CRUX CRUX math march

qsr t r t q t t tt q r t t r tt t q tt r t q t r ttt tt t t t t t r ẽ r t r é r t t ẹ ề ẹ qr ểtễ ếệ qr r ìỉ q r ẽẽtĩ r ễíệt r t q ẽé r é tt q r t r t r tịò r tỏt qr tét q éõt r ó q t r ết q t t t r t r éọòt tọ q tt r tét ẽtẽé r r é r r r òé q r q ổ tỗ q q ẽ q ố q q òt t r tt r tt rq stqs qs tổ ổ t ổ ổ ẽ ổ t t tt ttò t t ổ ò t t ổ ổ ổ tổ ổ tt t ổ q q q q q q q q q t tổ tt q tt ết q q q q q q q q q tt t tttt ổ t t ổ t ổ q ổ tổ t òt 16 10 11 28 17 2ì2 12 10 x x x x x y1 y2 y3 y4 y5 x x x x x y5 y4 y3 y2 y1 t q q q q tt (x5 , y5 ) t (x1, y ổ t1) (x , y2 ) (x3 , y3 ) (x , y4 ) d y = 2x + 24 t 9, ẽổ ttố t tổ x3 x4 tt t tt ổ tt y = 12 x2 + 8x d (x2 , y2 ) q q q q q q tttt q q q ẽổ x1 x2 x3 x4x5y1 y2 y3y4tyế5tổ t ổ 50 tổ 50 t tếổ ttt õ ếổ tẽổ tt6 t 123 tttếổ ổ 321 = 1332 + ổ t123 +132 ò+ 213 t+ 231 + 312 t t é ổ ổtttổ tổ ốt tt ttt t ổ é t ổ é q t t ổ t ttẽ tếổ ếổ tổ q ếté ét t q t q q tếổ ổ ttt tt q q t t tt q tếổ t ếổ ổ tổ tổ ếổ ổ q q ếổ ổ t t t q ếổ tt ổ 5040 1234567 250 120 v c = 10 + 20 100 v c 80 A E AB BF F E O EA AO C F B ss s tqs q s q rq s r t t r r t q tt 2ì2 t ế r r r t 16 10 11 28 17 12 t t r t t ẽtt tẽ q q q q q q q q q ế 10 x q q q q x1x 3x4 x5 q y1 q y2 q y3 qy4 yq q t r x x2 x3 x4 x5 y5 y4 y3 y2 y1 t q q q q (x5 , y5 ) r (x , y1)(x , y2 ) (x3 , y3 ) (x , y4 ) d y = 2x + 24 t 9.4 t x3 x4 t t t y = 21 x2 + 8x tt d (x2 , y2 ) q q q q q q q q t t x x x x x q t y1ty2y3 y y 50 45 t ế t r t50 õế tt ốt ế 123 123 +132 r = + 213 r t+231 + t312 + 321 1332 tt 5040 t 1234567 t ét r tt 250 é é 80 qr t120 r tế t v qr c = 10 + v 20 é é q ct r t100 t q q q r tt q t q t q r tt qr q q t q q q q AB BF F E q ế EA ể r t q AO A E O C F B ố r t t ế t ttt q é r t t é q t é r 2é q q q é ếẽ r é q q té é ìtò é q t q é4 q é ết qr t tt t t4 t q ố q AB = 14 AC BD = 41 BE t 64 t A B C D E t qr t q BC + CE = BE t q BE = 16 AC + 16 AC = 85 AC ố t t q t cos 2x = cos x ã 64 = 25 x < q ttt cos 2x = q cos tx1 t t 2 cos xcos x1 = cos x qr tt (2 cos x + 1)(cos x 1) = cos x = cos x = 21 qr q q q x < x 3 t t r 1t t t3 r x t O O2 q tt 3r P t r tt t A B t r ế t q q r 1ẽ òx O P q qr (x+ r t x : =3 3) : q t x= t2 tt r ò t B 1 O A P O1 = P O t 2hx + (3h 6)x = h t tq t q h=0 h=0 2h x2 + 3h x = 2h 2h q x = 23 r q qr t q (3h 6)/(2h) q 3h = h=2 t 16x + 16x + = q t y = 16x + t q y 2y = q y = 16x + >0 r (y 3)(y + 1) = y = q y = q y = y = 16x + = qr t 16x + = 34 = 81 x=5 q t ABCD 10 60 AC A B D C t ố ẽA qếr E BC t 60 ẽ tt qr AE qr t = = EC BE q = q ẽ tt AC t AC = + 22 = 10 A B D 10 E C 40 = 10 t q 1000 r r ế t r r ò r q q q q q r q 2n n ã ã+ ẽ1+3+ +7+ ã (2n 1) = n s ò n t q n n t t q r n nqtr t1000 n = 31 qr t 31 1000 312 = 1000 961 = 39 r ttt tt r t qr q t tt tế õttt r r é q é t ế tt q q éể ẽõ t q ẽ q t t q q q t ó t tt t q t t t q tt t r q r é q r ẽõ q r tò r t r r tttt qr ế t t tt t r é r t tt q r r ế r r t r tò t tt q étẽẽ t ttt ttt r t r r ết q r q r r t r r t r ó ết r étó rq rr tt r t t q t q q t q tếtt tết r q t ế t t t t ế r tttt t ét r t q r t q tt ềtếtổ t t r t r q r t ế r tết t r q tt tt tt r r tt q r r t r qr r t r r t tt t t t q ttt r t t r qr r t q q é t r étt t r é r t t tt t tt ó qr s tr sq r t ế ẹ ệ ễế tổ ổ ổ q ttt t ổ ốổ t q ếổ Q ổ tổS S/Q = + ổ t ế ề ttt x y q x2 + y cos2 = x sin cos t t x y x cos + y sin = ttố ế ìt ễ tt ế t t t tan1 + tan1 13 + tan1 = ì ễt ĩ ế ềìềt t q tt t a+b+c 3abc t ta b c t a + b + c 2abc ìềt ế q t t xy + yz + zx = x y z + + = 2 2 2 1+x 1+y 1+z (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z + + = 2 1+x 1+y 1+z x + y + z xyz ế ìt tt ễ ế t q tố ổ ổ a b t ế ẹ ệ ễế t t t S Q q S/Q = + 45 t ế ề t r x x2 + y cos2 = x sin cos x y y x cos + y sin = ếẽ ì ìết q q d t q 45 q a b c a+b+c+d+1 (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) 1 4+ + (a + 1)(b + 1) a + ếẽếìếít q tẽ ò q {Ln } =1 t q q L0= 2L = Ln + Ln1 n1 n rLn+1 n/2 k=0 n+1 L2k 2k + 2n n/2 = k=0 Lk nk 22k k ế í ẹ ẽtềễt ễế t r tt q n n n E (x1 , x2 , , xn ) xi i < x + x2 + ã ã ã + x n t E ế ề x1 + x + ã ã ã + x n r qr r t qtr r tố r qr t é r sec ế ì tết tt t t t q q q tt {12 22 n2 } n n k2 n = 8k n = 8k ế ìế ĩ ễttt t t q q q r q q c r ABC tab A BC AH BC H BC q m = BH n = CH a(bm + cn) bc(b + q t t q q c) A ế ễtỉt õ q q a b c (1 a)(1 b)(1 c) a2 + b2 + a+b+c = c2 q ếttòỉt t ệt q q r t ềtỉt a b c a + b + c = abc a b c 3 + + a2 + b +1 c +1 ếí ẹ ễtỉ ề ếề r ố A A0 120 0B ẽ C 0ẽ r t Cn i+1 Ci+1 t AnBn ốA i+1 B A B C i i i q t q i B iC Ai Ai+1 60 n tt ẽ r tếé tt q ỉ ỉ tề q q ế tề ệ r ố tế r ố q q q q ố ttt r r ố q m A B P A P Q R B S Q A [P BQ] + [AP S] = [P QRS] r [XY Z] S t XY Z q t r tế m tốt ế ỉòề q é q q r t tt t t t ế q t q t t r sk (am ) = sk (bnmk+2 ) t nk+1 P (K) = KF nk+1 sk (am ) + m=1 sk (bm ) = m=1 t t q t ếồ ễtỉ ế q q q q r r = abcd a b c d (1 + + a)2 (1 + b)2 + (1 + c)2 + (1 + d)2 (1 + r)2 í ề tt ồt t r t q q q q n>2 a a2 a n > ế n a1 a2 ã ã ã a n = r 1 n + + ããã + n 2 (1 + a1 ) (1 + a2 ) (1 + an ) (1 + a1 a2 ã ã ã an )2 r n1 q n = r 21 ttt t q tt é0.5 ttt r r r r r r r tt r t r r 0.5 r 0.5 1 + (1 + a)2 (1 + b)2 (1 + r)2 r a b r = ab a ố 12 qr 1 + < 2 (1 + a)qr (1 (1 + r) + b) > + f (r) = (1 + a)2 1+ r a q r tt r2 (1+a)2 + a (1 + r) f (r) 2 (1+r)2 a2 = 2ar + 4a2 r 6a2 r + 4ar 2ar + 4a3 r 2a3 r + a4 r 2a2 r r + 2r + r 2a3 a4 = (r a) 2a2 r + a2 r a2 + 2ar 2a + 2a4 r + 2ar + 2ar r + r + 2r = (r a)2 r + 2r a2 r r r a + r + 2r r r f (r) = = f (r) < f (r) a= r3 r2 r r + 2r = 2r + 3r r + 2r (2r 1)(r + 1)2 r + 2r = (2r 1)(r + 1)2 q r + 2r r + 2r r2 r3 r2 r r + 2r (2r 1)2 (r + 1)4 (2r 1)(r + 1)2 (r 1)2 r2 + 2r < t q ế t ỉề ễỉ ìt ềt q q a b c 1 + + = a+1 b+1 c+1 1 + + 4a + 4b + 4c + t ò ế t ẹ q ò ề x q 1 4x + x+1 t tt 4x + 2x 3(x + 1) q 3x + (2 x)(4x + 1) q 4x 4x + (2x 1)2 q q r ttt q q qr t x=a b c 1 1 1 + + + + = 4a + 4b + 4c + a+1 b+1 c+1 ệ ềễ ềt ễế q q q x0 x1 x n n n q 1 = n k=0 xk+ 1r k=0 n xk + n = qr t r ế n=1 n>1 q x (n + 1)2 (x + 1) (n + 1)2 (n2 x + 1) + (n2 1)(n2 x + 1)(x + 1) = (n + 1)2 (x n2 x) + (n2 1)(n2 x + 1)(x + 1) = (n2 1)((n2 x + 1)(x + 1) (n + 1)2 x) = (n2 1)(n2 x2 2nx + 1) = (n2 1)(nx 1)2 r t q qr x = 1/n x 2 (n + 1) (x + 1)(n x + 1) 1 n2 +1 x+1 (n + 1)2 n2 x q r q q q xq = 1/n x0 x1 x n n n k=0 n2 x k + k=0 n2 n2 (n + 1) = n =1 xk + (n + 1)2 n+1 r x0 = x1 = ã ã ã = xn = 1/n q a b c (, 1) (1/4, ) n a a k = = n x x x a < n = a n = b>1 b = a = i=1 i=1 n i=1 n xi +1 i=1 4xi +1 i=1 n +1 n an b(na)+a i=1 bxi +1 n n n k2 +1 n n+1 n1 xi +1 n 4n3 a b c A B C ABC cos3 A cos3 B cos3 C a2 + b2 + c + + < a b c 2abc qrstsqqqq qqqq q R ABC b2 + c2 a2 sin2 A = a2 b + c a 4R2 = (a + b + c)(a + b c)(b + c a)(c + a b) > 4R2 = a2 b + b c + c a2 a4 + b + c 4R2 q b2 + c2 a2 cos2 A = < r t ttt b2 + c2 a2 sin2 A b + c a2 2bc cos3 A < a2 + b2 + c2 q = a2 + b + c q t r t tt 2abc a2 b2 + c2 a2 < 4a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 ABC ( ) cos3 A cos A b2 + c2 a2 a2 + b2 + c2 < = = a a 2abc 2abc a b c a(b + c a)3 4abc(a + b + c) qrs sq s q qq q q q qr q 4abc(a+b+c) a(b+ca)3 = (a2 +b2 +c2 2ab2ac2bc)2 r r a=b c=0 b=c a=0 c=a b=0 qq r sqt q t q ế t ềt ẹ tí ễế q q abc s ABC ab(s a)(s b) 3abc (a + b) ò ề í t ỉịề ễ ỉ ì ềt ttềtễt ề ễ ẹ q ễề t ế t ết c2 (a b)2 abc2 (a + b)2 (s a)(s b) = abc2 (a + b)2 (4ab (a + b)2 )c2 + (a + b)2 (a b)2 = (a = q b)2 [(a + b)2 c2 ] t ttế c a+b a= b q r t r a)(s b) ab abc2 = abc ếab(s (a+b) a=b ab(s a)(s b) (a + b) r q abc = 3abc t s ABC s r ABC CF E AC F AB BK CL ABC AB I ACB K AC L ABC O E F rr r I K L O BE qrqqrqq q q é r qr t t ế r t r t r tt q q q q t ABC K L t O BL CK ã sin 2B + ã sin 2C = sin 2A LA KA tt q E F q BF CE ãb+ ãc = a FA EA I t q t q qr ẽ CF q q BE BF t q = aãcos B F A = b ã cos A CE = a ã cos C EA = c ã cos A q é cos B cos C cos A + cos A =1 cos B + cos C = cos A q t q BK CL tt BL a CK a = = LA b KA c q r a a sin 2B + sin 2C = sin 2A b c q sin B sin C sin A cos B b + cos C = cos A c ẽì ế í t I(a, b, c) q q I E a qr t t q r r q q ABC E(a cos C, 0, c cos A) F q qr t a a cos C b c c cos A a cos B b cos A F (a cos B, b cos A, 0) = q r tt A(cos cos q q cos B + C tcos A) =0 q qtr q q O(a cos A, tbcos B, ccos C) K(a, 0, c) L(a, b, 0) O K L cos B + cos C q cos A = q q t q q q t O K L q q q I EtF I E F q q ABC t q A = 90 O K L q ễ ế q ổ t ổ q o q t BC K L O A AB = AC A BC q qr r s ABC 3 r s tan A + tan B + tan C s r qqs qq q s qr s q q r q s A r B tan = tan = 2s a r sb tan C r sc = 3 s 1 + + s sa sc r sb rr rr r 1/ t 1 + + 3ã sa sc sb (s a) + (s b) + (s c) r r ABC rr s rr (s a)(s b)(s c) = = 1 + + sa sc sb (s b)(s c) + = (s c)(s a) + 3 s rr (s a)(s b) 2s b c 2s c a 2s a b + + 2 s(s a)(s b)(s c) (ABC) s = = r r r r ABC q qr r ABC AB = BC F = BAX AC X r BF BA XA = /2 BF M lim | cos | ã CM /2 q qqq q rr r = AF = AC r M B BF BA M X AX A BM X BF r r =BAX /2 r A M BX = BM A =XM A = /2 A r + = /2 A | cos | = | sin | B /2 M rM M A/M C | cos | = | sin | s lim | cos |M C = /2 lim | sin |M A = r = AF /2 s t t r r r rqq t t r qq (r )s n r q rs t r n n1 n r rr 2n k=1 k k1 2nr k (r + 1)r+1 ẽìếí tt n 2n n1 k=1 1 k k1 r n 2nr r k r+1 ã (r + 1)1/r ế L L = n n k=1 n 2n k 1 n 2n k r q q q n n n qr 0< n k q q qr a b c abc(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 = abc = = a2 + 2abc + (b + c a) a2 + b + c bc a3 bc + 2ab2 c2 (a2 b + a2 c) a2 a4 b + a4 c + 2ab2 c2 a5 a3 a2 + bc ab ac = a3 (a b)(a c) q t t t r t t r q q t a = b = c a b c t /3 a b c r r ABC r 3(abc) a2 + b + c 2r q s qq s sq R s ABC r s abc = 4Rrs r a2 + b2 + c2 = s2 r 4Rr 2 3Rs s r 4Rr s2 3Rs r(4R + r) (s x1 )(s + x2 ) qr x1 = x2 = 3R2 + 16Rr + 4r 2 3R + 3R2 + 16Rr + 4r 3R + t q ế qr rq sế+ xé2 >r q t q s x t qr t t3(R + r) tò r s q r r s x1 3(R + r) 3R + 3R2 + 16Rr + 4r q ết tt q qr t 2 3R + 4r 2r R r 3(R é+ r 2r) + 16Rr q íỉệĩ q é q ẽ ổ q ể r q ệẽĩ q s ( ) qr st rt t r t t s r