CRUX math march _ Môn Toán

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✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚❲✪✥✬✮✭✥✯✤✢☛✬✮✚✥✱✳✲✮✭✴✬✌✚✶✷ ✵ ✏✌✗✹✸ 21 ✺✽✢☛ ✼ ✸✾✗✹✒✙✢✠✕✹✸✳✿ 19 ✢✠ ✼ ✕✴✓✩✜✮✗❁✬✌✚❚✕❁✿ ❂★✏✌✒✹✒✮✢☛ ❅ ❆✩✢ ❈ ✏✠✚✥✕❊❉❋✏✠✭●✢☛✚ ✟✝ ✷■❍ ✿ ❏✌✬✩▲☛✬ ✒✹✿ ▼❖❂ ❪ ✵❆✺✽❇r■✽❁✷❏✂❃☎❊✯■ ✸◆✥ ✼✾✸❄➆✷❃❄✿❑✺ 1000 = 10x + 25y ✷✵ ❅✷❋❍✼✾Ï❄❅❥✸ ❵ ■❄✺✽Ï❄❅❥✸✔❏✷❋✦✸ ✥ ❵ ✸❑ ❀✂❃❆❋❘❊ ✸➭✧ ❊⑤❇●✸❹❅❄❊●❋❉✶④❋❍✼ ✸✽★ ✸❹❅✂✿✂✸✦❜♠❃❆❋❍✼❞❏✂✺◆❇❈■✽❁✷❏✂❃☎❊✯■ ✸◆✥ ✼✾✸❄➆❥✶❍✺✤⑧❆✺☎⑦ ✶✹✸➭❅✂❇❈▼✔❋❍✿❄❋❉▼❺✺✻✶✹✸❑❀✷✸ ❀✷❃❆❋④❊❈❀✂❃❄✿ ❵ ✸➭✧ ❊⑤❇●✸✔✼✮❅✂❏ ✸◆★ ❇⑨❋✹✸➭❅✂❇●✸❺❃❆❅ ✸◆★ ➄➭✺◆✶❍✸ ✺ ✥ ❪ ✵❄❃❆❅✂❇❷❊⑤❇●❃❆❅❆⑧❄✸◆❇★✶❍✺ ▲✂❃❄❇●✿✂✸✔▼✔❋❍✿❄❋❉▼❺✺✻✶✹✸❆➆✂❋❉x ✶➐✼✮❅✡✠✔❊❈❀✷✸✤❊⑤❇●❃❆❅❆⑧❄✸✻❇★✶❉✺✔❏❄✶❉❅✂✼❞❏✂✸➭❊●❋❘❊⑤✸◗⑧❆✺◆✶❍✸✻❅✂❇✖❀✷1✸ ❏❥❃❆❅✂❇❷✶❉✺☎Ï❆❅❥✸✻✶④✶✹✸ x ❅✷✶❘❊●❋❍❏❄✶❉❋ ✸❹ Ô ★ ❏✂✺◆❇✘✶❍✺ ✶✹✸❹❇⑨✺◆❏✂❏✂❃❄❇⑨❊✖❀❆❅ ❵ ❃✷☛✸ ✠ ❵ ❋✹✸✻✿❆❊✖❀✷✸ ✸Ý❊✖❀❄❅ ❵ ❃✷☛✸ ✠ ❵ ❋✹✸✻✿❆❊✖❀✷✸ Õ✘▼❑ x y 10/25  ✁ Ý  ⑧❆✺◆✶❍✸✻❅✂❇❻❀✷✸ ❀✂❃❄✿✷✿✂✸❈❅✂✿✦✿✂❃❄▼❺▲✷❇●✸❞✿✷✺✻❊●❅✂❇●✸➭✶ ❪❥ã ✺❖❏✷❇●✸◆▼✔❋✦✸✻✥ ❇●✸★⑧❆✺◆✶❍✸✻❅✂❇❻❀✷✸ ❏❥❃❆❅✂❇✎✶❉✺☎Ï❆❅❥✸✻✶④✶✹✸ ✸✻✼✯❊❷❅✂x✿✢✿✂❃❄▼❂▲❄❇●✸✔✿✷✺➭❊●❅✂❇●✸✻✶✎✸◆✼⑤❊ ❪❻ã ✺❑▲✷❃❄❇⑤✿✂✸❹❋❍✿❄❜ ✸✻★ ❇●❋❍✸✻❅✂❇●✸✔✸◆✼⑤❊✖❀✂❃❄x✿ ❵ ➆q✸➭❊❷✶⑩❰ ✸ ★ ❵ ✺✽❇Ò❊ 0.4x ❪ 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➆✽③✤✸➝✼✾✸✽✸❞❊✯■❄✺✻❊ k ≥ 315 ❋❍✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁❺■✷❃❆✶❍❀✷✼❾a③✤= ■✷✸✻✿b = c =151 ❊✯■❄✺✻❊❾❋❉✼➭➆ k=3   Ô ✁➁Õ 125 125 125 16 15 2003 2003 2003 ❪ abc(a +b +c ) ≤ (a +b +c ) ❒ ❊❻③◗❋④✶❉✶❄❊✯■✷✸◆✿✔❜♠❃❆✶❉✶❍❃✽③ ❊✯■❄✺✻❊ 15 ❋❉✼r❊✯■✷✸➝▼✔❋❍✿❄❋❉▼❑❅✂▼➀❏✂❃❄✼✾✼✯❋✹▲❆✶✹✸✖⑧❆✺◆✶④❅❥✸✤❃❆❜ ❪ × ❅❥✸➸❊⑤❃✞✼⑨❁❄▼❺▼❺✸➭❊⑤❇①❁➉3➆➝③✤✸❢▼❑✺➭❁✞✺✽✼✮✼✮❅✂▼❺✸Ü③◗❋❘❊✯■✷❃❆❅❄❊✢✶✹❃❄✼✮✼➈❃❆❜✔➄✻k✸✻✿✂✸◆❇⑨✺✻✶❉❋❘❊⑩❁ ❊✯■❄✺➭❊ ❪✚❸ ■✷✸◆✿q➆❄✺✽❏✷❏✷✶ ❁❄❋❉✿✂➄ ✠➐■✷✸◆▲◆❁✷✼✾■✷✸✱⑧q❰ ✼ ❒ ✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁➉➆☎③✤✸➝➄✻✸Ý❊ a≥b≥c a2003 + b2003 + c2003 ✬❃ ✞❄❁➸❊✯■✷✸ ❫ â = ≥ a3 · a2000 + b3 · b2000 + c3 · c2000 a3 + b + c a2000 + b2000 + c2000 3 ❪ ❒ ✿✂✸✽Ï❆❅✂✺◆✶④❋④❊①❁q➆★③✤✸⑥■❄✺➭⑧❄✸ ✡ ✘â ➆❞✺✽✿✂❀ ▲◆❁❛❊✯■✷✸ a + b3 + c3 ≥ 3abc ✵❄❃✽③✤✸◆❇★â⑥✸◆✺◆✿ ❒ ✿✂✸✽Ï❆❅✂✺◆✶④❋④❊①❁q➆ a2000 + b2000 + c2000 ≥ ✠➐❃❄▼❺▲❄❋❉✿❄❋❍✿✂➄◗❃❆❅✂❇r❇●✸✻✼✮❅✷✶❘❊●✼Ý➆✽③✤✸➝➄✻✸➭❊ a2003 + b2003 + c2003 ≥ abc a125 + b125 + c125 16 a125 + b125 + c125 ❪ 16 ➆ ❜✹❇●❃❄▼✌③✤■❆❋ ❵ ■ Ô ✁ÝÕ✎❜♠❃❆✶④✶✹❃✽③➝✼ ❪ ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✾✚☛✌☞✷✟ ✖✤✭ ✟✂✭✮✧ ✟✂✺ ✒✌✼★✏☞✤ ✘ ✧ ✑✙☛ ✜❃✼✡❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✏ ✩✂❆✂✭ ✩✽✒ ✟ ✖✗✏ ✺❃✟✂✪❊✟✺✘ ✱ ❀✖✛ ✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✕✜☞ ✑✂✁ ✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ✡✼ ✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ✼✦✔ ✑✙☛✌✘✖✍ ✤✰✤ ✘✥✾ ✴ ✜✒✦ ✩ ✜❃❂ ✑✖❈❃✍ ✘ ✤ ✣✦✍✏✱ ❀ ✴ ✩ ✺ ✔ ✟ ✒ ✟✆✱✔✺ ✺ ✩✽✼✡✖ ✑✚✠ ✜ ✘ ✼✦❆✽✦✳✤ ✘ ✬✞✜ ✣ ❀ ✴ ✱ ✥ ❀ ✸ ✖✹✒ ✱ ✏ ✼ ✍ ✍ ☛✌☛✒✑✚✠ ✦ ✍ ✏ ✑✚✠ ✕ ✛ ✜✒✦ ✘ ✏ ✕ ✤ ✕ ✜ ✸✲✘✖✍ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✕ ☞ ✼✏✧ ✑ ✢ ✓ ✍ ✘ ✼ ✍❍✶ ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✆✟✆✺ ✒ ✴ ✩✦✖ ✧ ✟❊✪✬✶ ✸ ✏☞✼ ✸ ✦ ☛ ✠☞✓ ✍ ✘ ✜ ✘✲✫ ❂ ☞☞❅❆✘ ✤ ☛✎✍✔✠☞❅ ✼ ✱✗✘ ✘✚☛ ☛ ✦ ✠ ✬ ✰✙✼ ✟✡✠☞☛✒✕ ✦ ✍ ✤ ✣ ✒ ✶★✍ ✺ ✩ ✶✰✪✙✘ ✼✝✔✥✦ ✑ ✑ ✰ ✓ ☞✙✘ ✼ ✪✙✧ ✼ ✸ ✏ ✟✤✣ ✧ ✶ ✩ ✺ ✏ ❀ ✴✬✺ ✶ ✏✑✔✮✩✦✖ ✘ ✼ ✪ ✧ ✼ ✸ ✏ ✼✟ ✣ ✺ ❃ ✱ ✳✽✴✷✶✹✸ ✼ ✥✥✑☞✓ ✰ ❀ ✑✙❅❆❅ ✠✙✘✖✍ ✕ ☞ ❀ ✑☞✓ ✓ ✜❃❂✖✜❃✼ ✍ ✘✿✕ ✜✒✦ ✴ ✤ ❈ ✜ ✘ ✼✢❆ ✺ ✼ ✸ ✏ ✟✤✣ ✤ ✘✿✾ ✕✜✛ ✜ ✔✥✤ ☞☞☛✎✍ ✾ ✜❃✼ ✙ ✢✥✦ ✑ ✢ ✑✙☛ ✜✒✦✒❋ ✏ ✜ ❈ ✜✒✦✳✤ ✓ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜✒✦ ☛ ❂☞✤ ❈ ✜✡❂ ✜ ✘ ✜✒✦✳✤ ✓ ✍ ✩ ✤ ✕ ✍✗✑✙✘✚☛ ❋✮✧❄✤ ✘✥✑✚✠✙☛ ✠✙☛ ✜ ✾❆✕✜✛ ✜ ☛ ✤ ❅ ✜✡✤ ✢✚✢✥✦ ✑ ✤✑✬ ✛ ✤ ☛❊✍ ✘ ✑✚✠ ✦ ✁ ✜✒✤ ✕✳✠ ✦✌✜ ✾ ☛✒✑☞✓✔✠✖✕ ✍✗✑✙✘❇✕✔✑ ✢✥✦ ✑✖❈ ✜ ✜✕ ✛ ✤ ✕✥✍ ✁ x ✼ x ✼ ✼ x ✤☞✦✌✜✂✢ ✑✙☛✎✍ ✕ ✍ ❈ ✜✡✦✌✜✒✤ ✓✥✘✿✠✙❅❀☛ ✜✒✦ ☛ ✼✽❈ ✛ ✜✒✦✌✜ n ≥ 2✼✿✤ ✘✿✾ ✍ ✁ p ✤ ✘✿✾ ❅ ☛ ✜✒✦ 1☛✂☛ ✠ 2✬ ✛ ✕ ✛ ✤ ✕ qn− ≥ −n/p✼ ✕✜✛ ✜ ✘ ✕ ✛ ✜ ☛✌❅ ✤ ✓ ✓ ✜ ☛✒✕✻❈ ✤ ✓✔✠ ✜ ✑✂✁✻✕ ✛ ✜✙✬ ✑✙✘✚☛✒✕ ✤ ✘✥✕ ✤✙✦✌✜✆✢ 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8t3 (t − 2) ❍❘✿▼❁✳❳❖✸ ❃❵ ❂✹✮✭❇✳❉●t▼✿ ✽❾❙❣❏€✾❈t❂❋€❍✬✿✐❃✍❉✼❁✳❋❣✾✭❁✭t ❙❀✿✐❃ t = ❉✼❁✳❋ x = y = z ❄ ✽❖❏✭❉✮✽✯✿▼❍✮❨✼✿▼❃✍❉❊❁✳❋ ❵ ✾✭❁✭t ❙❶✿▼t❃ > x=y=z=1 ❅✹❆ ❇❉❈❊❇❉❈❋❆❍●❋■❑❏✂▲◆▼✻❅✎❖✸€◗❅✎❘❚❙✷❅✎❯❲❱❨❳✖❩❋❬❑❭❃❪❫❈❑❇❉■✯❳❚❴❑❅✸❳❛❵✬❩❉❅✠❜❞❲❝❩ ❡✵❢✵€✠❡✬❱❛❅✎❖❀❩❲❯✯❅✎❣✲❅✐❤✠❥❲❴◗❦ ❳✛❵✑❭❲❧♠●❑■❉♥✜❇♦❧♠♣♠▼✷❈❋q ❑❩ ❬❋♥✜❬✪r♦■❋●❋❈❋❳❲❩❑❬❋♥✜❬✪r♦■❋●❋❈❋❳✫s❀❈❑❇❨❭◗❧ ❬✖❬❑❭☛❏✉t❛■❉♥✭✈✯■✯✇❲❈◗●✯❧ ❭❲❬❋❳✵①②❥✜❴☛t✛❡✵❯❚s❲❅✎❱❨❅✐❥✭❯❲❯◗❡◆❳❲❖✠❈✵③❲■❉❭◗❳✫❢◆♥✜❬❋❭✑④⑤■✪❜✑❴☛t❛❥✜⑥⑦❴✸❵✸❖✲❱◆❥❍❩❫❳ ①✞❧ ❇❨❇❉❈✵③❋♥✜❧⑧❩◗❈✵③❲♣ ⑨✑■❉♥⑤❭⑩❩◗♣ ❬◗♣✭■⑩❵✬❭◗❧❍●❋■❉♥✜❇♦❧❍♣ ▼❋❳②❪❫❈❫❶✫❆ ❧ ❭❲❳❷①❹❸❀❳❷❵✬❩❉❅✠❜✓❺✐❅✐❯◗❱◗t❛❡✫❖⑩❪♦❅✲❣✛❸✉❵✬❩❋❳❻❵✑♥⑤❇❫③❋❆ ❧ ❭☛■❉❭✬❼ ✇◆▼❋❽❃❭✵❬❋❇♦❧✭③❋❽⑦❳✉❥♠❭❲❭✵❇❉▲◆♥✯③◗④✜❾❑❳✖❅✐③❑❇❉♣ ♥✜❧ ❬❉❜✛€✠❡✫❡✫❼✯❺❚❅✎❥❿❯✯❅✉❵✑❳✐t✛❈❑❭◗✇✆€✠❈❑❭◗✇❋❳✉❴❲⑨❲❧ ❭✵❬❉❜❃❱◆❸✹①➀❯❲❡✫❸✖❣✛❤☛❳✐s☛♥❨❈❲❈❑❾◆❆ ▼❑❭◗❳ ❣✛❙✵❳❞❵❀❩✯❅✸❜❃➁❀❡✵❘✻❵✸❯✯❅➂❣✻➃✉①✓❵✠❖✲❱◆❙✵❳❃❘❚❈◗●❋■❉♥✜❳✼⑥❋❅✹❳❞❵✬❩❉❅✠❜❚❪❋❸✲❡✵❯⑧❩✵❴☛t❛❯✵❸✸❩❲s❀❡✵❖✹❤☛❳❃s☛❬◆▼❋❇♦❧❍❏✵■✯❳✷❣✛❙✵❳✂❵❀❩✯❅✸❜ ❩☛❱❨❅✲❣➄❺❚❅✐❤✸❸✖❣✐❳✛①☎❬◗④✭❬❫❆❍■❉❇❉♣❍■❉♥✼❴☛❈❋❆ ❆♠■✯✇❲■✯❳✻❩❲♣⑤➃❿⑥❲❬❲③❋❆ ❳⑦①⑧❣✐❳✼❵✬❩❉❅✠❜⑦❙✖❵✠❢✵❡✵❥❿➅◆t✎❅✐❸✠❳✉❇❉♣✜③❲❏✵■❉❭☛♣ ❳❃❘❚❈❑❭➆①✞❧ ❆ ❆ ❇ ❴☛❈❋❆ ❆♠■✯✇❋❧ ❬❲♣❍■❻❥♠❭❲❇❉♣ ❧♠♣⑤③◗♣✭■✯❳✱❱❋❈❑♥❨❈❑❭✑♣❍❈❋❳➆❸✖❣✎❜✥❱◗❥♦❱✑❵➇➅◗➁✑❸✹❣✲❅✐❖✐❵☛❳☎❴☛❈❑❽ ❬❑❦ ❭☛■✵❇❉➈ ♣ ❧ ❳②❖✠❈❑❽❃❬❑❭◗❧ ❬❫❳⑧❬❋❭✑❏➉s✠❸✲❤✠❘✠❅✲❣ ❥⑤❸✹❣❛❥❨❱ ➈❀✹➊❅ ❳❀s✠③❲④✭⑨✵❬❋♥❨■❉❇❉♣ ❳❀❖✠❈❑❽❃❬❑❭◗❧ ❬❉❜✬❬❋❭✑❏❃♣♠⑨☛■✎❶☛♥❨❈❫❶❀❈❑❇❉■❉♥❉➃ ❯❲■❑❈❑❭◗✇➋♥❨■❉❽❃❬❋♥⑤❾✵■❑❏❷♣ ⑨✵❬◗♣✆♣ ⑨✑■➋♣❍➌❿❈✵❼♦●❉❬❋♥✜❧ ❬◗▲❑❆❍■②❬❑❭❲❬❋❆♠❈❋✇✵③◗■✓❈❋q❊➍✵❭✑❏❑❧ ❭❲✇❻♣♠⑨☛■❹❽❃❬✪➎❑❧ ❽✂③❋❽➏●❉❬❫❆✭③◗■➋❈❋q 1 q✭❈❑♥ x❳ y > ⑨✵❬❋❇✖❬❋❭✛❧ ❭☛♣✭■❉♥❨■❉❇❉♣ ❧ ❭◗✇❚❬❑❭❲❇✯➌❿■❉♥⑤➐⑧♣ ⑨✑■✎❽❃❬✪➎❑❧ ❽✂③❋❽➉❈❲④♦④❨③❑♥✜❇ − x + y + (x +√1)(y + 1) ❬❲♣ x = y = (1 + 5)❳❀♣♠⑨☛■✐✇❲❈❋❆♠❏✵■❉❭❃♥✜❬◗♣ ❧♠❈✫➃ ❪✯❬❋❭✑❈✵③❋❇❃❇❨⑨✑❈◗➌❿■❑❏✥♣♠⑨❲❬❲♣❛♣♠⑨☛■❊✇❋❧♠●❑■❉❭☎❧ ❭✑■❑➑✫③❋❬❋❆ ❧❍♣ ▼❞❬❋❆ ❇❉❈✆⑨☛❈❋❆❍❏◆❇✷➌✎⑨☛■❉❭ x❳ y ❳ z > −1 ❬❋❇⑦❆❍❈❑❭◗✇✆❬❋❇ √ ➃✸t✛■✹❬❋❆ ❇❉❈✉④⑤❈❑❭✵❇♦❧♠❏✵■❉♥❨■❑❏✉♣♠⑨☛■✖❽✼❈❑♥❨■✸✇❲■❉❭☛■❉♥✜❬❋❆❫❶☛♥❨❈❲▲❑❆❍■❉❽❷❈❋q☛■❉❇❉♣ ❬❲▲❑❆ ❧ ❇❨⑨◗❧ ❭◗✇✲❧ ❭✑■❑➑✫③❋❬❋❆ ❧❍♣ ❧❍■❉❇ x+y ❈❋q✠♣♠⑨☛■❛+z ♣♠▼❉❶❀≥■ F (x,13−4 ❳✬➌✎⑨✑■❉♥❨■ y, z; a, b) ≤ 1/c 1 − x+y+z+a (x + b)(y + b)(z + b) q✭❈❑♥✠❶❀❈❑❇♦❧❍♣ ❧❍●❋■❚♥❨■❉❬❫❆✫❭✬③❋❽✼▲✵■❉♥✜❇ x❳ y ❳ z ❳✑❬❋❭✑❏❃④⑤❈❑❭✵❇❉♣ ❬❑❭☛♣ ❇ a❳ b❳ c ➃✖❥ ❭✻❶☛❬❋♥✪♣ ❧♠④✪③❫❆ ❬❋♥✜❳✑⑨✑■✲❶☛♥❨❈◗●❑■❑❏⑦➒ ♣♠⑨❲❬❲♣ F (x, y, z; a, b) =  ✖✟   ✻✍✾ ✠✟ ❈ ✍ ✕ ✛ ✜ ✠ ✤ ✓ ✍ ✕ ☞✹✍ ✁ ✤ ✘✿✾ ✑✙✘ ✓ ☞ ✍ ✁ x = y = z = (1 + √5) ❋ ✗ ✍ ✜ ✕ ✛ ✠ ❈ ✜ ✤ ✓ ✍✗✕✜☞✹✍ ✁ ✤ ✘✿✾❆✑✙✘ ✓ ☞ ✍ ✁ x = y = z = ❋ F (x, y, z; 16, 2) √ ✻✍✍✍✾ ✠ ✤ ✓ ✍✗✕✜☞✹✍ ✁ ✤ ✘✿✾❆✑✙✘ ✓ ☞ ✍ ✁ x = y = z = √93−3 ❋ 143 93 ❈ ✍✗✜✕ ✛ ✜ − 31 F (x, y, z; 30, 3) ≤ 2058 6174 ✤ ❂ ✑✙✘ ✜☎✄☞✢✥✦✌✜ ☛✌☛ ✜ ✾ ✕✜✛ ✜ ✑ ✢ ✍ ✘✖✍ ✑✙✘ ✕ ✛ ✤ ✕✆✜✕ ✛✖✍ ☛ ✰ ✍ ✘✥✾ ✑✂✁ ✢✥✦ ✑✡☛✙✓ ✜ ❅ ☛✸✛✿✑✚✠ ✓ ✾ ✘✿✑ ✕✎☛ ✜ ✢ ✠✡☛✙✓ ✍ ☛✸✛ ✜ 2✾ ☛✎✍ ✘ ✬✞✜   ✕ ✛ ✜✒✦✌✜✂✤☞✦✌✜✮❈✹✜ ✓ ✓ ✫ ✰ ✘✥✑ ❈ ✘ ✤ ✓ ❂ ✑ ✦ ✍ ✕ ✛✚❅❆☛ ✼ ✘✿✑ ❈ ✍ ✘ ✬ ✓✔✠✖✾ ✜ ✾✹✍ ✘✷❅❇✑ ✾ ✜✒✦ ✘✬☛✒✑✂✁✔✕ ❈✂✤☞✦✌✜❃✼ ✕✜✛ ✤ ✕✥☛✒✑☞✓✗❈ ✜✰✢✥✦ ✑✡☛✙✓ ✜ ❅❆☛✻☛ ✠ ✬ ✛ ✤ ☛❊✕✜✛ ✜ ☛ ✜✂✁☞❋ ✜ ✍ ✘✥❈✒✍✗✕ ✜ ✑✚✠ ✦✮✦✌✜✒✤ ✾ ✜✒✦ ☛✰✕✔✑ ☎✜ ✄☞✢✥✦✌✜ ☛✌☛✰✜✕ ✛ ✜ ✍ ✦ ✑ ✢ ✍ ✘✖✍ ✑✙✘ ☛ ✤ ☛✚✑✚✠ ✕ ❈ ✛ ✜ ✕✜✛ ✜✒✦☎✄✝✆✟✞✂✠☛✡☎☞ ✌✎✍✑✏✓✒✕✔✗✖✙✘✝✏ ☛✸✛✿✑✚✠ ✓ ✾ ✬ ✑✙✘✥✕ ✍ ✘✲✠ ✜ ✕✔✑ ✢ ✠✑☛✙✓ ✍ ☛✸✛ ☛ ✠ ✬ ✛ ✢✥✦ ✡✑ ☛✙✓ ✜ ❅❆☛ ❋ ✂✖➦✁  ✍ ❪ ✝  ✄✂ ✂✠✂✦ß ☎    ✷➆✽  ✂☎✁ ☞ ❳✭●✏ ✪ ✏✮✸☛✢✮✜ ❍ ❂✖✭■✗✹✸ ✕✘✗✘✚✥✢❬✒ ❈ ✏✠✭❬✕✘✗ ✷ ✗✹✿ ❖ ✬ ✒✘✬ ✩✗❁✬ ✚✩✗✧▲✌✢☛✭■✸✾✗✔✕ ❍ ✏ ❇✬✮✭✔❆✑✏✩▲☛✗✹✸ ✕✙✢☛✿✜▼ ✏✠❉❪✬✮✚✩✗❁✬✷❪ ã ✸➭❊ ▲✂✸◗✺➝❜❍❅✂✿ ❵ ❊●❋❍❃❄✿❺✼✯❅ ❵ ■❹❊✯■❄✺✻❊ √ − 11) ✠✟ (5 ≤ 125 F (x, y, z; 2, 1) ≤ ✻✍✍✾ ✝ ✝ ❳➥✿➡ ✠✟ ➝ f : 0, ✣➞ ❳➻ ❶➦ →  2005 f x + y2 ≥ y + f (x) ➆ ❃ ❪ ✎❋❘⑧❄✸❷✺◆✿➝✸ Ñ ✺◆▼❺❏❄✶✹✸ ✺✽✿✂❀ ❜♠❃❄❇➐✺✻✶❉✶◆❇●✸◆✺✻✶ ✺◆✿✂❀ ③◗❋④❊✯■ 1 ❃❆❜q✼✮❅ ❵ ■✔✺◗❜❍❅✂x✿ ❵ ❊●❋✹❃❄✿qy➆✷❃❄❇❾✼✱■✷x❃✽③ ∈ ❊✯■❄0,✺✻❊r2005 ✿✂❃✔✼✯❅ ❵ ■✔❜❍x+y ❅✂✿ ❵ ❊●❋❍❃❄∈ ✿❺✸ Ñ 0,❋❍✼⑤●❊ 2005 ✼ ❪ ✦➞➞ ✷➻ ✼➻ ❙➁❪ ➝ ❀➯ ✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚ ✆☎ ✄ ❏✤✗ ❍ ❉❋✏✖✜✮✗ ✥✢✮✜ ✥✏❳✓ ✿ ❳✏✌✒ ❘❂★✏✠❉❪❉ ✓✮✚✩✗✔✕ ❍ ❂★✏✌✒✹✒✙✢☛❆✩✢☛✿ ✕ ✥✢✞✢✮✜✮✗✧✕✧✏✠✭ ❍ ➤ ✗✘✚❚✕✙✢✤✭ ❯ ✬✑▲✌✢☛✚✖✿ ❄➦ ✻➲ ✲✣❏ ✿ ✎ ✿ ❸ ✷■ ✸❶❜✹✺ ❵ ❊➝❊✯■❄✺➭❊❹✿✂❃⑥✼✮❅ ❵ ■♦❜❍❅✂✿ ❵ ❊●❋✹❃❄✿➸✸ Ñ ❋❉✼✯❊⑨✼✦❜♠❃❆✶❉✶❍❃✽③➝✼✦❜✹❇●❃❄▼➥❊✯■❆❋❍✼✔▼❺❃❄❇●✸❯➄✻✸✻✿✂✸◆❇⑨✺✻✶ ❵ ✺◆✿➈✼✾✺➭❊●❋❍✼✯❜④❁ ✺✽✿✂❀ ➆✚✿✂❃❙❜❍❅✂✿ ❵ ❊●❋✹❃❄✿ ❇●✸◆✼✯❅✷✶④❊ ❪ Ö❄❃❄❇❖✺◆✿☎❁ ε > 0❜♠❃❄❇✚✺◆✶④✶✷r❇●✸◆> ✺✽✿✂❀ f : [0, ε] →   ❪ ✻ ✺ ✶ ◗ ③ ❘ ❋ ✯ ❊ ■ ◆ ✺ ✂ ✿ ❀ r f (x +Ö❄y❃❄r❇❾)❊✯≥ ■✷✸✤y❏✷❅✂+❇●❏❥f❃❄(x) ✼✾✸❹❃❆❜ ❵ ❃❄✿❆❊⑤❇⑨✺☎❀❆❋ ❵ x❊●❋❍❃❄✿q➆✷✶✹y✸Ý❊✘❅✂✼✖✺◆x✼✾✼✯∈ ❅✂▼❂[0, ✸◗❊✯ε]■❄✺➭❊❷✼✮❅ x❵ ■❑+✺✤y❜❍❅✂✿ ∈❵ ❊●[0, ❋✹❃❄✿ ε] ❪ ➋✻❋❍✿ ❵ f✸ ✸ Ñ ❋❍✼⑤❊●✼ ❪❾Þ ✸◆✿ ❵ ✸❄➆ ➆☎▲✷✸ ❵ ✺◆❅✂✼✾✸ f (ε) − f (0) > f (ε) = f (0 + ε) = ε r + f (0) ∞ ❵ ❃❄✿☎⑧❄✸◆❇●➄✻✸✻✼➭➆➁❊✯■✷✸◆❇●✸❷✸ Ñ ❋❍✼⑤❊●✼ ✼✮✡❅ ✠ ❵ ❋✹✸✻✿❆❊●✶❘❁❈✶❉✺✽❇●➄✻✸✘✼✱❃ ❀❆❋❘⑧❄✸✻❇●➄✻✸◆✼✴✺✽✿✂❀ ∞ n=1 ❊✯■❄✺✻❊ ❊✯■✷✸◆✿ n n=1 ε L r N n=1 nr N =L ❪✚❽ > f (ε)−f (0) n R ∈ [0, ε] ➆❄✺◆✿✂❀ N ✿✖❊✯■✷✸★❃☎❊✯■✷✸✻❇q■❄✺✽✿✂❀➉➆➭❋④❜ R = ε− ❪ ε ∈ [0, ε] Lnr ➅❶✸➝✿✂❃✽③Ù❃✷▲✷✼✾✸◆❇①⑧❄n=1 ✸❞❊✯■❄✺✻❊❾❋④❜ x1 + x2 + · · · + xk ∈ [0, ε] ε L N n=1 ➆ >0 nr ➆☎❊✯■✷✸✻✿ f (x1 + x2 + · · · + xk ) ≥ x1r + f (x2 + x3 + · · · + xk ) 1 ≥ x1r + x2r + f (x3 + x4 + · · · + xk ) k−1 ≥ ❫ ❏✂❏❄✶❘❁❆❋❍✿✂➄❈❊✯■❆❋❍✼❷❏✷❇●❃❄❏❥✸✻❇⑨❊①❁❹❁❄❋❍✸✻✶❍❀✷✼ N f (ε) = f 0+ n=1 ≥ Rr + ✺ ❵ ❃❄✿❆❊⑤❇⑨✺☎❀❆❋ ❵ ❊●❋❍❃❄✿ ❪ ε L i=1 ε +R Lnr r N n=1 xir + f (xk ) ❪ N ≥ Rr + f + + f (0) > f (ε) n ➆ n=1 ε Lnr  ✖✟   ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓✗❈ ✜ ✾❀☛✌☞✕✍✏✱ ❀ ✴ ✩ ✺ ✔ ✟ ✒ ✟✂✱✳✺✖✺ ✩✙✼✹✖ ✑✚✠ ✜ ✘ ✼✎❆✽✦✳✤ ✘ ✬✞✜ ✣ ✒ ✶★✍ ✺ ✩ ✶✰✪✙✘ ✼✹✔✥✦ ✑ ✑ ✰ ✓ ☞☞✘ ✼ ✙ ✪ ✧ ✼ ✸ ✏ ✟✤✣ ✧ ✶ ✩ ✺ ✏ ❀ ✴✬✺ ✶ ✏✑✔✮✩✦✖ ✘ ✼✼✔✥✤ ☞☞☛✎✍ ✾ ✜❃✼ ✪✙✧ ✼ ✸ ✏ ✟✤✣✤✧✰✸ ❆✚✩ ✱✷✳✽✴✂✟✆✶ ✼ ☛✒✕✳✠ ✾ ✜ ✘✥✕ ✼ ✭✡✙✑ ✘✕✍ ✍ ✓ ✓ ☛ ❀ ✑☞✓ ✓ ✜❃❂ ✍ ✤ ✕ ✜ ✗✱ ✘ ☛✒✕ ✍✗✕✞✠✖✕ ✜❃✼ ✒ ✑ ✦ ✑✙✘✥✕✔✑ ✼ ✶ ✪✎✣ ✤ ✘✥✾❆✕✜✛ ✜✂✢✥✦ ✑ 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✗✙✘✛✚✙✜✣✢✁✤✦✥✄✧✄✧✩★✫✪✭✬✮★✆✯✩✰✆✬✲✱✆✧✴✳✶✵✸✷✔✹✴✺✻✹✄✼✾✽✄✿❁❀✄❂❁❃✸✽✭✿❅❄✴❆❈❇✫❉❋❊❍●■❄✭✷❑❏▲❂✴▼✞◆❖✹✲€✭✽✾✷◗▼❘✵✴❙❚▼✙❯❲❱✾❙✁✢ ❳▲❨ x ✰ y ✰ z ❩✄❬◗❭❋❪✮❫✲❪✮❴✔❪✮❭✭❵❛❩✴❜◗❝ ❞✲❭❡❬◗❭✭❩✴❢❲❪✲❣✮❤❁✐❥❭✭❬✦❦✁❩✭❪✮❧ a ✰ b ✰ c ❩✭❬◗❭❡❩✄❬♠✐✲❝♥❜♠❬✦❩✄❬✖♦♣❬◗❭✴❩✭❢ ✰❥q ❪✲❣✮❤❁✐❥❭✭❬✦❦ ❬◗❫✴❞✲❭r❜ts✲❩❛❜ ✢ a(y + z) + b(z + x) + c(x + y) ≥ 4(xy + yz + zx)(ab + bc + ca) q ✰ ✰ ✉✇✈ ✪ ❳▲❨❍① q ❫✆❜♠❭ ✰ ❭✣❝❈❤ ❫✲❦②❭✣❜ts❥❭❡③♠❫✲❪✮❧✲❝♥❜◗❝④❫✲❪❥❦⑤❜ts✲❩✴❜ x + y + z = ❩✭❪✮❧✠❜ts✲❩✴❜ a b c ❩✄❬◗❭ ❫✲❦t❝✒❜◗❝ ❞✲❭ ❜ts❥❭✭❪❡❜ts❥❭✣❩✄✐✮❫✴❞✲❭✛❝⑥❦⑦❭✄⑧✩❣❥❝♥❞✩❩✴❢④❭✴❪✩❜⑨❜◗❫ ✰ ax + by + cz + (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c ① s✩❝④③✔s⑩❝⑥❦ q ❬◗❫❥✐✲❢❈❭✭❤✶❶✸❷✛❫ ❨ ❜ts❥❭ ✥✭✧✆✧✆❸✛❹✙❺ ❬✦❩✴❝❈❪✲❝⑥❩✄❪❁❻❼❩❛❜ts❥❭✭❤✠❩✴❜◗❝❈③♠❩✴❢✮❽❾❢♥♦✲❤ q ❝❈❩✄❧ ✰ ❵✾❝ ❞✲❭✭❪❋❝⑥❪ ✥✄✧✄✧✩➁ ➋⑤➍❍➎✁➏✮➊ ✤◗✥✭✧✆✧✆➁✣✪❑✬✲➐ ❷ ✳✲✢❲➑ s❥❭✙❦❑❫✩❢✒❣✲❜◗❝④❫✲❪ ❜ts❥❨ ❭✣❿⑤❭✄❹✙③♠❭✭❺ ❤➀✐✮❭✴❬ q ❝❈❦✔❦✔❣✸❭✙❫ ❨❍q❥➂✮q ➃⑦➄✩➅❼➆❾➇④➈✇➉⑩✤✦✥✄➊➌ ✧✄✧✩★✠✪✭✬✄✬✮➁❛✳✲✢ ➓ ❫ ❜ts❥❭ ❬✦❩✭❝⑥❪✲❝❈❩✭❪ ❬◗❫❥✐✲❢❈❭✭❤➒❩ ❭✴❩✄❬✦❦⑤❝⑥❪  ❥✄ ✂ ➦ ✻➲ ➞ ➛✔➡ ➻ ✒➥ r➡✼➻ ✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚ ❂ ❍ ✣✬✌✭■✒✧✢❇✸ ✝ ▼ ✺ ❹❧➯➲ ✗❁❉ ✗✘✚✣✚✩✗✧✢❇✿ ◗✚✑❆✑✢❬✒✧✏ ◗➦ ✦➞ ✷➻ ✦➲ 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− − 2 ≤ − ax − by − cz = (x + y + z)(a + b + c) − ax − by − cz ➆ = a(y + z) + b(z + x) + c(x + y) ✺✽✿✂❀✦❊✯■✷✸❖❋❍✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁✦❜♠❃❆✶❉✶❍❃✽③➝✼ ❪ ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✚ ✾ ☛✌☞✷✟ ✖✤✭ ✟✂✮ ✭ ✧ ✟✂✺ ✒✌✼★✏☞✤ ✘ ✧ ✑✙☛ ✜❃✼✡❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✏ ✩✂❆✂✭ ✩✽✒ ✟ ✖✗✏ ✺❃✟✂✪❊✟✺✘ ✱ ❀✖✛ ✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✕✜☞ ✑✂✁ ✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ✼ ✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ❃ ✼ ✔ ✑✙☛✌✘✖✍ ✤ ✤ ✘✿✾ ✴ ✜✒✦ ✩ ✜❃❂ ✑✖❈❃✍ ✘ ✤ ✣✫✍✏✱ ❀ ✴ ✩ ✺ ✔ ✟ ✒ ✟✂✱✳✺✖✺ ✩✙✼✯✖ ✑✚✠ ✜ ✘ ✼❃❆✽✦✳✤ ✘ ✬✞✜ ✣ ✩ ✭ ✆✟ ✖ ✭ ✭✹✶✂✶✰✺ ✱ ✒✦✒ ✺ ✩✙✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✜✕ ☞★✂✑ ✁ ✖ ✜❃❂ ✍ ✘ ✤ ✼ ✖ ✜❃❂ ✍ ✘ ✤☞✼✚✏✑✭ ✣ ✖ ✱ ❀ ✴❊✟ ✖ ✭ ✱ ❋ ✴ ✩✡✏✶✏☞✼✕✖✿✤ ✘ ✬ ✛✿✑☎✥ ✤ ✓ ✑✙☛ ✯ ✜✒✦ ✾ ✜ ☛ ✼ ❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✤✟ ✣ ✆✟✆✺ ✒ ✴ ✦✩ ✖ ✧ ✟❊✪✬✶ ✸ ✏☞✼ ✸ ✦ ☛ ✠☞✓ ✍ ✘ ✜ ✘ ❂ ☞✙❅❆✘ ✤ ☛✎✍ ✠✙❅ ✼ ✱ ✘✚✘ ☛ ☛ ✦ ✠ ✬ ✰✽✼ ✟✆✠✙☛✒✕ ✦ ✍ ✤ ✣ ✖ ✶ ✪✙✘✻✳✽✴ ✩ ✪✙✘ ✧ ✱ ✟✡✶ ✼ ✧ ✤ ✘ ❂ ✩ ✛✿✑✚✠ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✜✕ ☞ ✼ ✧ ✤ ✘ ❂ ✩ ✛✿✑✚✠ ✼ ❀ ✛✖✍ ✘ ✤ ✣ ✧ ✶ ✩ ✺ ✏✚❀ ✴ ✺✚✶ ✏✡✔✮✩✂✖ ✘ ✼✽✔✥✤ ☞✙☛✎✍✗✾ ✜❃✼ ✪✙✧ ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✏✻✒ ✟❊✪ ✆✟✮✘✻✶ ✪ ✼ ✍ ✡✤ ✬ ✤ ✓ ✜ ☛✒✕ ✜✒✦ ❀ ✑☞✓ ✓ ✜❃❂✖✜❃✼ ✏ ✕ ❋ ✥ ✤ ✠☞✓ ✼ ✍ ✪ ✼ ✸ ✏ ✤ ✟ ✣ ✔ ✱ ✪ ✳✽✴✂✟✆✶ ✼ ✧✥✠☞✘✽✧ ✠ ✤ ✘ ✴✷✠ ✤ ✳✲✛✥✑✙✘ ❂ ✸✲✘✖✍ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✕ ☞ ✑✂✁ ✒✙✶✜ ✬ ✛✚✘✥✑☞✓ ✑ ❂ ☞ ✤ ✘✥✾ ✏✡✬ ✍ ✜ ✘ ✬✎✜❃✼ ❆✠ ✛ ✤ ✘ ✼ ✴✬✡✠ ☛ ✜ ✍ ✼✷❀ ✛✖✍ ✘ ✤ ✣ ✤ ✘✿✾ ✕ ✛ ✜ ✢✥✦ ✑ ✢ ✑✙☛ ✜✒✦✒❋❅✒ ✛ ✜✒✦✌✜❀❈✂✤ ☛ ✑✙✘ ✜ ✍ ✘ ✬ ✑ ✦✞✦✌✜✶✬ ✕ ☛ ✡✠ ☛✽❅ ✍ ☛✌☛✎✍ ✑✙✘ ❋ ✭✡✑ ✑☞✓ ✍✗✕✳✕ ✓ ✜✂✢✥✦ ✑✖❈ ✜ ✾❆✜✕ ✛ ✤ ✕✻✜✕ ✛ ✜✬✜ ✠ ✤ ✓ ✍ ✕ ☞ ✛✿✑☞✓✗✾✽☛❊✍ ✁ ✤ ✘✿✾ ✑✙✘✖✓ ☞ ✍ ✁ ✜✕ ✛ ✜ ❈ ✜✶✬ ✕ ✑ ✦ ☛ ✤ ✘✿✾ ✕ ✤ ✕ ✍✗✑✙b,✘✚c) ☛✬✑✂✁✂✕ ✛ ✜ (x, ✓ ✤ ✕✔y, ✕ ✜✒✦ z)❋ ✤✙✦✌✜ ✓ ✍ ✘ ✜✒✤☞✦ ✓ ☞ ✾ ✜❄✢✮✜ ✘✿✾ ✜ ✘✥✕✂✑ ✦ y = z = ✤ ✘✥✾ b + c = ( ✑ ✦ ✬ ☞ ✬ ✓ ✍ ✬✰✢✮✜✒✦ ❅ ✠✖(a, ✘ ✁✔✑ ✦ x✼ y ✼✥✤ ✘✿✾ z ✬✔✤ ✕ ✘ ☛ ✜✯❈✹✜✒✤ ✰✚✜ ✘ ✜ ✾ ✕✔✁✑   xy + yz + zx ≥ ✤ ✘✿)✾ ✧❃✤ ✘✿✑✚✠☞☛❊✸☛ ✛✿✑ ❈✹✜ ✾ ✜✕ ✛ ✤ ✕ ✕ ✛ ✜✯✬ ✑✙✘✥✾✙✍ ✕ ✍ ✑✙✜ ✻✑ ✦ ✑ ✦ x = −y✾✒❋ y = −z z = −x ✆☎ ✝ ✂ ✆☎ ✝ ✝ ✝ ✠✟  ✂✁☎✄✆✄ ✆ ❵ ✝■⑥✼⑦✼⑦❈♣❣✈✭☎✳♣✠✟❈❨✆☎✭❸❡⑦✑✡✌☞✎✍❘❻✑✏ ❻✼❿✂❽✼➅✓✒✼➌ ✣ ✍❋✳✼➃✭➅✭➌ ✣ ➊✪❼⑤✙✲➋✼➃❊➄⑧✤✮❻✼❿✂❽✫✙✯➂ ✣ ✙✼★✦➋ ✣ ❵ ①❥❁ ❨✗❜♠✸ ❋€✸❊❁✳✾❡✽✴✸❦✽❖❏€✸❝❍❘✿❂❋✳✸●❍ ❨ ❨ ❉✼❍❶❇✳❍❘❇✳❉●t ❬❊❙ ❨ ❨ ❨ ABC BC CA AB a b c ✺✴✸❊❍❘▲✍✸❊❳✴✽✴✿ ❤✭✸✮t ❙✲❵ ❫❊✸✮✽ ❨ ❨ ❬€✸☞✽❖❏€✸☞t❂✸❊❁✳✻★✽❖❏✭❍ ✾❈❃✶✽❖❏€✸◗❉●t✐✽✴✿ ✽✴❇✍❋✳✸●❍✥✽✏✾❀✽❖❏€✸◗❍❘✿❂❋✳✸●❍ ❨ ❨ ❨✭✺✴✸●❍✜▲✳✸✼❳✴✽✴✿ ❤✭✸●t ❙✦❵✟❫❊✸✂h✽ a h❨ b h❨ c 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∠F CK = 90 − γ K ❨✭❍❑✾♠✽❖❏✭❉●✽ ❵ B D C 90◦ − 12 γ > γ γ < 60◦ ✷✹❏€✸❊❁✳✸❑❤✭✸●✺ ❨ ❨✍❉❊❁✳❋ ❉✼✺✴✸❶❋€✸●q✳❁✳✸✼❋✶❨✍❁✳✾❱❅❱❉✮✽■✽✏✸●✺✗❜♠❏€✸●✺✴✸ ◦ ❨✳▲✍✾❈✿▼❁❈✽✴❍ Dt✐✿❂❁✳E ✿❂❍●❵◗⑨✗t▼❍❑✾✶❨ ✿❂❍❚γ❃➍❉❊< ✺■✽❖❏€60 ✸●✺ ❃➍✺✴✾✭❅ ✽❖❏€✸❣ ✸ ✽❖F ❏✭❉❊❁ ✿❂❍✂❨✲❍❑✾❱✽❖❏✭❉✮✽ ▲€✺✴✾€❋✭❇✍❳✏✸✼❋ A✿▼t✐t✍❅◆✸❊✸✮✽✯✽❖❏€F DC A FA ❜☞ ✸❹t▼✿▼❁✳✸ ❉✮✽ ❵ ❧✶❏❈❇✳❍✮❨ ❵ DC B γ ∈ (0◦ , 60◦ ) ✂❄❬ ✞✥❷❚✾❡✽✴✸❹✽❖❏✭❉✮✽ ❵ ❁ ✸●❁✳❳❖✸❈❨ ❵ β < ∠F DC = γ c>b ❵✟❭✭❙❦②④✸●❁✳✸●t▼❉❊❇✳✆ ❍ ☎❡❧✶❏€✸✼✾✭✺✴✸●❅✹❨✼❜♠✸◗❏✭❉✮❤✭✸ ✂❄❳ ✞✲⑨✬❍❘❍❘❇✳❅❱✸❚✽❖❏✭❉●✽ c = ab r✳✺✴✾€❋✭❇✍❳✏✸ F CD = DB CE EA · AF FB = AF CA = FB CB  ❥✄✄  Ô ✼✯❋❍✿ ❵ ✸ CF ✞✂❅❄❊✱➆ ▲❄❋❉✼✱✸ ❵ ❊●✼ Õ ❪rÞ ✸◆✿ ❵ ✸❄➆ b ❪✎❸ ■❆❅✂✼Ý➆ tan β b❪ CD = = DB a tan γ a b b sin β b ❪ Þ ✸◆✿ ❵ ✸❄➆ cos β a ❪❢❸ = = √ = = sin γ c a b ❪❙❸ ■❆cos ❅✂✼Ý➆ γ ➆❻❃❄❇ ab ∠ACK cos β sin β =➆✷➄Ýcos ❋ ⑧❄❋❉✿✂γ➄ sin γ ◦ ❪ sin 2β = sin 2γ β + γ = 90◦ α = 90 ❸ ■✷✸✻✿q➆ ✺✽✿✂❀ AC b = BC a sin β = cos β = ■✷✸◆❇●✸➭❜♠❃❄❇●✸❄➆ ◦ ➆❾❃❄❇ 2β + 2γ = 180 BA = BC √ ab = a b ❪⑥Þ a ✸◆✿ ❵ ✸❄➆ ➆❆✺✽✼❷❇●✸✽Ï❆❅✷❋❍❇●✸◆❀ ❪ ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✾ ☛✌☞ ✏✖✩✦❆✡✭✻✩✷✒ ✟ ✖✗✏ 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x2 x n n |xi − xj | ≤ 8(n − 1)3 (n + 1)(2n2 − 3) n (xi − xj )4 ❵ 15 i,j=1 ✾ ✭ ❦ ❁ ❖ ✽ € ❏ ◆ ✸ ■ ✺ ➍ ✿ ● ✻ ❡ ❏ ❚ ✽ ❘ ❍ ✿❂❋✳✸◆✾❈❃✉✽❖❏€✸❲✿❂❁✳✸✬✮✭❇✳❉●t▼✿ ✽❾❙✣❜◗❉✼❍◗✾✭✺✴✿❂✻✂✿❂❁€❉●t▼t ❙ (n − ▲✳✺■✿❂❁❈✽✴✸✼❋⑩❉✼❍ ❵ 1) ❧✶❏❈✿❂❍❹❜◗❉❊❍❀❁✳✾❡✽✴✸✼❋⑩❬❊❙❪✾❈❇✳✺❹❃❄✸●❉●✽✴❇✳✺✴✸❊❋⑩❍❑✾❈t ❤✭✸❊✺❹❉❊❁✳❋❪❏✭❉✼❍❀❬✳✸❊✸❊❁ (n − 1) ❳❖✾✭✺✴✺✴✸✼❳✴✽✴✸✼❋❲❉✼❬✳✾●❤✭✸✳❵ ✡ i,j=1 ✝✆☎€➅✞✝❹❧✶❏€✸❲❃➍❉❡❳✴✽✴✾✭✺ ➋✭❻❊➊✯✘€❼❂➆❥❻❡➄✧✒✼➌❷✶◗➃✮➊✪❼❄➁✶❽☛✍✉✤❑➃✼➄✶❻✎✘❊❿◆✙✂★❿✍✴❿✬✘✮➊▼➆❂➄✚❽✂➄✖✕✼➌✼➈❱➄€➃❊❿❖➆❉✘❊➈✱✙✠✟❄➄✳➄✭❿✑✒✠✍✵✘❈➉❫✳✠✙ ✣ ✘●❿●❼♦✍■➆❂➃✳❵ ❭✭❙❲❍✏✽✏✺■❉❊✿❂✻●❏❡✽✴❃❄✾✭✺✪❜◗❉❊✺✴❋❱❳✏✾❈❇✳❁❈✽✴✿❂❁✳✻❡❨✼❜♠✸♠✻●✸✂✽✯✽❖❏€✸☞✿❂❋✳✸●❁❈✽✴✿✐✽❥❙ n n n i=1 j=1 n |xi − xj | = n i=1 j=1 ❵ |i − j||xi − xj | ❧✚❏€✸♠❍❖❇✳❅ ✾✭❁❣✽❖❏€✸◗✺✴✿❂✻●❏❡✽✑❏✭❉❊❍ ❁✳✾✭❁✳♥✏✇❘✸●✺✴✾❶✽✏✸●✺✏❅❲❍❊❵✥❢✑❍❘✿▼❁✳✻❚✽❖❏€✸❱r✭✾✼❜♠✸●✺❖♥★②④✸❊❉❊❁ n(n −♥ ✼1) ①❥❁✳❀ ✸ ✮❈❇✳❉❊t✐✿✐✽❥❙❲❉✼❁✳❋❶✽❖❏€✸●❁❣✽❖❏€✸◗❯✚❉● ❇✍❳❘❏✼❙✳ ❳❘❏✼❜◗❉✼✺✪✇✕①❥❁✳✸✬✮✭❇✳❉●t▼✿ ✽❾❙✶❨❡❜♠✸◗✻●✸✂✽ ✔✌ n n n n i=1 j=1 |xi − xj | = 2(n − 1) i=1 j=1 |i − j||xi − xj | n(n − 1)  n n  i=1 j=1 ≤ 2(n − 1)   ≤ √ n−1 √ n n (i − j)2 (xi − xj )2 n(n − 1) n (i − j) i=1 j=1 4 n 21    n (xi − xj ) i=1 j=1 4 ❵  ❥✄✄☎ ❸ ✺✽➃✽❋❉✿✂➄❖❜♠❃❆❅✂❇Ò❊✯■❑❏✂❃✽③✤✸◆❇⑨✼❷✺✽✿✂❀✦❅✂✼✮❋❉✿✂➄❈❊✯■✷✸◗❋✹❀✷✸◆✿❆❊●❋❘❊⑩❁ n n j=1 i=1 (i − j)4 = n2 (n2 − 1)(2n2 − 3) ③✤✸✤❃✷▲☎❊●✺✻❋❍✿✦❊✯■✷✸➝❀✂✸✻✼✮❋❉❇●✸✽❀✔❇●✸◆✼✯❅✷✶④❊ ❪ ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✾ ☛✌☞✷✜✕ ✛ ✜✂✢✥✦ ✑ ✢ ✑✙☛ ✜✒✦✒❋ ✧❃✤ ✘✿✑✚✠☞☛❊✍ ✘✿✾✙✍ ✬✔✤ ✕ ✜ ✾ ✜✕ ✛ ✤ ✕ ✜✕ ✛✖✍ ☛ ✢✥✦ ✑ ✑✂✁ ✤✒✢✚✢ ✓ ✍ ✜ ☛✡✕ ✑ ✤ ✓ ✓ ✢ ✑✙☛✎✍✗✕ ✍✗❈ ✜ ✍ ✘✿✕ ✜❃❂ ✜✒✦ ☛ n ❆ ✑✦ i,j=1 N |xi − xj | ≤ ✠✟ 2N (n − 1)N −2 n2 ✼ ✕ ✛ ✜ ✍ ✘ ✜ ✠ ✤ ✓ ✍✗✕✜☞✹✍ ☛ ✢✥✦ ✑✡☛✙✓ ✜ ❅ N =2  ✂✁  ✆✁ ✆ ❵ ✝■⑥✼⑦✼⑦❈♣❣✈✭☎✳♣✄✂€❨✆☎✭❸❈♦☛✡❹☞✎✍❘❻✑✏ ✑ ✁ ✕✛ ❆ ✽ ✂ ✜ ✺✎✺ ➆ 30 n n j=1 i=1 N >1 ✣ ✕✛ ✤ ✕✿✍ ☛ ✼ n |i − j|N ✁ ✂ ✱ ✍❍✶ ✍ ✘ ✒ ✑ ✰ ☞✖✑ ❋ ❻✼❿✂❽✼➅✓✒✼➌❱➂€➁✲✍■➆▼❿●❼❥❻✑✏✚➁✚❽✫✍✉✤ i,j=1 (xi − xj )N   ✽ ✟✐✍■➃✭➅✼➊❥❽✂➌✬✙✞✟✐✍■➆▼❿●❼❥❻❊➊✜✙✼★✞✏✗❵ ❫❊✸✮✽ ❬✳✸✕❉ ✽✏✺■✿❂❉❊❁✳✻✂t➍✸❈❨❡❉❊❁✳❋♠t❂✸✮✽ ❉✼❁✳❋ ❬€✸❚❉❊❁❡❙☞✽✪❜♠✾◗▲✍✾❈✿▼❁❈✽✴❍✯✿▼❁◗✽❖❏€✸✕▲€t▼❉✼❁✳✸ U✾❈❃✗✽❖❏€✸❲ V✽✏✺■✿❂❉❊❁✳✻✂t➍✸€❵ ❫❊✸✂✽ ❨ ✾❈❃✗✽❖❏€✸❲✽✏✺■✿❂ABC ❉❊❁✳✻✂t➍✸❈❨✗❬❈❇✭✽☞❁✳✾❡✽☞✾✭❁❝✽❖❏€✸◆❍❖✿➍❋€✸❊❍♠ ❨ ❨ ❨ L = BU ∩ CV ❨ L = BV ∩ CU❵✬r✳M =✽❖❏✭CU =✸❊✺■AU ✺✴✾●❤✭✸✥ ❉✮✽✚✽❖❏€∩ ✸✬✽✏AV 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✺✽✿❺▲✂✸❖❜♠❃❆❅✂✿✂❀❺▲◆❁❑✼●③➝✺✽❏✷❏✷❋❉✿✂➄ ➆ u ✺✽✿✂❀ v ß = bv × cu = (v1 u1 , v1 u2 , v3 u1 ) ➆ = cv × au = (v1 u2 , v2 u2 , v2 u3 ) ❪ = av × bu = (v3 u1 , v2 u3 , v3 u3 ) ❸ ■✷✸ ❵ ❃✷❃❄❇●❀❄❋❉✿✷✺✻❊●✸◆✼★❃❆❜➉✶④❋❍✿✂✸✻✼ al bm cn ➋✻❋❍✿ ❵ ✸ ➆❄✺◆✿✂❀ ➆ av = a × v = [0, −v3 , v2 ] ➆ bv = b × v = [v3 , 0, −v1 ] ❪ cv = c × v = [−v2 , v1 , 0] ➆ AL BM ➆❆✺✽✿✂❀ CN ❵ ✺✽✿❑✿✂❃✽③ ▲✷✸◗❜♠❃❆❅✂✿✂❀qß = a × l = [0, −u3 v1 , u1 v2 ] ➆ = b × m = [u2 v3 , 0, −u1 v2 ] ❪ = c × n = [−u2 v3 , u3 v1 , 0] ➆ ➆☎❊✯■✷✸◗✶④❋❍✿✂✸✻✼★✺◆❇●✸ ❵ ❃❄✿ ❵ ❅✂❇⑤❇●✸✻✿❆❊ ❪ Þ al❃❄+ ❵ ❃✷❃❄[0, ❵ ✺◆✿❺▲✂✸❖❜♠❃❆❅✂✿✂❀ ▼❺❃✷bm ➄✻✸◆✿✂+✸◆❃❆cn ❅✂✼ = ❇●❀❆0, ❋❍✿✷✺➭0]❊⑤✸✻✼✖❃❆❜✂❊✯■✷✸ ❵ ✸◆✿❆❊⑤❇●✸➝❃❆❜q❏✂✸◆❇⑨✼✮❏❥✸ ❵ ❊●❋❘⑧❄✸ ▲◆❁✦❊●✺✽➃✽❋❉✿✂➄❈❊✯■✷✸ ❵ ❇●❃❄✼✾✼✘❏✂❇●❃✷❀❆❅ ❵ ❊❷❃❆❜q✺◆✿☎❁✦❊Ò③✤❃✔❃❆❜❥❊✯■✷✸➝✺✽▲✂❃✻⑧❄✸◗✶④❋❍✿✂✸✻✼ ❜♠❃❄❇✘P✸ Ñ ✺✽▼❑❏✷✶❍✸❄➆   p = al × bm = (u1 u3 v1 v2 , u1 u2 v2 v3 , u2 u3 v1 v3 ) ❪ ❒ ✿❆❊⑤✸✻❇ ❵ ■❄✺✽✿✂➄Ý❋❉✿✂➄ ✺✽✿✂❀ ➆➉③✤✸❑❃✷▲❆❊⑨✺◆❋❉✿❙✼✯❋❍▼✔❋❉✶❉✺✽❇✖❇●✸✻✼✮❅✷✶❘❊●✼❖❜♠❃❄❇ ➆ ➆✴✺✽✿✂❀ ■✷✸◆✿ ❵ ✸❄➆☎❊✯■✷✸◆✼✾✸◗✶④❋❍✿✂u✸✻✼❷✺✽❇●✸ v❵ ❃❄✿ ❵ 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(−1)n−1 22n−1  ✂✁  ✂✁ ✆ ❵ ✝■⑥✼⑦✼⑦❈♣❣✈✭☎✳♣✭✂€❨✆☎✭❸❈⑥☛✡✌☞✎✍❘❻✑✏ ❫❊✸✮✽ = (−1)n−1 2n − 2n − − n−1 n ✞✝ ✠✟   ☛✡ ✞✟✐✍■➃❊❿✂❻✹✩✫✙✞☞ ❻✼❿✂❽✼➅✓✒✼➌❣➇⑩➆➍➁ ➃✮➊❄➌ ✦❽✂➄✚➉ ★❽✵✙ ❨ ❨ ❨ ❬✳✸☞✺✴✸❊❉●t✶❁✭❇✳❅❱❬✳✸●✺■❍✑❍✜❉✮✽✴✿❂❍❖❃✐❙✭✿▼❁✳✻ x1 x2 x n n ❉✼❁✳❋ xk = k=1 n x4k = ❵ k=1 r✳✺✴✾❊❤✭✸❚✽❖❏✭❉●✽ n kxk k=1 ≤ n3 (n2 − 1)(3n2 − 7) ❵ 240 ❻❡➈❱➃✼➄❈➆➍➃€❵  ❥✄✬  ✙➤ ➞ ❳➻ ➳ ✼➻ ✖➞ ➭ ✔➻ ➭ ✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚ ✎ ✷ ✗✙✢✤✚ ❍ ✄ ✣✗✘✚ ✣✬✩✏✮✿ ✓✌✚ ✓✌✬✮✚✄❯ ✓✌✬ ✼✦➻ ➞ ✷➻ ➦ ✄ ✥✏✠✚✑❆ ❳➥❺➡ ➻ ❚✚✑✗✙▲✌✢✤✭✔✸●✗✧✕ ❍ ✏ ➁❪ ❸ ✷■ ✸ ✠➉✺◆❅ ❵ ■✽❁✷⑦✾➋ ❵ ■✽③➝✺◆❇ á✖❒ ✿✂✸✽Ï❆❅✂✺◆✶④❋④❊①❁❑✺✽❏✷❏✷✶④❋✹✸◆❀✦❊Ò③◗❋ ❵ ✸❈❁❆❋✹✸➭✶✹❀❄✼ ✷ ✢❇✿ ✓ ✖✬✮✚✑✿✶❯ n ✓ ✖✢❇✗✹✿✶❂ ✆☎ ✑✗✘✚✣✬ ✿✥❉❋✏✖✜✮✗ ✥✢✮✜ ✕ ★✢❲✢✮✜✮✗✧✕✧✏✠✭ ❍ n kxk n = k=1 k=1 n kxk − k=1 n xk k=1 n 2 x2k k=1 n k2 − (n + 1)k + 41 (n + 1)2 k=1 n3 (n + 1)2 (n − 1)2 = + 1) k − 21 (n + 1) k=1 n ≤ ✬✮✚★✜ k − 21 (n + 1) xk = ≤ (n ✢ ✷ ✖✚✥✏✌✒✙✏✮❆ ❍ ≤ 144 x4k n k=1 n3 (n2 − 1)(3n2 − 7) ❪ 240 ➅ ✸❹■❄✺➭⑧❄✸✤✺ ❵ ❊●❅✂✺✻✶❉✶ ❁❺❏✷❇●❃◆⑧❄✸◆❀❂✺❹✼✯❊⑤❇●❃❄✿✂➄✻✸✻❇r❋❍✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁✔❊✯■❄✺✽✿✔❊✯■✷✸✦❃❄✿✂✸✤❏✷❇●❃❄❏❥❃❄✼✾✸✽❀➉➆✂✼✮❋❉✿ ❵ ✸ ❶ ❪ ❊✯■✷✸◗❋❍✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁✦❋❍✿✦❊✯■✷✸❖✶❍✺◆✼✯❊❻✶❉❋❉✿✂✸❖❋❍✼❷✼⑤❊⑤❇●❋ ❵ ❊❾❜♠❃❄❇ n≥3 ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓✗❈ ✜ ✝ ✾ ☛✌☞ ✡✟✂✺ ✒ ✴ ✂✩ ✖ ✧ ✟✂✪✬✶✹✸ ✏ ✼ ✸ ✦ ☛ ✠ ✓ ✍ ✘ ✜ ✘ ❂ ☞☞❅❆✘ ✤ ☛✎✍✔✠☞❅ ✼ ✱✗✘ ✘✚☛ ☛ ✦ ✠ ✬ ✰✙✼ ✟✆✠✙☛✒✕ ✦ ✍ ✤ ✣ ✤ ✘✿✾ ✕✜✛ ✜ ✢✥✦ ✑ ✢ ✑✙☛ ✜✒✦✒❋ ✳✲✛ ✤ ✑ ✤ ✓ ☛✒✑ ✘✿✑ ✕ ✜ ✾❆✕ ✛ ✤ ✕✻✴✬✑☞✓✗✾ ✜✒✦ ✆ ☛✡✱ ✘ ✜ ✠ ✤ ✓ ✍ ✕ ☞ ❅ ✤ ☞✫☛ ✜✆✤ ✢✚✢ ✓ ✍ ✜ ✾ ✕✔✑ ❂✖✜ ✕ ✝ ✠✟ n kxk n = k=1 k=1 k− (n + 1) xk n ❈ ✛ ≤ ✠✟ ✜✒✦✌✜ ✜ ✠ ✤ ✓ ✍✗✕✜☞✹✍ ☛ ✢ ✑✙☛✌☛✎✍✾☛✙✓ ✜✖❋ k=1 k− (n ak > ❃❄✾✭✺ n n x4 k = k=1 k− ✞✝ ✠✟ ☛✡ ✞✟✐✍■➃❊❿✂❻✹✩✫✙✞☞ ❻✼❿✂❽✼➅✓✒✼➌❣➇⑩➆➍➁ ➃✮➊❄➌ ✦❽✂➄✚➉ ★❽✵✙ (n + 1) ❻❡➈❱➃✼➄❈➆➍➃€❵ ❨ ❨ ❨ ❨✭▲✳✺✴✾●❤✭✸❹✽❖❏✭❉●✽ k = n n ak k=1 n k=1  ✂✁  ✁  ✆ ❵ ✝■⑥✼⑦✼⑦❈♣❣✈✭☎✳♣✭✂€❨✆☎✭❸❈⑥☛✡✌☞✎✍❘❻✑✏ ①❄❃ + 1) k=1 ak ≥ n a1 + a2 ❘✟ ➋✭❻❊➊✯✘€❼❂➆❥❻❡➄✧✒✼➌❞✤✮❻€❽❑➊✲➋✭➉✴➁❈➊❾❻✼❿☛✒€❽☛✍✯✕✬✙ ✶➃✼➌❊❿❖➆❾➅✳❽✵✙✉❺❹✗✖✙✼★✦➋ ✔✌ a2 + ··· + a3 3 an a1 ≥ n2 ❵ ✣✆✽ ❭✭❙❶✽❖❏€✸◗❯✚❉●❇✍❳❘❏✼❙✳♥ ✼❳❘❏✼❜◗❉✼✺✪✇✕①❥❁✳✸✬✮✭❇✳❉●t▼✿ ✽❾❙✶❨❡❜♠✸◗❏✭❉✂❤✭✸ n n ak k=1 k=1 ak = (a1 + a2 + · · · + an ) ≥ a1 + a2 a2 + ··· + a3 1 + + ··· + a2 a3 a1 an a1 ❵ ✂❥♦ ✞       ✂ ✞❄❁✦❊✯■✷✸✔✵❄❃✽③✤✸◆❇⑤⑦Ýâ⑥✸✻✺✽✿ ❒ ✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁➉➆☎③✤✸➝■❄✺Ý⑧❄✸ a1 + a2   an 2 a1  a2 + ··· + a3 n ❁❄❋❍✸✻✶❍❀❄❋❉✿✂➄ a1 + a2 a2 + ··· + a3 an a1 ≥  a1 + a2 ≥  n ✬❃ a2 + ··· + a3 3 n a1 + a2 a2 +··· + a3 an 3 a1  ➆ an a1 ❪ Ô  ➁Õ Ö❆❇●❃❄▼ Ô ✁➁Õ❥✺◆✿✂❀ Ô  ÝÕ✯➆Ý❊✯■✷✸✘✶✹✸➭❜❉❊q❋❉✿✂✸✽Ï❆❅✂✺◆✶④❋④❊①❁❖❜♠❃❆✶④✶✹❃✽③➝✼➐❋❉▼❺▼❺✸✽❀❆❋❍✺➭❊⑤✸➭✶❘❁ ❪➐❸ ■✷✸❷❇●❋❍➄✻■☎❊q❋❍✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁ ❋❍✼❷✺◆✿❑❋❉▼❺▼❺✸✽❀❆❋❍✺➭❊⑤✸ ❵ ❃❄✿✷✼✱✸◆Ï❄❅❥✸✻✿ ❵ ✸✤❃❆❜❥❊✯■✷✸ ❫ â ✡ ✘â ❒ ✿✂✸◆Ï❄❅✂✺✻✶❉❋❘❊⑩❁➉➆❄✼✮❋❉✿ ❵ ✸ n a1 + a2 a2 + ··· + a3 an a1 ≥ n n 3n ✂ a1 a2 a · ··· n a2 a3 a1 = n2 ❪ ✟ ✓ ☛✒✑ ☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✾✚☛✌☞✷✟ ✖✤✭ ✟✂✭✮✧ ✟✂✺ ✒✌✼★✏☞✤ ✘ ✧ ✑✙☛ ✜❃✼✡❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✏ ✩✂❆✂✭ ✩✽✒ ✟ ✖✗✏ ✺❃✟✂✪❊✟✺✘ ✱ ❀✖✛ ✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✕✜☞ ✑✂✁ ✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ✼✯✏✙✤☞✦✳✤ ✎✜ ❈☞✑ ✼✙✔ ✑✙☛✌✘ ✍ ✤ ✤ ✘✿✾ ✴ ✜✒✦ ✩ ✜❃❂ ✑✖❈❃✍ ✘ ✤ ✣❃✍✏✱ ❀ ✴ ✩ ✺ ✔ ✟ ✒ ✟✆✱✔✺ ✺ ✩✽✼ ✖ ✑✚✠ ✜ ✘ ✼✙❆✽✦✳✤ ✘ ✬✞✜ ✣ ❀ ✴✂✟ ✖ ✺ ✩✑✏ ✰✖ ❋ ✭✡✱✾✍✏✱✔✪ ✪ ✱ ✩✽✼ ✟✰✘ ❂ ✜ ✓✗✑ ✏ ✕ ✤ ✕ ✜ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✕✜☞ ✼✑✏✙✤ ✘✂✟ ✘ ❂✖✜ ✓ ✑ ✼✽✒✁  ✼ ✸ ✏ ✟✼✣ ✩ ✭ ✡✟ ✖ ✭ ✭✹✶❊✶❊✺✖✱ ✒✂✒ ✺ ✩✽✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✕✜☞ ✑✂✁ ✖ ✜❃❂ ✍ ✘ ✤ ✼✫✖ ✜❃❂ ✍ ✘ ✤☞✼ ✏✡✭ ✣ ✆✟✆✺ ✒ ✴ ✩✦✖ ✧ 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http://www.animath.fr/cours/arithm.pdf ✂ ❪ ✵✂❇●❃◆⑧❄✸❞❊✯■❄✺✻❊❻❊✯■✷✸◗✼✱✸◆Ï❄❅❥✸✻✿ ❵ ✸✤❀✷✸✻❼✂✿✂✸✽❀❺▲◆❁ yn+1 = ➲➠ ❏✌✬