Mô hình toán học đánh giá xác suất phá sản cho các công ty bảo hiểm

B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI NGUYN XUN TNG Mễ HèNH TON HC NH GI XC SUT PH SN CHO CC CễNG TY BO HIM LUN VN THC S KHOA HC H Ni - 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI *** VIN TON NG DNG V TIN HC Mễ HèNH TON HC NH GI XC SUT PH SN CHO CC CễNG TY BO HIM LUN VN THC S KHOA HC Ngi hng dn khoa hc : PGS.TS BI KHI M Hc viờn : NGUYN XUN TNG S hiu hc viờn : CB101116 Lp : 2010BTT-KH H Ni - 2012 Mc lc Li cam oan iii Danh sỏch cỏc ký hiu, cỏc ch vit tt iv Danh mc cỏc hỡnh v, th v Li cm n vi Li gii thiu vii PHN PHI XC SUT THNG 1.1 Phõn phi m 1.2 Phõn phi Poisson 1.3 Mt s phõn phi khỏc 1.3.1 Phõn phi Gamma 1.3.2 Phõn phi Erlang GP QU TRèNH BI HON 2.1 Mụ hỡnh 2.1.1 B 2.1.2 B 2.1.3 B 2.1.4 H qu 2.1.5 B 2.2 Trng hp Erlang 2.2.1 nh lý (lut 0-1 ca s bựng n) 2.2.2 B 2.3 c tớnh ca phõn phi m 2.3.1 nh lý i 1 4 7 10 10 10 11 12 12 13 14 15 2.3.2 2.3.3 2.3.4 nh lý H qu H qu QU TRèNH S V BI HON 3.1 Mụ hỡnh 3.1.1 nh lý 3.1.2 B 3.1.3 B 3.1.4 B 3.1.5 H qu 3.1.6 B 3.2 Trng hp Erlang 3.2.1 B 3.3 c im ca quỏ trỡnh Poisson 3.3.1 B (Chun a thc) 3.3.2 nh lý 3.3.3 H qu 3.3.4 nh lý 3.3.5 nh lý( D oỏn) 3.3.6 H qu 3.3.7 nh lý QU TRèNH D TR V VN PH SN 4.1 Mụ hỡnh 4.1.1 Xỏc sut phỏ sn 4.1.2 c lng xỏc sut phỏ sn 4.1.3 o lng ri ro vi c lng xỏc sut thit hi 4.1.4 Cỏc kt qu ó cú trc 4.2 Cỏc kt qu thu c 4.2.1 Tớnh n nh 4.2.2 Tim cn chun 4.2.3 Kt qu s ii 16 17 17 18 18 19 20 21 21 22 22 23 23 25 25 28 29 29 41 42 42 45 45 45 46 49 50 51 51 51 53 Li cam oan Tụi xin cam oan tt c ni dung lun ny l hon ton tụi vit Hc viờn : Nguyn Xuõn Tựng Lp iii : 2010BTT-KH Danh sỏch cỏc ký hiu, cỏc ch vit tt A Hm ch tiờu ca A B(R) Tp Borel trờn R P() Phõn phi Poisson vi tham s Exp() Phõn phi m vi tham s Ga(, n) Phõn phi Gamma vi tham s , n {Nt }tR+ quỏ trỡnh s v bi hon {Tn }nN0 quỏ trỡnh bi hon {Wn }nN quỏ trỡnh ch bi hon N0 Tp {0, 1, 2, } N Tp {1, 2, } #A s phn t ca A A Hm ch tiờu ca A a Hm dirac ti a o Lebesgue trờn B(R) iv Danh mc cỏc hỡnh v, th Hỡnh 1.1: Phõn phi m vi = 0, 5, = 1, v = 1, Hỡnh 1.2: Phõn phi hỡnh hc vi p = 0, 2; p = 0, v p = 0, Hỡnh 1.3: Phõn phi Poisson vi = 3, v phõn phi nh thc vi n = 35; p = 0, Hỡnh 1.4: Phõn phi Gamma vi mt s tham s , n Hỡnh 3.1: Quỏ trỡnh bi hon v quỏ trỡnh s v bi hon Hỡnh 3.2: Quỏ trỡnh bi hon v quỏ trỡnh s v bi hon Hỡnh 3.3: Quỏ trỡnh bi hon v quỏ trỡnh s v bi hon v Li cm n Li u tiờn tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti PGS.TS Bựi Khi m, thy hng dn tụi, ngi ó rt tn tỡnh ch bo v a nhiu ch dn quý bỏu tụi cú th hon thnh lun ny Tụi xin gi li cm n ca mỡnh ti ton th cỏc thy cụ Vin Toỏn ng dng v Tin hc ó to mi iu kin giỳp sut quỏ trỡnh hc ti Khoa Xin chõn thnh cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn v giỳp tụi quỏ trỡnh hc v quỏ trỡnh hon thnh lun Hc viờn : Nguyn Xuõn Tựng Lp vi : 2010BTT-KH Li gii thiu Trong nhiu nm gn õy kinh doanh bo him l mt lnh vc kinh doanh sụi ng v y tim nng nc ta, ngnh bo him ó phỏt trin khỏ mnh ó cú nhiu mụ hỡnh toỏn hc c ỏp dng lnh vc kinh doanh ny Mt nhng ct yu nht m cỏc cụng ty bo him quan tõm, ú chớnh l xỏc nh giỏ tr m cụng ty bo him phi chi tr cho cỏc v bi hon Núi mt cỏch khỏc, cụng ty bo him quan tõm n mc thit hi (ri ro) m mỡnh cú th gp phi Vi mc ớch ny, lun thc s khoa hc ca tụi vi ti "Mụ hỡnh toỏn hc ỏnh giỏ xỏc sut phỏ sn cho cỏc cụng ty bo him" s giỳp cho bn c mt cỏch nhỡn v thit hi ngnh bo him Lun trỡnh by mt bi toỏn rt quan trng m cỏc cụng ty bo him quan tõm Vi mt s kinh doanh ban u l x, c l phớ bo him m cỏc cụng ty nhn c t phớa khỏch hng (ngi tham gia bo him), S(t) giỏ tr bi hon tng th m cụng ty bo him phi chi tr ti thi im t, chỳng ta quan tõm n vic xỏc nh xỏc sut thit hi( xỏc sut phỏ sn): (x) = P (x + ct S(t) < 0, t > 0) ( õy, (x) o lng xỏc sut phỏ sn ca cụng ty bo him) Vic xỏc nh xỏc sut phỏ sn cú mt ý ngha rt quan trng hot ng kinh doanh ca cụng ty bo him Trong lun ca mỡnh, tụi ó a mụ hỡnh toỏn hc cho quỏ trỡnh bi hon, quỏ trỡnh s v bi hon v xỏc sut thit hi ca cụng ty bo him vii Nguyn Xuõn Tựng Lun c chia lm chng: Chng 1: Cỏc phõn phi xỏc sut thng gp Chng ny trỡnh by cỏc phõn phi xỏc sut thng gp quỏ trỡnh bi hon, quỏ trỡnh s v bi hon Chng 2: Quỏ trỡnh bi hon Chng 3: Quỏ trỡnh s v bi hon Chng 4: Quỏ trỡnh d tr v phỏ sn Do thi gian cú hn cng nh kin thc cũn nhiu hn ch nờn khụng th trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy tụi rt mong nhn c s ch bo, gúp ý ca cỏc thy cụ v cỏc bn Tụi hy vng sau tt nghip s cú iu kin tip tc nghiờn cu ny sõu hn H Ni, thỏng nm 2012 Nguyn Xuõn Tựng viii Nguyn Xuõn Tựng Xột n N Vỡ En1 , t ng thc trờn ta thu c P [{t (x) cụng ty bo him s ớt ri ro hn nu nh khụng cú tỏi bo him 4.1.2 c lng xỏc sut phỏ sn Trong cỏc ng dng thc t tham s v phõn phi Q thng khụng bit, nhng ta cú th c lng vi d liu ó cú Chỳng ta quan tõm n trng hp ó bit nhng Q khụng bit Gi s chỳng ta cú nhng quan sỏt (chng hn nh: s liu v s v bi hon, s tin ca cỏc v bi hon ) x1 , x2 , , xn l th hin ca cỏc bin ngu nhiờn X1 , X2 , , Xn c lp, cú cựng phõn phi Q Khi ú, c lng phi tham s da vo phõn phi thc nghim Qxn vi quan sỏt x = (x1 , x2 , , xn ) Phõn phi Qxn l ri rc v cú xỏc sut ti mt im Qxn {y} = n1 #{1 i n.xi = y} yR (#A: s phn t thuc A) Khi ny ta xỏc nh (x) chớnh l xỏc nh xỏc sut ri ro ca quỏ trỡnh R(t) vi cỏc tham s x, c, v Qxn xỏc nh c lng ta gi s rng ch nhng yờu cu bi hon dng l cú th Q(0, ) = (4.1) vi Q l khụng suy bin ng thi quỏ trỡnh R(t) vi t cú ch s an ton (positive safety loading), cú ngha l k vng hu hn = yQ(dy) v phớ bo him c ln hn giỏ tr bi hon trung bỡnh mt n v thi gian c > (4.2) 46 Nguyn Xuõn Tựng Nu nh bt ng thc (4.2) khụng tha thỡ (x) = vi mi x Nu nh (4.2) ỳng thỡ (0) = c < v (x) c tớnh theo cụng thc: (1 (0))(0)k IHk (x, ) (x) = k=1 õy, k l tớch chp k-ln, IH l phõn b ca di bc u tiờn ca nhng hm bc thang tng vi hm mt : y à1 Q(y, )(0,) (y) (4.3) Trong ú: IHn (x) = IH(n1) (x) IH(x) = IH(x) IH(x),(n ln) l tớch chp n-ln ca hm phõn phi IH Ta quy c tớch chp 0-ln ca hm phõn b tng quỏt IH c cho bi cụng thc IH0 (x) = nu x 0 nu x < Chỳng ta quan tõm n trng hp sau: bit, Q khụng bit õy chớnh l trng hp ó núi trờn, ú xỏc sut thit hi n (1) vi quỏ trỡnh ri ro vi cỏc tham s x, c, v Qxn bit, Q khụng bit Xỏc sut thit hi n (2) c cho bi (1 (0))(x)k Hnk (x, ) (2) n (x) = k=1 vi Hn cú hm mt cho bi y v xn = n x Q (y, )(0,) (y) xn n n xi i=1 47 Nguyn Xuõn Tựng , khụng bit, Q khụng bit Xỏc sut thit hi n (2) c cho bi (1 (0))(0)k Gk n (x, ) (3) n (x) = k=1 vi Gn cú hm mt y à1 Pnx (y, ) vi y > vi Pnx l xỏc sut ri rc, cú xỏc sut ti im Pnx {xi } = (1 (xi xn )(xn à)/s2 ) n v s = n n (xj xn )2 j=1 khụng bit, Q khụng bit Trong trng hp ny vi N (T ) l s v bi hon v X1 , , XN (T ) l s tin bi hon tng ng vi cỏc v bi hon khong thi gian (0, T ) Khi ny ta s c lng xỏc xut phỏ sn T (4) tng ng vi quỏ trỡnh ri ro vi cỏc tham s x, c, = N (T )/T v Q l phõn phi thc nghim ca X1 , , XN (T ) Trong thc t thỡ trng hp (4) chớnh l trng hp thng c s dng cỏc ng dng thc t Tuy nhiờn, vic bit , bit hoc khụng bit v c bn cú th lm gim sai s thng kờ Thờm vo ú ta cú th ly nhng tham s ny t s liu ca cỏc cụng ty bo him Tt c nhng c lng trờn u tim cn chun v tin cn ti phng sai (1) , (2) , (3) , (4) v tha mi liờn h sau (3) < (2) < (1) < (4) (4.4) Cụng thc trờn ch rng c lng (x) trng hp (2) n gin hn trng hp (1) 48 Nguyn Xuõn Tựng 4.1.3 o lng ri ro vi c lng xỏc sut thit hi Vic ỏnh giỏ cỏc quyt nh cú th kinh doanh bo him ph thuc vo vic c lng xỏc sut thit hi Tuy nhiờn, nu gi n (x) l c lng ca xỏc sut thit hi (x) trng hp khụng cú tỏi bo him v n (R) (x) l c lng ca xỏc sut thit hi R (x) trng hp cú tỏi bo him, tha n (R) (x) < n (x) (4.5) thỡ ta cng cha th kt lun c rng R (x) < (x), vỡ c v ca phng trỡnh trờn u cú sai s thụng kờ Mt cỏch gii quyt cho ny l dựng n khỏi nim khong tin cy Vi mt mc gn cho trc, ta s xõy dng mt khon tin cy Cn cho (x) R (x) vi lim P {(x)R (x) Cn } = n Nu Cn nm na trc dng, ta cú th kt rng (x) > R (x) Nu Cn nm na trc õm, ta cú th kt rng (x) < R (x) Trng hp cũn li Cn thỡ ta s cha th kt lun Khi ú, vi n ln xỏc sut sai thu c s khụng vt quỏ , iu ú cú ngha lim sup P {Kt lun sai} n S tn ti ca khong tin cy hp lý cho (x) R (x) (khong khụng cha 0) l khụng rừ rng Giỏ tr ca (x) v R (x) thng rt nh v nú cú th ging vi ln ca sai s thng kờ tỡm hiu v ny ta s ch tỡm hiu khong tin cy cho (x) thu c khong tin cy nh ta s s dng phng phỏp Bootstrap Khong tin cy thu c nh, nhng núi chung thng khụng i xng qua (x) Vi vic s dng phng phỏp Bootstrap quyt nh xem (x) < R (x) hay khụng ta s thc hin theo cỏch n gin sau: Chn M mu, ta tớnh c lng n (x) v n (R) (x) bng phng phỏp Bootstrap vi mi mu Cho l mt mc ý ngha cho trc Nu n (x) < n (R) (x) vi ớt nht (1)M mu thỡ ta cú th kt lun c rng (x) < R (x) 49 Nguyn Xuõn Tựng Ngc li nu nh n (x) > n (R) (x) vi ớt nht (1 )M mu thỡ ta cú th kt lun c rng (x) > R (x) Nu nh c hai iu kin trờn u khụng tha thỡ ta s cha th kt lun c iu gỡ 4.1.4 Cỏc kt qu ó cú trc Trong lnh vc lý thuyt ri ro, nhng c lng thng kờ c s dng u tiờn bi Grandell (1979) ễng ó xõy dng c lng vi vic thay i h s R ca quỏ trỡnh ri ro trng hp , Q l khụng bit Vi nhng gi thit sau: Cỏc thi im T0 < T1 < m mi yờu cu ũi bo him u l ngu nhiờn cho i = Ti Ti1 , i1 l cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi m v cú mt phõn phi xỏc sut l et , t Cỏc bin ngu nhiờn , , (s tin ũi chi tr) l cựng phõn phi vi hm xỏc sut l F (x) = P (1 < x) cho F (0) = v xdF x < = E1 = Cỏc dóy bin ngu nhiờn (T0 , T1 , ) v (0 , , ) l cỏc dóy c lp vi Crame r Lundberg cho ta cn trờn ca (x) (x) exp(Rx) v tim cn ti (x) trng hp x ln (x) C exp(Rx), C > õy, R l mt s tha ca phng trỡnh vi phõn c erx (1 F (x))dx = 50 Nguyn Xuõn Tựng c lng phi tham s cho (x) c a bi Fress (1986) Nhng c lng ca Fress cha c tt nú cha sai s thng kờ v sai s mụ phng 4.2 4.2.1 Cỏc kt qu thu c Tớnh n nh õy ta a nhng tớnh cht cho c lng trng hp mu ln B :C nh x, c, > v Q l giỏ tr bi hon tha (4.2) v (4.3) Khi ú vi mi i = 1, 2, (i) lim n (x) =(x) , P hu khp ni n v (4) lim T (x) =(x) , P hu khp ni T 4.2.2 Tim cn chun (i) Nu nh Q cú mụ men cp hai hu hn thỡ cỏc c lng n , i = (4) 1, 2, v T s tim cn chun a phng sai ca chỳng ta cn n cỏc khỏi nim sau Vi (1 (0))(0)k Hnk R= k=1 (1 (0))2 (0)k (k + 1)Hnk M= k=1 Vi x ta cú (x) = R(x, ) v M chớnh l tớch chp ln ca R, M = R2 51 Nguyn Xuõn Tựng Vi ta t + ( (x )+ ) M (du) g() = v id biu din hm n v R vi id() = vi > nh lý: Cho x, c, > c nh v Q l phõn phi ca giỏ tr bi hon khụng suy bin vi mụ men cp hai hu hn tha iu kin (4.3) Khi ú, vi i = 1, 2, tn ti mt s dng (i) tha phõn phi ca n1/2 (n(i) (x)(x)) hi t yu ti N (0, (i) ) Ta cú (1) = K V arQ (g (x)id) (2) = K V arQ (g Q[g]à1 id) vi Q[g] = g()Q(d) Khi ú ta cú phng sai cỏc trng hp nh sau: Trng hp (4), phõn phi ca (4) (T )1/2 (T (x)(x)) hi t yu ti N (0, (4) ) T vi (4) = K Q(g (x)id)2 Trng hp (3) Cho (3) = K V arQ (g a ì id) vi a = CovQ (g, id)/V arQ (id) Nu (3) > thỡ phõn phi ca n1/2 (n(3) (x)(x)) hi t yu ti N (0, (3) ) Trng hp (3) = xy Q(x, ) = 52 Nguyn Xuõn Tựng õy, hng s K c xỏc nh l K= 4.2.3 (0) à(1 (0)) Kt qu s õy, chỳng ta a cỏc vớ d trng hp phõn phi Q c (1) (2) th, t ú ta s tớnh c xỏc sut thit hi n v n tng ng Vớ d 1: Phõn phi giỏ tr bi hon Q cú phõn phi m vi tham s = 1, 25, cng ca quỏ trỡnh bi hon bng = 0, 25, phớ bo him c = v to ban u ca cụng ty bo him x = Ta cú, k vng ca Q l à= 1 = = 0, 1, 25 Khi ú, ta xỏc nh chớnh xỏc c xỏc sut thit hi trng hp vi s to x = l: (0) = = 0, c v s dng cụng thc Crame r Lundberg ta c xỏc sut thit hi trng hp vi s to x = (x) = exp(Rx) = 0, 0325 c vi R= c = 1, 125 cà Vớ d 2: Q l phõn phi lognormal vi k vng v phng sai tng ng phõn phi chun l 0, 569 v 0, 694 v cú = 0, 00125, c = v x = K vng ca Q l 0, 7202 Khi ú, ta tớnh c xỏc sut thit hi hai trng hp tng ng vi x = v x = l (0) = 0.01 v (x) = 0.0023 53 Nguyn Xuõn Tựng Vớ d 3: Q l phõn phi Pareto vi hai tham s tng ng l 2, 054 v 0, 924, ú hm mt tng ng l 2, 054.(0, 924)2,054 f (x) = x3,054 vi x > 0, 924 Trong trng hp ny ta cú = 0, 055, c = v x = K vng ca Q l 1, 8007 Khi ú, ta tớnh c xỏc sut thit hi hai trng hp tng ng vi x = v x = l (0) = 0.1 v (x) = 0.060 Vic xỏc nh xỏc sut thit hi lnh vc kinh doanh ngnh bo him cú vai trũ ht sc quan trng Trong mt s trng hp c th, ta thng ỏnh giỏ c cn trờn ca xỏc sut thit hi thay vỡ xỏc nh chớnh xỏc giỏ tr ca nú 54 Ti liu tham kho Christian Hipp, Estimators and Bootstrap confidence intervals for ruin Probabilities , University of Hamburg, FRG Klaus D Schmidt, 1995, Lectures on risk theory Hans Bă uhlmann, 1980, Mathematical methods in risk theory , Springer, New York c Thỏi - Nguyn Tin Dng, 2010, Nhp mụn hin i xỏc sut v thng kờ, Nh xut bn i hc S phm Trn Hựng Thao, 2009, Nhp mụn Toỏn hc Ti Chớnh, Nh xut bn Khoa hc v K Thut Nguyn Duy Tin, V Vit Yờn, 2009, Lý thuyt xỏc sut, Nh xut bn Giỏo Dc Nguyn Duy Tin, 2005, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng, phn I-Xớch Markov v ng dng, Nh xut bn i Hc Quc Gia H Ni 55 ... ψ(x) đo lường xác suất phá sản công ty bảo hiểm) Việc xác định xác suất phá sản có ý nghĩa quan trọng hoạt động kinh doanh công ty bảo hiểm Trong luận văn mình, đưa mô hình toán học cho trình bồi...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ————***———— VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC MÔ HÌNH TOÁN HỌC ĐÁNH GIÁ XÁC SUẤT PHÁ SẢN CHO CÁC CÔNG TY BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... cách khác, công ty bảo hiểm quan tâm đến mức độ thiệt hại (rủi ro) mà gặp phải Với mục đích này, luận văn thạc sĩ khoa học với đề tài "Mô hình toán học đánh giá xác suất phá sản cho công ty bảo