Các bài toán chọn lọc lớp 7

TS Nguyễn Văn Lợi (chủ biên)-Ths Hoàng Văn Tựu Dr aft 108 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP Đôi lời với bạn đọc Tài liệu biên soạn bao gồm toán sưu tầm lựa chọn từ tài liệu, giáo trình có uy tín, nhiều người ưa thích Bao gồm toán chủ yếu dành cho học sinh khá, giỏi Với phương châm, học vừa đủ ngày tiến Đồng thời, nhằm giúp quý phụ huynh, quý thầy, cô em học sinh có tài liệu tốt để tham khảo Trong tài liệu này, trích lời giải số toán hay để người tham khảo Việc biên soạn có sai sót không đáng có, mong nhận ý kiến góp ý quý vị Xin chân thành cám ơn! Mục lục SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 1.1 Tỉ lệ thức 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán 1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh 1.2 Hàm số đồ thị 1.2.1 Tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch 1.2.2 Hàm số đồ thị hàm số 1.3 Biểu thức đại số HÌNH HỌC 2.1 Quan hệ vuông góc quan hệ song song 2.2 Các trường hợp hai tam giác 2.3 Các toán dựng hình 2.4 Quan hệ yếu tố tam giác 2.5 Quan hệ đường thẳng đồng quy tam 2.5.1 Ba đường trung tuyến tam giác 2.5.2 Ba đường phân giác tam giác 2.5.3 Ba đường trung trực tam giác 2.5.4 Ba đường cao tam giác 2.6 Các toán có nội dung tính góc LỜI GIẢI MỘT VÀI BÀI CHỌN LỌC giác 4 6 10 10 11 14 14 15 15 16 16 16 17 18 Chương SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 1.1 Tỉ lệ thức 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán Bài 1.1.1 Tìm x tỉ lệ thức sau: a) x−3 = x+5 b) x+1 = x−1 c) x+4 = 20 x+4 d) x−1 x−2 = x+2 x+3 Bài 1.1.2 Tìm x, y, z biết : a x y z = = x − 3y + 4z = 62 b y x = , = x − y + z = −15 y z c x y = , = 2x + 5y − 2z = 100 y 20 z d 12x − 15y 20z − 12x 15y − 20z = = x + y + z = 48 11 Bài 1.1.3 Tìm x, y, z biết : a 5x = 8y = 20z x − y − z = 18 x = y = z −x + y + z = −120 11 y z x c = = xyz = 20 12 b Sigma - MATHS d x y z = = x2 + y − z = 65 Bài 1.1.4 Cho biểu thức P = x + 2y − 3z Tính giá trị P biết số x, y, z tỉ lệ x − 2y + 3z với số 5, 4, Bài 1.1.5 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2 , hai cạnh tỉ lệ với Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Bài 1.1.6 Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng , tử tỉ lệ với 5; 196 mẫu tỉ lệ với 1 Bài 1.1.7 Ba kho có tất 710 thóc Sau chuyển số thóc kho I, số thóc kho II số thóc kho III số lại ba kho Hỏi lúc đầu kho 11 có thóc? Bài 1.1.8 Cho dãy tỉ số (Giả thiết M có nghĩa): a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d 2a + b + c + d = = = a b c d a+b b+c c+d d+a Tìm giá trị biểu thức M, biết M = + + + c+d d+a a+b b+c 1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh Bài 1.1.9 Cho b+6 a a+5 = (a = 5, b = 6) Chứng minh = a−5 b−6 b Bài 1.1.10 Cho tỉ lệ thức Bài 1.1.11 Cho a c a−b c−d = = với a, b, c, d = Chứng minh rằng: = b d a c a x b y a2 x = ; = Chứng minh rằng: = k a k b b y Bài 1.1.12 Cho a = b + c c = bd a c , b = 0, d = Chứng minh rằng: = b−d b d Bài 1.1.13 Cho a c 5a + 3b 5a − 3b = (c = ± d) Chứng minh rằng: = b d 5c + 3d 5c − 3d Bài 1.1.14 Cho a c = = ± c = Chứng minh rằng: b d a a−b c−d a+b c+d b = ab cd = a3 − b c3 − d3 Sigma - MATHS Bài 1.1.15 Chứng minh a b a2 + b ab = = c d c +d cd Bài 1.1.16 Cho b2 = ac Chứng minh a2 + b2 a = 2 b +c c Bài 1.1.17 Cho b2 = ac, c2 = bd, với b, c, d = 0, b + c = d, b3 + c3 = d3 a3 + b − c a+b−c Chứng minh rằng: = b + c3 − d b+c−d Bài 1.1.18 Cho số A, B, C tỉ lệ với số a, b, c Chứng minh giá trị biểu Ax + By + Cz không phụ thuộc vào giá trị x y thức Q = ax + by + cz ax + by với c, d = Chứng minh giá trị cx + dy biểu thức M không phụ thuộc vào x y bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức Bài 1.1.19 Cho biểu thức M = Bài 1.1.20 Cho a b = d c 1.2 1.2.1 a2 + b ab a c = với a, b, c, d = 0, c = ±d Chứng minh = c2 + d cd b d Hàm số đồ thị Tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch Bài 1.2.1 Viết công thức biểu thị phụ thuộc giữa: a Chu vi C hình vuông cạnh x b Chu vi C đường tròn bán kính R c Diện tích S hình chữ nhật có cạnh 5(cm) cạnh lại x(cm) d Diện tích S hình tam giác có cạnh đáy 4(cm) chiều cao h(cm) e Chiều dài hình chữ nhật có diện tích 12(cm2 ) cạnh có độ dài x(cm) f Đường cao hình tam giác có diện tích 10(cm2 ) cạnh đáy có độ dài x(cm) Bài 1.2.2 Một công 30 đinh ốc cần 45 phút Hỏi 1h45 phút, người tiện đinh ốc Bài 1.2.3 Một ngựa ăn hết xe cỏ ngày Một dê ăn hết xe cỏ ngày Một cừu ăn hết xe cỏ 12 ngày Hỏi ba ăn hết xe cỏ Sigma - MATHS Bài 1.2.4 Vận tốc riêng ca nô 21 km/h, vận tốc dòng sông km/h Hỏi với thời gian ca nô chạy ngược dòng 30 km/h ca nô chạy xuôi dòng km? Bài 1.2.5 Hai bà buôn gạo hết số tiền Bà thứ mua loại 4000 đồng/kg, bà thứ hai mua loại 4800 đồng/kg Biết bà thứ mua nhiều bà thứ hai 2kg Hỏi bà mua kilogam gạo? Bài 1.2.6 Một ô tô dự định chạy từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 54 km/h đến nơi sớm Nếu chạy với vận tốc 63 km/h đến nơi sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định Bài 1.2.7 Để làm xong công việc 21 công nhân cần làm 15 ngày Do cải tiến công cụ lao động nên xuất lao động người tăng thêm 25% Hỏi 18 công nhân làm xong công việc 1.2.2 Hàm số đồ thị hàm số Bài 1.2.8 Một tàu ngầm chạy với vận tốc không đổi 37 km/h độ sâu 100 m so với mực nước biển a Viết hàm số f mô tả phụ thuộc quãng đường s (tính km) thời gian t (tính giờ) mà tàu ngầm b Viết hàm số g mô tả phụ thuộc độ sâu h (tính m) tàu ngầm so với mực nước biển thời gian t (tính giờ) Tính g(2), g(3, 5) Bài 1.2.9 Cho hàm số f (x) = 4x2 − a Tính f (3), f ( −1 ) b Tìm x để f (x) = −1 c Chứng tỏ với x ∈ R f (x) = f (−x) Bài 1.2.10 Viết công thức hàm số y = f (x) biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a Tính x để f (x) = −5 b Chứng tỏ x1 > x2 f (x1 ) > f (x2 ) Bài 1.2.11 Viết công thức hàm số y = f (x) biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 12 a Tính x để f (x) = 4, f (x) = b Chứng tỏ f (−x) = −f (x) Bài 1.2.12 Cho hàm số y = −1 x Sigma - MATHS a Vẽ đồ thị hàm số b Trong điểm M (−3, 1), N (6, 2), P (9, −3) điểm thuộc đồ thị hàm số (không vẽ lên đồ thị) Bài 1.2.13 Vẽ giá trị hàm số y = f (x) = 0.5x với −2 ≤ x ≤ Vẽ đồ thị hàm số dùng đồ thị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bài 1.2.14 Cho hàm số y = f (x) = 2x y = g(x) = 18 Không vẽ đồ thị x chúng, tính tọa độ giao điểm hai đồ thị 1.3 Biểu thức đại số Bài 1.3.1 Tính giá trị biểu thức sau: √ a A = (x + 1)(x2 − 2) x = b B = 2x2 + 3x − |x| = x+2 1 c C = 9x2 − 7x|y| − y x = ; y = −6 5x2 + 3y x y d D = với = 2 10x − 3y z x y e E = (1 + )(1 + )(1 + ) với x, y, z = 0, x + y + z = x y z Bài 1.3.2 Thu gọn đơn thức sau xác định hệ số, phần biến, bậc đơn thức (a, b, c số) a A = (2a3 b2 x4 y)3 b −1 (a − 1)x3 y z 2 −3 2 bxy z 10 c (a5 b2 xy z n−1 )(−b3 cx4 z 7−n ) d −9 axy 10 −5 ax y z 3 Bài 1.3.3 Cho ba đơn thức A = ab2 x4 y , B = ax4 y , C = b2 x4 y Những đơn thức đồng dạng với nếu: a a, b số khác 0, x, y biến b a số khác 0, b, x, y biến Sigma - MATHS c b số khác 0, a, x, y biến Bài 1.3.4 Thu gọn đơn thức sau xác định bậc đơn thức(a, b số) a A = ax4 y + 10xy + 4y − 2x4 y − 3xy + bx3 y b B = 4x(x + y) − 5(y(x − y)) − 4x2 c C = (a − 1)(x2 + 1) − x(y + 1) + x + y − a + xy d D = (3x4 y )2 e E = axy 11 + (−5bx2 y ) −1 axz + ax(x2 y)3 x y + (8xn−9 ).(−2x9−n ) 15x3 y (0, 4ax2 y z ) Bài 1.3.5 Tìm nghiệm đa thức: a (x − 3)(4 − 5x) b x2 − c x2 + d x2 + 2x e x2 − 4x + f x2 + 2x − Bài 1.3.6 Thu gọn tìm nghiệm đa thức sau: a f (x) = x(1 − 2x) + (2x2 − x + 4) b g(x) = x(x − 5) − x(x + 2) + 7x c(∗) h(x) = x(x − 1) + Bài 1.3.7 Xác định hệ số m để đa thức sau nhận nghiệm a mx2 + 2x + b 7x2 + mx − c x10 − 3x2 + m Bài 1.3.8 Cho đa thức f (x) = ax + b, g(x) = bx + a Chứng minh x0 nghiệm f (x) nghiệm g(x) x0 Bài 1.3.9 Cho biết (x − 1)f (x) = (x + 4)f (x + 8) thỏa mãn với x Chứng minh f (x) có hai nghiệm Bài 1.3.10 Cho đa thức f (x) = axn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 Hãy điều kiện hệ số đa thức để: a f (x) nhận x = nghiệm b f (x) nhận x = −1 nghiệm Chương HÌNH HỌC 2.1 Quan hệ vuông góc quan hệ song song Bài 2.1.1 Trên hình vẽ cho biết xAC + ACD + CDy = 3600 Chứng minh Ax//Dy Bài 2.1.2 Trên hình vẽ bên cho biết xAC + yBC − ACB = 1800 Chứng minh Ax//By Bài 2.1.3 Trên hình vẽ bên cho biết ACB > xAC, Ax//By Chứng minh ACB = xAC + CBy Bài 2.1.4 Biết Ax//By yBC > ACB Chứng minh yBC = xAC + ACB 10 Sigma - MATHS Bài 2.1.5 Biết Ax//Cy xAB + ABC > 1800 Chứng minh xAB + ABC + BCy = 3600 Bài 2.1.6 Biết Ax//By ACB < yBC Chứng minh xAC + yBC − ACB = 1800 Bài 2.1.7 Biết xAC + ACD − CDy = 1800 Chứng minh Ax//Cy Bài 2.1.8 Biết Az//Bt Chứng minh xOy = xAz + yBt Bài 2.1.9 Biết Ax//Cy Chứng minh xAB + ABC − BCy = 1800 Bài 2.1.10 Biết AB⊥AC ACD = 1100 , CDE = 550 , DEF = 350 Chứng minh AB//EF 2.2 Các trường hợp hai tam giác Bài 2.2.1 Nhìn vào bảng cặp tam giác 11 Sigma - MATHS a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 12 Sigma - MATHS k) l) Bài 2.2.2 Cho hình vẽ có AB = CD, AD = BC Chứng minh AB//CD, AD//BC Bài 2.2.3 Cho hình vẽ có AB//CD, AB = CD Chứng minh AD = BC AD//BC Bài 2.2.4 Cho tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh BC M N//BC M N = Bài 2.2.5 Cho tam giác ABC cân A M trung điểm BC Chứng minh AB⊥AC Bài 2.2.6 Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm BC Chứng minh BC BC Từ rằng: Nếu B = 300 AC = AM = 2 Bài 2.2.7 Cho tam giác ABC có AD⊥AB, AD = AB, AC⊥AE, AC = AE M trung DE điểm BC Chứng minh AM = DE⊥DE Bài 2.2.8 Cho góc xAy = 600 , Az tia phân giác góc xAy, BC//Ay Chứng minh 2BD = AC Bài 2.2.9 Cho tam giác ABC có BC = 2AB, M B = M C, DB = DM Chứng minh AC = 2AD Bài 2.2.10 Cho xAy = 900 , Oz tia phân giác góc xOy, AB⊥Ox, AC⊥Oy, AE tia phân giác góc CAD Chứng minh AD = CE + BD 13 Sigma - MATHS 2.3 Các toán dựng hình Bài 2.3.1 Dựng tia phân giác góc cho trước Bài 2.3.2 Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước Bài 2.3.3 Dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Bài 2.3.4 Dựng đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng d trường hợp sau a A ∈ d b A ∈ / d Bài 2.3.5 Dựng đường thẳng qua điểm M không thuộc d song song với đường thẳng d Bài 2.3.6 Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh cho trước Bài 2.3.7 Dựng tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh Bài 2.3.8 Dựng tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh Bài 2.3.9 Dựng tam giác biết hai góc kề cạnh chung hai góc Bài 2.3.10 Cho tam giác ABC Dựng điểm thỏa mãn trường hợp sau: a Cách ba cạnh tam giác ABC b Cách ba đỉnh tam giác ABC 2.4 Quan hệ yếu tố tam giác Bài 2.4.1 Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Chứng minh BAM < M AC AB < AC Bài 2.4.2 Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Chứng minh AB + AC > 2AM Bài 2.4.3 Cho hai tam giác ∆ABC ∆A B C AB = A B , AC = A C Chứng minh BC > B C A > A Bài 2.4.4 Cho tam giác ABC có BD⊥AC, AB⊥CE, (D ∈ AC, E ∈ AB) Chứng minh AB − AC > BD − CE Bài 2.4.5 Cho tam giác ABC cân A, cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Chứng minh BC < DE 14 Sigma - MATHS Bài 2.4.6 Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác ABC Chứng minh M B + M C < AB + AC Bài 2.4.7 Cho hai điểm B, C nằm đoạn thẳng AD cho AB = CD, M điểm nằm đoạn thẳng AD Chứng minh M A + M D > M B + M C Bài 2.4.8 Cho góc xAy = 600 , B nằm tia Ax, C nằm tia Ay Chứng minh AB + AC ≤ 2BC Bài 2.4.9 Cho tam giác ABC vuông A, vẽ AH⊥BC H Chứng minh BC + AH > AB + AC Bài 2.4.10 Cho tam giác ∆ABC có BC cạnh lớn M trung điểm AC Điểm D nằm đoạn BM (D = B) Chứng minh BDC > 900 2.5 2.5.1 Quan hệ đường thẳng đồng quy tam giác Ba đường trung tuyến tam giác Bài 2.5.1 Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HA = HD Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB a Chứng minh C trọng tâm tam giác ADE b Tia AC cắt DE M Chứng minh AE//HM Bài 2.5.2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh a Nếu AM < BC A tù b Nếu AM = BC A vuông c Nếu AM > BC A nhọn Bài 2.5.3 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN Biết AB < AC Chứng minh BM < CN Bài 2.5.4 Chứng minh tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn chu vi nhỏ chu vi tam giác Bài 2.5.5 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cy cho Cy//Bx Trên Bx, Cy lấy hai điểm D E cho BD = CE Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh G trọng tâm tam giác ADE 15 Sigma - MATHS 2.5.2 Ba đường phân giác tam giác Bài 2.5.6 Cho tam giác ABC Chứng minh hai đường phân giác góc B góc C với đường phân giác góc A đồng quy Bài 2.5.7 Cho góc xOy Lấy điểm A Ox, lấy điểm B Oy Vẽ tia phân giác góc BAx ABy cắt M Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với OM cắt Ox, Oy C D Chứng minh tam giác OCD cân Bài 2.5.8 Cho tam giác ABC có B = 1200 , phân giác BD CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt đường thẳng BC F Chứng minh ADF = BDF D, E, F thẳng hàng Bài 2.5.9 Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia BO CO M N Chứng minh BM ⊥BN CM ⊥CN Bài 2.5.10 Cho tam giác ABC, B = 450 , đường cao AH, phân giác BD Cho biết BDA = 450 Chứng minh HD//AB 2.5.3 Ba đường trung trực tam giác Bài 2.5.11 Cho tam giác ABC Trên cạnh CA lấy điểm E cho CE = AB Các đường trung trực BE AC cắt O Chứng minh rằng: a ∆AOB = ∆COE b AO tia phân giác góc A Bài 2.5.12 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Bài 2.5.13 Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm M thuộc BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực M D, AC đường trung trực M E DE có độ dài nhỏ Bài 2.5.14 Cho điểm A nằm góc nhọn xOy.Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho ABC có chu vi nhỏ Bài 2.5.15 Cho tam giác ABC cân A Điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB AC cho AD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định 2.5.4 Ba đường cao tam giác Bài 2.5.16 Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM, đường cao BE Trên tia BE lấy điểm F cho BF = CE Chứng minh ba đường thẳng BE, CF AM qua điểm 16 Sigma - MATHS Bài 2.5.17 Cho tam giác nhọn ABC,hai đường cao BD, CE gặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB = KCB Bài 2.5.18 Tam giác ABC có cạnh BC cạnh lớn Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA CE = CA Tia phân giác góc B cắt AE M.Tia phân giác góc C cắt AD N Chứng minh tia phân giác góc BAC vuông góc với M N Bài 2.5.19 Cho tam giác ABC vuông A, vẽ đường cao AH Gọi M, N trung điểm AH HC Chứng minh BM ⊥AN Bài 2.5.20 Cho tam giác ABC đường cao AH Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC lấy điểm D, E cho BD⊥BA, BD = BA, CE⊥CA, CE = CA Chứng minh đường thẳng AH, BE, CD đồng quy 2.6 Các toán có nội dung tính góc Bài 2.6.1 Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH đường trung tuyến AM chia góc A thành A thành ba góc Bài 2.6.2 Cho tam giác ABC có B = 450 , C = 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính số đo góc ADB Bài 2.6.3 Cho tam giác ABC vuông A B = 750 Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho BH = 2AC Tính số đo góc AHC Bài 2.6.4 Cho tam giác ABC có A = 500 , B = 200 Trên đường phân giác BE tam giác ta lấy điểm F cho F AB = 200 Gọi N trung điểm AF, EN cắt AB K Tính số đo KCB Bài 2.6.5 Tính góc tam giác cân ABC biết cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = CB Bài 2.6.6 Cho tam giác ABC cân A có A = 200 Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Cx cho ACx = 600 , tia lấy điểm D cho CD = CB Tính ADC 17 Chương LỜI GIẢI MỘT VÀI BÀI CHỌN LỌC Bài 1.1.3 d Lời giải Giả thiết toán ta có x, y, z dấu x y z x2 y2 z2 x2 + y − z 65 = = = = =1 Ta có: = = suy 25 49 25 + 49 − 65  x   =1   25         x = ±5 y Vậy ta có: = ⇔ y = ±7   49    z = ±3       z =     x =  x = −5 Do x, y, z dấu nên y = y = −7 giá trị phải tìm     z=3 z = −3 Bài 1.1.8 Lời giải Ta có: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d −1= −1= −1= −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = = a b c d Trường hợp Nếu a + b + c + d = M = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −4 Trường hợp Nếu a + b + c + d = Vậy M = 1 1 = = = Khi đó, a = b = c = d a b c d 2a = 2a 18 Sigma - MATHS Nhận xét:Nhìn vào hệ số a, b, c, d bình đẳng bậc a, b, c, d giả thiết toán ta mở rộng toán sau: Bài toán Cho số tùy ý α = cho dãy tỉ số nhau: a + (α + 1)b + c + d a + b + (α + 1)c + d a + b + c + (α + 1)d (α + 1)a + b + c + d = = = a b c d Tìm giá trị biểu thức M, biết M = a+b b+c c+d d+a + + + c+d d+a a+b b+c Bài toán Cho dãy tỉ số nhau: a + (α + 1)b + c + d a + b + (α + 1)c + d a + b + c + (α + 1)d (α + 1)a + b + c + d = = = αa αb αc αd Tìm giá trị biểu thức M, biết M = a+b b+c c+d d+a + + + c+d d+a a+b b+c Bài toán Cho số tùy ý α m số nguyên dương chẵn cho dãy tỉ số nhau: αam + bm + cm + dm am + αbm + cm + dm am + bm + αcm + dm am + bm + cm + αdm = = = am bm cm dm Tìm giá trị biểu thức M, biết M = a+b b+c c+d d+a + + + c+d d+a a+b b+c Bài 1.1.11 Lời giải a2 b x a a2 Từ giả thiết ta có: x = , y = Suy = k2 = b k k y b k 2 Bài 1.1.18 Lời giải Từ giả thiết tồn số k không phụ thuộc vào x y để A = ka, B = kb, C = kc Ax + By + Cz kax + kby + kcz Khi Q = = =k ax + by + cz ax + by + cz Bài 1.2.5 Lời giải Bà thứ mua x cân gạo bà thứ hai mua (x − 2) cân gạo(x > 2) Bà thứ mua hết số tiền là: 4000x(đồng) Bà thứ hai mua hết số tiền là: 4800(x − 2)(đồng) 4800.2 Theo 4000x = 4800(x − 2) ⇔ x = = 12 800 Vậy bà thứ mua 12 cân gạo bà thứ hai mua 10 cân gạo Bài 1.2.8 Lời giải 19 Sigma - MATHS a f (t) = s = 37t b g(t) = h = −100 Vậy : g(2) = g(3.5) = −100 Bài 1.3.10 Lời giải a x = nghiệm ⇒ an 1n + an−1 1n−1 + a1 + a0 = ⇔ an + an−1 + + a1 + a0 = b x = −1 nghiệm ⇒ an (−1)n + an−1 (−1)n−1 + a1 (−1) + a0 = Bài 2.1.7 Lời giải Ta kẻ CE//Ax suy xAC + ACE = 1800 Theo giả thiết suy xAC+ACD−CDy = xAC+ACE Mà ACD = ACE + ECD Nên xAC + ACE + ECD − CDy = xAC + ACE Suy ECD − CDy = hay ECD = CDy (hai góc vị trí so le trong) Do CE//Dy Mà ta có Ax//CE, Ax//Dy Bài 2.4.8 Lời giải Kẻ tia phân giác Az góc xAy Kẻ BF ⊥Az, CE⊥AZ Xét tam giác vuông CAE có cạnh CE đối diện với góc 300 suy AC = 2CE Xét tam giác vuông BAF có cạnh BF đối diện với góc 300 suy AB = 2BF Do AB + AC = 2(CE + BF ) Mặt khác CE < CD, BF < BD nên AB + AC < CD + BD = BC Vậy AB + AC = 2BC Bài 2.6.5 Lời giải Gọi BAC = x Tam giác ADC cân D nên ACD = x Suy DBC = ABC = 2x (tam giác BDC cân C) Xét tam giác ABC có x + 2x + 2x = 1800 ⇒ x = 360 Vậy tam giác ABC có A = 360 , B = C = 720 20 ... 16 16 17 18 Chương SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 1.1 Tỉ lệ thức 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán Bài 1.1.1 Tìm x tỉ lệ thức sau: a) x−3 = x+5 b) x+1 = x−1 c) x+4 = 20 x+4 d) x−1 x−2 = x+2 x+3 Bài 1.1.2... Sigma - MATHS 2.3 Các toán dựng hình Bài 2.3.1 Dựng tia phân giác góc cho trước Bài 2.3.2 Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước Bài 2.3.3 Dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Bài 2.3.4 Dựng... tia Cx cho ACx = 600 , tia lấy điểm D cho CD = CB Tính ADC 17 Chương LỜI GIẢI MỘT VÀI BÀI CHỌN LỌC Bài 1.1.3 d Lời giải Giả thiết toán ta có x, y, z dấu x y z x2 y2 z2 x2 + y − z 65 = = = = =1