3 QUÁ TRÌNH SỐ VỤ BỒI HOÀN
4.2.1Tính ổn định
Ở đây ta đưa ra những tính chất cho ước lượng trong trường hợp mẫu lớn.
Bổ đề:Cố định x, c, λ > 0 và Q là giá trị bồi hoàn thỏa mãn (4.2) và (4.3). Khi đó với mọi i = 1,2,3
lim n ψn(i)(x) =ψ(x) , P hầu khắp nơi và lim T ψT(4)(x) =ψ(x) , P hầu khắp nơi. 4.2.2 Tiệm cận chuẩn
Nếu như Q có mô men cấp hai hữu hạn thì các ước lượng ψn(i), i = 1,2,3 và ψT(4) sẽ tiệm cận chuẩn.
Để đưa ra phương sai của chúng ta cần đến các khái niệm sau. Với
R = ∞ X k=1 (1−ψ(0))ψ(0)kHn∗k M = ∞ X k=1 (1−ψ(0))2ψ(0)k(k + 1)Hn∗k Với x ≤0 ta có ψ(x) = R(x,∞) và M chính là tích chập 2 lần của R, M = R∗2
Với ν ≥ 0 ta đặt
g(ν) =
Z
(ν −(x−ν)+)+M(du)
và id biểu diễn hàm đơn vị trong R với id(ν) = ν với ν > 0.
Định lý: Cho x, c, λ > 0 cố định và Q là phân phối của giá trị bồi hoàn không suy biến với mô men cấp hai hữu hạn thỏa mãn điều kiện (4.3). Khi đó, với i = 1,2, tồn tại một số dương σ(i) thỏa mãn phân phối của
n1/2(ψn(i)(x)−ψ(x))
hội tụ yếu tới N(0,σ(i)). Ta có
σ(1) = K2VarQ(g −ψ(x)id) σ(2) = K2VarQ(g−Q[g]µ−1id) với Q[g] = Z g(ν)Q(dν)
Khi đó ta có phương sai trong các trường hợp như sau:
• Trường hợp (4), phân phối của
(λT)1/2(ψT(4)(x)−ψ(x))
hội tụ yếu tới N(0,σ(4)) khi T → ∞ với
σ(4) = K2Q(g−ψ(x)id)2
• Trường hợp (3). Cho
σ(3) = K2VarQ(g −a×id)
với a = CovQ(g, id)/VarQ(id)
Nếu σ(3) > 0 thì phân phối của
n1/2(ψn(3)(x)−ψ(x))
hội tụ yếu tới N(0,σ(3)). Trường hợp σ(3) = 0 xảy ra khi
Nguyễn Xuân Tùng
Ở đây, hằng số K được xác định là
K = ψ(0) µ(1−ψ(0))
4.2.3 Kết quả số
Ở đây, chúng ta đưa ra các ví dụ trong trường hợp phân phối Q cụ thể, từ đó ta sẽ tính được xác suất thiệt hại ψn(1) và ψn(2) tương ứng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Ví dụ 1: Phân phối giá trị bồi hoàn Q có phân phối mũ với tham số θ = 1,25, cường độ của quá trình bồi hoàn bằng λ = 0,25, phí bảo hiểm c = 1 và vốn khởi tạo ban đầu của công ty bảo hiểm
x = 1. Ta có, kỳ vọng của Q là
µ= 1 θ =
1
1,25 = 0,8
Khi đó, ta xác định chính xác được xác suất thiệt hại trong trường hợp với số vốn khởi tạo x = 0 là:
ψ(0) = λµ
c = 0,1
và sử dụng công thức Crame0r−Lundberg ta được xác suất thiệt hại trong trường hợp với số vốn khởi tạo x = 1
ψ(x) = λµ
c .exp(−Rx) = 0,0325
với
R = c−λµ
cµ = 1,125.
• Ví dụ 2: Q là phân phối lognormal với kỳ vọng và phương sai tương ứng trong phân phối chuẩn là −0,569 và 0,694 và có λ = 0,00125, c= 1 và x = 1. Kỳ vọng của Q là 0,7202. Khi đó, ta tính được xác suất thiệt hại trong hai trường hợp tương ứng với x = 0
• Ví dụ 3: Q là phân phối Pareto với hai tham số tương ứng là 2,054
và 0,924, khi đó hàm mật độ tương ứng là
f(x) = 2,054.(0,924)
2,054
x3,054 với x > 0,924
Trong trường họp này ta có λ = 0,055, c = 1 và x = 1. Kỳ vọng của Q là 1,8007. Khi đó, ta tính được xác suất thiệt hại trong hai trường hợp tương ứng với x = 0 và x = 1 là ψ(0) = 0.1 và
ψ(x) = 0.060.
Việc xác định xác suất thiệt hại trong lĩnh vực kinh doanh ngành bảo hiểm có vai trò hết sức quan trọng. Trong một số trương hợp cụ thể, ta thường đánh giá được cận trên của xác suất thiệt hại thay vì xác định chính xác giá trị của nó.
Tài liệu tham khảo
1. Christian Hipp, Estimators and Bootstrap confidence intervals for ruin Probabilities , University of Hamburg, FRG
2. Klaus D. Schmidt, 1995, Lectures on risk theory.
3. Hans Bu¨hlmann, 1980,Mathematical methods in risk theory, Springer, New York.
4. Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng, 2010, Nhập môn hiện đại xác suất và thống kê, Nhà xuất bản đại học Sư phạm.
5. Trần Hùng Thao, 2009, Nhập môn Toán học Tài Chính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ Thuật.
6. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, 2009, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo Dục. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
7. Nguyễn Duy Tiến, 2005, Các mô hình xác suất và ứng dụng, phần I-Xích Markov và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.