Phương pháp giải tích là phương pháp cơ bản để tiến hành mô phỏng một quá trình động học. Hiện nay có nhiều phương pháp số rất hiệu quả và tin cậy cho việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cũng như phi tuyến, phương trình vi phân thường cũng như phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ngày nay với sự trợ giúp của máy tính, công việc này đã trở lên khá đơn giản.
Cho một quá trình được mô tả bằng hệ phương trình vi phân phi tuyến:
, , 0 (2.1)
Cho trước vector vào u(t), nghiệm x(t) của 2.1 được xác định theo công thức tích phân:
, (2.2) Giải phương trình 2.2 bằng phương pháp số, kết quả nhận được là dãy giá trị {xi} tại những thời điểm ti>0 mong muốn. Bằng phương pháp truy hồi ta có:
, (2.3)
Phương pháp xấp xỉ tích phân đơn giản nhất là phương pháp Euler. Đối với một biến x vô hướng, phương pháp Euler xấp xỉ diện tích dưới đường cong f(x,u) bằng
26
tổng diện tích các hình chữ nhật (hình 2.1). Trong trường hợp tổng quát ta có thể viết:
, (2.4)
Hình 2.1. Phương pháp tích phân số
Độ chính xác của phép xấp xỉ phụ thuộc vào khoảng cách bước tính cũng như dạng diễn biến của . Bước tính càng nhỏ và thay đổi càng ít, độ chính xác càng cao. Quan sát theo hình 2.1 ta có thể thấy rằng độ chính xác có thể được cải thiện đáng kể nếu ta sử dụng phép xấp xỉ theo diện tích hình thang thay cho diện tích hình chữ nhật.
, , (2.5)
Tuy nhiên, vế phải của (2.5) chứa , và phụ thuộc vào chính giá trị xi+1
đang cần tính. Vì vậy (2.5) chỉ có thể tính được gần đúng bằng phương pháp lặp. Các phương pháp Runger-Kutta được xây dựng chủ yếu dựa trên ý tưởng này. Các phương pháp Runger-Kutta bậc cao ước lượng thêm đạo hàm tại một sốđiểm nằm giữa và đưa thêm trọng sốđể nâng cao độ chính xác. Một số thuật toán cải tiến khác cũng được phát triển dựa trên phương pháp Runger-Kutta để phù hợp cho
27
trường hợp đạo hàm thay đổi nhanh, tuy nhiên khối lượng tính toán vì thể mà cũng lớn hơn.