Một cách tiếp cận toàn cục giải bài toán bè cực đại có trọng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - ĐẶNG THỊ HỒI MỘT CÁCH TIẾP CẬN TOÀN CỤC CHO BÀI TOÁN BÈ CỰC ĐẠI CÓ TRỌNG SỐ Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CẢNH NAM Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời mở đầu iv Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vi Danh mục hình vẽ vii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi, tập không lồi 1.1.2 Hàm lồi, hàm lõm 1.2 Bài toán tối ưu 1.3 Một số kiến thức lý thuyết đồ thị 11 Thuật toán nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số 15 2.1 Một số khái niệm 15 2.2 Thuật toán nhánh cận 16 2.3 Thuật toán nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số 20 i Luận văn cao học Đặng Thị Hồi 2.3.1 Bài toán bè cực đại 20 2.3.2 Bài toán bè cực đại có trọng số 21 2.3.3 Ước lượng cận 24 2.3.4 Phân nhánh 25 2.3.5 Thuật toán 25 Thuật toán nhánh cận khác giải toán bè cực đại có trọng số 28 3.1 Ước lượng cận 28 3.2 Thuật toán 31 Tài liệu tham khảo 35 ii Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Cảnh Nam, người tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, bảo để luận văn hoàn thành, giúp hiểu thêm nhiều điều mà trước chưa rõ Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo quan tâm thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học bản, trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi cho có hội học tập Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè đồng nghiệp, người động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Học viên: Đặng Thị Hồi Lớp: 11BTT-KH iii Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Lời mở đầu Qui hoạch toàn phương với biến − toán cực tiểu hàm bậc hai với ràng buộc tuyến tính, biến nhận hai giá trị Đây lớp toán quan trọng nhiều người quan tâm nghiên cứu nhiều vấn đề nảy sinh kinh tế, tài chính, công nghiệp kỹ thuật mô hình dạng toán quy hoạch toàn phương Bài toán bè cực đại có trọng số trường hợp riêng toán quy hoạch toàn phương với biến − trường hợp tổng quát toán bè cực đại nối tiếng lý thuyết đồ thị Bài toán nhận nhiều quan tâm nghiên cứu có ứng dụng trực tiếp hay gián tiếp lý thuyết thực tế toán lý thuyết vị trí, sinh học phân tử, phân luồng liệu, Bài toán bè cực đại có trọng số chứng minh toán NP- khó Nhiều công trình trước giải toán dựa phương pháp khác xấp xỉ ngoài, thuật toán nhánh cắt hay cách tiếp cận Heuristic[5,7] Mục tiêu luận văn tìm hiểu phương pháp nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số Từ nghiên cứu cải tiến thuật toán nhánh cận thông thường Nội dung luận văn chia làm chương Chương – Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết sở cần sử iv Luận văn cao học Đặng Thị Hồi dụng chương sau Phát biểu toán bè cực đại có trọng số Chương 2- Thuật toán nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số Phần đầu chương trình bày lý thuyết sơ đồ tổng quát thuật toán nhánh cận Sau trình bày thuật toán nhánh cận cho toán bè cực đại có trọng số Chương – Một thuật toán nhánh cận khác giải toán bè cực đại có trọng số Nội dung chương trình bày cách xây dựng toán nới lỏng nhằm tăng tốc thuật toán nhánh cận v Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclid n chiều ∅ tập rỗng x∈M x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀ x ∈ M với x thuộc tập M ∃x tồn x M ∩N giao hai tập hợp M N M ∪N hợp hai tập hợp M N M \N hiệu hai tập hợp M N M ⊂N M tập thực N M ⊆N M tập N [x1 , x2 ] đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 QT ma trận chuyển vị ma trận Q convE bao lồi tập E λmin (Q) giá trị riêng nhỏ ma trận Q v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" vi Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Các tập lồi Hình 1.2 Các tập không lồi Hình 1.3 Bao lồi Hình 1.4 Siêu phẳng Hình 1.5 Đồ thị đầy đủ Hình 1.6 Đồ thị Hình 1.7 Bè Hình 1.8 Đồ thị bù Hình 1.0 Đồ thị có trọng số vii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức giải tích lồi Tập lồi, tập không lồi Không gian Euclid n chiều kí hiệu Rn Mỗi điểm x không gian Rn n số thực có thứ tự viết dạng     x=    x1 x2         xn Mỗi số xi , i = 1, n gọi tọa độ thứ i điểm x Để thuận tiện viết, ta quy ước     T x = (x1 , x2 , , xn ) =     x1 x2 xn         Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Cho điểm x1 , x2 ∈ Rn , tập hợp điểm có dạng x = λx1 +(1−λ)x2 , với λ ∈ R gọi đường thẳng qua điểm x1 , x2 Cho điểm x1 , x2 ∈ Rn , tập hợp điểm có dạng x = λx1 +(1−λ)x2 , với λ ∈ [0, 1] gọi đoạn thẳng nối điểm x1 x2 , kí hiệu [x1 , x2 ] Tập M ⊆ Rn gọi tập lồi M chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M , tức ∀x1 , x2 ∈ M ≤ λ ≤ ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M Ngược lại, M không thỏa mãn tính chất M tập không lồi Hình 1.1: Các tập lồi Hình 1.2: Các tập không lồi Luận văn cao học Đặng Thị Hồi khác ta tính trọng số đỉnh bè n di xi i=1 Ràng buộc số đỉnh không vượt b biểu diễn dạng n xi ≤ b i=1 Vậy toán bè cực đại đồ thị có trọng số viết lại sau n−1 n max n cij xi xj + j=1 i=j+1 v.đ.k    di xi (W CP ) i=1 n xi ≤ b i=1   xi ∈ {0; 1} , i = 1, n Không khó để nhận thấy toán (W CP ) trường hợp tổng quát toán bè cực đại trình bày Gọi −Q ma trận trọng số đồ thị ban đầu, toán (W CP ) tương đương với toán quy hoạch toàn phương với biến − sau minf(x) = xT Qx   eT x ≤ b v.đ.k  x ∈ {0, 1}n (W CPb ) Nhận xét 2.1 Từ mô hình toán (W CPb ) ta thấy trường hợp riêng toán quy hoạch toàn phương với biến − (BQP ) Thuật toán nhánh cận trình bày thuật toán chương để giải toán (W CPb ) áp dụng để giải toán (BQP ) 22 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Nhận xét 2.2 Trong toán (W CPb ), ta giả sử Q ma trận đối xứng Thật vậy, xT Q x = (xT Q x)T = xT QT x nên ta có 1 x Q x = xT Q x + xT QT x = xT 2 T Q + QT x Do ta thay ma trận Q hàm mục tiêu ma trận đối xứng Q+QT Nhận xét 2.3 Theo hệ 1.4, hàm mục tiêu f (x) hàm lồi ma trận Q nửa xác định dương, tức λmin (Q) ≥ 0, (λmin (Q) giá trị riêng bé Q) Do x ∈ {0, 1}n nên ta có xi = xi với i = 1, n Khi hàm mục tiêu f (x) viết lại sau 1 1 f (x) = xT Qx = xT Qx + ρeT x − ρeT x, ∀ρ ∈ R 2 2 eT = (1, 1, , 1) Hơn eT x = (x1 + x2 + + xn ) = (x1 + x2 + + xn )   x      x2  T T  = (x1 x2 xn )    = x x = x In x     xn 23 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi In ma trận đơn vị cấp n Do 1 f (x) = xT Qx + ρeT x − 2 1 = xT (Q − ρI)x + ρeT x, 2 T ρe x ∀ρ ∈ R Vậy cách chọn ρ ≤ λmin (Q) , tương đương với λmin (Q − ρI) ≥ 0, ta thu hàm lồi Phương pháp nhánh cận cho toán (W CPb ) phụ thuộc vào việc tính cận phân nhánh Ta trình bày cụ thể hai kỹ thuật 2.3.3 Ước lượng cận Như nhận xét 2.3,ta có f (x) = xT Qx 1 = xT (Q − ρI)x + ρeT x, ∀x ∈ {0, 1}n , ∀ρ ∈ R 2 Như toán (W CPb ) tương đương với toán: 1 ϕ(x) = xT (Q − ρI)x + ρeT x 2   eT x ≤ b v.đ.k  x ∈ {0, 1}n Bằng cách chọn ρ ≤ λmin (Q)và nới lỏng biến x ∈ [0, 1]n ta thu cận (W CPb ) việc giải toán quy hoạch lồi 24 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi 1 ϕ(x) = xT (Q − ρI)x + ρeT x 2 (RQP1 )   eT x ≤ b v.đ.k  x ∈ [0, 1]n Kỹ thuật ước lượng cận áp dụng cho toán trình phân nhánh Vì qua cách phân nhánh trình bày đây, tất toán (BQP ) toán quy hoạch toàn phương với biến − (có dạng giống (BQP )) 2.3.4 Phân nhánh Vì tính chất nhị phân biến x, nên lần phân nhánh ta chọn i ∈ {1, 2, , n} để chia toán (Pi ) thành toán (Pi1 ) (Pi2 ) sau f (x) v.đ.k {x ∈ Di , xk = 0} (Pi1 ) f (x) v.đ.k {x ∈ Di , xk = 1} (Pi2 ) Có nhiều cách chọn i, nhiên qua thực tế (xem [6] tài liệu đó) thuật toán hiệu chọn số i cho xk = |xj − 0.5| j x nghiệm tối ưu toán nới lỏng tương ứng 2.3.5 Thuật toán Sơ đồ thuật toán nhánh cận giải toán (W CPb ) gồm bước sau: 25 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi • Bước khởi tạo – Chuyển toán (W CP ) toán tối ưu tương đương (W CPb ) với D tập chấp nhận – Xây dựng toán nới lỏng (RQP1 ) toán (W CPb ) – Giải toán nới lỏng (RQP1 ) thu cận λ – Nếu tìm giá trị x ∈ D, ta gán β = ϕ(x),và x∗ = x Nếu không gán β = +∞ – Đặt D = {D}, danh sách tập D • Bước lặp k (k>0) – Cập nhật λ = λj Dj ∈ D giả sử Di ∈ D thoả mãn λi = λ – Chia miền Di thành miền Di1 Di2 , tương ứng có hai toán (W CPi1 ) (W CPi2 ) – Cập nhật tập cần xét tiếp D = D\{Di } ∪ {Di1 , Di2 } – Xây dựng hai toán nới lỏng (RQPi1 ) (RQPi2 ) toán nới lỏng hai toán (W CPi1 ) (W CPi2 ) – Giải hai toán nới lỏng (RQPi1 ) (RQPi2 ) thu λi1 λi2 – Nếu tìm phương án tối ưu x ∈ D cập nhật cận β = β, f (x) gán x∗ = x β = f (x) – Loại bỏ khỏi D tất tập ∅ Di có cận λi (Pi ) thoả mãn λi ≥ β 26 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi – Nếu D = ∅ thuật toán kết thúc Khi x∗ nghiệm tối ưu f (x∗ ) giá trị tối ưu – Nếu D = ∅ chuyển sang bước lặp Nhận xét 2.4 Do tính chất rời rạc biến x cách phân nhánh Thuật toán cho ta giá trị tối ưu toán (W CPb ) sau số hữu hạn bước lặp Kết luận Trong chương trình bày thuật toán nhánh cận giải toán (W CPb ) Kỹ thuật tính cận thực thông qua việc tính giá trị riêng ma trận Q hàm mục tiêu Trong chương nghiên cứu cách ước lượng cận khác có xem xét toàn cấu trúc ma trận Q 27 Chương Thuật toán nhánh cận khác giải toán bè cực đại có trọng số Kỹ thuật ước lượng cận chương thu cách thay đổi đồng đường chéo ma trận Q hàm mục tiêu giá trị λmin (Q) Tuy nhiên, ta thay đổi giá trị khác vị trí khác Ta xem cụ thể cách ước lượng cận 3.1 Ước lượng cận  d    d2 Xét ma trận D =     0         dn Do x ∈ {0, 1}n nên ta có xT D x = d1 x1 + d2 x2 + + dn xn = d1 x1 + d2 x2 + + dn xn = dT x dT = (d1 , d2 , , dn ) 28 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Do hàm mục tiêu f (x) viết lại sau f (x) = xT Qx 1 = xT Qx + xT D x − dT x 2 1 = xT (Q + D)x − dT x 2 Vậy toán (W CPb ) tương đương với toán 1 ϕ(x) = xT (Q + D)x − dT x 2   eT x ≤ b v.đ.k  x ∈ {0, 1}n Vậy ta tìm ma trận D cho (Q + D) ma trận nửa xác định dương toán nới lỏng sau toán quy hoạch lồi 1 ϕ(x) = xT (Q + D)x − dT x 2   eT x ≤ b v.đ.k  x ∈ [0, 1]n (RQP2 ) Để ý ϕ(x) = xT Qx + n di (xi − xi ) i=1 n di (xi − 1)xi = f (x) + i=1 Hơn nữa, toán (RQP2 ), xi ∈ [0, 1] , ∀i = 1, n tương đương với (xi − 1)xi ≤ Vậy ta cần tìm di (∀i = 1, n) nhỏ tốt 29 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi Tuy nhiên việc tối ưu đồng thời n giá trị khó nên thay tối thiểu n di ta tối thiểu di i=1 Tóm lại, ta phải giải toán n di (SDP ) i=1 v.đ.k (Q + D) Bài toán (SDP ) toán quy hoạch nửa xác định dương toán quy hoạch lồi Bài toán giải [7] Việc giải toán (SDP ) lâu việc tìm λmin (Q) chút cận thu (giá trị tối ưu toán nới lỏng) cải thiện nhiều Ta xem ví dụ sau Ví dụ 3.1 Xét toán tối ưu  T    x1 120 450 100 x1       1     α =  x2   450 120 210   x2  + 400x1 + 244x2 − 216x3 2     x3 100 210 150 x3 v.đ.k    −10x1 + x2 + 5x3 ≤   5x1 − 3x2 + 12x3 ≤ 13     x ∈ {0, 1}3 Vì λmin (Q) = −343.7149 nên ta chọn ρ = 344 thu toán nới lỏng (RQP1 ) tương ứng 30 Luận văn cao học  Đặng Thị Hồi T  x1   1   x2  2  x3   x 464 450 100        450 464 210   x2  + 56x1 − 100x2 − 560x3    x3 100 210 494   −10x1 + x2 + 5x3 ≤    v.đ.k 5x1 − 3x2 + 12x3 ≤ 13     x ∈ [0, 1]3 Giải toán ta thu giá trị tối ưu λ1 = −31, 999 Mặt khác, giải toán (SDP ) tương ứng ta thu d = (230, 540, −40)T toán (RQP2 ) tương ứng  T  x1  1    x2  2  x3   350 450 100 x        450 660 210   x2  + 170x1 − 296x2 − 176x3    100 210 110 x3 v.đ.k   −10x1 + x2 + 5x3 ≤    5x1 − 3x2 + 12x3 ≤ 13     x ∈ [0, 1]3 Giá trị tối ưu toán λ2 = −126.603 Ta thấy trường hợp có khác biệt lớn hai cách tiếp cận 3.2 Thuật toán Lưu ý ta giải bào toán (SDP ) lần Sau lần phân nhánh xi = xi = với i thuộc {1, 2, n}, ta 31 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi cần thêm xi = xi = vào tập ràng buộc (RQP2 ) để có toán nới lỏng tương ứng • Bước khởi tạo: – Giải toán (SDP ) thu vec tơ d∗ – Xây dựng toán nới lỏng (RQP2 ) toán (W CPb ) – Giải toán nới lỏng (RQP2 ) thu cận λ – Nếu tìm giá trị x ∈ D, ta gán β = ϕ(x),và x∗ = x Nếu không gán β = +∞ – Đặt D = {D}, danh sách tập D • Bước lặp k (k>0) – Cập nhật λ = λj Dj ∈ D giả sử Di ∈ D thoả mãn λi = λ – Chia miền Di thành miền Di1 Di2 , tương ứng có hai toán (W CPi1 ) (W CPi2 ) – Cập nhật tập cần xét tiếp D = D\{Di } ∪ {Di1 , Di2 } – Xây dựng hai toán nới lỏng (RQPi1 ) (RQPi2 ) toán nới lỏng hai toán (W CPi1 ) (W CPi2 ) – Giải hai toán nới lỏng (RQPi1 ) (RQPi2 ) thu λi1 λi2 – Nếu tìm x ∈ D cập nhật cận β = β, f (x) gán x∗ = x 32 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi – Loại bỏ khỏi D tất tập ∅ Di có cận λi (Pi ) thoả mãn λi ≥ β – Nếu D = ∅ thuật toán kết thúc Khi x∗ nghiệm tối ưu f (x∗ ) giá trị tối ưu – Nếu D = ∅ chuyển sang bước lặp Nhận xét 3.1 Cũng giống chương 2, thuật toán cho ta nghiệm tối ưu toán (W CPb ) sau số hữu hạn bước lặp Kết luận Trong chương trình bày thuật toán nhánh cận khác, giúp tăng tốc thuật toán nhánh cận việc giải toán bè cực đại có trọng số Đây mục tiêu luận văn hướng tới 33 Kết luận chung Luận văn nghiên cứu thuật toán nhánh cận tổng quát thuật toán nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số Bên cạnh đó, trình bày cách sử dụng toàn ma trận hàm mục tiêu để đề xuất cách ước lượng cận cho thuật toán nhánh cận Ví dụ minh hoạ cho thấy khả tương tác hứa hẹn cách tiếp cận so với cách tiếp cận thông thường Do nhiều hạn chế, luận văn chưa hoàn thành việc chạy thử nghiệm thuật toán ví dụ cụ thể Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 34 Tài liệu tham khảo A Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình Các phương pháp tối ưu – Lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách Khoa – Hà Nội [2] Nguyễn Đức Nghĩa - Nguyễn Tô Thành (2009), Toán rời rạc, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh [3] Dijkhuizen, G , Faigle, U (1993), "A cutting-plane approach to the edge-weighted maximal clique problem", European Journal of Operational Research 69, 121–130 [4] H Wolkowicz, R Saigal, and L Vandenberghe (editors) (2000) "Handbook on Semidefinite Programming",Kluwer [5] Immanuel M Bomze , Marco Budinich , Panos M Pardalos , Marcello Pelillo (1999), "The Maximum Clique Problem, Handbook of combinatorial optimization", pp1-74, Springer US 35 Luận văn cao học Đặng Thị Hồi [6] Michael M.Sorensen(2004), "New facets and a branch-and-cut algorithm for the weighted clique problem", European Journal of Operational Research 154, 57–70 [7] Pham Dinh Tao, Nguyen Canh Nam, Le Thi Hoai An (2012), "An efficient combined DCA and B&B using DC/SDP relaxation for globally solving binary quadratic programs", Global Optimization journal, Volume 48, Number 4, pp.595-632 36 ... toán nhánh cận giải toán bè cực đại có trọng số 15 2.1 Một số khái niệm 15 2.2 Thuật toán nhánh cận 16 2.3 Thuật toán nhánh cận giải toán bè cực đại có. .. nhánh cận cho toán bè cực đại có trọng số Chương – Một thuật toán nhánh cận khác giải toán bè cực đại có trọng số Nội dung chương trình bày cách xây dựng toán nới lỏng nhằm tăng tốc thuật toán. .. có trọng số, đỉnh i ∈ V G gán trọng số di , cạnh ((i, j) ∈ E G gán trọng số cij Trọng số bè G tính tổng trọng số đỉnh cạnh bè Bài toán đặt tìm bè có nhiều b đỉnh có trọng số lớn Giống toán bè