Phương pháp thiết kế bằng máy tính hệ điều khiển công nghiệp dựa trên cơ sở chỉ số dao động mềm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỖ MẠNH HÙNG Đỗ Mạnh Hùng ĐIỀU KHIỂN & TỰ ĐỘNG HÓA PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BẰNG MÁY TÍNH HỆ ĐIỀU KHIỂN CÔNG NGHIỆP DỰA TRÊN CƠ SỞ CHỈ SỐ DAO ĐỘNG MỀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐIỀU KHIỂN & TỰ ĐỘNG HÓA KHOÁ 2009 Hà Nội – Năm 2011 Mục lục Danh mục bảng biểu 3  Danh mục hình vẽ .4  Mở đầu 6  Chương I 8  Nhận dạng hệ thống 8  1.1 Mô hình 8  1.2 Đặc tính mô hình đối tượng công nghiệp 10  1.3 Nhận dạng đối tượng 16  1.3.1 Nhận dạng mô hình bậc hai có trễ (SOPDT) 17  1.3.2 Nhận dạng đối tượng có chứa thành phần tích phân 20  1.3.3 Phương pháp sai lệch bình phương tối thiểu 21  Chương 24  Mô trình 24  2.1 Các phương pháp mô 24  2.2 Phương pháp giải tích số .25  2.3 Phương pháp dựng đặc tính độ hệ thống theo Laplace ngược 27  Chương 32  Tổng hợp điều khiển sở số dao động mềm 32  3.1 Sơ lược số phương pháp chỉnh định điều khiển PID 32  3.1.1 Các phương pháp dựa đáp ứng tới hạn .32  3.1.2 Các phương pháp dựa mô hình mẫu 36  3.2 Dự trữ ổn định hệ thống điều khiển 40  3.2.1 Các khái niệm dự trữ ổn định 40  3.2.2 Dự trữ ổn định Pha Biên độ theo tiêu chuẩn Nyquist 42  3.2.3 Dự trữ độ ổn định theo độ ổn định η 43  3.2.4 Dự trữ ổn định theo số dao động “cứng” (m0 = const) 44  3.2.5 Dự trữ ổn định theo số dao động “mềm” 47  3.3 Tổng hợp điều khiển bền vững sở số dao động mềm 52  3.3.1 Hệ điều khiển chất lượng cao 52  3.3.2 Bản chất tối ưu hệ thống điều khiển chất lượng cao 53  3.3.3 Bộ điều chỉnh bền vững 54  3.3.4 Xác định tham số tối ưu điều chỉnh bền vững định chuẩn theo số dao động mềm 56  3.3.5 Chất lượng trình độ hệ bền vững định chuẩn 63  3.3.6 Tổng hợp điều chỉnh bền vững theo yêu cầu chất lượng cho trước .65  Chương 69  Xây dựng phần mềm thiết kế điều khiển .69  4.1 Ngôn ngữ lập trình Visual Basic NET 69  4.1.1 Lịch sử VB.NET 69  4.1.2 Sơ lược NET .71  4.2 Xây dựng phần mềm thiết kế hệ thống 72  4.2.1 Cấu trúc chương trình .72  4.2.2 Xây dựng giao diện 73  4.2.3 Mô hệ thống 78  4.2.4 Nhận dạng hệ thống 86  4.2.5 Tổng hợp điều khiển bền vững 93  4.2.6 Tổng hợp điều khiển cho hệ hai tầng 102  Kết luận 110  TÀI LIỆU THAM KHẢO .111  Phụ lục .113  Danh mục bảng biểu Bảng 3.1 Chọn tham số luật điều chỉnh theo phương pháp 33  Ziegler-Nichols thứ 33  Bảng 3.2: Luật chỉnh định Ziegler-Nichols thứ hai 34  Bảng 3.3 Đánh giá tiêu chất lượng theo mc 65  Bảng 3.4 Chỉ tiêu chất lượng hệ .67  Bảng 4.1 Tham số PID theo phương pháp chỉnh định .97  Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Dạng đặc tính độ đặc trưng đối tượng điều khiển công nghiệp .11  Hình 1.2 Các dạng đặc tính độ đối tượng có tự cân 12  14  Hình 1.3 Các dạng đặc tính độ đối tượng tự cân 14  Hầu hết đối tượng tự cân thực tế khâu tích phân có quán tính có trễ, mô tả mô hình: 14  Hình 1.4 Đặc tính độ đối tượng có dao động 15  Hình 1.5 Đặc tính độ thực nghiệm 18  Hình 1.6 Đáp ứng thời gian đối tượng tích phân đường cong đạo hàm 21  Hình 1.7 Đồ thị đặc tính phần thực mô hình 22  Hình 2.1 Phương pháp tích phân số 26  Hình 2.2 Đồ thị phần thực đặc tính tần số tổng quát đầu 29  Hình 3.1 Đặc tính độ đối tượng có tự cân (a) 32  tự cân (b) 32  Hình 3.2 Cấu trúc tự chỉnh với khâu phản hồi rơ-le 35  Hình 3.3 Sơ đồ cấu trúc điều khiển IMC 38  Hình 3.4 Cách xác định dự trữ ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Mikhailov 42  Hình 3.5 Cách xác định dự trữ ổn định theo tiêu chuẩn Nyquist .42  Hình 3.6 Sự phân bố nghiệm đặc tính hệ thống .43  Hình 3.7 Sự biến thiên số dao động mềm theo tần số 49  Hình 3.8 Nghiệm đặc tính bên trái đường biên mềm góc quay véc tơ 50  Hình 3.9 Sơ đồ hệ thống điều khiển điển hình 52  Hình 3.10 Đường biên mềm mặt phẳng nghiệm .58  Hình 3.11 Sơ đồ cấu trúc hệ bền vững định chuẩn 59  Hình 3.12 Đường cong đặc tính mềm hệ hở hệ bền vững định chuẩn 60  Hình 3.13 Đáp ứng hệ định chuẩn với số dao động cắt mc khác .63  Hình 3.14 Các tiêu chất lượng đáp ứng phụ thuộc vào số dao động cắt mc 64  Hình 4.1 Cấu trúc chương trình .73  Hình 4.2 Công cụ Windows Form 74  Hình 4.3 Sơ đồ cấu trúc hệ điều khiển chương trình 75  Hình 4.4 Lựa chọn thao tác 76  Hình 4.5 Lựa chọn dạng hàm truyền 76  Hình 4.6 Cửa sổ nhập tham số 78  Hình 4.7 Cửa sổ đồ họa 79  Hình 4.8 Thuật toán tính đặc tính tần số 80  Hình 4.9 Nhập tham số cho ví dụ 4.1 .85  Hình 4.10 Kết mô ví dụ 4.1 86  Hình 4.11 Lưu đồ thuật toán nhận dạng khâu quán tính bậc có trễ 88  Hình 4.12 Kết phương pháp nhận dạng đối tượng ví dụ 4.2 .89  Hình 4.13 Giải toán tối ưu phương pháp Gradient 90  Hình 4.14 Kết nhận dạng ví dụ 4.3 93  Hình 4.15 Lưu đồ thuật toán tính tham số điều khiển PID bền vững 95  Hình 4.16: Đáp ứng bước nhảy đặc tính mềm ví dụ 4.4 97  với điều khiển bền vững .97  Hình 4.17 Đáp ứng bước nhảy đáp ứng nhiễu phương pháp 99  tổng hợp điều khiển PID 99  Hình 4.18 Đặc tính mềm hệ hở với điều chỉnh bền vững bổ sung 99  thành phần tích phân 99  Hình 4.19 Cửa sổ chỉnh định tham số 101  Hình 4.20 Đáp ứng bước nhảy đặc tính mềm ví dụ 4.4 101  Hình 4.21 Hệ điều khiển hai tầng cấu trúc vòng tương đương 104  Hình 4.22 Khâu tương đương V1 ví dụ 4.5 106  Hình 4.23 Kết nhận dạng đối tượng tương đương V1 107  Hình 4.24 Đáp ứng bước nhảy hệ điều khiển ví dụ 4.5 mc=0.461 108  Hình 4.25 Đáp ứng bước nhảy hệ điều khiển ví dụ 4.5 mc=0.971 108  Mở đầu Sự phát triển công nghệ máy tính tạo nên thay đổi lớn nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, có việc thiết kế điểu khiển hệ thống Trên thực tế, máy tính trở thành công cụ thiết yếu cho việc mô hình hóa, phân tích, mô phỏng, thiết kế thực thi hệ thống điều khiển Được trang bị công cụ mô mạnh có hiểu biết phương pháp mô hình hóa, phân tích, tổng hợp hệ thống, người kỹ sư có khả rút ngắn thời gian giảm chi phí nghiên cứu, phát triển sản phẩm cách đáng kể Mặt khác, công cụ máy tính sử dụng trình giáo dục, đào tạo nhằm giúp cho người học có nhìn trực quan sâu sắc hệ thống, từ nâng cao chất lượng đào tạo Trong lĩnh vực điều khiển – tự động hóa, công cụ mô phỏng, phân tích thiết kế hệ thống thông dụng Matlab/Simulink, LabView sử dụng rộng rãi, nhiên công cụ cồng kềnh, phức tạp có chi phí cao Mặt khác, Matlab/Simulink hay LabView chưa có chức tổng hợp trực tiếp nhanh chóng điểu khiển chất lượng cao cho đối tượng công nghiệp, đối tượng có trễ vận tải Do vậy, nội dung chủ yếu luận văn đề cập đến việc xây dựng công cụ gọn nhẹ thuận tiện cho việc mô phỏng, phân tích, tổng hợp điều khiển cho đối tượng công nghiệp Hiện nay, điểu khiển sử dụng chủ yếu công nghiệp điểu khiển PID tính đơn giản hiệu nó, có nhiểu phương pháp để tổng hợp điều khiển PID như: phương pháp Ziegler-Nichols, phương pháp tổn hợp trực tiếp, phương pháp mô hình nội Morari, phương pháp nắn đặc tính tần Nhìn chung, phương pháp kinh điển chưa tính đến độ bất định độ bền vững hệ thống gặp nhiều khó khăn đối tượng có trễ vận tải Chính vậy, tác giả VS.PGS.TSKH Nguyễn Văn Mạnh đưa quan điểm lý thuyết điểu khiển bền vững dựa sở số dao động mềm để giải vấn đề Cách tiếp cận tác giả N.V.Mạnh mang tính tổng quát cao, áp dụng đơn giản hiệu cho hệ thống điều khiển công nghiệp, phần mềm thiết kế luận văn chủ yếu áp dụng lý thuyết để tổng hợp điều khiển Nội dung kể luận văn trình bày theo bố cục bốn chương phụ lục gồm: Chương trình bày phương pháp mô hình hóa nhận dạng đối tượng, tập trung chủ yếu vào đối tượng công nghiệp mô hình hàm truyền, đưa phương pháp nhận dạng hiệu cho đối tượng mô hình Chương hai trình bày phương pháp mô hệ thống, đánh giá lựa chọn phương pháp phù hợp để đưa vào chương trình Chương ba trình bày số phương pháp tổng hợp điều khiển PID, ưu nhược điểm phương pháp Tiếp theo trình bày phương pháp tổng hợp điều khiển bền vững dựa số dao động mền, phân tích lựa chọn phương án hiệu Chương bốn trình bày cấu trúc, giao diện, thuật toán phần mềm mô phỏng, tính toán hệ điều khiển công nghiệp VB.NET số ví dụ thực tế Phần phụ lục trình bày mã nguồn chương trình Chương I Nhận dạng hệ thống 1.1 Mô hình Mô hình hình thức mô tả khoa học cô đọng khía cạnh thiết yếu hệ thống thực Một mô hình phản ánh hệ thống thực từ góc nhìn phục vụ hữu ích cho mục đích sử dụng Mô hình chia làm hai loại mô hình vật lý mô hình trừu tượng Mô hình vật lý thu nhỏ đơn giản hóa hệ thống thực, xây dựng sở vật lý – hóa học Mô hình vật lý phương tiện hữu hiệu để phục vụ đào tạo nghiên cứu ứng dụng, phù hợp cho công việc thiết kế phát triển Mô hình trừu tượng xây dựng sở ngôn ngữ bậc cao, nhằm mô tả cách logic quan hệ mặt chức thành phần hệ thống Trong kỹ thuật điều khiển, ta quan tâm trước hết tới dạng mô hình trừu tượng sau: • Mô hình đồ họa với ngôn ngữ mô hình hóa lưu đồ công nghệ, lưu đồ P&ID, biểu đồ SFC … Mô hình đồ họa phù hợp cho việc biểu diễn trực quan hệ thống mặt cấu trúc liên kết tương tác thành phần • Mô hình toán học với ngôn ngữ toán học phương trình vi phân, phương trình đại số, hàm truyền đạt… Mô hình toán học thích hợp cho việc phân tích đặc tính thành phần chất mối liên kết tương tác • Mô hình suy luận hình thức biểu diễn thông tin đặc tính hệ thống thực dạng luật suy diễn, sử dụng ngôn ngữ bậc cao, gần với tư người Trong lĩnh vực điều khiển, mô hình toán học đóng vai trò then chốt hầu hết nhiệm vụ phát triển hệ thống Có nhiều loại mô hình toán học khác tùy theo cách nhìn nhận mục đích sử dụng như: • Phương trình vi phân biểu diễn quan hệ dạng phương trình, hệ phương trình vi phân thường Phương trình vi phân có ưu điểm khả biểu diễn mạnh, nhiên khó sử dụng cho việc phân tích thiết kế hệ thống, đặc biệt với mô hình bậc cao • Mô hình trạng thái hình thức mô tả tổng quát, biểu diễn hệ phương trình vi phân, xuất đạo hàm cấp Mô hình trạng thái thể quan hệ vào/ra mà cho nhìn sâu sắc hệ thống thông qua biến trạng thái cấu trúc liên kết bên Sử dụng mô hình trạng thái có ưu điểm lớn cách mô tả phương pháp phân tích thiết kế áp dụng cách thống cho hệ đơn biến hệ đa biến Tuy nhiên mô hình trạng thái bộc lộ số nhược điểm như: mô hình trạng thái khó tiến hành nhận dạng trực tiếp biến trạng thái lúc đo Mặt khác, mô hình trạng thái nhạy cảm với sai lệch tham số, sai số nhỏ phần tử ma trận tham số phản ánh thay đổi lớn đặc tính trình, ngược lại thay đổi nhỏ đặc tính trình làm thay đổi tất phần tử ma trận tham số • Mô hình hàm truyền đạt hàm biến phức biểu diễn quan hệ vào/ra hệ tuyến tính, định nghĩa tỉ số ảnh Laplace tín hiệu đầu ảnh Laplace tín hiệu đầu vào G(s) = y(s)/u(s) với toàn sơ kiện 0, s biến phức Phép biến đổi Laplace cho phép tránh phương trình vi phân thay vào biểu diễn hệ tuyến tính phương trình đại số biến phức Nhờ ta sử dụng công cụ toán học đa dạng cho việc phân tích thiết kế hệ thống điều khiển Hơn nữa, mô tả miền Laplace liên quan chặt chẽ tới mô tả hệ thống miền tần số, tính             If alpha > 0 Then                  Mdata(i) = m0 * ((1 ‐ Exp(‐alpha * Wdata(i))) / (alpha *  Wdata(i)))              Else : Mdata(i) = m0              End If          Next          Return Mdata      End Function        Public Function CalFreqArray(ByVal TF As Element, ByVal Wdata() As  Double, ByVal Mdata() As Double, ByVal Lm As Double) As Complex()          Dim Tm As Double          ' Dim s As Complex          Dim Wout(Ncal) As Complex          For i = 0 To Ncal Step 1              Tm = Lm ‐ Mdata(i) * Wdata(i)              Wout(i) = CalFreq(TF, Tm, Wdata(i))          Next          Return Wout      End Function      Public Function CalKw(ByVal Wout() As Complex, ByVal W() As Double)  As Double()          Dim Kw(Ncal) As Double          Dim i As Integer          For i = 0 To Ncal ‐ 1 Step 1              Kw(i) = (Wout(i + 1).Re ‐ Wout(i).Re) / (W(i + 1) ‐ W(i))          Next          Return Kw      End Function        Public Function YoutLaplace(ByVal t As Double) As Double          Dim c, u, v, h As Double          Dim i As Integer          YoutLaplace = 0          c = Lp * t          If (t  80) Then Exit Function          h = 0          u = 1          For i = 0 To Ncal ‐ 1 Step 1              v = Cos(Wdata(i + 1) * t)              h = h + Kw(i) * (v ‐ u)              u = v          Next          YoutLaplace = 2 * Exp(c) * h / (PI * t ^ 2)      End Function      Public Sub CalT(ByVal tmax As Double)          Dim i As Integer          Tdata(0) = 0          For i = 1 To Ncal Step 1              Tdata(i) = Tdata(i ‐ 1) + tmax / Ncal          Next  119     End Sub      Public Function CalTimeResp() As Double()          Dim i As Integer          Dim Y(Ncal) As Double          Y(0) = 0            For i = 0 To Ncal Step 1              Y(i) = YoutLaplace(Tdata(i))          Next          Return Y      End Function        Public Function CalWEL(ByVal EL As Element, ByVal m0 As Double,  ByVal alpha As Double, ByVal Lp As Double) As Complex()          Wdata = CalW()          Mdata = CalM(Wdata, m0, alpha)          CalWEL = CalFreqArray(EL, Wdata, Mdata, Lp)      End Function      Public Function CalWzyCL(ByVal lp As Double) As Complex()          Dim Wz(), WO1(), WO2(), WR1(), WR2(), WF1(), WF2() As Complex          Wdata = CalW()          Mdata = CalM(Wdata, 0, 0)          ''          Wz = CalFreqArray(Z, Wdata, Mdata, lp)          WO1 = CalFreqArray(O1, Wdata, Mdata, lp)          WO2 = CalFreqArray(O2, Wdata, Mdata, lp)          WR1 = CalFreqArray(R1, Wdata, Mdata, lp)          WR2 = CalFreqArray(R2, Wdata, Mdata, lp)          WF1 = CalFreqArray(F1, Wdata, Mdata, lp)          WF2 = CalFreqArray(F2, Wdata, Mdata, lp)          ''          Dim W1(), W2(), W3(), W4(), Wzy() As Complex          W1 = mulw(WO2, WR2)          W2 = mulw(W1, WR1)          W2 = mulw(W2, WO1)          W3 = mulw(W1, WF2)          W4 = mulw(W2, WF1)          W1 = addw(To1Acomplex(Ncal), W3)          W1 = addw(W1, W4)          Wzy = divw(W2, W1)          Wzy = mulw(Wzy, Wz)            Return Wzy      End Function      Public Function CalWV1(ByVal m0 As Double, ByVal alpha As Double,  ByVal lp As Double) As Complex()          Dim Wz(), WO1(), WO2(), WR1(), WR2(), WF1(), WF2() As Complex          Wdata = CalW()          Mdata = CalM(Wdata, m0, alpha)          ''          Wz = CalFreqArray(Z, Wdata, Mdata, lp)  120         WO1 = CalFreqArray(O1, Wdata, Mdata, lp)          WO2 = CalFreqArray(O2, Wdata, Mdata, lp)          WR1 = CalFreqArray(R1, Wdata, Mdata, lp)          WR2 = CalFreqArray(R2, Wdata, Mdata, lp)          WF1 = CalFreqArray(F1, Wdata, Mdata, lp)          WF2 = CalFreqArray(F2, Wdata, Mdata, lp)          Dim W() As Complex          W = mulw(WR2, WO2)          W = divw(W, addw(To1Acomplex(Ncal), W))          W = mulw(W, WO1)          Return W      End Function      Public Function CalWV2(ByVal m0 As Double, ByVal alpha As Double,  ByVal lp As Double) As Complex()          Dim Wz(), WO1(), WO2(), WR1(), WR2(), WF1(), WF2() As Complex          Wdata = CalW()          Mdata = CalM(Wdata, m0, alpha)          ''          Wz = CalFreqArray(Z, Wdata, Mdata, lp)          WO1 = CalFreqArray(O1, Wdata, Mdata, lp)          WO2 = CalFreqArray(O2, Wdata, Mdata, lp)          WR1 = CalFreqArray(R1, Wdata, Mdata, lp)          WR2 = CalFreqArray(R2, Wdata, Mdata, lp)          WF1 = CalFreqArray(F1, Wdata, Mdata, lp)          WF2 = CalFreqArray(F2, Wdata, Mdata, lp)          Dim W() As Complex          W = mulw(WO1, WR1)          W = mulw(addw(To1Acomplex(Ncal), W), WO2)          Return W      End Function      Public Function CalRec(ByVal W() As Complex) As Double          Dim result As Double          For i As Integer = 1 To Ncal Step 1              If W(i).Re  0 Then                  result = W(i).Re                  Return result                  Exit Function              End If          Next          Return result      End Function      End Module    Modul nhận dạng Imports System.Math  Module Identification  121     Public Function DetectCurlPoint(ByVal y() As Double, ByVal t() As  Double) As CurlPoint          Dim N As Integer          Dim i As Integer          N = y.Length ‐ 1          Dim k(N) As Double          k(0) = 0          For i = 1 To N Step 1              k(i) = (y(i) ‐ y(i ‐ 1)) / (t(i) ‐ t(i ‐ 1))          Next            For i = 0 To N ‐ 1 Step 1              If ((k(i + 1) ‐ k(i))  0.01) Then                  DetectCurlPoint.CurlX = t(i)                  DetectCurlPoint.CurlY = y(i)                  DetectCurlPoint.CurlK = k(i)                  Exit Function              End If          Next      End Function        Public Function Identifi2(ByVal y() As Double, ByVal t() As Double)  As Element          Dim ObId1 As Element          Dim Point As CurlPoint          Dim Ta As Double          Dim Hmax As Double          Dim g, v As Double          Dim gmax As Double          gmax = 1 ‐ 2 * Exp(‐1)          Dim K, T1, T2, delay As Double          Point = DetectCurlPoint(y, t)          Hmax = y(y.Length ‐ 10)          Ta = Hmax / Point.CurlK          K = Hmax          g = Point.CurlY / Hmax          If (g  gmax) Then              T1 = Ta * (1 ‐ 0.8 * (g ‐ gmax)) / Exp(1)              T2 = T1              delay = Point.CurlX ‐ Ta * (1 + 2.4 * (g ‐ gmax)) / Exp(1)          End If          ObId1 = New Element("P", 0, 2, 0, delay, {K, T1 + T2, T1 * T2})          Return ObId1      End Function  122     Public Function DetectPole1(ByVal y() As Double, ByVal t() As  Double) As SecondOderPole          Dim N, i As Integer          Dim Ymax = y(y.Length ‐ 1)          Dim count As Byte = 0          N = y.Length ‐ 1          Dim K(N) As Double          K(0) = 0          For i = 1 To N Step 1              K(i) = (y(i) ‐ y(i ‐ 1)) / (t(i) ‐ t(i ‐ 1))          Next          For i = 0 To N ‐ 1 Step 1              If Abs(K(i))  Ymax) Then                      DetectPole1.Yp = y(i)                      DetectPole1.Tp = t(i)                      count += 1                  End If                  If (count = 1) And (y(i) = 2 Then                      Exit For                  End If              End If          Next      End Function      Public Function DetectPole(ByVal y() As Double, ByVal t() As Double)  As SecondOderPole          Dim N, i As Integer          Dim Hmax = y(y.Length ‐ 1)          N = y.Length ‐ 1          Dim Imax As Integer          DetectPole.Yp = 0          For i = 1 To y.Length ‐ 1 Step 1              If y(i) > DetectPole.Yp Then                  DetectPole.Yp = y(i)                  DetectPole.Tp = t(i)                  Imax = i              End If          Next          For i = Imax + 1 To y.Length ‐ 1 Step 1              If y(i) > y(i ‐ 1) Then                  DetectPole.Ym = y(i ‐ 1)                  DetectPole.Tm = t(i ‐ 1)                  Exit For              End If          Next    123     End Function        Public Function Indentifi2plus(ByVal y() As Double, ByVal t() As  Double) As Element          Dim ObId1 As Element = OEl          Dim Ymax As Double          Ymax = y(y.Length ‐ 1)          Dim Pole As SecondOderPole          Pole = DetectPole(y, t)          Dim s, th, delay, a As Double          Dim Yk, Tk, Yi, Ti, Tk1, Ti1 As Double            If (Ymax ‐ Pole.Ym) > 0.1 * Ymax / 100 Then              a = Log((Ymax ‐ Pole.Ym) / (Pole.Yp ‐ Ymax))              s = ‐a / Sqrt(PI ^ 2 + a ^ 2)              th = (Pole.Tm ‐ Pole.Tp) / PI * Sqrt(1 ‐ s ^ 2)              delay = 2 * Pole.Tp ‐ Pole.Tm          Else              s = Log(Pole.Yp ‐ 1) / Sqrt(PI ^ 2 + (Log(Pole.Yp ‐ 1)) ^ 2)              a = Sqrt(1 ‐ s ^ 2) / s              Yi = 1 ‐ Sin(2 * Atan(a)) / (a * s) * Exp(‐Atan(a) / a)              Yk = 1.8277 ‐ 1.7652 * s + 0.6188 * s ^ 2              For i = 0 To y.Length ‐ 1 Step 1                  If Abs(y(i) ‐ Yi)