Chuyên đề 1: CẤP SỐ NHÂN I Cấp số nhân Xét toán: Một ngân hàng quy định sau việc gửi tiết kiệm theo thể thức có kỳ hạn:“Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi khơng đến rút tiền tồn số tiền (bao gồm vốn lẫn lãi) chuyển gửi tiếp với kỳ hạn kỳ hạn mà người gửi gửi” (Thể thức thường gọi “thể thức lãi kép”) Giả sử có người có 10 triệu đồng với kỳ hạn tháng vào ngân hàng nói giả sử lãi suất loại kỳ hạn 0,7% a) Hỏi sau tháng sau, kể từ ngày gửi, người đến ngân hàng để rút tiền số tiền rút (gồm vốn lãi) bao nhiêu? b) Cũng câu hỏi trên, với giả thiết thời điểm rút tiền năm sau kể từ ngày gửi Với số tự nhiên , kí hiệu , số tiền người rút (kể vốn lãi) sau tháng kể từ ngày gửi Khi đó, theo giả thiết tốn ta có: Như vậy, ta có dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước 1,007 Người ta gọi dãy số có tính chất tương tự dãy số nói cấp số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số Nghĩa là: khơng đổi cấp số nhân u1 gọi số hạng đầu tiên, uk số hạng thứ k cấp số nhân, q gọi công bội cấp số nhân Nếu cấp số nhân hữu hạn, có số hạng gọi số số hạng cịn un gọi số hạng cuối cấp số nhân Ví dụ: a) Dãy số b) Dãy số với un với cấp số nhân với số hạng đầu công bội q = cấp số nhân với số hạng đầu u1 = - 2, số hạng cuối - 162, số số hạng công bội q= -3 Ví dụ: Cho dãy số xác định Chứng minh dãy số với xác định với cấp số nhân Hãy cho biết số hạng đầu công bội cấp số nhân Giải: Từ cơng thức xác định dãy số , ta có: Từ suy dãy số cấp số nhân với số hạng đầu cơng bội Định lí: a) Tính chất đặc trưng cấp số nhân: Nếu cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai, bình phương số hạng (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng đứng kề dãy, tức là: b) Số hạng tổng quát cấp số nhân: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội số hạng tổng qt xác định theo công thức sau: c) Tổng n số hạng cấp số nhân: Giả sử cấp số nhân với công bội Với số nguyên dương , gọi số hạng Khi ta có: tổng Chứng minh: a) Gọi công bội cấp số nhân Với , ta có: Từ hai đẳng thức trên, ta có: (đpcm) b) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Cơng thức , Giả sử công thức , tức Khi ta có Vậy cơng thức Từ suy điều cần chứng minh c) Ta có: Do đó: Hay Từ đó, q ≠ 1, suy điều phải chứng minh Ví dụ: Trở lại toán phần mở đầu Giải: Theo yêu cầu tốn, ta cần tính Do cấp số nhân với số hạng đầu cơng bội nên theo định lí, phần b) ta có: Suy ra: (đồng) (đồng) Ví dụ: Cho cấp số nhân có Hãy tính tổng mười số hạng cấp số Giải: Gọi cơng bội cấp số nhân , ta có: Do đó, theo định lí, phần b), ta được: Suy ra: Vì thế, theo phần c), ta ĐỐ VUI: Một hào đổi lấy năm xu? Tương truyền, vào ngày nọ, có nhà tốn học đến gặp nhà tỉ phú đề nghị "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau: Liên tục 30 ngày, ngày nhà toán học "bán" cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá đồng ngày kể từ ngày thứ hai, ngày nhà tỷ phú phải "mua" với giá gấp đôi giá ngày hôm trước Không chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý tức thì, lịng thầm cảm ơn nhà tốn học mang lại cho ơng ta hội hốt tiền "nằm mơ không thấy" Hỏi nhà tỷ phú lãi "mua-bán" kì lạ ? II Cấp số nhân cộng Định nghĩa: Dãy số gọi cấp số nhân cộng với ( Trong trường hợp có , ta có , ta có: số) cấp số cộng với công sai trường hợp , ta cấp số nhân với công bội Tiếp theo ta giả sử Hai toán liên quan đến cấp số nhân cộng giải dễ dàng dựa vào tính chất cấp số nhân Ví dụ 1: (Cơng thức số hạng tổng quát cấp số nhân cộng) Cho dãy số xác định thức giải tổng quát cho Giải: Đặt với với Hãy tìm cơng số mà ta chọn thích hợp Thay vào hệ thức truy hồi, ta có: Bây giờ, ta chọn Như vậy, ta có cấp số nhân cơng bội Từ cơng thức tổng qt tính , số hạng đầu Suy ra: Ví dụ 2: Cho tam giác Gọi chiếu của có cạnh Trên cạnh hình chiếu lên cho lên hình chiếu , ta lấy điểm hình chiếu lên lên cho hình , … tiếp tục Hãy tìm giá trị Giải: Sử dụng tính chất tam giác nửa đều, ta tìm được: Như vậy, đặt qt ví dụ (ở ta có và ), ta đặt Làm theo cách làm tổng thay vào hệ thức truy hồi Từ suy Quay trở lại toán, ta thấy yêu cầu toán tương đương với việc tìm cho theo tính tốn điều tương đương với Vậy giá trị cần tìm (Thực lúc này, điểm trùng nhau) , ... thức , tức Khi ta có Vậy cơng thức Từ suy điều cần chứng minh c) Ta có: Do đó: Hay Từ đó, q ≠ 1, suy điều phải chứng minh Ví dụ: Trở lại tốn phần mở đầu Giải: Theo yêu cầu toán, ta cần tính... "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau: Liên tục 30 ngày, ngày nhà toán học "bán" cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá đồng ngày kể từ ngày thứ hai, ngày nhà tỷ phú phải "mua" với giá gấp đôi giá... giả sử Hai toán liên quan đến cấp số nhân cộng giải dễ dàng dựa vào tính chất cấp số nhân Ví dụ 1: (Cơng thức số hạng tổng qt cấp số nhân cộng) Cho dãy số xác định thức giải tổng quát cho Giải: