Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10

GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: HÌNH HỌC I – VECTƠ Cho  ABC tâm O Gọi M điểm tuỳ ý bên  ABC Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh MD  ME  MF  MO HD: Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, BC, CA Suy tam giác ? tam giác Áp dụng T/c trung điểm, tính chất hình bình hành Suy điều phải chứng minh Cho  ABC M điểm thay đổi nằm tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Chứng minh M thay đổi trọng tâm  A’B’C’ cố định HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  Ta chứng minh u.a  0, u.b  với a, b khác không phương Gọi G trọng tâm  ABC Chứng minh GA '  GB '  GC '  Đặt GA  GB  GC  u Cho  ABC  A’B’C’ có trọng tâm G Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác  ABC’,  A’BC,  AB’C Chứng minh G trọng tâm  G1G2G3 HD: Áp dụng AA '  BB '  CC '  Các đường thẳng song song với qua đỉnh A, B, C  ABC cho trước cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’, B’ , C’ Chứng minh ba trọng tâm ba tam giác  A’BC,  AB’C,  ABC’ thẳng hàng Cho tứ giác ABCD Gọi G trọng tâm  ABD I điểm GC cho IC = 3IG Chứng minh MA  MB  MC  MD  4MI Từ điểm M bên tam giác nhọn ABC dựng vectơ MA ', MB ', MC ' vuông góc với BC, CA, AB MA’ = a, MB’ = b, MC’ = c Chứng minh M trọng tâm  A’B’C’ HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  Ta chứng minh u.a  0, u.b  với a, b khác không phương Cho  ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm  ABC I tâm đường tròn qua trung điểm cạnh Chứng minh a) OA  OB  OC  3OG  OH b) HA  HB  HC  2HO  3HG c) OH  2OI Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường thẳng song song với A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tịa A’, B’ , C’ Chứng minh trực tâm tam giác  ABC’, AB’C,  A’BC thẳng hàng Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường phân giác góc A, B, C kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp A’, B’ , C’ Gọi I tâm đường tròn nội tiếp  ABC Chứng minh OI  OA '  OB '  OC ' 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O,R) Điểm H gọi trực tâm tứ giác ABCD OH  OA  OB  OC  OD Gọi H1, H2, H3, H4 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh bốn đường tròn tâm H1, H2, H3, H4 bán kính R cắt điểm trực tâm H tứ giác ABCD 11 Cho  ABC P điểm thuộc cạnh AB Các điểm Q, R tương ứng hình chiếu vuông góc P lên AC, BC Chứng minh trung tuyến PM  PQR qua trọng tâm G  ABC www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa 12 Cho  ABC Đường tròn nội tiếp  ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC M, N Vẽ đường trung bình DE ( DE // AB) tam giác Đường phân giác góc B cắt DE P Chứng minh M, N, P thẳng hàng 13 Cho  ABC Đường tròn tâm I nội tiếp  ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi J, K trung điểm cạnh BC, AD Chứng minh I, J, K thẳng hàng 14 Cho  ABC có trọng tâm G Một đường thẳng d không qua G cắt GA, GB, GC GA GB GC A’ , B’, C’ Chứng minh    GA ' GB ' GC ' 15 Cho  ABC có trọng tâm G Gọi I điểm đối xứng A qua B Trên cạnh AC lấy điểm K cho AK = AC Chứng minh I, G, K thẳng hàng 16 Cho  ABC có đường cao CH Gọi I, K trung điểm đoạn thẳng AB CH Một đường thẳng d di động song song với AB cắt AC M, cắt BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng 17 Cho tứ giác ABCD Gọi I, K trung điểm AD, BC Chứng minh trung điểm đường chéo hai tứ giác ABKI CDIK đỉnh hình bình hành điểm thẳng hàng 18 Cho  ABC Hai điểm M, N lấy hai cạnh AB, AC cho MB  kMA , NC  hNA với h + k = - Chứng minh MN qua điểm cố định 19 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P Gọi I điểm đối xứng C qua P Đường thẳng song song với BC qua I cắt đường thẳng AB E Đường thẳng song song với AB qua I cắt AD F Chứng minh P, E, F thẳng hàng 20 Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AB, CD cắt E, cạnh đối diện AD, BC cắt F Gọi M, N, P trung điểm đoạn AC, BD, EF Chứng minh M, N, P thẳng hàng 21 Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD M, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC N Chứng minh MN // DC 22 Cho hai hình chữ nhật ABCD A’B’C’D’ Từ điểm O đặt OM  AA ', ON  BB ', OP  CC ', OQ  DD ' Chứng minh MNPQ hình bình hành 23 Cho tứ giác MNPQ Gọi A giao điểm hai đường chéo MP NQ Chứng minh A hai trung điểm B, C hai cạnh đối diện MN PQ nằm đường thẳng tứ giác MNPQ hình thang hình bình hành 24 Từ điểm P cạnh BC  ABC cho trước ta vẽ PN // AB PM // AC Xác định vị trí P cho MN có độ dài ngắn 25 Cho  ABC có I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh aIA  bIB  cIC  26 Cho  ABC không vuông có trực tâm H Chứng minh tan A.HA  tan B.HB  tan C.HC  HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  Ta chứng minh u.a  0, u.b  với a, b khác không phương 27 Cho  ABC có , BM, CK đường phân giác tam giác Chứng minh a(b  c) AN  b(c  a)MB  c(a  b)CK  28 Cho  ABC Đường tròn nội tiếp  ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A’, B’ , C’ Chứng minh a AA '  bBB '  cCC '  29 Các điểm A’, B’ ,C’ hình chiếu trọng tâm G lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh a2 GA '  b2 GB '  c2 GC '  www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa 30 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC nhọn Chứng minh sin AOA  sin 2B.OB  sin 2C.OC  31 Cho  ABC Dựng phía tam giác ABC’, A’BC, AB’C Gọi A1, B1, C1 điểm cho AB’A1C’ , BA’B1C’ , CA’A1B’ hình bình hành Chứng minh AA1  BB1  CC1  a b c 32 Cho  ABC không vuông H trực tâm Chứng minh HA  HB  HC  cos A cos B cos C HD: Lý thuyết: Để chứng minh u  Ta chứng minh u.a  0, u.b  với a, b khác không phương 33 M điểm tuỳ ý  ABC Chứng minh SMBC MA  SMAC MB  SMAB MC  II – TÍCH VÔ HƯỚNG (BT_367_1/08) Với điểm A,B, C,D Chứng minh AC  BD  AB2 + CD2 = AD2 + BC2 (BT_367_1/08) Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DA tia CB lấy hai điểm E, F cho DF = CE = CD Trên tia đối tia CD lấy điểm H cho CH = CB Chứng minh AE  FH (BT_367_1/08) Cho đường tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đồng thời ngoại tiếp đường tròn (O’) có tiếp điểm M, N, P, Q với cạnh DA, AB, BC, CD Chứng minh MP  NQ (BT_367_1/08) Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC D trung điểm cạnh AB E trọng tâm  ACD Chứng minh AB = AC OE  CD (BT_367_1/08) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai đường chéo cắt I Hạ IP, IQ vuông góc với AD BC Gọi M, N trung điểm AB , CD Chứng minh PQ  MN (BT_367_1/08) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi M, N trung điểm AB CD Các tam giác OAD OBC có trực tâm H K Chứng minh HK  MN Cho  ABC Chứng minh AB AC   AB  AC  BC  Chứng minh hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo hai lần tổng bình phương hai cạnh liên tiếp IA2 IB IC    Gọi I tâm đường tròn nội tiếp  ABC Chứng minh bc ca ab HD: aIA  bIB  cIC  Bình phương hai vế 10 Cho  ABC Trên cạnh AB lấy điểm M Chứng minh c2 CM  a2 AM  b2 BM  (a  b2  c2 ) AM BM 11 Cho  ABC Tìm điểm M cho MA2  MB2  MC nhỏ HD: MA  MB  MC  3MG Bình phương hai vế 12 Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M điểm đường tròn Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 13 Cho  ABC Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử I, J trung điểm HA IJ Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp a) Chứng minh OH IJ có trung điểm b) Chứng minh AH2 = 4R2 – a2 c) Chứng minh với điểm M ta có MA2 + MB2 + MC2 – (MH2 + 2MO2) không đổi d) Chứng minh OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2) 14 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM  CM Chứng minh www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa a) b2 + c2 = 5a2 b) 2(cotB + cotC) = cotA c) cot A ≥ ( Với  ABC nhọn) BH CH HD: Chứng minh cot B  cot C  Kẻ đường cao AH cot B  , cot C  AH AH d) cosA ≥ 15 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vuông góc đỉnh B lên đường chéo AC, M N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh BM  MN 16 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P , Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC, AD có MN = PQ Chứng minh AB  CD 17 Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm cnạh AB, G trọng tâm  ADC Chứng minh AB = AC OG  CD 18 Cho hai hình vuông ABCD BKMN có chung đỉnh B đỉnh M nằm DB kéo dài Chứng minh trung tuyến BE  ABK nằm đường thẳng chứa đường cao BH  BNC 19 Cho  ABC vuông cân A có AB = AC = a Gọi M, N, P ba điểm nằm AM BN CP ba cạnh AB, BC, CA cho Chứng minh AN  PM AN = PM   AB BC CA 20 Cho  ABC cân A Gọi H trung điểm cạnh BC D hình chiếu vuông góc H lên cạnh AC M trung điểm HD Chứng minh AM  BD 21 Từ điểm P đường tròn ta kẻ hai dây cung APB CPD vuông góc với P Chứng minh đường chéo hình chữ nhật APCQ vuông góc với BD 22 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O có I, J trung điểm AD BC Gọi H K trực tâm  ABO, CDO Chứng minh HK  IJ 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường chéo cắt M Qua trung điểm P cạnh AB kẻ đường thẳng PM Qua trung điểm Q cạnh AB kẻ đường thẳng QM Chứng minh PM  CD QM  AD 24 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK  AC Gọi M, N trung điểm AK CD a) Chứng minh BMN  900 b) Tìm điều kiện hình chữ nhật để  BMN vuông cân 25 Cho tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc với nội tiếp đường tròn Nối trung điểm M dây AB với giao điểm S đường chéo Chứng minh MS  CD 26 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh AB2 + CD2 = 4R2 hai đường chéo tứ giác vuông góc với 27 Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc AB , BC cho AM = BN Chứng minh CM  DN 1 28 Cho  ABC Lấy điểm M, N thoả mãn BM  BC , AN  AB Gọi I giao điểm 3 AM CN Chứng minh BI  IC 1 29 Cho hình vuông ABCD Gọi E, F hai điểm xác định BE  BC , CF   CD Đường thẳng AE cắt BF I Chứng minh AI  IC 30 Cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F cho AF  AD Xác định vị trí điểm M đường thẳng BC cho EF  FM www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa 31 Cho  ABC cân Anội tiếp đường tròn tâm O D trung điểm AB E trọng tâm  ADC Chứng minh OE  CD 32 Cho  ABC nội tiếp đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I B’ điểm đối xứng B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC P, Q Trên BA, BC lấy điểm K, L cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh B’I  KL 33 Cho  ABC Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Trên tia BA, CA lấy điểm E, F cho EB = BC = CF Chứng minh OI  EF 34 Cho  ABC vuông cân C Hãy dựng đoạn thẳn CC’ vuông góc với trung tuyến AA’ Hãy BC ' tìm tỷ số C'A 35 Cho  ABC Gọi I tâm đường tròn cho PA/(I) + a2 = PB/(I) + b2 = PC/(I) + c2 Chứng minh I trực tâm  ABC 36 Cho hình thang vuông ABCD vuông A B Gọi M trung điểm AB Các đường cao AH, BK tam giác AMD, BMC cắt N Chứng minh MN  CD III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (BT_363_9/07) Cho  ABC vuông A với AB < AC, BC = + bán kính đường tròn nội tiếp r = Tính góc B, C HD: S = p.r AB = BC , B = 600, C = 300 2 (BT_365 _11/07) Cho điểm M cố định nằm đoạn thảng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax , By vuông góc với AB Một góc vuông đỉnh M thay đổi cắt hai tia Ax, By C,D Xác định vị trí C, D để tam giác MCD có diện tích nhỏ MA.MB HD: Đặt AMC  BDM   , SMCD  Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu thức 2sin  cos (BT_365 _11/07) Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau, chúng cắt (O;R) (O’;R’) theo thứ tự B, C Xác định vị trí tia để  ABC có diện tích lớn HD: Đặt AOD  O ' AE   , S ABC  R.R '.2sin  cos Áp dụng BĐT Cauchy (BT_365 _11/07) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh BC = AB = Trên cạnh AB lấy điểm N cho 0,2 <  < Đường trung trực DN cắt AD, DC E,F Chứng minh S EFD  HD: Đặt EFD  ADN   , S EFD  Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu thức 8sin  cos3 5 (Olympic 95-05) Cho  ABC thoả mãn cos A  3(cos B  cos C )  Chứng minh  ABC cân A A = 1200 HD: Áp dụng BĐT ( x.e1  ye2  ze3 )2  (Olympic 06) Cho  ABC Chứng minh  ABC a  b  c  ma2  mb2  mc2 HD: Nếu  ABC  đpcm Chiều ngược lại a  2(mb2  mc2 )  ma2 Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky a3  b3  c3  abc  4R2 (Olympic 06) Cho  ABC Chứng minh abc www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa HD: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC Ta có BĐT (a  b)OC  (b  c)OA  (c  a)OB     (Olympic 06) Cho  ABC có chu vi Chứng minh HD: Công thức Heroong S2 > 13  a  b2  c  4abc  27 abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc ≥   (ab  bc  ca) 3(ab +bc + ca) ≤ (a 9 + b + c)2 Cho  ABC thoả mãn cot A + cot C = cotB Chứng minh B ≤ 600 10 Cho  ABC  x, y, z R Chứng minh rằng: a) yzcosA + xzcosB + xycosC ≤ (x2 +y2 + z2) b) cos A  3(cos B  cos C )  c) 2(cos A  cos B)  cos C  d) yz cos A  xzcos2 B  zxcos2C   ( x  y  z ) e) yz sin A  xz sin B  xysin C  ( x  y  z ) ab ac bc 11 Cho  ABC Chứng minh    4p p c p b p a HD: Đặt x = a +b – c, y = b+ c – a, z = a + c – b 1 p    12 Cho  ABC Chứng minh a  bc b  ca c  ab abc HD: Áp dụng BĐT Cauchy mẫu Sau áp dụng cho tử 13 Cho  ABC số thực x, y, z cho ax + by + cz = Chứng minh a) xy + yz + zx ≤ b) cxy + bzx + ayz ≤ HD: Rút ẩn chuyển tam thức bậc hai có a < 0,  < 14 Cho  ABC Chứng minh (1 + b + c – bc)cosA + (1 + a + c – ac)cosB + (1 + a + b – ab)cosC ≤ HD: Chuyển BĐT theo cạnh 15 Cho  ABC Chứng minh 1 a)    a b c Rr HD: Công thức tính diện tích 1 1    b) 2 ( p  a) ( p  b) ( p  c) r 2 HD: BĐT x + y + z ≥ xy + yz + zx 16 Cho  ABC có trọng tâm G Chứng minh GA2  GB  GC  (a  b2  c ) HD: GA  GB  GC  Bình phương hai vế Từ toán ta chứng minh ma2  mb2  mc2  (a  b2  c ) www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa 17 Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm cung nhỏ BC Chứng minh MA = MB + MC HD: Phép quay QB60 18 Cho  ABC có trọng tâm G Chứng minh a) MA2 + MB2 + MC2 ≥ MA.GA + MB.GB + MC.GC ≥ GA2 + GB2 + GC2 HD: | a || b | a.b BĐT a2 + b2 ≥ 2ab b) Chứng minh ma  mb  mc  R 1    ma mb mc R HD: Thay điểm M tâm đường tròn ngoại tiếp 1 19 Cho  ABC Chứng minh B = 600   ab bc abc sin A 20 Chứng minh  ABC cân A  sin B.sin C HD: Áp dụng ĐL sin 21 Cho  ABC Chứng minh a) a2 + b2 + c2 ≥ 3S HD: Áp dụng Công thức Hê – rông Áp dụng BĐT Cauchy (p –a), (p –b) ,(p –c) p  a  b2  c b) cotA + cotB + cotC ≥ 3 (a + b + c) c Chứng minh ma + mb + mc = 2 HD: GT  a2 + b2 = 2c2 23 Cho  ABC a a) Chứng minh b + c ≥  3la 2 HD: la  bcp( p  a) Áp dụng BĐT Cauchy bc ≤ ? , 3( p  a) p ≤ ? bc (a  b  c) b) Chứng minh la  lb  lc  r 24 Cho  ABC Chứng minh  R r (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c) HD: Công thức tính diện tích   Áp dụng BĐT R 2abc Cauchy (a + b – c)(a –b + c)(- a + b +c ) ≤ abc 25 Cho  ABC Chứng minh a) a + b + c ≤ 3R abc HD: Áp dụng CT tính diện tích BĐT Cauchy R = ≥? p( p  a)( p  b)( p  c) 22 Cho  ABC có mc = b) sinA + sinB + sinC ≤ 3 HD: Định lí sin 26 Hãy nội tiếp đường tròn cho trước tam giác có diện tích lớn www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa abc 3R   4R 27 Hãy ngoại tiếp đường tròn cho trước tam giác có diện tích nhỏ p2 HD: pr  S  ?   3 S AB AC 28 a) Cho  ABC  A’B’C’ có BAC  B ' A ' C ' Chứng minh ABC  S A ' B ' C ' A ' B ' A ' C ' b) Cho  ABC có diện tích S Gọi M điểm tam giác AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh SA’B’C’ ≤ S c) Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm tam giác Các đường thẳng AM, BM, CM cắt đường tròn (O) A’, B’, C’ Chứng minh S ABC MA.MB.MC  S A ' B ' C ' MA '.MB '.MC ' d) Cho  ABC có diện tích S có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB A’,B’,C’ Chứng minh SA’B’C’ ≤ S e) Cho  ABC có diện tích S có đường phân giác góc A, B, C cắt ba cạnh BC, CA, AB A’,B’,C’ Chứng minh SA’B’C’ ≤ S f) Cho  ABC có diện tích S có đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C cắt ba cạnh BC, CA, AB A’,B’,C’ Chứng minh SA’B’C’ ≤ S HD: S  29 Cho  ABC có c mb   Chứng minh 2cot A  cot B  cot C b mc 2r  la R m bc 31 Cho  ABC Chứng minh a  la bc 1 1  2 2  32 Cho  ABC Chứng minh Rr a b c 4r 33 Cho  ABC có trung tuyến BM cắt trung tuyến CN G Giả sử tứ giác ANGM nội tiếp đường tròn Chứng minh cos2A + 2sinB.sinC.cosA = 1  cos B 2a  c  34 Cho  ABC có Chứng minh  ABC cân sin B 4a  c 30 Cho  ABC chứng minh 35 Cho  ABC có a4 = b4 + c4 Chứng minh  ABC có ba góc nhọn 2sin2A = tanB.tanC 36 Cho  ABC có cotB + cotC = 2cotA Chứng minh A ≤ 600 37 Cho  ABC Chứng minh a) p( p  a)  ma HD: Bất đẳng thức Cauchy b) ma.mb.mc ≥ p.S c) la ≤ ma 38 Cho  ABC Chứng minh www.k2pi.net Page GV: Trần Đình Hiền a) ama ≤ - Trường THPT Đặng Thúc Hứa a  b2  c2 HD: Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến BĐT Cauchy a b c b)   2 ma mb mc 1 39 Cho  ABC Chứng minh A = 1200    b c la 40 Cho  ABC Chứng minh + hb + hc ≥ 9r HD: Công thức tính diện tích BĐT Cauchy 41 Cho  ABC Chứng minh a) la ≤ p( p  a) hb hc 2r    33 la lb lc R HD: BĐT Cauchy 42 Cho  ABC Chứng minh bc a)  a  bc 4abc 1 1 b)    a  bc b  ca c  ab 4Rr 1 43 Cho  ABC Chứng minh    a b c Rr 44 (Olimpic 03_10) Cho  ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với đường phân giác AD CM   Tính góc A AD c AC  bAB HD: CM  AB  AC , AD  CM AD   AB  AC suy  AMC cân bc CM A Tính AD2 = ? CM2 = ? Tính tỉ số Suy A = 720 AD 45 (Olimpic 03_10) Chứng minh   ABC nhọn ta có b c a  a  b  c    c    a    b   27abc   cos B cos A  cos C cos B  cos A cos C  HD: Chuyển theo cạnh a, b, c Đặt x = b2 + a2 – c2,y = c2 + a2 – b2,z = c2 + b2 – a2, 46 (Olimpic 03_10) Cho  ABC có I tâm đường tròn nội tiếp  ABC có cạnh tương ứng abc a,b, c Chứng minh IA.IB.IC  3 HD: Chứng minh a.IA  b.IB  c.IC  Bình phương vô hướng b) www.k2pi.net Page ... Gọi I tâm đường tròn nội tiếp  ABC Chứng minh bc ca ab HD: aIA  bIB  cIC  Bình phương hai vế 10 Cho  ABC Trên cạnh AB lấy điểm M Chứng minh c2 CM  a2 AM  b2 BM  (a  b2  c2 ) AM BM 11... ca) 3(ab +bc + ca) ≤ (a 9 + b + c)2 Cho  ABC thoả mãn cot A + cot C = cotB Chứng minh B ≤ 600 10 Cho  ABC  x, y, z R Chứng minh rằng: a) yzcosA + xzcosB + xycosC ≤ (x2 +y2 + z2) b) cos A... 1 1 b)    a  bc b  ca c  ab 4Rr 1 43 Cho  ABC Chứng minh    a b c Rr 44 (Olimpic 03 _10) Cho  ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với đường phân giác AD CM   Tính góc A AD c AC