CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN HÀMSỐ Vấn đề 1:Tiếp tuyến với đồ thò của hàmsố Cho hàmsố y=f(x) có đồ thò (C) 1) Phương trình tiếp tuyến với(C) tại điểm M(x o ,y o ) (M∈(C)) Có dạng: y-y o =f / (x o ).(x-x o ) (1) 2) Phương trình tiếp tuyến với(C) có hệ số góc k đi qua M(x o ,y o ) Có dạng: y-y o =k.(x-x o ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1.Phương pháp giải tích: Các dạng khác nhau của bài toán: + Cho x o .Tính y o =f(x o ) và f / (x o ) + Cho y o .Giải phương trình :f(x o )=y o để có x o ⇒ f / (x o ) + Cho hệ số góc k của tiếp tuyến.Giải PT:f / (x)=k ⇒x o rồi tính f(x o )=y o . + Cho bằng điều kiện khác thì khai thác điều kiện để viết (1) thành phương trình theo x o .Giải để có x o rồi tính y o =f(x o ), k=f / (x o ) 2.Phương pháp đại số: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=kx+m +Lập phương trình hoàng độ điểm chung của (C) và (D): f(x)=kx+m (2) đưa về dạng mẫu mực. * Trường hợp (2) là PT bậc hai: điều kiện tiếp xúc : a và ∆=0 ; tìm được m * Trường hợp (2) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác: Điều kiện tiếp xúc ⇔ hoàng độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: F(x)=k(x-x o )+y o và f / (x)=k (3). Khử k tìm được x; thế vào (2) tìm được k. Chú ý:+Hai đồ thò (C): y=f(x) và (C / ): y=g(x) tiếp xúc với nhau tại M o (x o, y o ) khi và chỉ khi M o là điểm chung của(C) và (C / ) và tại M o hai đường (C) và (C / ) nhận chung một tiếp tuyến (∆): f(x o )=g(x o ) và f / (x o )=g / (x o ) +Cho hai đường thẳng (D 1 ):y= a 1 x+b 1 ; (D 2 ):y= a 2 x+b 2 -(D 1 ) cùng phương (D 2 ) ⇔ a 1 =a 2 -(D 1 ) vuông góc (D 2 ) ⇔ a 1 .a 2 = -1 -Góc (Ox,D) = α thì hệ số góc của (D) là :k = tgα Vấn đề 2 : Điểm cố đònh của họ đồ thò Cho đồ thò (C) có phương trình :y= f(x,m) với m là tham số.Tìm điểm cố đònh mà họ đồ thò (C m ) đều đi qua. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN -Biến đổi phương trình y = (x,m) ra dạng một đa thức theo biến số m ,rồi đồng nhất hệ số 2 vế. Các trường hợp gặp : +Phương trình bậc nhất theo biến m : Am + B = 0 ≠0 Tọa độ điểm cố đònh thỏa hệ : A= 0 và B= 0 +Phương trình bậc hai theo biến m: Am 2 + Bm 2 + C = 0 Tọa độ điểm cố đònh thỏa hệ : A = 0 và B = 0 và C = 0 Vấn đề 3: Sự tương giao của hai đồ thò Cho hàmsố y = f(x) có độ thò (C) và y = g(x) có đồ thò (C / ).Xét sự tương giao của hai đồ thò (C) và (C / ). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C / ) : f(x)=g(x) (1) + Giải phương trình (1) : -Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì (C) và (C / ) có n giao điểm. -Nếu PT (1) vô nghiệm thì (C) và (C / ) không kắt nhau. *Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thò: (C) tiếp xúc với (C / ) ⇔ a và ∆=o +Nếu phương trình (1) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác thì ta sử dụng điều kiện tiếp xúc : f(x) = g(x) và f / (x) = g / (x) Vấn đề 4: Họ đồ thò tiếp xúc với một đường cố đònh Bài toán :Cho họ đồ thò (C m ) có phương trình y = f(x,m).Chứng minh (C) luôn tiếp xúc với một đường (L) cố đònh . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : *Trường hợp 1: Đường (L) là một đường thẳng: y = ax + b hay là một Parabol: y = ax 2 + bx +c (a ) . Khi đó:Ta lập phương trình hoành độ giao điểm của (C m ): y = f(x,m) với phương trình đường (L):y = g(x) f(x,m) = g(x) (1) Điều kiện tiếp xúc là phương trình (1) có nghiệm kép với mọi m; ta sẽ xác đònh được g(x). *Trường hợp 2: Đường (L) chưa biết hình dạng thì ta phân tích: y = f(x,m) = g(x) + h(x,m) Để có hàm g(x) độc lập với m ta làm như sau: Khử tham số m từ hệ : y = f(x,m) và f / m (x,m) = 0 Sẽ được hàm g(x);trong đó f / m (x,m) là đạo hàm với biến m của hàm y = f(x,m).Vì h(x,m) = 0 có nghiệm kép với mọi m nên (C m ) luôn tiếp xúc với (L) : y = g(x) cố đònh. *trường hợp 3: Chứng minh (C m ) tiếp xúc với môt đường thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh. Ta làm như sau: +Tìm điểm cố đònh M 0 (x 0 ,y 0 ) mà (C m ) : y = f(x,m) đi qua. +Chứng minh f / (x 0 ,m) = C với mọi m +Kết luận:(C m ) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố đònh có phương trình y = C(x – x o ) +y o tại điểm cố đònh M 0 (x 0 ,y 0 ) vấn đề 5: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò bài toán:dùng đồ thò (C): y = f(x) để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình E(x,m) = 0 ≠ο ≠0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Biến đổi phương trình E(x,m) thành một trong các dạng sau: +Dạng 1: E(x,m) = a(m) với a(m) là một biểu thức của m khi đó đường thẳng (∆) : y = a(m) vuông góc với trục Oy tại điểm M(0,a(m)) +Dạng 2:E(x,m) = kx + b(m) với k là một hằng số (k ≠ 0) ,b(m) là một biểu thức của m.Khi đó (∆) : y = kx + b(m) cùng phương với đường thẳng y = kx và (∆) cắt 0y tại điểm (0,b(m)) +Dạng 3:E(x,m) = m(x-x o ) +y o với x o ,y o là các hằng số.Khi đó (∆) có hệ số góc là m và luôn đi qua điểm cố đònh M(x o ,y o ) *Trong cùng mặt phẳng (0xy) ta vẽ (C) : y = f(x) và ta vẽ thêm các đường (D): y = a(m) hay y = kx + b(m) hay y = m(x-x o ) +y o .Khi m thay đổi nhìn số điểm chung của (C) và (D) để kết luận số nghiệm của phương trình E(x,m) = 0 vấn đề 6:Bài toán q tích PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN *Để tìm q tích của một điểm M(x,y) di động trên mặt phẳng tọa độ, thường ta làm như sau: +Tìm tọa độ của điểm M theo tham số m Gỉa sử M(x = f(m),y = g(m)) +Khử tham số m từ hệ trên, ta thiết lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với tham số m: h(x,y) = 0 hay y = f(x). +Giới hạn quỹ tích (nếu có). +Kết luận :Qũi tích của điểm M là phần của đường (L) ứng với các điểm thỏa điều kiện của phần giới hạn để điểm M tồn tại: M(y = f(x),x∈D(là miền giá trò của x)) Các trường hợp đặc biệt: Nếu tọa độ M có dạng . của điểm M theo tham số m Gỉa sử M(x = f(m),y = g(m)) +Khử tham số m từ hệ trên, ta thiết lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với tham số m: h(x,y). = f(x,m) = g(x) + h(x,m) Để có hàm g(x) độc lập với m ta làm như sau: Khử tham số m từ hệ : y = f(x,m) và f / m (x,m) = 0 Sẽ được hàm g(x);trong đó f /