Chuyên đề 1 - KSHS

Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý Chuyên đề 1: HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm m để hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) đồng biến (nghịch biến) khoảng D Trong đó khoảng D có thể là : R, (−∞; a), (a; + ∞), (a; b)… Phương pháp giải Bước 1: Ghi điều kiện để y = f(x, m) đồng biến (nghịch biến) D: Đề yêu cầu y = f(x, m) đồng biến D ⇔ y′ = f′(x, m) ≥ , ∀ x ∈ D Đề yêu cầu y = f(x, m) nghịch biến D ⇔ y′ = f′(x, m) ≤ , ∀ x ∈ D  m  g(x) Bước 2: Độc lập (tách) m khỏi biến số và đặt vế còn lại bằng 𝑔(𝑥) ta được:   m  g(x) Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số 𝑔(𝑥) khoảng D  m  g(x)  m  Max g(x)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của 𝑔(𝑥) kết luận:   m  g(x)  m  Min g(x)  Dạng 2: Không độc lập được m ở bước của dạng 1: Bước 1: Ghi điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) D Bước 2: Ta đặt y ′ = g(x, m) Sau đó tính  và xét sự tăng giảm của hàm số g(x) dựa vào bảng biến thiên và hệ sớ a của g(x) a>0 • Hàm số đồng biến với mọi x ∈ R ⇔ y ′ = g(x, m) ≥ ∀ x ∈ R ⇔ { ∆≤ a0 S ○ x1 < x2 ≤ α ⇔ { < α a f(α) ≥ ○ α ≤ x1 < x2 ≤ β ⇔ Δ>0 S ○ α ≤ x1 < x2 ⇔ { > α a f(α) ≥ Δ>0 S α a f(β) < a f(α) ≥ {a f(β) ≥ ○ x1 < α < x2 < β ⇔ { Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm m để hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) đồng biến (nghịch biến) khoảng có độ dài bằng l Phương pháp giải Bước 1: Tính y′ = f′(x, m) Bước 2: Hàm số y = f(x, m) đơn điệu khoảng (x1, x2) ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt: Câu hỏi phụ khảo sát hàm số a≠0 ⇔{ ∆> Phạm Văn Ý b  S  a Bước 3: Tính theo Viet:  P  c  a Bước 4: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài bằng l ⇔| x1 – x2 | = l ⇔ (x1 – x2)2 = l2 ⇔ ( x1 + x2 )2 – 4x1x2 = l2 ⇔ S2 – 4P = l2 (1) Bước 5: Giải pt (1) từ bước và so sánh điều kiện ở bước 2, suy giá trị m cần tìm BÀI TẬP: 1) Tìm m để hàm số y = −x + 3x + 3mx − nghịch biến (0; + ∞)? 2) Tìm m để hàm số y = x + 3x − mx − đồng biến khoảng (−∞; 0)? (ĐH_A, A1_2013) ĐS: m ≤ −1 ĐS: m ≤ −3 3) Tìm m để hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + đồng biến khoảng (2; + ∞)? ĐS: m ≤ 4) Tìm m để hàm số y = x + 3x + mx + m đồng biến đoạn có độ dài bằng 2? ĐS: m = 5) Tìm m để hàm số y  x  2x  mx  10 nghịch biến đoạn có độ dài bằng 1? ĐS: m = − 15 6) Tìm m để hàm số y = x − 2mx − (m + 1)x + nghịch biến đoạn [0; 2]? ĐS: m ∈ ∅ 7) Tìm m để hàm số y = x − 2(m − 1)x + m − đồng biến (1; 2)? ĐS: < m ≤ 8) Tìm m để hàm số y  (m  1)x  (2m  1)x  3(2m  1)x  đồng biến khoảng (−∞; −1)? ĐS: m ≥ 11 9) Tìm m để hàm số y = mx + (m − 1)x + − 2m nghịch biến (−∞; −2)? ĐS: m ≤ − 10) Tìm m để hàm số y = −x + x − (2 − m)x + tăng đoạn có độ dài bằng 2? ĐS: m ∈ ∅ 11) Tìm m để hàm số y  x  mx  4x  đồng biến R? ĐS: −2 ≤ m ≤ 12) Tìm m để hàm số y = −x + (m + 1)x + mx + nghịch biến R? 5  21 5  21 ĐS: m 2 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý II BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO (CẮT NHAU) Tương giao giữa đồ thị hàm số nhất biến và đường thẳng: Bài toán tổng quát: ax  b có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: y = αx + β cắt (C) tại hai cx  d điểm phân biệt A, B thoả mãn điều kiện K nào đó? (C) Cho hàm số: y  Phương pháp giải:  d Bước 1: TXĐ: D  R \    c Bước 2: + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: ax + b cx + d = αx + β ⇔ g(x) = (1) d + Để d cắt (C) tại điểm phân biệt A, B thì pt (1) phải có nghiệm phân biệt khác  : c a≠0 ⇔ { ∆> d g(− c ) ≠ giải hệ này ta tìm được điều kiện theo m (2) b  S  a + Vì A, B  d Gọi A ( x1; αx1 + β), B ( x2; αx2 + β) Theo Viet ta có:  P  c  a theo phương trình hoành độ giao điểm (1) (3) Bước 3: Biến đổi điều kiện của K cho trước về dạng tổng tích và thế (3) vào K giải m Bước 4: So sánh m vừa giải được với điều kiện (2) Chú ý: - Đối với bài toán mà hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị ta cần thêm điều kiện: d d (x A  )(x B  )  c c d d - Hai điểm A, B thuộc cùng một nhánh đồ thị ta cần thêm điều kiện: (x A  )(x B  )  c c BÀI TẬP:  tại hai điểm phân  biệt A và B cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d’: x − 2y − = 0? 11 ĐS: m = − 1) Tìm m cho đường thẳng d: y = −3x + m cắt đồ thị hàm số (C): 2) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt (C): dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất?     tại hai điểm phân biệt A, B cho độ ĐS: m = Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 3) Tìm m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị hàm số (C):    tại hai điểm phân biệt A, ĐS: m = −1 B cho độ dài đoạn AB = √30? 4) Tìm đồ thị (C):   hai điểm B, C thuộc hai nhánh đồ thị cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2;0)?  ĐS: 5) Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số (C):    và C(3;3) tại hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau? (ĐH_D_2011) ĐS: m = −3 2.Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng: Bài toán tổng quát Tìm m để đường thẳng d: y = αx + β cắt đồ thị (C) : y = ax + bx + cx + d tại ba điểm phân biệt thoả mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải: Bước 1: + Lập pt hoành độ giao điểm của d và (C): ax + bx + cx + d = αx + β (1) + Đoán nghiệm pt (1) và dùng Hoocner để phân tích thành: (x – x0)(ax + b′ x + c′) = x  x0 ⇔  ax  b ' x  c'   2 Đặt: g(x)  ax  b ' x  c' + Để pt (1) có nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có nghiệm phân biệt khác x0: a≠0 ⇔{ ∆> g(xo ) ≠ (3) + A, B, C ∈ d suy A ( x0; αx0 + β), B ( x1; αx1 + β ), C ( x2; αx2 + β) + Tính theo Viet: S= x1 + x2 , P= x1.x2 Bước 2: + Biến đổi điều kiện K theo tổng và tích của x1, x2 + Thế tổng và tích vào điều kiện K, giải tìm m + So sánh m với điều kiện (3) Suy giá trị m cần tìm Lưu ý: Nếu không đoán được nghiệm của phương trình (4) ta có thể dùng cách sau: + d cắt (C) tại điểm phân biệt ⇔ y = h(x) có cực trị và yCĐ.yCT < + d cắt (C) tại điểm phân biệt ⇔ y = h(x) có cực trị và yCD.yCT = + d cắt (C) tại điểm ⇔ y = h(x) đồng biến R hoặc y = h(x) có cực trị và yCD.yCT > Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý BÀI TẬP: 1) Cho đường thẳng d: 𝑦 = 𝑥 + và điểm K(1; 3) Tìm m để d cắt (Cm): y = x + 2mx + (m + 3)x + tại ba điểm phân biệt A(0; 4) B, C cho tam giác KCB có diện tích bằng 8√2?  137 ĐS: m  2) Viết phương trình đường thẳng d qua A( -1;0) và cắt đồ thị hàm số (C) : y = x − 5x + 3x + tại ba điểm phân biệt A, B, C cho G(2; 2) là trọng tâm tam giác OBC (với O là gốc toạ độ)? 3 ĐS: y  x  4 3) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2x + (1 − m)x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4? (ĐH_A_2010) ĐS: m  ( ;1) \ 0 (m 4) Cho hàm số y = 2x − 3mx + − 1)x + có đồ thị là (Cm) Tìm m để đường thẳng d: y = − x cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt? ĐS: m   m  ♦ Bài toán các hoành độ tạo thành cấp số cộng ► Dạng không nhẩm được nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: Phương pháp giải Phương trình hoành độ giao điểm : ax3 + bx2 + cx + d = (1) Bước 1: Giả sử (Cm) cắt Ox tại điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3 ) thì x1, x2, x3 là nghiệm của pt hoành độ giao điểm Bước 2: Khi đó phương trình hoành độ giao điểm được viết lại dưới dạng a(x – x1)(x – x2)(x – x3) = ⇔ a [ x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1) x – x1x2x3] = (2) Bước 3: Đồng nhất hệ số của phương trình (2) với hệ số của phương trình (1) ta được: 𝑏 x1 + x2 + x3 = − 𝑎 và vì x1, x2, x3 tạo thành cấp số cộng nên ta có: x1 + x3 = 2x2 𝑏 (3) (4) 𝑏 Từ (3) và (4) ta suy ra: 3x2 = − 𝑎 ⇒ x2 = − 3𝑎 𝑏 Bước 4: Thế x2 = − 3𝑎 vào phương trình hoành độ giao điểm (1) và tìm được giá trị m Bước 5: Giải lại phương trình (1) với m vừa tìm được, suy nghiệm phân biệt Nhận xét nghiệm đó có thoả điều kiện (4) hay không? Nếu thoả thì nhận giá trị m đó, ngược lại không tìm được m thoả ycbt Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3x − 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng? ĐS: m = 11 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý ► Dạng nhẩm được nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: Phương pháp giải Phương trình hoành độ giao điểm : ax3 + bx2 + cx + d = (1) Bước 1: Ta đoán được nghiệm của phương trình (1) là x = x0 Phương trình (1) được viết lại dưới dạng sau: (x – x0 )( ax2 + b’x + c’ ) = ⇔ x = x0 hoặc ax2 + b’x + c’ = (2) Đặt g(x) = ax2 + b’x + c’ Bước 2: Để phương trình (1) có nghiệm tạo thành cấp số cộng thì phương trình (2) phải có hai 𝑎≠0 nghiệm phân biệt x1, x2 khác x0 và thoả x1 + x2 = 2x0 ⇔ { ∆> (3) 𝑔(𝑥0 ) ≠ 𝑏′ 𝑏′ Bước 3: Theo Viet ta có: S = − 𝑎 suy − 𝑎 = 2x0 Giải phương trình này tìm được giá trị m So sánh điều kiện (3) và nhận hoặc loại giá trị m đó BÀI TẬP: 1) Tìm m để (Cm): y = x − (2m + 1)x − 9x cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng? ĐS: m   2) Tìm m để đường thẳng d: y = 2mx − m − cắt đồ thị hàm số (Cm): y = −x + (2m + 1)x − m − tại điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?  1  ĐS: m   ; ;1   3) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + mx − x − m cắt trục hoành tại điểm phân biệt lập thành cấp số cộng? ĐS: m 3;0;3 3.Tương giao của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương và đường thẳng: Bài toán tổng quát Tìm m để đường thẳng d: y = d cắt đồ thị hàm số (Cm): y = ax + bx + c tại n điểm phân biệt thoả mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải: Cách 1: Nếu ax + bx + c không chứa tham số m thì ta dùng phương pháp đồ thị hàm số này đề biện luận số giao điểm của d và (Cm) Cách 2: Nếu ax + bx + c có chứa tham số m thì ta dùng cách sau: Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm): ax + bx + c −d = (1) Bước 2: Đặt t = x2 (t ≥ 0) Phương trình (1) ⇔ at + bt + c − d = (2) Bước 3: Tuỳ vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m Cụ thể: + Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt: ∆> ⇔ {S > P>0 + Để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm t1, t2 thoả = t1 < t2 c−d =0 ⇔{ S>0 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý + Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm t1, t2 trái dấu hoặc ∆= nghiệm kép dương t1 = t2 >0 ⇔ a(c – d) < hoặc { S>0 + Để d cắt (Cm) tại một điểm thì pt (2) phải có nghiệm kép t1 = t2 = hoặc t1 = và t2 < ∆= c−d=0 ⇔{ hoặc { b=c−d=0 S • {S > (i) P>0 • Kết hợp Viet ta giải hệ t1 = 9t2 và t1 + t2 , t1.t2 theo m, suy m So sánh điều kiện (i) suy giá trị m cần tìm + Biến đổi điều kiện K về dạng tổng tích của t1, t2 (*) + Thế tổng tích vào (*) và giải tìm m + So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện ở bước 3, suy giá trị m cần tìm BÀI TẬP: 1) Tìm m để (Cm):y = −x + 2(m + 2)x − 2m − cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có 13 hoành độ lập thành cấp số cộng? ĐS: m = ∪ m = − 2) Tìm m để đường thẳng d: y = −1 cắt (Cm): y = x − (3m + 2)x + 3m tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 2? (ĐH_D_2009) ĐS: − < m < và m ≠ 3) Tìm tham số m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) : y = −x + 5x − tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D cho AB = BC = CD? ĐS: m = − 4) Tìm m để (Cm): y = x − 2(m + 1)x + 2m + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ √3? ĐS: m = − ∪ m ≥ Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý III BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bài toán tổng quát Cho hàm số (C): y = f(x, m) Tìm tham số m để hàm số có n cực trị thoả mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp giải Bước 1: Tính y’ Cho y’ = Bước 2: Hàm số có n cực trị ⇔ y’ = có n nghiệm phân biệt Cụ thể sau: ♦ Hàm số bậc (C): y = ax + bx + cx + d có đạo hàm y’ = ⇔ 3ax + 2bx + c = (1) a≠0 + Có hai cực trị ⇔pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ { ∆> ′ Chú ý: Ta phân tích: 𝑦 = 𝑦 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) , suy đường thẳng y = 𝑅(𝑥) là đường thẳng qua hai điểm cực trị ♦ Hàm số bậc trùng phương (C): y = ax + bx + c có đạo hàm y’ = x  ⇔ 4ax + 2bx = ⇔   4ax  2b  x  ⇔ x   b 2a  + Có cực trị ⇔ pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔  (2) b 0 2a + Có cực trị ⇔ pt (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng ⇔  b 0 2a Chú ý: Hàm số bậc có điểm cực trị A( 0; c), B(x1; y1), C(x2; y2) và ta có y1 = y2, thì tam giác ABC cân tại A + Để tam giác ABC vuông ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AC = + Để tam giác ABC đều ⇔ AB = BC + Diện tích tam giác S  AH.BC với H là trung điểm của BC và H (0; y1) Bước 3: Biến đổi điều kiện K, thông thường sau: + Đối với hàm bậc 3, tính nghiệm x1, x2 của pt (1) theo Viet và suy y1= R(x1), y2 = R(x2) + Đối với hàm bậc 4, tính cụ thể hai nghiệm x1, x2 từ pt (2) x    b , thế x vào 2a phương trình đầu tiên của hàm số bậc tìm các y1, y2 Bước 4: Giải điều kiện K và suy m So sánh giá trị m với điều kiện ở bước và được giá trị m cần tìm Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý BÀI TẬP: x  mx  2(3m2  1)x  có hai điểm cực trị x1, x2 cho: x1x2 + 3 (ĐH_D_2012) ĐS: m  1) Tìm m để hàm số (C): y  2(x1 + x2) =1? 2) Tìm m để (Cm): y = 2x + 9mx + 12m2 x + có cực đại và cực tiểu thoả mãn: xCĐ2 = xCT? ĐS: m = −2 3) Tìm m để hàm số (Cm): y  x  mx  (m2  m  1)x  có cực trị khoảng (1; + ∞)? m  ĐS:  m  4) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + 3m3 có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác OAB bằng 48 (với O là gốc toạ độ)? (ĐH_B_2012) ĐS: 𝑚 = ±2 5) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng AB qua điểm I(1; 0) ? ĐS: m = ±1 6) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2mx + m4 + 2m có cực đại và cực tiểu cho các cực đại và cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng ? ĐS: m = 7) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2(m + 1)x + m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông ? (ĐH_A_2012) ĐS: m = 8) Tìm m để (Cm): y = x + (3m + 1)x − có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng độ dài cạnh bên ? ĐS: m = − 9) Tìm m để hàm số (Cm): y = 2x − m2 x + m2 − có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn ? ĐS: m = ±1 10) Tìm m để hàm số (Cm): y = x − 2(m2 + 1)x + có ba điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của đồ thị là nhỏ nhất ? ĐS: m = Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý IV BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Kiến thức cần nhớ: Phương trình tiếp tuyến của (C): 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm M(xo; yo) có dạng ∆: y = f’(xo) (x – xo) + yo Trong đó f’(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ để viết một pttt ta cần tìm ba thành phần xo , yo , f’(xo) 2.Các dạng toán tiếp tuyến thường gặp: a) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: - Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm Tính y’, suy f’(xo) - Do tiếp tuyến có hệ số góc là k suy ra: k = f’(xo) (i) - Giải phương trình (i) tìm xo ⇒ yo = f(xo), suy pttt ∆: y = k (x – xo) + f(xo) Lưu ý: Hệ số góc k = f’(xo) của tiếp tuyến thường cho gián tiếp sau: + Phương trình tiếp tuyến ∆ // d: y = ax + b ⇒ k = a + Phương trình tiếp tuyến ∆  d: y = ax + b ⇒ k = − 𝑎 + Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hoành một góc 𝛼 ⇒ tan 𝛼 = |k| + Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc 𝛼 ⇒    b) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến qua (kẻ từ) điểm A(xA , yA): - Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm Tính yo = f(xo) và tính f’(xo) (tính theo x0 hết) - Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) - Do A(xA , yA) ∈ ∆ ⇒ yA = f’(xo)(xA – xo) + f(xo) (ii) - Giải (ii) tìm được xo ⇒ yo ⇒ pttt ∆ c) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B cho ∆OAB vuông cân tại O: - Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm Tính k = f’(xo) theo xo - Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) - Để ∆OAB vuông cân tại O ⇔ ∆ tạo với Ox một góc 45o ⇔ tan45o = |k| (iii) - Giải phương trình (iii) theo xo và tìm xo và thế vào pttt d) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B cho ∆OAB có diện tích S cho trước: - Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm Tính k = f’(xo) theo xo - Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) - Gọi A, B lần lượt là giao điểm của ∆ với trục Ox và Oy Suy A  B   và  - Tính độ dài OA, OA theo xo và tính diện tích  10 và giải tìm xo suy pttt  Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý e) Tìm đường thẳng d: y = ax + b những điểm mà từ đó vẽ được 1, 2, 3…tiếp tuyến đến với đồ thị (C): y = f(x) - Gọi M(xM ; axM + b) là điểm thuộc đường thẳng d - Pttt qua M có hệ số góc là k có dạng: y = k(x – xM) + axM + b - Điều kiện tiếp xúc: { f(x) = k(x − xM ) + axM + b (i) f ′ (x) = k (ii) - Lấy (ii) thế vào (i) ta được phương trình: f(x) = f’(x)(x – xM) + axM + b (iii) - Số tiếp tuyến kẽ từ M là số nghiệm của phương trình (iii), giải tìm xM, suy các điểm M f) Tìm những điểm M(xM ; yM) mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau: - Pttt ∆ qua M (xM ; yM) có hệ số góc là k có dạng: y = k(x – xM) + yM - Điều kiện tiếp xúc: { f(x) = k(x − xM ) + yM f ′ (x) = k (i) (ii) - Lấy (ii) thế vào (i) ta được phương trình: f(x) = f’(x)(x – xM) + yM (iii) - Qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) thì (iii) phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  - Để hai tiếp tuyến vuông góc ⇔ Chú ý: Đối với bài toán qua M kẽ được hai tiếp tuyến vuông góc và tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành thì pt (iii) có hai nghiệm phân biệt và f(x1).f(x2) < BÀI TẬP: 1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = x − 3x + biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: 9x – y + = ? ĐS: y = 9x – 26 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 𝑦 = −𝑥 − 𝑥 + , biết tiếp tuyến đó vuông góc với  đường thẳng d: 3) Gọi M ∈ (C):   ? (ĐH_D_2010) ĐS: y = −6𝑥 + 10  có tung độ bằng Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt  tại hai điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB ? (CĐ_A, A1, B, D 2013) ĐS:  (đvdt)  , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục  hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O ? (ĐH_A 2009) 4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):  ĐS: y = −x − 5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x − 3x + tại điểm M Biết điểm M cùng với hai cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng ? ĐS: y = 9x + 7, y = 9x – 25 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x − 6x + 9x , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y +1 = một góc 𝛼 cho cosα = và tiếp điểm có hoành độ nguyên? √41 ĐS: y = 9x, y = 9x – 32 11 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý V BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỜ THỊ Bài toán tởng quát Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm điểm M ∈ (C) thoả mãn điều kiện K cho trước ? Phương pháp giải + Gọi M(xo ; f(xo) ) ∈ (C) + Từ điều kiện K cho trước biến đổi dẫn đến phương trình hoặc bất phương trình theo xo , giải tìm xo ⇒ yo = f(xo) ⇒ M(xo ; f(xo) ) Một số kiến thức cần nhớ - Khoảng cách giữa hai điểm A(; yA) và B(xB ; yB) là AB = √(xB − xA )2 + (yB − yA )2 - Khoảng cách từ M (xo; yo) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = là - Diện tích tam giác ABC là: S         1 AB.AC.sin ¢  AB AC  AB.AC 2   - A, B đối xứng qua điểm I ⇔ I là trung điểm AB ⇔          - A, B đối xứng qua đường thẳng Δ ⇔  (với I là trung điểm AB)    - A, B đối xứng với qua trục hoành ⇔    - A, B đối xứng với qua trục tung ⇔       BÀI TẬP: 1) Tìm (C):    ?   hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng MN với  , ĐS: A(2;0) và B(0; -4) hoặc A(0;-4) và B(2; 0) 2) Tìm các điểm M ∈ d: 𝑦 = −2x + 19, biết rằng tiếp tuyến của đồ thị (C): y = (x + 2)(x − 1)2 207 qua điểm M vuông góc với đường thẳng d’: x + 9y − = ? ĐS: M1(3 ; 13) hoặc M2(11 ; 11 ) 3) Tìm hai điểm A, B ∈ (C):  ΔOAB vuông tại O ?  cho tiếp tuyến tại hai điểm A, B song song với và ĐS: A(-1; 1) và B(3; 3) hoặc A(3; 3) và B(-1; 1)  cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng lần khoảng cách từ  M đến tiệm cận đứng? ĐS: M(4;6) hoặc M(2;-4) 4) Tìm M ∈ (C):  12 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý  Tìm đồ thị (C) điểm M có  hoành độ dương, cho tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: ĐS: M(2 ; 1)   ? 5) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C):   cho tiếp tuyến tại điểm M với đồ thị (C) tạo với hai đường tiệm cận  một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng √2 ? ĐS: M1(0; 1) hoặc M2(2; 3) 6) Tìm M ∈ (C):  7) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C):   Tìm hai điểm A, B thuộc (C) cho tứ giác OABI là hình thang có đáy AB = 3OI ? −1+√5 1+√5 ĐS: A( ; 2 ) và B( 5+√5 −5+√5 ; ) hoặc A( −1−√5 1−√5 ; 5−√5 5+√5 ) và B( ; )  những điểm M cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận  của (C) tại hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn nhất ? ĐS: M1(1; 1) hoặc M2(3; 3) 8) Tìm đồ thị (C):   Tìm toạ độ các điểm A, B lần  lượt thuộc hai nhánh của đồ thị (C) cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất ? 9) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C):  ĐS: A(0;1), B(2;3) hoặc A(2;3), B(0;1) 10) Tìm điểm M thuộc (C):   , biết tiếp tuyến tại M với (C) cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích bằng ? (ĐH_D_2007) 13 ĐS:   hoặc M(1; 1) Câu hỏi phụ khảo sát hàm sớ Phạm Văn Ý VI BIỆN ḶN SỚ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ Dạng 1: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) Yêu cầu vẽ (C1): 𝒚 = |𝒇(𝒙)| ? Bước 1: Ta có (C1): y = |f(x)| = { f(x) f(x) ≥ −f(x) f(x) < Bước 2: Đồ thị hàm số (C1) được suy từ (C) sau: + Phần I: Giữ lại phần (C) ở phía trục Ox (khi f(x)≥ 0) + Phần II: Lấy đối xứng qua trục Ox phần còn lại bên dưới trục Ox + Hợp hai phần là đồ thị (C1) Dạng 2: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) Yêu cầu vẽ (C2): 𝒚 = 𝒇(|𝒙|) ? Bước 1: Ta có (C2): y = f(|x|) = { f(x) x ≥ f(|−x|) = f(x) x < Bước 2: Đồ thị hàm số (C2) được suy sau: + Phần I: Giữ lại phần (C) bên phải trục Oy (x≥ 0) + Phần II: Lấy đối xứng qua trục Oy phần I + Hợp hai phần ta được đồ thị hàm số (C2) Dạng 3: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) Yêu cầu vẽ (C3): |𝒚| = 𝒇(𝒙) ? Bước 1: Ta có |y| = f(x) ⇔ f(x) ≥ ⇔ y = ±f(x), ∀x ∈ K Bước 2: Đồ thị hàm số (C3) được suy sau: + Phần I: Giữ nguyên phần (C) ở phía trục Ox (y≥ 0) +Phần II Lấy đối xứng phần I qua trục Ox + Hợp hai phần ta được phần đồ thị hàm số (C3) Dạng 4: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) Yêu cầu vẽ (C4): 𝒚 = |𝒇(|𝒙|)| ? Hợp hai phần đồ thị (C1) và (C2) ta được đồ thị hàm số (C4) BÀI TẬP: 1)Dựa vào (C):    , hãy tìm m để phương trình:      có ĐS: m ∈ (0; 1) đúng nghiệm phân biệt ? 2) Dựa vào (C): y = x + 3x − 4, hãy tìm m để phương trình:    có đúng bốn ĐS: m ∈ (1; 16) nghiệm ? 3) Dựa vào (C): y = x − 3x + 1, hãy tìm tham số m để phương trình: |x|3 − 3|x| = m3 − 3m có bốn nghiệm thực phân biệt ? ĐS: −2 < 𝑚 < −√3 hoặc {0 < 𝑚 < √3 m≠1 14 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý BÀI TẬP CHUNG CHO CHUYÊN ĐỀ 1) Cho hàm số:  2) Cho hàm số:  3) Cho hàm số:  4) Tìm m để hàm số:               Tìm m để hàm số đồng biến R ?  Tìm m để hàm số nghịch biến R ? Tìm m để hàm số tăng từng khoảng xác định ?   giảm từng khoảng xác định ?  5) Tìm m để hàm số: y = x − mx + m nghịch biến khoảng (1; 2) ? 6) Tìm m để hàm số:  7) Tìm m để hàm số:  8) Tìm m để hàm số:             đồng biến khoảng (0; 2)?    giảm khoảng (−∞; 1) ? đồng biến khoảng (0; +∞) ? 9) Tìm m để hàm số: y = 2x + 9mx + 12m2 x + nghịch biến khoảng (2; 3) ? 10) Tìm m để hàm số:      đồng biến (1; +∞) ? 11) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C):    tại hai điểm phân biệt A, B cho AB = √5 ?   ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ điểm phân biệt A, B với mọi m? Tìm m cho AB = |OA + OB| với O là gốc toạ độ ? 12) Chứng minh rằng đường thẳng d: x − y + m = cắt đồ thị hàm số (C):    13) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x − 2m cắt đồ thị hàm số (C):  tại hai tại hai điểm phân biệt A, B và cắt hai trục Ox, Oy theo thứ tự là M, N cho SΔOAB = 3SΔOMN ? 14) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị hàm số (C):    tại hai điểm phân biệt A, B và ΔAIB đều (với I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C)) ? 15) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (C):  tại hai điểm phân biệt A, B  cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60o, với O là gốc toạ độ ? 16) Tìm m để đường thẳng d: y = mx − m − cắt đồ thị hàm số (C):   2 biệt M, N cho biểu thức T = AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất với A(1;1) ? 15 tại hai điểm phân Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý  Đường thẳng d1: y = x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m  để đường thẳng d2: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành ? 17) Cho hàm số (C):     18) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C): tại hai điểm phân biệt A, B cho ΔOAB vuông tại O, với O là gốc toạ độ ? 19) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C):  tại hai điểm phân biệt A, B cho   OA2 + OB2 = 2, với O là gốc toạ độ ? 20) Cho điểm A(0; 5) và đường thẳng Δ qua điểm I(1; 2) và có hệ số góc là k Tìm các giá trị của  k để đường thẳng Δ cắt (C):  tại điểm phân biệt M, N cho ΔAMN vuông tại A?  21) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (C):  tại hai điểm phân biệt M, N   cho ΔPMN đều với P (2; 5) ? 22) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m − cắt đồ thị (C):    tại hai điểm phân biệt A, B    tại hai điểm phân biệt A, B cho ΔOAB có trọng tâm là điểm G (− ; ) ? 3 23) Tìm m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C): cho SΔOAB = √3 với O là gốc toạ độ ?  tại hai điểm phân biệt A, B  nằm về hai phía với trục tung cho góc AOB nhọn (với O là gốc toạ độ)? 24) Tìm m để đường thẳng d: y = m − x cắt đồ thị hàm số (C):  25) Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k > −3 đều cắt đồ thị hàm số (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB? 26) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + cắt (Cm): y = 2x − 3mx + (m − 1)x + tại ba điểm phân biệt A, B, C cho điểm C(0; 1) nằm giữa hai điểm A, B đồng thời AB = √30 ? 27) Gọi d là đường thẳng qua A(2; 4) và có hệ số góc là k Tìm k để d cắt (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC cân tại O, với O là gốc toạ độ ? 28) Tìm m để đường thẳng d:   cắt đồ thị hàm số (C):     tại ba điểm phân biệt A, B, C cho điểm A cố định và SΔOBC = 2SΔOAB ? 29) Tìm m để đường thẳng d: y = m(x − 1) + cắt đồ thị hàm số (C): y = x − 3x tại ba điểm phân biệt ? 30) Tìm m để đường thẳng d: y = − x cắt đồ thị hàm số (C): y = 2x − 3mx + (m − 1)x + tại ba điểm phân biệt ? (ĐH_D_2013) 31) Tìm m để hàm số (Cm): y = x + mx − x − m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng ? 32) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − (3m + 1)x + (5m + 4)x − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt tạo thành một cấp số nhân ? 16 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 33) Tìm m để đường thẳng Δ: y = mx − 2m + cắt đồ thị (C): y = 2x − 6x + tại ba điểm phân biệt và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến Δ bằng hai lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Δ? 34) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x − cắt đồ thị hàm số (C): y = x − (m + 2)x + 4m − tại ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến của (C) tại ba điểm A, B, C bằng 28 ? 35) Tìm m để đường thẳng d: y = 2mx − 2m + cắt (C): y = −2x + 6x + tại ba điểm A, B, C cho tổng các hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại ba điểm A, B, C bằng – ? 36) Tìm m để đường thẳng d: y = mx − m − cắt đồ thị (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt A, B, C (xA < xB < xC ) cho tam giác AOC cân tại O ? 37) Tìm m để đường thẳng d: y = − x cắt đồ thị hàm số (C): y = x − 3mx + tại ba điểm phân biệt A(0; 1) ,B, C cho SΔKBC = √5 với K(1; 2) ? 38) Tìm m để đường thẳng d: y = −2 cắt đồ thị (Cm): y = (2 − m)x − 6mx + 9(2 − m)x − tại ba điểm phân biệt A(0; -2) ,B, C cho SΔOBC = √13 ? 39) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2mx + 2mx − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A(1; 0), B, C cho k1 + k2 = BC√5 Trong đó k1 , k2 lần lượt là các hệ số góc của tiếp tuyến với (Cm) tại B và C ? 40) Lập phương trình đường thẳng d qua A(2; 0), biết rằng d cắt đồ thị hàm số (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt A, B, C cho các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm B, C vuông góc nhau? 41) Tìm m để đường thẳng d: y = − x cắt đồ thị hàm số (Cm): y = x + mx + tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với ? 42) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2(m + 1)x + 2m + cắt trục hoành tại bốn điển phân biệt A, B, C, D (theo thứ tự tăng dần của hoành độ) cho SΔKAC = với K(3; -2) ? 43) Tìm m để đồ thị (Cm): y = x + 2(m + 1)x + 2m + cắt đường thẳng d: y = tại hai điểm phân biệt A, B cho AB = ? 44) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2mx + cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 cho x2 = 2x1 ? 45) Tìm m để (Cm): y = (x − 1)2 − (m + 1)2 (1 − m)2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành một cấp số cộng ? 46) Cho hàm số: y  x  (1  m)x  (m  )x  a) Tìm m để hàm số có hai cực trị ? b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ? c) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ âm ? 47) Cho hàm số y = mx + 3x − 9mx + m + a) CMR với mọi m thì hàm số có hai cực trị b) Tìm m để hàm số có hai cực trị dương c) Tìm m để hàm số có hai cực trị âm d) Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu 48) Tìm m để hàm số y = x − 3mx + (m + 4)x + đạt cực đại tại x = ? 49) Tìm m để hàm số y  x  (m2  m  2)x  (3m2  1)x  m đạt cực đại tại x = −2 ? 17 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 50) Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x + m đạt cực tiểu tại x = ? 51) Cho hàm số y = x + ax + bx + c Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng tại điểm x = −2 và đồ thị hàm số qua điểm A(1; 0) ? 52) Cho hàm số y = x + ax + b Tìm a, b để hàm số đạt cực tiểu bằng x = ? 53) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m Tìm m để hàm số có điểm cực trị và tìm điểm cực trị đó ? 54) Cho hàm số y = mx − (2m + 1)x + m + a) Tìm m để hàm số có cực trị ? b) Tìm m để hàm số có cực trị ? 1 55) Cho hàm số y  mx  (m  1)x  3(m  2)x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 3 thoả mãn x1 + 2x2 = ? 56) Cho hàm số y = 2x − 3(m + 1)x + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có hai cực trị y1 , y2 thoả mãn |y1 − y2 | = ? 57) Cho hàm số y = 2x − 3(3m + 1)x + 6m(2m + 1)x − 4m3 Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A và một điểm cực tiểu là B biết A thuộc đường thẳng y = −x + ? 58) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3x + 3mx + − m có các điểm cực trị nhỏ ? 59) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2mx + m4 + 2m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều ? 60) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m3 có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x ? 61) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x + mx − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung ? 62) Cho hàm số y = mx − 3mx + 3x − Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó ? 63) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − (m2 − m)x + m2 − m − có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó ? 64) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x − 3x + 6mx − m có hai điểm cực trị ở cùng một phía đối với trục hoành ? 65) Tìm m để đồ thị hàm số y  mx  mx  x  có hai cực trị trái dấu ? 66) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1)x + m có ba điểm cực trị A, B, C cho OA=BC đó O là gốc toạ độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung ? ( ĐH_B_2011) 67) Tìm m để đồ thị hàm số y = −x + 3x + 3(m2 − 1)x − 3m2 − có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O ? (ĐH_B_2007) 68) Cho hàm số y = −x + 3mx + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó ? (ĐH_A_2002) 69) Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + (m2 − 9)x + 10 có ba điểm cực trị ? (ĐH_B_2002) 70) Tìm m đểm đồ thị hàm số (Cm): y  x  (2m  1)x  (1  4m)x  có hai điểm cực trị x1 , x2 cho 3x1 + x2 = ? 71) Tìm m để (Cm): y = 2x + 3(m − 3)x + 11 − 3m đạt cực trị tại hai điểm A và B cho ba điểm A, B, C (0; -1) thẳng hàng? 18 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 72) Chứng minh rằng (Cm): y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x − m3 + m có cực đại và cực tiểu với mọi m ? Tìm m để các điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số (Cm) cùng với điểm I(1; 1) tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng √5 ? 73) Tìm m để (Cm): y = x − 3(m − 1)x + 3m(m − 2)x + có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d: y  x  ? 74) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = −x + 3x + 3m(m + 2)x + có hai cực trị A, B đối xứng qua điểm I(1; 3) ? 75) Tìm m để (Cm): y = 2x − 3(m + 1)x + 6mx có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d: y = x + ? (ĐH_B_2013) 76) Tìm m để (Cm): y = x − 3x − mx + có các điểm cực đại, cực tiểu A, B và đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4y − 2015 = một góc α bằng 45o ? 77) Tìm m đề đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x − m3 + m có hai cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O bằng √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc toạ độ O ? 78) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + 6mx + 9x + 2m có hai điểm cực trị A, B cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị bằng ? 79) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x − m3 + 4m − có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông tại O ? 80) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3x − mx + có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân ? 81) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng tại hai điểm phân biệt A, B cho SΔIAB đạt giá trị lớn nhất? 82) Tìm m để (Cm):        có cực trị Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = |x1 x2 − 2(x1 + x2 )| với x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số ? 83) Tìm m để hàm số (Cm):       có cực đại, cực tiểu và hoành độ các cực trị lớn ? ̂ = 120° ? 84) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + 3x + m có hai điểm cực trị A, B cho AOB 85) Cho hàm số (Cm): y = x − 2(2m + 1)x + (5m2 + 10m − 3)x − 10m2 − 4m + Tìm m để đồ thị hàm số có hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu ? 86) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3x − 3m(m + 2)x − có hai cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía của trục hoành ? 87) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3x + m2 − m + đạt cực trị tại hai điểm A, B cho SΔABC = với  ? 88) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C): y = x − 3x + tiếp xúc với đường tròn (Cm): (x − m)2 + (y − m − 1)2 = ? 89) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm):     cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất ? 19  có hai điểm cực trị cho khoảng Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 90) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x − m3 + có cực đại và cực tiểu  đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu A, B của hàm số cùng với điểm tạo thành một ̂ = 90° ? góc AMB 91) Tìm m để (Cm): y = x − 3x + mx + có cực trị cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng qua hai điểm cực trị là lớn nhất ? 92) Tìm m để (Cm): y = x − 2mx + m2 − m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng 30o ? 93) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + 2(m − 2)x + m2 − 5m + có cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác đều ? 94) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = 2x − m2 x + m2 − có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của hình thoi ? 95) Tìm m để hàm số (Cm): y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị A, B, C cho đường tròn ngoại tiếp ΔABC có bán kính bằng ? 96) Cho hàm số (C):    và đường thẳng Δ qua điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc là k Tìm k để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đến đường thẳng Δ là nhỏ nhất ? 97) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2(1 − m2 )x + m + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất ? 98) Xác định tham số m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 4(m − 1)x + 2m − có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều ? 99) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2mx + 2m + m4 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4√2 ? 100) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + 2mx + m2 + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120o ? 101) Tìm m để (Cm):      có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O ? 102) Tìm m để (Cm): y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm D ? 103) Tìm m để (Cm): y = x − 2mx + có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân ? 104) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 8m2 x + có ba cực trị A, B, C và SΔABC = 64 ? 105) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm):    có cực tiểu mà k có cực đại ? 106) Tìm m để (Cm): y = −x + 2mx − có các điểm cực trị đều nằm các trục toạ độ ? 107) Tìm tham số m để (Cm): y = x − 2(m2 − m + 1)x + m − có cực đại và cực tiểu cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là ngắn nhất ? 108) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):  , biết tiếp tuyến đó tạo với hai đường tiệm cận  một tam giác vuông cân ở I với I là giao điểm hai đường tiệm cận ? 20 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý  , biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm  cận ngang lần lượt tại hai điểm A, B cho AB = IB√2 với I(1; 2) ?  109) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 110) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 4x − 6x + , biết tiếp tuyến đó qua điểm M(−1; −9) ? (ĐH_B_2008) 111) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  A(−2; 4) và điểm B(4; −2) ?  , biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm   có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng d: 3x + y −  = một khoảng cách bằng √10 ? 112) Xác định m để đồ thị (C):  113) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C):   biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox,  Oy lần lượt tại hai điểm A, B cho AB = √82.OB ? 114) Tìm tất cả các giá trị của m ≠ cho tiếp tuyến của đồ thị (Cm): y = mx − (2m + 1)x + m + tại giao điểm của nó với trục trung tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4? 115) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C): tại điểm M cho IM  Δ ?   Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C)  116) Tìm tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số (C m): y = x − 3x + (m − 2)x + 3m vuông góc với đường thẳng d: x − y + = ? 117) Tìm d: y = 9x − những điểm mà qua đó kẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C): y = x + 3x − ? 118) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt M(2;0), N, P cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc ?  với trục  hoành Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ bằng Tìm tất cả các giá trị của m cho |k1 + k | đạt giá trị nhỏ nhất ? 119) Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (Cm):  120) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):   , biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất ?  cho tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận lần lượt  tại hai điểm A, B cho bán kính đường tròn nội tiếp ΔIAB lớn nhất, với I là giao điểm hai đường tiệm cận ? 121) Lập phương trình tiếp tuyến của (C):  122) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):   , cho tiếp tuyến qua giao điểm của đường  tiệm cận đứng và trục Ox ? 123) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm): y = x + 3mx + (m + 1)x + tại điểm có hoành độ bằng – qua điểm A(1; 2) ? 21 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 124) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):   , biết rằng tiếp tuyến đó cách điểm A(0; 1) một  khoảng bằng ? 125) Viết phương trình tiêp tuyến của (C):   toạ độ tại A và B cho M là trung điểm AB ? tại điểm M, biết rằng tiếp tuyến đó cắt hai trục 126) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 3mx + có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = một góc α, biết cosα = √26 ? 127) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):   biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(2; 4) và    , biết tiếp tuyến này cắt hai trục Ox, Oy tại hai  điểm B(−4; −2) ? 128) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): điểm A, B cho OA = 4OB ? 129) Gọi d là tiếp tuyến của (Cm): y = x − 3mx + 3(m2 − 1)x − m3 + tại điểm cực đại A, đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc toạ độ ?  có đồ thị (C) Tìm m để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến  đến (C) và hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến này nằm về hai phía trục hoành ? 130) Cho điểm A(0; m) và hàm số  131) Tìm d: y = 2x + các điểm mà từ đó kẻ được nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số  (C):  ?  132) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = −x + (2m + 1)x − m − tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2mx − m − ? 133) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):   cho khoảng cách từ giao điểm hai  đường tiệm cận đến tiếp tuyến là lớn nhất ?  Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến  của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất ? 134) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C):   mà tiếp  tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d: y = 2m − ? 135) Tìm giá trị nhỏ nhất của m cho tồn tại ít nhất một điểm M thuộc (C):  136) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm): y = x − mx + m − tại điểm M có hoành độ bằng – cắt đường tròn (C): x + y − 4x − 6y + = theo dây cung có độ dài nhỏ nhất ? 137) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng + 2√2 ? 22   , biết tiếp tuyến đó tạo với hai Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 138) Hai điểm M, N thay đổi (C): y = x + 3x + 3x + cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm M, N song song với Viết phương trình đường thẳng MN biết MN tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 139) Tìm (C):  ?  những điểm mà tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất ?  140) Tìm đồ thị (C):   vuông cân tại đỉnh A(2; 0) ? hai điểm B, C thuộc hai nhánh của đồ thị cho tam giác ABC 141) Tìm điểm M (C): y = x − 3x + cho ΔABM cân tại M với A(0; 4) và B ?  những điểm M cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ  một tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d: 4x + y = ? 142) Tìm (C):  143) Tìm các điểm A, B thuộc (C): y = −x + 3x cho tiếp tuyến tại hai điểm A, B song song với và AB = 4√2 ? 144) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C): y = x − 3x + Tìm toạ độ các điểm M thuộc (C) cho tam giác MAB cân tại M ?  cho các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm A, B song song với  và ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O với O là gốc toạ độ ? 145) Tìm A, B thuộc (C):  146) Tìm những điểm M (C):   cho điểm M cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2) ?  147) Tìm M thuộc (C): y = x − 3x + để tiếp tuyến của (C) tại M cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là N thoả mãn |xM − xN | = ? 148) Tìm điểm M đồ thị (C): 4y + = là ngắn nhất ?   cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: x −  149) Tìm điểm M đường thẳng d: y = 3x − cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cực trị của (C): y = x − 3x + là nhỏ nhất ? 150) Tìm điểm M thuộc (C):   cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) đến tiếp tuyến của (C)  tại M là lớn nhất ? 151) Tìm đồ thị (C): y = x + 3x − các cặp điểm đối xứng với qua điểm I(2; 18) ? 152) Từ đồ thị hàm số (C): y = x − 4x + 3, hãy tìm m để phương trình |x − 4x + 3| = log m có bốn nghiệm phân biệt ? 153) Từ đồ thị hàm số (C): y = 2x − 4x + , hãy tìm m để phương trình |m| − |x − 2x | = m có đúng ba nghiệm phân biệt ? 154) Dựa vào đồ thị (C): y = 2x − 3x + hãy tìm m để phương trình |2x − 3x + 2| = log 4√2(m2 + 1) có đúng nghiệm thực phân biệt ? 23 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý 155) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại điểm A, B thoả mãn AB = OA√2 ?  156) Tìm các giá trị của m để hàm số    có cực đại x1 ,cực tiểu x2 đồng thời x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một Δ vuông có độ dài cạnh huyền bằng 157) Tìm tất cả các giá trị của m cho đồ thị (Cm):      ?  tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x + 2y − = ? 158) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = x − 3x + tại ba điểm phân biệt A, B, C cho xA = và BC = 2√2 ? 159) Cho hàm số y = 4x − 6mx + 1, m là tham số Tìm m để đường thẳng d: y = −x + cắt đồ thị hàm số tại ba điểm A(0; 1), B, C cho B, C đối xứng với qua đường phân giác thứ nhất ? 160) Tìm m cho đồ thị hàm số: y = x − 4x + m có đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần bằng phần dưới ?  có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m + cắt đồ thị (C)  ̂ là góc nhọn ? tại hai điểm phân biệt A, B cho góc AOB 161) Cho hàm số:   Đường thẳng d: y = 2x − 2m cắt (Cm) tại hai điểm phân  biệt A, B và cắt hai trục Ox, Oy tại M, N Tìm m để SΔOAB = 3SΔOMN ? 162) Cho đồ thị hàm số (Cm):    hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB = và đường thẳng  AB vuông góc với đường thẳng y = x ? 163) Tìm đồ thị (C):  164) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + m − cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lớn – ? 165) Cho hàm số     có đồ thị là (Cm) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d: 72x − 12y − 35 = ? 166) Tìm đồ thị (Cm): y = x − 3(2m2 − 1)x + 3(m2 − 1)x + − m3 hai điểm A, B cho hai điểm A, B đối xứng qua gốc toạ độ ? 167) Tìm tất cả những điểm M thuộc trục tung cho từ M có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = −x + 2x − ? 168) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: 2mx − 2y + m + = cắt đồ thị hàm số    tại hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất ? 169) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2(m + 2)x + 7(m + 1)x − 3m − 12 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 ? 24 Câu hỏi phụ khảo sát hàm số Phạm Văn Ý  Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M cho tiếp tuyến  cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B đồng thời đường trung trực của đoạn thẳng AB qua gốc toạ độ O ? 170) Cho hàm số (C):  Email: phamvanypvy@gmail.com _ ĐTDĐ: 0902 589 909 25 ... M1(3 ; 13 ) hoặc M2 (11 ; 11 ) 3) Tìm hai điểm A, B ∈ (C):  ΔOAB vuông tại O ?  cho tiếp tuyến tại hai điểm A, B song song với và ĐS: A( -1 ; 1) và B(3; 3) hoặc A(3; 3) và B( -1 ; 1) ... TẬP: x  mx  2(3m2  1) x  có hai điểm cực trị x1, x2 cho: x1x2 + 3 (ĐH_D_2 012 ) ĐS: m  1) Tìm m để hàm số (C): y  2(x1 + x2) =1? 2) Tìm m để (Cm): y = 2x + 9mx + 12 m2 x + có cực đại... m − đồng biến (1; 2)? ĐS: < m ≤ 8) Tìm m để hàm số y  (m  1) x  (2m  1) x  3(2m  1) x  đồng biến khoảng (−∞; ? ?1) ? ĐS: m ≥ 11 9) Tìm m để hàm số y = mx + (m − 1) x + − 2m nghịch