Giải một số bài toán về số nguyên tố với sự trợ giúp mathematica

LỜI CẢM ƠN Luận văn kết sau hai năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Bản thân tiếp cận với kiến thức chuyên sâu môn học toán ứng dụng, đặc biệt ứng dụng công nghệ thông tin để giải toán liên quan lý thuyết lẫn thực tiễn giảng dạy Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 2013B Toán tin, phòng ban liên quan Viện đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả qua trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng, chắn luận văn tránh khỏi thiết sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung quý thầy cô giáo đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Thái Hoàng DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS học sinh SGK sách giáo khoa CNTT công nghệ thông tin THCS trung học sở THPT trung học phổ thông MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Danh mục chữ viết tắt MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận văn III Các luận điểm đóng góp tác giả IV Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 1.1 Giới thiệu phần mềm Mathematica 1.2 Các phép tính toán học với số, biểu thức hàm 10 1.2.1 Tính toán số 10 1.2.2 Tính toán với biểu thức 13 1.2.2.1 Các phép tính đại số biểu thức 13 1.2.2.2 Đặt tên tính toán biểu thức 14 1.2.3 Tính toán với hàm 20 1.2.3.1 Một số hàm số có sẵn 20 1.2.3.2 Định nghĩa hàm 21 1.3 Vẽ đồ thị hàm, biểu thức 24 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC 29 2.1 Số nguyên tố 29 2.2 Giải phương trình hệ phương trình 30 2.2.1 Giải phương trình 30 2.2.2 Giải hệ phương trình 36 2.3 Phép tính tích phân 40 2.3.1 Phép tính giới hạn 40 2.3.2 Phép tính vi phân 41 2.3.2.1 Đạo hàm hàm biểu thức 41 2.3.2.2 Tiếp tuyến 43 2.3.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số 44 2.2.3 Phép tính tích phân 46 2.2.3.1 Tích phân bất định 46 2.2.3.2 Tích phân xác định 47 2.4 Vẽ đồ thị 49 2.4.1 Vẽ đồ thị mặt phẳng 49 2.4.1.1 Vẽ đồ thị hàm xác định khúc 51 2.4.1.2 Vẽ đồ thị hàm tham số 51 2.4.2 Vẽ đồ thị không gian ba chiều 53 2.4.2.1 Lệnh Plot3D 53 2.4.2.2 Lệnh ListPlot3D 55 2.4.3 Vẽ đồ thị dạng f(x,y) = f(x,y,z) = 55 2.4.4 Vẽ miền bất đẳng thức 59 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA PHẦN MỀM MATHEMATICA 62 3.1 Kiến thức số nguyên tố 62 3.1.1 Định nghĩa 62 3.1.2 Tính chất 62 3.1.3 Cách nhận biết số nguyên tố 62 3.1.4 Phân tích số thừa số nguyên tố 62 3.1.5 Số ước số tổng ước số số 62 3.1.6 Số nguyên tố 63 3.1.7 Sàng Ơ-RA-TÔ-XTEN (Euratosthène) 63 3.2 Giải số toán số nguyên tố thường gặp chương trình THCS với trợ giúp Mathematica 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Đổi phương pháp dạy học yêu cầu trọng tâm thường xuyên sở giáo dục hệ thống giáo dục nước ta Phương pháp dạy học đổi theo định hướng: “lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hoá lực hoạt động học tập học sinh” Để đáp ứng nhu cầu tình hình mới, thực có hiệu công tác giảng dạy; người giáo viên không ngừng nghiên cứu học hỏi vận dụng vào thực tế Đặc biệt với phát triển nhanh chóng công nghệ thông tin (CNTT) ứng dụng sâu rộng vào tất lĩnh vực sống Đặc biệt, ngành giáo dục đào tạo, CNTT có tác dụng mạnh mẽ, làm thay đổi nội dung, phương pháp dạy học CNTT phương tiện để tiến tới “xã hội học tập” CNTT trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực cho công tác dạy học theo định hướng đổi Là giáo viên dạy Toán trường THCS Minh Khai, nhận thấy chương trình toán THCS giúp HS giải nhiều vấn đề thực tế Trong chương trình toán THCS nhiề u dạng toán mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan Trong đó có mô ̣t da ̣ng toán liên quan đế n số nguyên tố có thể nói là rấ t khó đố i với ho ̣c sinh THCS Trên thực tế kiế n thức về số nguyên tố chỉ dừng la ̣i ở khái niê ̣m chứ không sâu vì thế gă ̣p mô ̣t bài toán khó về số nguyên tố nhấ t là đố i tươ ̣ng HS giỏi la ̣i gă ̣p rấ t nhiề u thì HS không có phương hướng để giải quyế t Qua nhiều năm giảng dạy, thân không khỏi trăn trở làm để HS hiểu nắm vững da ̣ng toán liên quan đế n số nguyên tố để có phương pháp giải quyế t Tôi nhận thức rằng, việc ứng dụng CNTT phục vụ cho việc đổi phương pháp dạy học phương pháp tích cực nhất, hiệu việc đổi phương pháp dạy học chắn sử dụng rộng rãi nhà trường phổ thông vài năm tới Vì vậy, mạnh dạn định học tập nghiên cứu phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy học tập Trong nhiều phần mềm sử dụng nhiều như: lập trình Pascal, lập trình C, C#, Visual Basic, Java, đưa vào giảng dạy nhà trường Tuy nhiên, lựa chọn phần mềm mà có trợ giúp lớn nhiều lĩnh vực khác chưa phổ biến nước ta, phần mềm toán học Mathematica Hiện nay, Mathematica ngôn ngữ lập trình cấp cao dần sử dụng giảng dạy nhiều trường học, công cụ hỗ trợ việc đổi phương pháp giảng dạy nhiều môn học: Toán học, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ, Toán kinh tế, Tối ưu hóa, Bảo mật thông tin, Một khó khăn nghiên cứu phần mềm số đầu sách viết Tiếng Việt Mathematica hạn chế, có thị trường tạo khó khăn nghiên cứu học tập II Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu luận văn Luận văn tập trung giới thiệu, nghiên cứu khái niệm ứng dụng Mathematica để giải toán số nguyên tố nằm chương trình THCS Những khái niệm toán học phép tính số học biểu thức hàm số, giải phương trình bất phương trình, giải hệ phương trình, hay gặp thực tế có trường hợp ta nhiều thời gian công sức để giải quyết, chí khó kết Tuy nhiên, phần mềm toán học Mathematica cho ta đáp án nhanh xác Ngoài ra, chuẩn bị tập số nguyên tố để học sinh THCS rèn luyện kỹ Mathematica công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên chuẩn bị đề kiểm tra kết Với ứng dụng Mathematica trợ giúp không nhỏ cho giáo viên công tác giảng dạy III Các luận điểm đóng góp tác giả Trên thực tế, luận văn trình bày dạng toán quen thuộc số nguyên tố ứng dụng Mathematica giải toán Tuy nhiên, tác giả thêm phương pháp để xử lý nhanh toán liên quan để Mathematica công cụ đắc lực thay đổi đề toán IV Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo dịch tài liệu tiếng Anh - Tìm hiểu giáo trình học - Tìm hiểu qua thực tế giảng dạy trường THCS Minh Khai, Quận Bắc Từ Liêm, Hà Nội - Sáng tác tập xây dựng giáo án giảng dạy - Tổng hợp trình bày CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 1.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA Phần mềm tính toán Mathematica lần hãng Wolfram Research phát hành vào năm 1988 Đây hệ thống phần mềm làm toán nhờ máy tính, bao gồm tính toán ký hiệu, tính toán số, vẽ đồ thị ngôn ngữ lập trình Lần version Mathematica phát hành, mục đích phần mềm đưa vào sử dụng cho ngành khoa học vật lý, công nghệ toán học, với thời gian Mathematica trở thành phần mềm quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học khác Ngày Mathematica sử dụng ngành khoa học tự nhiên vật lý, sinh học, toán học, hóa học, công nghệ mà trở thành phần mềm quan trọng ngành khoa học xã hội kinh tế Trong công nghệ ngày người ta sử dụng Mathematica công tác thiết kế Trong kinh tế Mathematica lại công cụ mạnh để tiến hành mô hình hóa toán kinh tế phức tạp Mathematica công cụ quan trọng khoa học máy tính (computẻ science) lĩnh vực phát triển phần mềm Tuy phần quan trọng Mathematica nằm lĩnh vực khoa học kỹ thuật công cụ mạnh lĩnh vực giáo dục đào tạo Trong số 100.000 người sử dụng Mathematica có 28% kỹ sư, 21% nhà khoa học, 20% nhà vật lý, 12% nhà toán học, 12% nhà doanh nghiệp, nhà khoa học xã hội nhân văn Số người sử dụng Mathematica ngày tăng Theo số liệu gần tất công ty có Fortune 50, hầu hết 15 chủ chốt phủ Hoa Kỳ 50 trường đại học lớn giới sử dụng Mathematica Có nhiều xuất định kỳ khoảng 200 sách liên quan đến Mathematica công bố Bản thân Mathematica coi hệ thống đại số máy tính tiện lợi cho nhiều đối tượng sử dụng khác Mathematica có nhiều version liên tục cải tiến hoàn thiện: 1.2, 2.0, 2.2, 3.0, 4.0, … đến phiên 10.0 đời phiên 8.0 9.0 sử dụng nhiều Một số quy tắc sử dụng phần mềm Mathematica: - Mathematica phân biệt chữ hoa chữ thường, hàm bắt đầu chữ hoa - Các biến theo hàm đặt ngoặc vuông, cú pháp hình thức sau: Hàm[expr] Ví dụ: Cos[x], Sin[x] - Để thực câu lệnh, ta dùng tổ hợp phím “Shift + Enter” - Để kết thúc câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), dấu (;) kết hiển thị bên - Cần phân biệt dấu [], [[]], {}, () + Cặp ngoặc () dùng để ngoặc biểu thức toán học + Cặp ngoặc [] dùng để chứa đối số, biến số lệnh, hàm + Cặp ngoặc {} dùng để liệt kê miền cho đối số, liệt kê công việc dùng cho mảng ma trận - Lệnh N[expr] dùng để thị kết thành số thập phân Ví dụ: bạn gõ Cos[1] kết hiển thị Cos[1], bạn gõ N[Cos[1],6] kết 0.540302 - Không chạy nhiều chương trình lúc biến lưu giá trị nó, kết bạn bị sai, để khắc phục, bạn chỉnh lại sau Evaluation/Quit Kernel/Local - Cách đặt biến bình thường a, b, c, x, y, z, …, không đặt XY_a, XY-a, không dùng chữ sau để đặt tên biến C, D, E, I, N - Tổ hợp Ctrl + K để tìm hàm có tên giống phần đầu - Lệnh ?Int* để tìm tất hàm bắt đầu “Int”, tương tự với ?*Q hay ?*Int* - Cần phân biệt List Matrix Mathematica Nếu viết {1,2,3,4} List gồm phần tử, viết {{1},{2},{3},{4}} matrix dòng cột, List dùng hàm chuyển vị Transpose được, nhiên bạn sử dụng phép toán ma trận Matrix List, kết tính toán ma trận - Phân biệt ý hiệu :=; = == Ví dụ: x:=1 lệnh gán giá trị cho số x x=1 lệnh gán giá trị cho biến x (x thay đổi giá trị thực chương trình) x==1 so sánh giá trị vế trái x có giá trị vế phải hay không 1.2 Các phép tính toán học với số, biểu thức hàm 1.2.1 Tính toán số a) Các toán tử số học: Mathematica thực phép tính số học máy tính tay bình thường +: phép cộng -: phép trừ *: phép nhân /: phép chia ^: luỹ thừa !: phép giai thừa : lớn Ví dụ: - Tổng hai số: In[1]:= 5+10 Out[1]= 15 - Thực lúc phép tính nhân, chia, lũy thừa: In[2]:= 2.9/8.4^2 Out[2]= 0.0410998 Dấu cách (space) Mathematica sử dụng dấu nhân Ví dụ: Int[3]:= Out[3]= 40 10 Prime[100] 541 tức số nguyên tố thứ 100 541 Prime[500] 3571 tức số nguyên tố thứ 500 3571 Prime[8500] 87553 tức số nguyên tố thứ 8500 87553 Bài 4: Các số tự nhiên sau có ước tìm tổng ước đó: 350, 760, 14260, 15331, 180192 Bài giải - Để giải dạng toán này, ta phải phân tích số thừa số nguyên tố - Khi giải thông thường: Đối với số 350: Đối với số 760: 350 760 175 380 35 190 7 95 19 19 350  21.52.71 nên có 1  1   1 1  1  12 ước tổng ước là: 211  521  711   744 1 1 1 760  23.51.191 nên có   1 1  1 1  1  16 ước tổng ước là: 231  511  1911   1800   19  Và để phân tích số lại thành số nguyên tố thời gian dễ nhầm lẫn Khi đó, Mathematica lại thể vai trò mình.Chúng ta sử dụng lệnh FactorInteger Mathematica: FactorInteger[350] {{2,1}, {5,2}, {7,1}} tức 350  21.52.71 67 nên có 1  1   1 1  1  12 ước 211  521  711  124 48 tổng ước là:   744 1 1 1 FactorInteger[760] tức 760  23.51.191 {{2,3}, {5,1}, {19,1}} nên có   1 1  1 1  1  16 ước tổng ước là: 231  511  1911   1800   19  FactorInteger[14260] {{2,2}, {5,1}, {23,1}, {31,1}} tức 14260  22.51.231.311 nên có:   1 1  1 1  1 1  1  24 ước tổng ước là: 211  511  2311  3111   13824   23  31  FactorInteger[15331] tức 15331  153311 => 15331 số nguyên tố {{15331,1}} nên có ước 15331 tổng ước là: 15331   15332 FactorInteger[180192] {{2,5}, {3,1}, {1877,1}} tức 180192  25.31.18771 nên có   1 1  1 1  1  24 ước 251  311  187711  tổng ước là:  473256   1877  Bài (Bài thi giải toán qua thư báo toán học tuổi trẻ số 144 năm 2015): Chứng minh số 1280000401 hợp số Bài giải - Đặt a =20 1280000401 = 128.107 + 4.102 + = 27.107 + 22.102 + 68 = a7 + a2 + = a (a6 – 1) + a2 + a + = a (a3 – 1)(a3 + 1) + a2 + a + = a (a – 1)(a2 + a + 1)(a3 + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)[a (a – 1)(a3 + 1) + 1]  Chứng tỏ số 1280000401 có ước số lớn nên số 1280000401 hợp số (đpcm) - Kiểm tra lại Mathematica: FactorInteger[18280000401] {{421,1}, {3040381,1}} tức 1280000401 = 421.3040381 nên số 1280000401 hợp số có nhiều ước Bài 6: Tìm ƯCLN BCNN số sau: a 220887 1697507 b 3995649 15859375 c 1536885 24801105 d 416745, 1389150 864360 Bài giải - Để giải dạng toán tìm ƯCLN BCNN số trên, rõ ràng ta phải phân tích số thành số nguyên tố Mà số lớn vậy, việc tính toán để phân tích số thừa số nguyên tố khó khăn Khi đó, ta lại thấy rõ vai trò phần mền tính toán Mathematica hỗ trợ công việc tính toán cho nhanh chóng xác a FactorInteger[220887] {{3,7}, {101,1}} tức 220887  37.101 FactorInteger[1697507] {{7,5}, {101,1}} tức 1697507  75.101 69 Khi ƯCLN (220 887,1 697 507) = 101 Và BCNN (220 887,1 697 507) = 37.75.101  3712 447809 b FactorInteger[3995649] tức 3995649  39.7.29 {{3,9}, {7,1}, {29,1}} FactorInteger[15859375] tức 15859375  57.7.29 {{5,7}, {7,1}, {29,1}} Khi ƯCLN (3 995 649, 15 859 375) = 7.29 = 203 Và BCNN (3 995 649, 15 859 375) = 39.57.7.29  312160078125 c FactorInteger[1536885] tức là: 1536885  32.5.72.17.41 {{3,2}, {5,1}, {7,2}, {17,1}, {41,1}} FactorInteger[24801105] {{3,1}, {5,1}, {7,2}, {41,1}, {823,1}} tức là: 24801105  3.5.72.41.823 Khi ƯCLN (1536885, 24801105) = 3.5.72.41 = 30135 Và BCNN (1536885, 24801105) =32.5.72.17.41.823 = 1264856355 d FactorInteger[416745] tức là: 416745  35.5.73 {{3,5}, {5,1}, {7,3}} FactorInteger[1389150] tức là: 1389150  2.34.52.73 {{2,1}, {3,4}, {5,2}, {7,3}} FactorInteger[864360] tức là: 864360  23.32.5.74 {{2,3}, {3,2}, {5,1}, {7,4}} Khi ƯCLN (416745, 1389150, 864360) = 32.5.73  15435 BCNN (416745, 1389150, 864360) = 23.35.52.74  116688600 Bài (Cải tiến từ đề thi Đại học khối B năm 2010): Tìm nghiệm nguyên tố phương trình sau: Bài giải - Giải bình thường: ĐKXĐ:   x  70 3x    x  3x2  14 x   Ta có: 3x    x  3x2  14 x         3x      x  3x  14 x    x  5 x5   x   x  1  3x     x  1     x  5    x  1   3x     x  1    x      x  1  với   x   3x     x   x  Mà số nguyên tố nên nghiệm nguyên tố cần tìm - Kiểm tra lại Mathematica: Solve[(3𝑥 + 1)^(1⁄2) − (6 − 𝑥)^(1⁄2) + 3𝑥^2 − 14𝑥 − == 0] {{𝑥 → 5}, {𝑥 → Root[−645 − 5177#1 − 14269#12 − 14081#13 + 57#14 + 4185#15 − 1107#16 + 81#17 &,4]}, {𝑥 → Root[−645 − 5177#1 − 14269#12 − 14081#13 + 57#14 + 4185#15 − 1107#16 + 81#17 &,5]}} Do nghiệm cần tìm nghiệm nguyên tố nên x  Bài (Cải tiến từ giải toán qua thư báo toán học tuổi trẻ số 142 năm 2015): Phương trình sau có nghiệm nguyên tố không? 3x  10 x   x  3x  7x 1  4 x  2x  2x Bài giải - Nếu giải bình thường: ĐK: x  Phương trình tương đương với:  3x  1 x  3    x  3x     4  x  2x  x  71 Áp dụng BĐT AM – GM ta có: VT  3x   x   x   3x  (1) 4 4   VP   4  4  1   x   2x x   x 1   x  1 x  (2) Để VT  VP BĐT (1) (2) phải trở thành đẳng thức Khi x  Vậy phương trình cho nghiệm nguyên tố - Kiểm tra lại Mathematica: Solve[(3𝑥^2 + 10𝑥 + 3)^(1⁄2) + 2𝑥^(1⁄2) = = 3𝑥 + 1⁄(𝑥^2 + 1) − (7𝑥 − 1)⁄(2𝑥^2 + 2𝑥) + 4] {{𝑥 → 1}, {𝑥 → Root[1 + 14#1 + 125#12 + 680#13 + 3026#14 + 9412#15 + 25458#16 + 46472#17 + 88413#18 + 115694#19 + 151905#110 + 156000#111 + 141904#112 + 111920#113 + 71792#114 + 38528#115 + 16512#116 + 4608#117 + 576#118 &,1]}, {𝑥 → Root[1 + 14#1 + 125#12 + 680#13 + 3026#14 + 9412#15 + 25458#16 + 46472#17 + 88413#18 + 115694#19 + 151905#110 + 156000#111 + 141904#112 + 111920#113 + 71792#114 + 38528#115 + 16512#116 + 4608#117 + 576#118 &,2]}, {𝑥 → Root[1 + 14#1 + 125#12 + 680#13 + 3026#14 + 9412#15 + 25458#16 + 46472#17 + 88413#18 + 115694#19 + 151905#110 + 156000#111 + 141904#112 + 111920#113 + 71792#114 + 38528#115 + 16512#116 + 4608#117 + 576#118 &,15]}, {𝑥 → Root[1 + 14#1 + 125#12 + 680#13 + 3026#14 + 9412#15 + 25458#16 + 46472#17 + 88413#18 + 115694#19 + 151905#110 + 156000#111 + 141904#112 + 111920#113 + 71792#114 + 38528#115 + 16512#116 + 4608#117 + 576#118 &,16]}} Vậy phương trình cho nghiệm nguyên tố 72 Bài (Cải tiến từ đề thi chọn đội tuyển toán lớp Quận Gò Vấp – HCM năm 2014): Tìm nghiệm nguyên tố hệ phương trình sau:  x  xy  y  17   y  yz  z  23  z  zx  x  11  Bài giải - Giải bình thường:  x  xy  y  17   y  yz  z  23  z  zx  x  11   x  1 y  1  18    y  1 z  1  24   z  1 x  1  12 Từ nhân theo vế ba phương trình ta được:  x  1 y  1 z  1  722 Từ ta tìm hai cặp nghiệm  x, y, z  là:  2;5;3  4; 7; 5  Do nghiệm hệ nghiệm nguyên tố nên nghiệm hệ là:  x; y; z    2;5;3 - Kiểm tra lại nghiệm Mathematica: Solve[{𝑥 + 𝑥 ∗ 𝑦 + 𝑦 == 17, 𝑦 + 𝑦 ∗ 𝑧 + 𝑧 == 23, 𝑧 + 𝑧 ∗ 𝑥 + 𝑥 = 11}, {𝑥, 𝑦, 𝑧}] {{𝑥 → −4, 𝑦 → −7, 𝑧 → −5}, {𝑥 → 2, 𝑦 → 5, 𝑧 → 3}} Do nghiệm hệ nghiệm nguyên tố nên nghiệm hệ là:  x; y; z    2;5;3 Bài 10 (đề thi vào lớp 10 năm 2014 Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định): Tìm nghiệm nguyên tố phương trình sau:    x   x   x  x  12  Bài giải - Giải bình thường:    x   x   x  x  12  73 ĐK: x   x   a  Đặt   x   b   a  b2    a  b 1  ab   a  b2   a  b 1  ab  a  b   a  b  1  ab  a  b  Với a = b ta có: x   x  => vô nghiệm Với  ab  a  b  a   b    a  1 b  1   x  1   x    x  5  loai    x   t / m  Vậy phương trình cho có nghiệm x  - Kiểm tra lại Mathematica: Solve[((𝑥 + 6)^(1⁄2) − (𝑥 − 2)^(1⁄2)) ∗ (1 + (𝑥^2 + 4𝑥 − 12)^(1⁄2)) == 8] {{𝑥 → −5}, {𝑥 → 3}} Vì nghiệm cần tìm nghiệm nguyên tố nên x  Bài 11 (Cải tiến đề thi vào lớp 10 THPT Hà Nội năm 2012 – 2013): Cho biểu thức A   x x 4 biểu thức B    x 2  x 4  x  16 với : x 4 x 2 x  0; x  16 Tìm giá trị nguyên tố x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài giải: - Để giải toán này, trước tiên ta phải rút gọn biểu thức B(A – 1):  x  x  16  x  x 2 Ta có: B      :  x  x  x  x  x      x  16 74 x B B     x  4 x  x  16 x   x   x 4 4 x  x  x  16   x  4  x  16   x   B  x 4  x  16  x  16  Nên B  A  1  x 2 x  16 x 2 x  16 x 2  x 4  x 2 2   1   x  16  x   x  16 x  x  16 - Đối với người giáo viên, sử dụng Mathematica để kiểm tra kết rút gọn biểu thức lệnh: 𝐴 = (𝑥^(1⁄2) + 4)⁄(𝑥^(1⁄2) + 2) 𝐵 = (𝑥^(1⁄2)⁄(𝑥^(1⁄2) + 4) + 4⁄(𝑥^(1⁄2) − 4)) ∗ (𝑥^(1⁄2) + 2)⁄(𝑥 + 16) Simplify[𝐵 ∗ (𝐴 − 1)] −16 + 𝑥 Để B(A – 1) nguyên, x nguyên x – 16 ước 2, mà Ư(2) = 1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: x – 16 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp với điều kiện x số nguyên tố nên x = 17 Vậy với x = 17 biểu thức B(A – 1) có giá trị số nguyên tố Bài 12 (Cải tiến từ đề thi vào lớp 10 Hải Dương năm học 2012 – 2013): Tìm số nguyên tố lớn không vượt S, S = Bài giải 75 2  3 - Trước tìm số nguyên tố lớn đó, ta tìm số nguyên lớn không vượt S: Xét hai số a   b   Ta có a  b  ab  Ta có:  a  b   44  a3  b3  64  3ab  a  b   64  3.1.4  52   a  b3   522  a  b6  2704   ab   2704  2.1  2702  a6  2702  b6 Mà b   nên  b   a6  2701   b6   S  2701 Từ ta có số nguyên lớn không vượt S 2701 - Sau tìm số nguyên lớn nhất, ta cần tìm số nguyên tố liền trước số nguyên lớn xong toán Ta tìm số nguyên tố liền trước số 2701 cách tra bảng số nguyên tố 10 000 số 2699 - Giáo viên dùng Mathematica để kiểm tra kết toán: NextPrime[(2 + 3^(1⁄2))^6, −1] 2699 - Vậy 2699 số nguyên tố cần tìm Bài 13 (Cải tiến từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường trung học thực hành Đại học Sư Phạm Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014): Giải cặp nghiệm nguyên tố hệ phương trình:  x  x  y    x    25 y  450 Bài giải - Sử dụng lệnh giải hệ phương trình Mathematica ta tìm nghiệm: 76 Solve[{𝑥^2 + 4𝑥 − 3𝑦 == 0, (𝑥 + 2)^4 − 25𝑦 == 450}, {𝑥, 𝑦}] {{𝑥 → −7, 𝑦 → 7}, {𝑥 → 3, 𝑦 → 7}, 62 (−6 − 5ⅈ√6), 𝑦 → − }, 62 {𝑥 → (−6 + 5ⅈ√6), 𝑦 → − }} {𝑥 → x  - Do cặp nghiệm cần tìm cặp nghiệm nguyên tố nên:  y  Bài 14 (Cải tiến từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường trung học thực hành Đại học Sư Phạm Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014): Cho biểu thức: P  3x  x  11 x 2   x x 2 x 1  với x  0; x  Tìm x 2 giá trị nguyên tố x để giá trị biểu thức P số nguyên tố Bài giải 𝑃 = (3𝑥 + 5𝑥 1⁄2 − 11)⁄(𝑥 + 𝑥 1⁄2 − 2) − (𝑥 1⁄2 − 2)⁄(𝑥 1⁄2 − 1) + 2⁄(𝑥^(1⁄2) + 2) − −1 − −2 + √𝑥 −1 + √𝑥 + 2 + √𝑥 + −11 + 5√𝑥 + 3𝑥 −2 + √𝑥 + 𝑥 Simplify[𝑃] + √𝑥 + √𝑥 Apart[%] 1+ + √𝑥 Để giá trị biểu thức P số nguyên tố x  ước Mà Ư(2) = 1; 5 Mặt khác: Nên x 22 x 25 x  0, x   x  (loại số nguyên tố) 77 Vậy x nguyên tố để giá trị biểu thức P số nguyên tố Bài 15 (Cải tiến từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định năm học 2013 – 2014): Nghiệm hệ phương trình sau có nguyên tố không?  x       x   y  30 2  y  15 Bài giải - Ta sử dụng Mathematica để tìm kết trước: Solve[{2⁄(𝑥 + 2) + 1⁄(𝑦 − 4) == 7⁄30 , 5⁄(𝑥 + 2) − 2⁄(𝑦 − 4) == 2⁄15}, {𝑥, 𝑦}] {{𝑥 → 13, 𝑦 → 14}} Vì 13, 14 số tự nhiên liên tiếp nên nghiệm hệ nguyên tố - Bài làm:  x       x   y  30 2  y  15  x       x  2  y  15 2  y  15   x   15      y  30 x    x   15       y  30 15 10  x   15   y   10  x  13   y  14 Vì 13, 14 số tự nhiên liên tiếp nên nghiệm hệ nguyên tố 78 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu đề tài tốt nghiệp “Giải số toán số nguyên tố với trợ giúp Mathematica”, hướng dẫn thầy giáo GS TSKH Lê Hùng Sơn, cá nhân hoàn thành nội dung yêu cầu ban đầu đặt đề tài Cụ thể sau: - Trình bày phép toán số học số, biểu thức hàm, yêu cầu đặt các ứng dụng thực tiễn - Trình bày khái niệm ứng dụng Mathematiac việc giải toán số nguyên tố, giải phương trình, giải hệ phương trình, vi tích phân, - Tìm hiểu ứng dụng liên quan việc vẽ đồ thị hàm không gian hai chiều ba chiều - Nghiên cứu lý thuyết số nguyên tố giải số toán thường gặp đề thi Tuy nhiên, đề tài tồn số hạn chế: - Chưa nêu sâu sắc ưu điểm nhược điểm lệnh Mathematica - Chưa nêu ứng dụng rộng rãi hình học - Do thời gian trình độ có hạn nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp lượng thứ - Xây dựng giáo án dạy học - Sáng tác đề tập cho học sinh Hướng phát triển đề tài - Nghiên cứu xây dựng giảng, đề kiểm tra hay đề thi Toán THCS cho nhiều vấn đề khác - Xây dựng giảng dạng tập toán cho học sinh học học sinh giỏi cần bồi dưỡng kiến thức nâng cao Kiến nghị *Đối với Đảng Nhà nước: 79 - Đẩy mạnh công tác cải cách hành chính, xây dựng máy quản lý nhà nước đội ngũ cán công chức vững mạnh, có lực đáp ứng yêu cầu đổi - Có chế độ sách phát triển giáo dục, đầu tư sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy giáo viên việc tiếp thu kiến thức học sinh, sinh viên *Đối với sở giáo dục: - Khuyến khích, động viên cán giáo viên nghiên cứu ứng dụng công nghệ thông tin dạy học - Tạo điều kiện cho giáo viên học sinh tiếp cận với gói chương trình trợ giúp dạy học - Tổ chức bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho cán giáo viên để nâng cao trình độ 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hùng Sơn (2002), Lập trình tính toán với Mathematica 4.0, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội Stephen WolFram (2003), The Mathematica Book – 5th editon, WolFram Media, Cambridge University Press, Third Edition https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number Bộ Giáo Dục Đào Tạo (2013), SGK Toán 7, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Bộ Giáo Dục Đào Tạo (2013), SGK Toán 8, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Tạp chí toán tuổi thơ (2014), Tổng tập Toán tuổi thơ năm 2014 (Trung học sở), Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Tạp chí toán tuổi thơ (2015), Tổng tập Toán tuổi thơ năm 2015 (Trung học sở), Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Tuyển tập đề thi vào lớp 10 toàn quốc năm 2006 đến 2015 81 ... Vẽ miền bất đẳng thức 59 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA PHẦN MỀM MATHEMATICA 62 3.1 Kiến thức số nguyên tố 62 3.1.1 Định nghĩa ... hai số lũy thừa số nguyên tố Lệnh PrimeQ[…]: kiểm tra số có phải số nguyên tố hay không Lệnh Prime[n]: tìm số nguyên thứ n Lệnh Table[Prime[n],{n,m}]: liệt kê số nguyên tố từ số nguyên tố đền số. .. đền số nguyên tố thứ m Lệnh NextPrime[n]: tìm số nguyên tố liền sau số n Lệnh NextPrime[n,-1]: tìm số nguyên tố liền trước số n Ví dụ 2: kiểm tra số 541 có phải số nguyên tố hay không Bài giải