạn của khớp quay biểu diễn như sau:

𝜃 𝒔𝒇

𝑺𝒇 = 2𝑡𝑎𝑛

2 (𝒓𝒇 × 𝒔𝒇) (2.1)

Hình 4 Khớp quay

b) Khớp tịnh tiến (Prismatic joint)

Khớp tịnh tiến cũng là khớp thấp loại 5 với 5 ràng bu ộc tự do Giả sử 𝒔𝒇 là véc

tơ chỉ phương của trục khớp tịnh tiến và t là độ dịch chuyển tịnh tiến thì trục víthữu hạn của khớp tịnh tiến biểu diễn như sau:

𝟎

𝑺𝒇 = 𝑡 ( 𝒔

Hình 5 Khớp tịnh tiến

c) Khớp vít (Helical joint)

Mặc dù khớp vít cóhai chuy ển động quay vàt ịnh tiến, nhưng hai chuyển độngnày có liên h ệ ràng bu ộc nhau, nên kh ớp vít cũng được xem làkh ớp thấp loại

5 Giả sử 𝒔𝒇 là véc tơ chỉ phương của trục vít, 𝒓𝒇 là t ọa độ của một điểm bất

kỳ trên tr ục vít so v ới gốc hệ trục tọa độ Oxyz, 𝜃 là góc quay và h là bướctrục vít, khi đó trục vít hữu hạn của khớp vít biểu diễn như sau

là góc quay và t là khoảng dịch chuyển, khi đó trục vít hữu hạn của khớp vítbiểu diễn bởi hai khớp tịnh tiến và quay như sau:

Khớp trụ là được xem là s ự kết hợp giữa hai khớp quay Giả sử s1 và s2 lần

lượt là hai véc tơ chỉ phương của hai trục quay 𝒓𝒇𝟏 và 𝒓𝒇𝟐 lần lượt là t ọa độcủa một điểm bất kỳ nằm trên hai tr ục khớp 1 vàkh ớp 2 đối với hệ trục tọa độOxyz Và 𝜃1, 𝜃2 lần lượt là góc quay c ủa hai khớp Khi đó trục vít của khớp

U được tính như sau:

f) Khớp cầu (Spherical joint)

Tương tự khớp chữ U, chúng ta có th ể mô t ả khớp cầu tương đương với

ba khớp quay Giả sử s 1, s2 và s3 lần lượt là ba véc tơ chỉ phương của ba trục

khớp quay 𝒓𝒇𝟏, 𝒓𝒇𝟐 và 𝒓𝒇𝟑 lần lượt làt ọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên các tr

ục khớp so với hệ trục tọa độ Oxyz Và 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3 lần lượt là góc quay c ủa bakhớp Khi đó trục vít c ủa khớp cầu được tính như sau:

𝑺𝒇,𝑺 = 𝑺𝒇𝟏∆𝑺𝒇𝟐∆𝑺𝒇𝟑 =

Thông thường chúng ta ch ọn điểm tâm kh ớp cầu là điểm tham chiếu nên

𝒓𝒇𝟏 = 𝒓𝒇𝟐 = 𝒓𝒇𝟑 (2.9)

Hình 9 Khớp cầu

2.2 Mô hình topology c ủa cơ cấu hở hay chuỗi động học hở

Giả sử chuỗi động học hở có n+1 khâu liên k ết liên ti ếp nhau bởi n khớp như hìnhvàgi ả sử mỗi khớp có 1 b ậc tự do hoặc khớp quay hoặc khớp tịnh tiến

Chọn một hệ trục tọa độ Oxyz bất kỳ làm tọa độ tham chiếu

Nếu khớp thứ i là khớp quay ta sẽ xác định được trục vít h ữu hạn:

𝑺 = 2𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑖 (

𝒇𝒊 2 𝒓𝒇𝒊 × 𝒔𝒇𝒊Nếu khớp thứ i là khớp tịnh tiến ta sẽ xác định được trục vít h ữu hạn: