CRUX CRUX CRUX math march

ắ ậầ ặể ẵẳ ấể ệỉ é ềì ẩé ì ì ề íểệ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ễệể é ẹì ề ỉ ì ỉ ểề í ẵ ệạ ệíá ắẳẳ ểễí ể éé ễệ ì ềỉ ỉể ểề ễệ ạề ệì ỉí ệ ệ ể ì ề ì ề ìểéỉ ểềì ểệ ỉ éề è ì ểề ể ỉ ỉểệ ì ơề é ẽ ệ ìểéỉ ểềì ỉể ậ ểé ề ệểẹ ể ề ệ é ìỉ ềỉá ậỉểì ễ ì ẩ é ậ ểểéá ệỉ é ề ệệ ỉểể é ỉ ỉể ểềì ệ ểệ ễ é ì ề è è ẻểé ỉ ề ỉ ì ìì ễệ ì ềỉ ỉ è ẹ ẫ ìỉ ểềì ệểẹ ỉ ềề é ặ ấ ểề é ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ẽ ỉ ề ấểề ẩ ệì íá ặá ặ ễểệỉ ặ ìá ẻ ỉ ẵ èể ỉ ềề é ặ ấ ểề é ậ ểểé ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ắẳẳ ệ ỉ ệ ỉể ị ị ì ễ ì ẹ ệểẹ ềạ ỉ é é ỉỉé ìế ệ ì ẹ ểề ì è ơệìỉ ì ễ ì ìế ệ ì ề ễ ệ ẹ ỉ ệ ể 14 ẹ è ì ểề ì9 ìế ệ ì ề ễ ệ ẹ ỉ ệ ể 20 ẹ ẽ ỉ ì ỉ ễ ệ ẹ ỉ ệ ể ỉ ị ị ì ễ ỉ 35 ìế ệ ì ắ è ệ ệ ì ểề ể ỉ ỉì ệểẹ ỉ ệể ệ ỉỉ ề ểề ẹ ẽ ề ỉ ỉ ệ ệ ì ệ ệệ ề ề ìểẹ ểệ ệá ỉ í ẹ ỉ ệ ỉ ềẹ ệ è é ệ ìỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ề ẹ ễéì ỉ ì ểề é ệ ìỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ề ẹ ì 1233 ẽ ỉ ì ỉ é ệ ìỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ề ẹ ỉ ể ề ểềỉ ề ểề íểệ é ỉ ề ìỉ ệỉ ề ỉ ỉ ỉ ẹ ỉ ề ỉ ề ĩ ơề ệá ỉ ẹ é ơề ệá ỉ ệ ề ơề ệá ỉ ề ỉ é ỉỉé ơề ệá ề ỉể ỉ ỉ ẹ ề ìể ểề ẽ ỉ ì ỉ 2005ỉ ơề ệ íể ểềỉ ì ỉ ề ế ệ é ỉ ệ é ệ ẹì ệ ì ệ é è ệ ể ỉì ì é ề ỉ 4á 9á ề 16 ẹá ì ì ểề ẽ ỉ ì é ề ỉ ề ẹể ỉ ểệỉ ì ễ ịị ểểì ì ỉ ềỉể ì ĩ ễ ạì ễ ễ ì èệề ềí ễ ỉể ỉ ơệìỉá ỉ ỉ ệ ỉ ỉá ễ ểểì ì ẹìỉ ề ề ĩỉ ỉể ễ ỉ ỉ ì éệ í ề ỉ ề ỉể ẹ ỉ ìí ỉể ỉ ểỉ ể ỉ ễ ềà ề ể ẹ ềí ô ệ ềỉ ểệ ệì ểé ỉ ỉ ìĩễ ì ? 16 ắ è ễ éé éề ì ễ ỉệ ì ểì ề 8ì ệ ỉ ề é ỉ ềỉể ỉ ệ ì í ỉể ễ ệ éé é ìé ềỉ é ề ì è ỉ ệ ễ ì ỉ ì ẹ ệ ể ệ ễ ệỉ ệ ỉ ìé ềỉ ? ề ễểì ỉ ềỉ ệ N ìể ỉ N x ỉỉ ệ ệ ĩ ỉéí 25 ềỉ ệì x ì ỉ ì í ề ẹíá ệỉá ề ệểé ỉ ìểẹ ệệểỉ ìỉ ì ẹí ỉ é ỉ ềẹ ệ ệỉ ỉ ễéì ểề ỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ệểé ỉ ễéì ểề ệỉ ỉ é ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ệểé ỉ ễéì ểề ạỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ẹí ỉ ễéì ỉể ệểé ỉ é ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ẹí ỉ ễéì ểề ạỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ệỉ ỉ ễéì ỉ ệ ể ẹ ềí ệệểỉ ìỉ ì ỉ í ỉ éỉể ỉ ệ ỉ ỉ ẹểỉểệ ị ểéẹề ì ề ề ể ệ ỉ ểềỉệí ỉ ỉ ệ ỉ ể 15 éểạ ìễ ỉ ệ ệ ì ì ềỉ ẹ ỉệ ì ễ ệ ểệ è ểéẹề ì éểẹ ỉệ éểề ệểẹ ỉ ệ ệ ỉể ỉ ệểềỉ ểề ẹểỉểệ í é ỉệ éé ề ỉ ểềìỉ ềỉ ìễ ệ ỉệềì ẹẹ ỉ éí ỉ ỉ ì ẹ ìễ ề ì ỉểỉ é ỉ ẹ ì ẹ ềỉ ì ể ìỉ ì ểề ẵẳ ì ẵẵ ề ỉ ệ A ẵắ ẽ n+1 ì ì ệ ẹ ề ệ í x2 ỉ ệẹ ề ỉ ề ềỉ ễ ệẹ ỉ ệ ể ễểéíềểẹ é x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 ệ ỉ ỉệ ề é ỉ ễểì ỉ ềỉ ệ n ì í 3á ỉ í 2á ỉ ệ ẹ ề ệ ì ẽ ỉ ì ỉ í6 íễểỉ ềì H ề ệ ẹ ề ệ ì ẽ ề ệ ẹ ề ệ ề n1 ểề ểệì ặ ấ ểề é ỉ ẹ ỉ ế ì ậ ểề ệ ì ắẳẳ ẹ ẵ ầề ệ ỉệể ệể ỉ ĩ ểệẹ ì ề ị ị ỉ ỉ é ì ệệ ì ềỉ ế ì ẵ ẹ ểỉ ễệ ẹ ệ ệệ ì ỉ ề ễ ệ ẹ ỉệ 14 ẹ ì ểệẹ ệệ ì ỉ ề ễ ệ ẹ ỉệ 20 ẹ ẫ é ìỉ ểề é ễ ệ ẹ ỉệ ị ị í ềỉ 35 ệệ ì ắ èệể ì ệỉ ì ểềỉ ề ề ì ôệ ì ệ ỉ ììì ẫ ề é ì ỉệể ì ệỉ ì ìểềỉ ệệ ề ì ềì ề ểệ ệ éé ì ểệẹ ềỉ ề ềểẹ ệ ỉệể ì ôệ ì ễéì ệ ề ì ềểẹ ệ ì ỉ ểềề ĩ ẹ ễéì ệ ề ểềề 1233 ẫ é ìỉ é ễéì ệ ề ềểẹ ệ ế ễ ỉ ỉệ ỉ ầề ểẹẹ ề ểẹễỉ ệ ìệ é ẹ ề é ễể é ề ĩá é ẹ ệá é ềềé ệ é ệ é ệ ễ ì ểề ệ ềỉ ễể ỉ ềì ì ỉ ẫ é ìỉ é 2005 ẹ ể ỉ ỉ é ì ắ ề ế ệ é ỉ ệ ệ ểềì ệ ỉ ề ệ é èệể ì ì ì ểỉ ì ểềỉ ễểệ éểề ệ 4á ỉ 16 ẹ ểẹẹ ééìỉệ ẫ é ìỉ é éểề ệ ế ỉệ ẹ ểỉ ề ễ ịị ìỉ ểễ ề ì ĩ ẹểệ ĩ èệề ễ ỉ ể ì ệ ề ẹễểệỉ ế é ẹểệ ễểệ ểẹẹ ềạ ệá ẹ ì ễệ ì é ế ẹểệ ể ì ể ỉ ỉệ ểỉ ề ẹểệ ế ỉ ể ì ễệ é é ễểệ ì ẹễé ệ é ìểệỉ ễé ỉà ểẹ ề ẹ ề ệ ì ễ ỉạ é ẹ ề ệ ì ễ ịị ẹ ẹểềỉệ ề ệ ỉ ề é ì ểễ ề ỉệể ì ễ ì ễ ệ ĩ é ề ì ễ ệ éé é ì ể é ế ì ì ỉệể ì ẹểệ ĩ ểềỉ ỉểì é ẹ ẹ ệ ẫ éé ìỉ é ìỉ ề ế ì ễ ệ é ì é ề ì ể é ế ì ? 16 ? èệể ệ ề ềỉ ệ ễểì ỉ N ỉ é ế ĩ ỉ ẹ ềỉ 25 ềỉ ệì x ì ỉ ì ểềỉ N x ẹíá ệỉ ỉ ệểé ểềỉ ẹ ề ì ẹ ề ệểỉỉ ì ẹí ẹ ề é ẹể ỉ ềểẹ ệ ệỉá ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ ệểé ễéì ề ệỉ ẹ ề é ẹể ỉ ềểẹ ệ ệểéá ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ ẹí ễéì ĩ ệểé ẹ ề é ẹ ẹ ềểẹ ệ ế ẹí ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ ệỉ ễéì ỉệể ì ềì ẹ é ểẹ ề ẹ ề ệểỉỉ ì ểềỉạ éì ẹ ề ề ểéểềề ẹểỉểệ ì ìỉ ề ỉệ ề ề ệ ề ỉ ệệ ề ễé ỉ ệíỉ ẹ éểẹ ỉệ ì ễ ệ ệ ểéểềề ìỉ éểề éểẹ ỉệ ề ểệệ ệ ìỉ ềểí é ệệ ệ ệì é ềỉ ìệ ề ẹểỉể í é ỉỉ ệểé ềỉ ỉ ìì ểềìỉ ềỉ é ệ ỉểệề ẹẹ ỉ ẹ ềỉ é ẹ ẹ ỉ ìì ỉ ìểề ễ ệ ểệì ệ ẹ ềỉ ì ẫ éé ỉ ỉ ì ỉ ìì 15 ẵẳ èệể ễ ệ x ẵẵ ệ é ệ ìỉ é ì ểề ễểéíềểẹ x+x3 +x9 +x27 +x81 +x243 ỉ ệẹ ề ệ é ễ ệ ẹ ỉệ ệ A íễểỉ ềì ẵắ ẫ ề ề ềỉ ệ n ìỉ ì ễ ệ 3á é ệ ìỉ ìỉ ẫ ề n + ìỉ ễ ệ 2á é ệ ìỉ ìỉ ẫ é ìỉ é ệ ìỉ ế ề n ìỉ ì ễ ệ ì H ỉ ề ề ỉệ ề é ệ ỉ ề é í ềỉ ề ắ ẳ ặ ĩỉ ỉ ẵạ ắẳẳ ắẳẳ ệ ỉ ẹ ỉ ắẳẳ ệ ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ỉ ể éể ỉ ểệ ề ẹ ềỉ ề ì ểề ể éể ỉ ì ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ ỉ ỉ ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể íỉ éể éể ỉểệ è ệ ẹì ỉ ệ ỉ ì ể ỉ ề ìể ỉ ẳẳ ỉểễ ệ ẹà ề ề ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ ỉ í ểệẹ ệ ỉ ề é ểỉỉểẹ ệ ẹà è ề ĩỉ ỉ ẹ ễễ ệì ỉể é ỉỉé ễ ìỉ ẳ ỉx ỉ ềẹ ệ ể ẹ ềỉ ì ỉ ệ ẳẳ ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ ỉ ề ì ểệẹ ệ ỉ ề é è ểệ ề ểẹễé ỉ ì ểề ệ ểéỉ ểề ề 12 ểệì x ề ề x ẹ ềỉ ìá ỉ ẹể ì ỉ ệể 12 ì 60 ệ ểéỉ ểềì ậ ẹ é ệéíá ì ề ỉ ẹ ềỉ ề ỉ ì 60 ẹ ềỉ ì ỉể ểẹễé ỉ ểề ệ ểéỉ ểềá ỉ ẹể ì ỉ ệể x/60 ệ ểéỉ ểềì ề x ẹ ềỉ ì ề ỉ ềỉ ệ é ệểẹ ẳẳ ỉể ỉ ệ ế ệ ỉ ẹ ỉ ẹ ềỉ ề ì ẹể ỉ ệể ĩ ỉéí é ệ ểéỉ ểề ẹểệ ỉ ề ỉ ểệ ề è ệ ểệ éể x x = + 60 720 í é ì 11x = 360á ểệ x = 32 11 è ìá ỉ ệ ế ệ ỉ ẹ ì 32 11 ẹ ềỉ ì ỉ ệ ẳẳ ỉ ềỉ ểệẹ ệ ỉ ề é ề ì ểệẹ ệ ỉ ỉ ệ ề é ắ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ẵ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ễểì ỉ ềẹ ệ ì ì 3.14á éé ỉ ềỉ ệ ễ ệỉ ề 0.14 ề ễểì ỉ ềẹ ệ ì ỉ ỉ ỉ ệ ỉ ểề é ễ ệỉá ỉ ệ ễ ệỉá ề ỉ ềẹ ệ ỉì é ệ ỉ ệ ểềì ỉ ỉ ệẹì ểệ ệ ỉ ểề é ễ ệỉ ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề ề ểẹ ỉệ ì ế ề ệ ỉ ẹ ỉ ỉ ệ ì ềẹ ệ d è ì ế ề a1 a2 a3 a4 ì éé ì ỉ ỉ a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = = d ỉ ì éé ểẹ ỉệ ỉ ệ ì ềẹ ệ r = ì ỉ ỉ a2 /a1 = a3 /a2 = a4 /a3 = = rà ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể íỉ ỉểệ ỉx ễểì ỉ ềẹ ệ ỉ n ỉì ềỉ ệ ễ ệỉ ề y ỉì ệ ỉ ểề é ễ ệỉ è ìá x = n + y ệ n ì ề ềỉ ệ ề y < ẽ ềỉ ỉể ơề x ìể ỉ ỉ y ná ề x ệ ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề ệìỉ ìễễểì ỉ ỉ < x < è ề n = ề x = y è ềẹ ệì y ná ề x ệ ềểỉ ỉ ệẹì ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề ềỉ ì ì ắ ẵ ặể ììẹ x è ề n ề y < n x ề ểệ ệ ểệ y ná ề x ỉể ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề ệ ế ệ n y = x n = dá ẵà ểệ ìểẹ ệ é ềẹ ệ d ậ ề x = n + y ề é ẹ ề ỉ x ề ẵà ỉể ỉ ề 2y = n ậ ề n ì ễểì ỉ ềỉ ệ ề y < 1á ỉ ì ế ỉ ểề ì ì ỉ ìơ ểềéí ề n = ề y = 12 è ìá ỉ ểềéí ễểìì é é ểệ x ì x = n + y = + 12 = 32 n y = y = d è ẽ ểẹ ỉệ < x < ề ểệ ệ ế ệ ềỉ ỉể ơề ì ế ề ậể ììẹ ệ ểệ y ná ề x ìể ỉ ỉ y ná ề x ệ ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ì ề ễ ệỉ àá ì ỉ ỉ ỉ ì ể ì ềểỉ ễễ ề x è ề n ề y < n x x ỉể ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ểẹ ỉệ ì ế ề n x = = rá y n ểệ ìểẹ r = ậ ề x = n + yá ắà ề é ẹ ề ỉ x ề ắà ỉể ỉ n y = 1+ = r y n ặểỉ ỉ ỉ y ềềểỉ 0á ì ề ỉ ì ểé ẹ n/y ề ơề ậể < y < è ệ ểệ n/y > n ề + (y/n) < + (1/n) ì ề n 1à è ìá n < n y = 1+ y n ỉ ềể ỉ ỉ n ì ễểì ỉ ềỉ ệ è ểềéí ễểìì ì n = ậ ỉỉ ề n = ề àá ỉ 1/y = + y y + y = í ỉ ẫ ệ ỉ ểệẹé y = ậề x ì 12 4(1)(1) = 2(1) + y > 0á ẹìỉ y = è + 1+ x=n+y =1+ = 2 ìá ỉ é ỉí ì ỉ ì í ề n < ề ệ ệ ỉỉ ề ì ểềéí ễểìì é é ểệ ệ ỉ ề é ệ ỉ ề ề é ề ỉ 60 ẹá ỉ 60 ẹá ề ỉ 40 ẹ ì ơéé ỉ ỉ ệ ỉể ễỉ ể 15 ẹ ề ệ ìỉì ểề ểệ ịểềỉ é ỉ é ỉ Aá B C ề D ề í é ểệ ệ ỉ ểệ ểỉỉểẹ ểệề ệì ể ỉ ỉ ề ậễễểì ỉ ỉỉ BC ì ìéểéí ệ ì ìể ỉ ỉ ỉ AD ệ ẹ ềì ểề ỉ ỉ é ì ỉ ệ ưểì ểỉá ỉ ỉ ề ì ệ ì ềỉ é ỉ AB ẹ ì ề ề é ể 60 ỉ ỉ ỉ é è BC ì ỉ ề éể ệ ềỉ é ỉ ỉ ề ểề ề ệ ìỉì ểề ỉ ỉ é ỉ ỉ ì ễể ềỉá ỉ ì ỉ ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ắ ắ ầặ é ìểéỉ ểề ểềì ệ ỉ ì ỉ ỉ ểề ề ỉ ỉ ề ì ề ệ ì ìể ỉ ỉ ỉ AB ẹ ì ề ề é B ề ìễ éé ể 60 ỉ ỉ ỉ é ỉ ệ ệểẹ ỉ ỉ ề é ỉ ì ề ệ ì ỉ E F ỉ ệ ềể ệ ì ỉ é é ể EF ệ E ì 60 ỉểễ ểệề ệ ể ỉ ỉ ề ỉ ểệề ệ ể Aà ề A F ì ễể ềỉ ểề AB ì ì ểề ề ỉ ệ ẹ ặểỉ ỉ ỉá ì ề ỉ ỉ ề ì ề ệ ì íểề 45 |AF | ì é ìì ỉ ề |AE| = 40á ề ì ề |AB| = 60á ễể ềỉ F ể ì ề é ểề AB ậ ề EF ì ễ ệ éé é ỉể ỉ ỉ é ỉểễá EF A = 60 ề |AE| = |AF | tan 60 = |AF | ểệ |AF | = |AE|/ = 40/ è ểéẹ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ỉ ỉ ì ễể ềỉ ì ế é ỉể ỉ ệ ể í 60 ẹ ỉ ẹ ềì ểề ể ỉ ỉ ề ễ ệễ ề é ệ ỉể 40 ểéẹ ể ỉ ệ ì 12 ì 40 ì ì 60 = 48000 ẹ3 è 3 ểệ ề é ểéẹ ể ỉ ệ ì 15 ì 60 ì 60 = 54000 ẹ ì ệ ỉ ệỉ ề 48000 ẹ è ệ ểệ ìểẹ ỉ ệ ể ì ề ìễ éé ệểẹ ỉ ỉ ề ề ỉ 48000 ểéẹ ể ỉ ệ ẹ ề ề ỉ ệ ì ẹ ỉd ỉ ơề é ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ểềì ệ ề ỉ ểéẹ ể ỉ ệệ ẹ ềề ềỉ ỉ ề d ì 60 ì 60 = 48000 ẹễé ì 40 ỉ ỉ d = 33 è ìá ỉ ơề é ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ì 340 ẹ AEF ẹéỉ ễé AEF è ìá ỉ ậễễểì ỉ ỉ ỉ ễểì ỉ ềỉ ệì ệ ệ ỉỉ ề ề ìễ ệ é ì ì ểề ấ é ỉ ỉể ỉ ềẹ ệ 1á ệ ể ì ỉ ềẹ ệ 2006 ễễ ệ ểệ ĩ ẹễé 10 ễễ ệì ểề ề ỉ ễ ề ỉể ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể 1à ậểéỉ ểề í ặ ỉ é ỉểệ ẵ ìíá ìỉ ềỉá ẩ é ẹ ề ề ểề ì ẹể ắ ẵ ẵẳ ẵẵ ẵắ ẵ íỉ è ềẹ ệì ểề ỉ ểề é ể ề ễ ỉể ỉ ệ ỉ ệ 1á 9á 25á ệ ỉ ìế ệ ì ể ỉ ể ễểì ỉ ềỉ ệì è éểì ìỉ ể ìế ệ ỉể 2006 ì 452 = 2025 ậ ề 45 = ì 22 + 1á ì ỉ ỉ 2025 é ì 22 ề ỉì ễ ề 22 ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể ỉ 2006 ì éể ỉ 2025 2006 = 19 ễểì ỉ ểềì ỉể ỉ é ỉ ể 2025 è ệ ểệ ỉ ễểì ỉ ểề ể 2006 ì 22 ề ỉì ễ ề ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể ìế ệ ễ ệ ì ểỉ ễ ệ ỉ ìế ệ ề ì 20 = 100 ề ểề ể ỉ ễ ệ (x, y) ể ễểì ỉ ềỉ ệì ì ỉ ỉ x+y ề xy ệ ì ểệ ĩ ẹễé (5, 20) ì ìế ệ ễ ệ ì ề + 20 = 25 ệ ểỉ ễ ệ ỉ ìế ệ ì ậ ể ỉ ỉ ềể ìế ệ ễ ệ ĩ ìỉì ềẹ ệì ì ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể íỉ ỉểệ ậễễểì ỉ ỉ ề x ểềìỉ ỉỉ ìế ệ ễ ệ è ề + x = a2 ề 3x = b ểệ ìểẹ ễểì ỉ ềỉ ệì a ề b ậ ề 3x ì ễ ệ ỉ ìế ệ x ắ ẹìỉ ể ỉ ểệẹ 3c2 ểệ ìểẹ ễểì ỉ ềỉ ệ c ậ ìỉ ỉỉ ề x = 3c2 ềỉể + x = a ể ỉ ề 3(1 + c2 ) = a2 ỉ ìá + c2 ẹìỉ ểềỉ ề ì ỉểệ ẽ éé ì ể ỉ ỉ ỉ ì ì ềểỉ ễểìì é ẽ ề c í 3á ỉ ệ ẹ ề ệ ẹìỉ 0á 1á ểệ ỉ ì 0á ể ì ỉ ề c = 3k ểệ ìểẹ ềỉ ệ k ỉ ì ì + c2 = + 9k2 ỉểệ ì ề ì ỉểệ ể 9k2 ỉ ệ ẹ ề ệ ì 1á ỉ ề ềểỉ ì c = 3k + ểệ ìểẹ ềỉ ệ k ỉ ì ì + c2 = 9k2 + 6k + 2á ể ì ềểỉ ì ỉểệ ì ề ì ỉểệ ể 9k2 + 6kà ỉ ệ ẹ ề ệ ì 2á ỉ ề c = 3k + ểệ ìểẹ ềỉ ệ k ỉ ì ì + c2 = (9k2 + 12k + 3) + 2á ể ì ềểỉ ì ỉểệ ì ề ì ỉểệ ể 9k2 + 12k + 3à ề éé ìểéỉ ểềì ề ệ é ềẹ ệì x ề y ểệ ỉ 2(x + y 2) x (y 1) + y (x 1) = = ìíìỉ ẹ ể ế ỉ ểềì y(x y + 2) xy ầặ é ìểéỉ ểề ỉỉ ề a = x ề b = y 1á ỉ ề ế ỉ ểềì ểẹ 2(a + b) = (b + 1)(a b + 2) (a + 1)2 b + (b + 1)2 a = (a + 1)(b + 1) ĩễ ề ề ề ì ẹễé í ề ỉ ì ểề ế ỉ ểề ì ab(a + b + 3) = ỉ ìá a = 0á b = 0á ểệ a + b = a = 0á ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề ểẹ ì 2b = (b + 1)(b + 2)á ì ỉểệ ề ì (b + 2)(b 1) = è ìá ế é ềỉ ỉể b2 + b = b = ểệ b = b = 0á ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề ểẹ ì 2a = a + ỉ ìá a = ề ì ỉ a = b ề ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề ỉể ỉ a + b = 3á 2(3) = (b + 1)(b b + 2)á ì ẹễé ì ỉể 2b2 + 3b = ỉểệ ề ì (2b+5)(b1) = è ề b = 52 ểệ b = ậ ề a = b3á ể ỉ ề a = 21 ề a = 4á ệ ìễ ỉ éí èể ìẹẹ ệ ị ỉ ế ỉ ểềì ỉ ểééể ề ìểéỉ ểềì a 0 21 ề ề ểẹễé ỉ ìểéỉ ểề ì ệ b 25 x 1 3 y 1 23 è ỉ ệ ề ì ì ỉể ỉ ề ể ềểỉ ệ ìì è ì ẹểềỉ ì ềề ệ ể ễ ìỉ ẻểéẹ ể í ẹ ì ặ ỉ é ìí ểề ệ ỉé ỉ ểềìá ặ ỉ é ểềỉ ề ì ề ề ề íểệ ểềỉ ìỉì ề ìểéỉ ểềì ắ è è ỉ ẹ ỉ é í ẹ ề ềẵ ậ ểểé ề ề ệì ỉí ậỉ ềỉì ỉ ì ỉ ẹ ỉ é ểệề é ểệ ề í ểềỉ ề ìá ỉ ỉ ì ẹ ẹễ ì ìá ì ề ềỉ ệ é ễ ệỉ ể ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ỉ ỉ ẹ ỉ é í ẹ è í ẹ ỉểệ ì ô ểểễ ệ ề ệì ỉíà è ìì ìỉ ềỉ í ẹ ỉểệ ì ề ẻ ề ệ ệ ề ệì ỉí ể ẽ ỉ ệéểểà è ểỉ ệ ìỉ ô ẹ ẹ ệì ệ ể ề ệ ềỉ ể é ề ề ệì ỉí ể ặ ệềì àá ểề ì ì ềì ểề ể ầệ ểệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ìì ìì àá ệ ấể ệỉ ể í ì ậ ểểéá ệ ệ ỉểềàá ệệí ấ ề ệì ỉí ể ẽ ỉ ệéểểàá ề ấểề ề ìỉ ệ ề ệì ỉí ể èểệểềỉểà í ẹ ẩệể é ẹì ẩé ì ì ề íểệ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ễệể é ậểéỉ ểềì ệ ỉ ệ ỉ ì ỉ éé ểềéí ễ é ỉ ểề ể ỉ ìểéỉ ểềì ễệể é ẹ ì ề ề ề é ì ề ệ ề ìì ì ẵá á ề ề é ì éé ễệ ệ ề éé ễệ ề éì è ỉểệ ỉ ề ì ềạ ệ è ệệ ệ ề ểềỉệ é ểệ ỉệ ềìé ỉ ểềì ể ỉ ễệể é ẹì ẳẵ ẩệểễểì ệ é ề ỉ ểề í ẵ ề ệí ắẳẳ ỉ ệ ì ỉẹ ểệ ề ỉ ểặ é é ề ì ể ề ệ ề ề ề ìì ì ắá á ề ệỉ ề ểé ìỉ ề ể ỉ í ẩệ ỉ ỉá ề ệì ỉí ểéé è ề ệ é ỉ ệẹ ể ì ế ề ểệ éé n 1á ỉ ệ ỉ ìỉ ểẹẹểề ể 81 ẳắ ẩệểễểì ẹì ề ỉ ì ểềì ệ í ề ệì ỉí ể ểệ ấ ễ é ể ì tn = n2 + 20á ểệ n ậ ể ỉ ỉ ìểệ ể tn ề tn+1 ẹìỉ ìểệ ì ậỉ ệ ểá é ệ ỉệ ề é ABC ì ABC = ACB = 40 P ì ễể ềỉ ề ỉ ềỉ ệ ểệ ể ỉ ỉệ ề é ì ỉ ỉ P BC = 20 ề P CB = 30 ễệể ỉ ỉ BP = BA ẳ ẩệểễểì í ặ ề ệ ệ ệể ỉ ệ ểì ệ é ỉ ểề ẹểề ìế ệ ì ìỉ ỉ ì ỉ ỉ ỉ ìẹ ể n + ểềì ỉ ìế ệ ìá ềề ề ỉ ỉ ìế ệ ể n(2n + 1)á ì ế é ỉể ỉ ìẹ ể ỉ ìế ệ ì ể ỉ ề ĩỉ n ểềì ỉ ềỉ ệì ểệ ĩ ẹễé ề n = 32 + 42 = 52 ề ề n = 102 + 112 + 122 = 132 + 142 ậ ể ỉ ỉ ỉ ì ễệểễ ệỉí ểé ì ểệ ềí n ắ ẳ ẩệểễểì í éí ề ị ệ ìểá ấểẹ ề ỉ aá bá ề c ệ é ềẹ ệì ì ỉ ỉ ểỉ a + b+ c ề ab+ bc + ca ệ ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ậ ể ỉ ỉ a4 + b4 + c4 ì ệ ỉ ểề é ềẹ ệ ề ểềéí ỉ ễệể ỉ abc ì ệ ỉ ểề é ềẹ ệ ẳ ẩệểễểì í ểì ì ỉ éềí ệ éểề ậễ ề ề éé ệ é ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ỉ ẩểé ỉ ề ểééể ề ìíìỉ ẹ ể x+ y+ z x x+y y+z z x2 x + y y + z z = = = ế ỉ ểềì 3á 3á ẳ ẩệểễểì í ệ ậ í ệá ẹểệ é ề ệì ỉí ể ặ ểề é ề ậỉ ể ềìá ặ ề éé ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ểééể ề ỉ ệ ệ ễệ ì ềỉì ìỉ ề ỉ ỉ ặ ỉ ểề ễệể é ẹá ề è ặ è ặ ặ + è ấ ầ ấ é ỉạ è è ẳẵ ẩệểễểì ễ ệ ẩệ ỉ ỉá ề ệì ỉí ểéé ệé ề ểệ ấ ễ é ế ề ệ é ề ì ỉ ểềỉệ ệ ậể ỉ tn = n2 + 20á ễểệ n 1á é ỉ ệẹ ế ễểệ ỉểỉ n 1á é ễéì ệ ề ểẹẹề ì ệ tn ỉ tn+1 ể ỉ ỉệ 81 ề ì ệ ẳắ ẩệểễểì ễ ệ ì ậỉ ệ ểá é ệ ậể ỉ ABC ề ỉệ ề é ABC = ACB = 40 ậ P ìỉ ề ễể ềỉ é ềỉ ệ ệ ỉệ ề é ìểệỉ ế P BC = 20 ỉ P CB = 30 ẹểềỉệ ệ ế BP = BA ắ ẳ ẩệểễểì ễ ệ ặ ề ệ ệ ệể ỉ ề ệ ì ệ é ỉ ểề ềỉệ é ì ế é ìểẹẹ n + ệệ ì ểềì n(2n + 1)á ìỉ é é ìểẹẹ ì ềỉì ẩ ệ ĩ ẹễé ì n = ểề 102 + 112 + 122 = 132 + 142 ểềỉệ ỉểỉ n ệệ ì ềểẹ ệ ì ề ỉệ éì ẹểềỉệ ỉ ìá ểẹẹ ề ềỉ ễ ệ é ệệ ì ệệ ì ì n ềỉ ệì ểềì ỉ ì 32 + 42 = 52 ỉ ì n = ểề ệ ế ỉỉ ễệểễệ ỉ ìỉ ệ ễểệ ẳ ẩệểễểì ễ ệ éí ề ị ệ ìểá ấểẹ ề ậể ỉ aá b ỉ c ỉệể ì ềểẹ ệ ì ệ éì ỉ éì ế é ì ìểẹẹ ì a + b + c ỉ ab + bc + ca ìểềỉ ì ềểẹ ệ ì ệ ỉ ểềề éì ểềỉệ ệ ế éểệì a4 + b4 + c4 ìỉ ề ềểẹ ệ ệ ỉ ểềề é ì ỉ ì é ẹ ềỉ ì é ễệể ỉ abc ìỉ ề ềểẹ ệ ệ ỉ ểềề é ẳ ẩệểễểì ễ ệ ểì ì ỉ éể ề ệ éểề ìễ ề ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ẩểéíỉ èệể ệ ỉểỉ ì é ì ìểéỉ ểềì ệ éé ì ìíìỉ ẹ x+ y+ z x x+y y+z z x2 x + y y + z z = = = ế ỉ ểềì ì ềỉ 3á 3á ẳ ẩệểễểì ễ ệ ệ ậ í ệá ề ệì ỉ ẹểệ é ậỉ ể ềìá ặ èệể ệ ỉểỉ ì é ì ìểéỉ ểềì é ế é ế é ỉỉệ ệ ễệ ì ềỉ ề ễệể é ẹ ôệ ìỉ ề ỉ ặ è ặ è ặ + è ặ ấ ầ ấ è è ề ế è ệệ ạặ ỉ ểề ì ềỉá ềì ẳ ậ ểệ ĩ ẹễé ậ ểĩ ỉ ệá è ấ é ẩệể ỉ ẩé ề ệ ỉ ểềá ểệẹé ẵắ ểề ễ ẵ ểệ ỉ ỉ éìà ề ỉ ì ềểỉ ỉ ểềá ệ ệ ế ệ ỉể ì ể ỉ ỉ M1 , M1 M2 , M2 ì ề ễ ề ềỉ ể ỉ ểì ề ỉ ề ềỉì ẽ éé ì ể ỉ ỉá ểệ éé ể ì ể ỉ ểềéí ỉ ệ ỉ ề ềỉìá M1 , M1 M2 , M2 = ề ể ẵà ể ỉể ì ể ỉ ỉ M1 , M2 = ểềì ệ ỉ ễ ệ éé éể ệ ẹ ểệẹ í ỉ ề ễ ệ éé é ỉ ề ềỉì ỉể ỉ ệ ỉ ỉ ỉ ệ ỉ ề ềỉ ề ỉ ỉ ề ềỉ ễ ệ éé é ỉể ỉ ì ỉ ỉ ệ ểề éì ể ềí ế ệ é ỉ ệ é ệ ẹì ệ ểỉ ểề ểệẹ ì é ễểé ệ ỉệ ề é ỉ ì ì ỉ é ể è ểệ ẹ ểề ễ ể ỉ ểĩ ỉ ệ ểể ỉ ể àá ỉ ểề éì ể ểệ ễ ệ éé éể ệ ẹá ề ẹ éí y1 x x1 y = ề y2 x x2 y = 0á ệ ểề ỉ è ì ỉ ééì ì ỉ ỉ x1 x2 a2 ì ìệ ẵ ẵ ậễ ề + y1 y2 b2 = 0á ắẳẳ ẩệểễểì ẳ ẳ ỉ r1 < < r < r ỉ ỉ ỉ ệ é ệểểỉì ể 8x3 6x + r32 = 4r22 4r24 ỉ s1 < < s2 < s3 r12 + s22 = ậểéỉ ểề í ệ ề ỉ í ìì ẻ éé ệ ấ ểá ậ ềỉ ề ệá ề r12 = 4r32 4r34 ệ é ệểểỉì ể 8x3 6x + = ẩệể ỉ s21 + r22 = ỉ r32 + s23 = ề ìé íá ẩệ ì íỉ ệ ề ểéé ậ ỉ x = sin è ệ ệ ỉỉ ề ì = ẩệể é ềỉểềá ậ ậ ề ế ỉ ểề 8x3 6x + = ẹ í = 4x3 + 3x = sin3 + sin = sin(3) è ỉ + 2ká ểệ ềí ềỉ ề = + 2k ểệ = ềỉ ệ é [0, 2]á ơề ỉ ỉ 13 14 á á 9 9 9 ệ k ấ ìỉệ ỉ ề ỉể è ìá r1 = sin ì ề ỉ r2 = sin ềỉ ỉí sin2 = sin2 sin4 r32 ề 13 = sin 9 ề r3 = sin = sin2 = sin2 sin4 = 4r22 4r24 9 r12 = sin2 2 = sin2 sin4 = 4r32 4r34 9 9 ẳ ậ ỉ x = cos è ệ ệ ỉỉ ề ì è ỉ ề ế ỉ ểề 8x3 6x + = ẹ í = 4x3 3x = cos3 cos = cos(3) + 2k ểệ = + 2ká ểệ ềí ềỉ ề = 3 ềỉ ệ é [0, 2]á ơề ỉ ỉ 10 14 16 á á 9 9 9 ệ k ấ ìỉệ ỉ ề ỉể è ìá s1 = cos = cos 9 s2 = cos ề s3 = cos ì ệ ệ ìéỉ ểééểì ệểẹ ỉ ẩíỉ ểệ ề ềỉ ỉí cos2 + sin2 = ỉể ỉ ể é ì ể ri ề si éìể ìểé í ặ ầẻ ậá é ệ ééểệ ậễ ề ầặặ ậ ẩ ề ấ ậ ấ ặặ ề éể ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ậ ề ề éểá è ậ ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề è ấể ềá ệề ấ ặ ậ ầ ầè ấầậ ầá ẹ é ể ệệ ệ ẻ éé ểé ậễ ề ẫ ặ ầ ặá ặ í ề ề ẹ ậ ểểéá ẻ ề ểề ẻ ỉề ẹ ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ẩầậèầậ ậá ẻ ệ ể ậ ểểéá ỉ ềìá ệ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ạẽ ểề ểề ề ẻ ặ ấè ể ệá ẩ ậ ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ầ ặ ậ ấ ấậ ầèèấá ìỉ ềỉá ệề ề ệì ỉíá ểềỉ ểẹ ệíá ậ ặ ầá ìỉ ềỉá ề ề ểề ề ệì ỉí ể è ềểéể í ề ậ ề ẽ ềá ề ề ỉ ễệểễểì ệ ểìỉ ìểéỉ ểềì ệ ì ểề ỉ ềỉ ỉí ểệ cos è ễễé ẵ ắ ắẳẳ ẩệểễểì ẳ ẳ ỉ x1 x2 xn n 2à n i=1 x2i = ề ỉ í é ệ é ềẹ ẹ ề ẹẹ ề ẹ ĩ ẹẹ ể ỉ éé ấể ềá ệ ề ệì ì n i=1 ỉ ỉ n i=1 xi = ề |xi | ìì ềỉ ééí ỉ ì ẹ ìểéỉ ểề í ậ ỉ ệìé ề ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ề ạẽ ểề ểề ề ẽ n |xi | i=1 n = i=1 x2i + n n n |xi ||xj | + i=1 j=1 j=i n = 1+ xi i=1 n xi xj i=1 j=1 j=i n i=1 x2i = ế é ỉí ểé ì ểệ x1 = 1/ 2= x2 ề x3 = x4 = ã ã ã = xn = ỉ ểééểì ỉ ỉ ỉ ẹ ề ẹẹ ì ẳ ểệ ỉ ẹ ĩ ẹẹá ìễễểì ỉ ỉ m ể ỉ xi ì ệ ềểềạề ỉ ề n m ệ ềểềạễểì ỉ ểệ m n ẽ ỉ ểỉ éểìì ể ề ệ é ỉíá ììẹ ỉ ỉ x1 xm ệ ềểềạề ỉ ề xm+1 xn ệ ềểềạễểì ỉ í ậ ệịì ề ế é ỉíá m i=1 ề n i=m+1 ỉ ểééểì ỉ = i=1 n i=1 nm n xi i=1 xi = i=m+1 m xi nm i=1 ỉ n ề x2i m m x2i x2i m |xi | = m i=1 + m nm n xi xi = i=1 m n m(n m) xi i=1 m(n m) ểệ ềí ệ é ềẹ ệ rá ỉ ế ệ ỉ ề ỉ ểề x(r x) ì ẹ ĩ ẹẹ r /4 ỉ x = r/2 è ìá ểệ n = 2ká ệ k ì ễểì ỉ ềỉ ệá m(n m) k2 ề n 2k |xi | = n n i=1 ế é ỉí ểé ì ểệ x1 = x2 = ã ã ã = xk = xk+1 = ã ã ã = xn = 1/ n ểệ n = 2k + 1á ệ k ì ễểì ỉ ềỉ ệá m(n m) max{k(2k + k)á(k + 1)(2k + k 1)} = k(k + 1) ề n |xi | i=1 k(k + 1) = n n n ế é ỉí ểé ì ểệ x1 = x2 = ã ã ã = xk = ề ẽ ểề é xk+1 = ã ã ã = xn = ỉ ỉỉ ẹ ĩ ẹẹ ì n+ k+1 k(2k + 1) k (k + 1)(2k + 1) (1)n 2n éìể ìểé í ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề ẩ ấ ặá ề ệì ỉí ể è ĩ ìá ề ệ è ậ ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ è ệ ì ểề ề ểệệ ỉ ì ẹ ìì ểề ẳ ẵ ắẳẳ ẳ ẳ ểệ ềỉ ẩệểễểì ệì n ể ì ỉ í é ỉ éé ấể ềá ệ ề ế ỉ ểề 3xy = n x+y ìểéỉ ểề ề ềỉ ệì x ề y ìì ềỉ ééí ỉ ì ẹ ìểéỉ ểề í ấểí ệ ệ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề ệ ề ìé íá ẩệ ì íỉ ệ ề ểéé é ềỉểềá ậ ậ ạẽ ểề ểề ề ể é ậ éểì ệ íì ặ ậ ề ẩ ỉ ệ ẽểểá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ỉk ềí ềỉ ệ n = 3ká ỉ ề ỉ ề ế ỉ ểề ểẹ ì 3xy 3k(x + y) = 1á ì ềể ìểéỉ ểềì n = 3k + 1á ỉ ề x = k ề y = (3k2 + k + 1) ì ìểéỉ ểề n = 3k 1á ỉ ề x = k ề y = 3k2 k + ì ìểéỉ ểề ề ỉ ế ỉ ểề ì ìểéỉ ểề ề ểềéí n ì ềểỉ ẹéỉ ễé ể éìể ìểé í ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ấ ậ ấ ặặ ề éể ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ậ ề ề éểá è ậ ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ẩ ấ ặè ấá ẹểệ é ề ệì ỉí ể ặ ểề é ề ậỉ ể ềìá ặ ẩ ặầậ èậ ầậậầ ầá ỉ ềìá ệ ề ỉ ễệểễểì ệ ẵ ắẳẳ ễệ ì ề ẳ ẳ > ì ìểéỉ ểềì ể ỉ ẩệểễểì ệ é ểềìỉ ềỉá ế ỉ ểề í éé ậặ ậ ề ệá ề ệ ỉ ệẹ ề ỉ ềẹ ệ ể ễểìì é ệ é x log2 x = ln ế ỉ ểề ề àá ề < ệ ỉể ễểì ỉ ệ é ìểéỉ ểềì ể ỉ x1 ề x2 ệ ềí ỉể ệ é ềẹ ệì ì ỉ ì í ề x1 < x2 ễệể ỉ ỉá ểệ éé ì ỉ ỉ < < 1á log2 x1 + (1 ) log2 x2 ln x1 + (1 )x2 ỉ ệẹ ề ề ế é ỉí ể ệì ậểéỉ ểề í ậ ỉ ệìé ề ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ệị ể ề ẹể ề ĩễ ề íỉ ỉểệ ề ểềì ệ ỉ ề ỉ ểề f (x) = x log2 x + ln ểệ x > ẽ f (x) = /(x ln 2) ề x = /(x ln 2) ì ỉ ểềéí ệ ỉ é é ậ ề f (x) < ểệ < x < / ln ề f (x) > ểệ x > / ln 2á ệ ì ề ểề (0, / ln 2) ề ề ệ ì ề ểề (/ ln 2, ) ì ỉ ỉf ì è ìá f ì ệ é ỉ ẹ ề ẹẹ ỉ x = / ln ẵẳ ặểỉ ỉ ỉ lim+ f (x) = ề ỉ x0 ỉ lim f (x) = + ln + lim x x ìề lim x x log2 x x = log2 x = x ẽ ềể ì ể ỉ ỉ f (/ ln 2) < ậ ề f (/ ln 2) = / ln log2 (/ ln 2) + ln ỉ ìặ ì ì ế é ềỉ ề ỉể ì ể ỉ ỉ 1/ ln log2 (/ ln 2) + ln < 0á ì ìì ểề ỉể (ln 2) log2 (/ ln 2) ln + (ln 2)(ln ) ln ln(/ ln 2) + (ln 2)(ln ) ln ln ln(ln 2) + (ln 2)(ln ) ln + ln(ln 2) (1 ln 2)(ln ) f < < < < 0á 0á 0á 0á ì ỉệ ì ề (1ln 2)(ln ) > ề 1ln 2+ln(ln 2) < è ệ ểệ ì ĩ ỉéí ỉể ệ é ệểểỉìá ề ì ỉ ỉ < < è ỉ ìá ỉ ề ế ỉ ểề ì ĩ ỉéí ỉể ệ é ìểéỉ ểềì ệểẹ ễ ệỉ ì ỉ ỉ f (x) ểệ éé x [1 , ]á < < / ln < è ìá log2 x (x/) + ln ậ ề < < 1á ỉ ểééểì ỉ ỉ log2 x1 + (1 ) log2 x2 x1 x2 + ln + (1 ) + ln = x1 + (1 )x2 + ln ặ ĩỉ ì ể ỉ ệ ẵà ỉá ểệ éé t > 0á t + ln ln t ắà ỉ g(t) = t + ln ln t è ề g (t) = /t ì ể ề ỉ ỉ t = ì ỉ ểềéí ệ ỉ é é ậ ề g (t) = /t2 > 0á ì ỉ ỉ g() = ì ệ é ỉ ì éé ì ỉ ìểéỉ ẹ ề ẹẹ ể g ề g(t) ểệ éé t > ề ắà ểééểì ề ễ ệỉ é ệá ểệ t = x1 + (1 )x2 ể ỉ ề x1 + (1 )x2 + ln ln x1 + (1 )x2 ệểẹ ẵà ề àá ỉ ề log2 x1 + (1 ) log2 x2 ln x1 + (1 )x2 ế é ỉí ể ệì ề ểềéí x1 = x2 = ề + (1 )2 = ậ ề f () = (ln log2 ) < 0á ì ỉ ỉ í é ì= 2 < < < ln éìể ìểé íỉ ễệểễểì ệ ì ểềì ìỉ ềỉ ỉ ỉ ììẹễỉ ểề < < ẵẵ ẵ ắẳẳ ẳ ẳ ẩệểễểì í ẻ ệ é ặ é ệ ìỉá ấểẹ ề ề ABC é ỉ Dá E F ỉ ềỉ ệì ỉ ểềì ể ỉ éỉ ỉ ì ệểẹ Aá B C ỉể ỉ ì ì BC CAá AB ệ ìễ ỉ éí ỉ H ỉ ểệỉ ể ềỉệ ể ABC é ỉ L ỉ ềỉ ệì ỉ ểề ể AT ề ỉ é ề ỉ ệể B ễ ệễ ề é ệ ỉ ềỉ ệì ỉ ểề ể BE ề DF ỉể BC ề é ỉ T ề ểềéí ACB = 45 ậ ể ỉ ỉ BL = BC ậểéỉ ểề í ẽ ẹể é ỉ éé ấể ềá ệ ề íỉ ệ ế ệ ẹ ềỉ ể ỉ ễệể é ẹ ỉể ậ ể ỉ ỉ BL = BC ề ểềéí ACB = 45 ểệ ACB = 135 ề ỉ ỉ AT ì ỉ ễểé ệ ể C ỉ ệ ìễ ỉ ỉể ệ é ỉ ẹ ỉ ệ BH ề ặểỉ ỉ ỉ B F H ề D é ểề ỉ ỉ ỉ AT ì ỉ ễểé ệ ỉ ệ ìễ ỉ ỉể ẽ éé L ỉ ễể ềỉ ể ềỉ ệì ỉ ểề ể ỉ ễ ệễ ề é ệì ỉể BC ỉ B ề ỉể AC ỉ C ệìỉá ìễễểì ỉ ỉ ACB = 45 ểệ ACB = 135 è ề ì ề ỉ BDH ỉì ỉ ỉ BE CL ề BCL = 45 ì ỉ ỉ CBL ề ệ ìểì é ì ệ ỉ ỉệ ề é ìá ỉ ệ ỉ ề é ì ỉ B ề Dá ệ ìễ ỉ éí ỉ U ỉ ẹ ạễể ềỉ ể CL è ềá U BH = 90 ìể ỉ ỉ U B ì ỉ ề ềỉ ỉể ỉB ề ỉ ệ é = (BCL ) ì ểệỉ ể ểề é ỉể ậ ề CL ì ẹ ỉ ệ ể ỉ ễể ềỉì C ề L ệ ểề ỉ ỉ ệ ìễ ỉ ỉể ề L ì ểề ỉ ễểé ệ AT ể C ề ỉ ìá L = L ề BL = BC A F T B H D q U LL ACB = 45 A L L E U q F B C D C E H ABC = 135 éìể ìểé í ẩầậèầậ ậá ẻ ệ ể ậ ểểéá ỉ ềìá ệ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ề ẻ ẻ ầặ ặ ấ ễ ìá ậ è ểééể ề ìểé ệì ểềéí ểềì ệ ỉ ì ACB = 45 ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ấ ặ ậ ầ ầè ấầậ ầá ẹ é ể ệệ ệ ẻ éé ểé ậễ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ầ ấ ặ ẹ ềá èá ậ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ậ ặá éỉ ểẹẹ éá ỉ ặ ỉ ệé ề ì ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ ẵắ ẵ ắẳẳ ẩệểễểì ẳ ẳ í ẻ ệ é ặ é ỉ ỉ ệ ẹ ệ é ể ABC ỉ M ỉ ì AB ề é ỉ N ề ềỉ ệ ểệ ễể ềỉ ểề ỉ ì ềỉ ệì ỉ ểề ễể ềỉ ể M N ỉ ẩệể ỉ ỉ M B AC N C AB ã ã M A DB N A DC = ệ ìỉá ấểẹ ề ề ềỉ ệ ểệ ễể ềỉ ểề AC ỉ D ề BC DA ậểéỉ ểề í ẩ ỉ ệ ẽểểá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ỉ P = ADBC ề Q = M DBC ỉểệì ểẹẹ ềỉ ẽểể éì ĩễé ỉéí ỉ ỉ ì ệ D ì ểễễểì ỉ B ểề ệ AC ể ỉ ệ ẹ ệ é ìỉ ề ì ề ệ ỉ ề B é ì ỉ ề Q ề C ẽ ỉ ỉ ì ể ệ ỉ ề é ìá ề ể ìễ é ì ì ĩ ễỉ ề P ểệ Q ì ỉ ềơề ỉí ỉ ì ễểìì é ỉ ì ệ ì éí ề é ì ề ểềỉ ề ỉí ệ ẹ ềỉì í ề é ì BAP ề ỉể ỉ ỉệ ềì ệì é è ểệ ẹ ễễé ỉể ỉ ỉệ ềì ệì é QM D ể QN D ể CAP BM BQ P D = ã MA QP DA ì P DB P CA AC BD ì ẹ é ệéíá AB CD BM MA ã AC BD CN NA ã AB CD = = = = = ìệ PC PD = ỉ PB PD ỉ = ì = P DC ẹễé ì ỉ P BA ỉ ểééểì ỉ CN CQ P D = ã NA QP DA ề BQ QP BQ ã PD DA PD ã AC BD PC + CQ QP CQ ã PD DA PD ã AB CD PB ã ã + ã ã QP DA P D QP DA P D BQ ã P C + CQ ã P B QP ã DA BQ ã P C + (CB + BQ) ã (P C + CB) QP ã DA CB ã (P C + CB + BQ) QP ã DA CB ã P Q BC = QP ã DA DA ẵ éìể ìểé í è ấể ềá ệ ề ẩầậèầậ ậá ẻ ệ ể ậ ểểéá ỉ ềìá ệ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ậ ặá éỉ ểẹẹ éá ỉ ặ ỉ ệé ề ì ề ỉ ễệểễểì ệ ặ é ễệể ì é ỉ ểề ể ẹ é ệ ề ềểỉ ìể ẹ é ệ ìễ é ì ì ể ì ệ ìéỉ BN CM = G ỉ BN CM = I BN CM = H ẵ ắẳẳ k ì b a c = DB DC DA ềỉệể àá ỉ ề ỉ ề ềỉệ àá ỉ ề ỉ 1 = DB DC DA ểệỉ ể ềỉệ àá ỉ ề ẩệểễểì ẳ ẳ cos B | cos A| cos C = DB DC DA í éí ề ị ệ ìểá ấểẹ ề ơĩ ể ễệ ẹ ềẹ ệ ỉ (n) ềểỉ ỉ é ệ ìỉ ềỉ ỉp ỉ ỉ pk ì ề ềỉ ệ é ìểệ ể 11 ã 22 ã 33 ã ã ã nn ẩệể ỉ ỉ lim (n) = n2 n 2(p 1) n p + p2 + + ã ã ã + n p2 + p3 + + ã ã ã + ẹểệ ểề ì (n) = j=1 ệ N (n) = ln n/ ln p ẽ n pj éỉ ễéí ề n n p3 + ããã ểệẹá N (n) ệí ẹ ểệ ể (n)á ễệể ĩễểề ềỉ ể p ề ỉ ễệ ẹ ểẹễểạ ề ểệ ệ ỉể ỉ ề ể ỉ é ề ệ ề ì ệ ìểề ề ểệ ỉ ì ỉ ểề ể n! è ệ ìéỉ ỉ ề ì (n) = p + + ã ã ã + n pj < n pj pj n pj n pj +1 n pj +1 n pj n +1 pj í pj í é ì n pj < pj n pj ệ ậểéỉ ểề í ẽ éỉ ệ ềểìá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ề n pj +1 n n +1 pj ẵ è ìá N (n) pj j=1 N (n) n < ỉỉ ề n ề ềểỉ ề ỉ lim n (n) n2 ỉ lim n (n) = n2 2 N (n) j=1 pj j=1 N (n) = 0á n + N (n) n ỉ 1 = pj 2(p 1) éìể ìểé í è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ ẵ ỉ ẩệểễểì í éí ỉ E = {(x, y) ặ ì ặ | x + y ì ễ ệ ắẳẳ ẳ ẳ ề ị ệ ìểá ấểẹ ề ỉ ìế ệ }á ề é ỉ N (n) ì ỉ {(x, y) E | x n ề y n}á ểệ n ặ ẩệể ỉ ỉ ìị ể ỉ lim n N (n) = ( 1) n n ậểéỉ ểề í ể é ậ éểì ệ íì ặ ậ ẹể í ỉ n ặ ề k ặá é ỉ (n, k) ỉ ềẹ ệ ể ểệ (x, y) ỉ xá y n ề x + y = k è ề N (n) = i=1 ỉểệ ềỉ ệ ễ ệì (n, i ) èể é ỉ (n, k)á ơệìỉ ể ì ệ ỉ ỉ xá y ná ỉ ề x + y 2n ỉ ểééểì ỉ ỉ (n, k) = ềé ìì k 2n k n+1á ỉ ề ỉ ế ỉ ểề x+y = k ì ì ỉ ìơ í ỉ ễ ệì (1, k1)á (2, k 2)á (k 1, 1) ề (n, k) = k n + k 2ná ỉ ề ỉ ế ỉ ểề x + y = k ì ì ỉ ìơ í (k n, n)á (k n + 1, n 1)á (n, k n) ề (n, k) = 2n + k è ìá k n + 1á k (n, k) = 2n + k n + k 2ná ểỉ ệ ì è ệ ểệ ểệ ệ I1 = i ặá i (n, i2 ) = 2n + i2 n+1 ề I2 = 2n i I1 I1 k I2 ểỉ ệ ì ẵ ặể N (n) = I1 (n, i2 ) = i=1 I1 I2 (i2 1) + i=2 i=I1 +1 i=1 i2 = i=1 = = I2 i2 + 2n(I2 I1 ) + I2 2I1 i=1 I1 (I1 + 1)(2I1 + 1) I2 (I2 + 1)(2I2 + 1) + 2n(I2 I1 ) + I2 2I1 nã nã2 n 2n ã 2n ã 2n + 2n 2n n + O(n) 2 n n + 2 + O(n) 3 + O(n) n n è ìá ề ỉ i2 i=I1 +1 I1 = I2 i2 I1 + (2n + 1)(I2 I1 ) = = (2n + i2 ) N (n) 21 +O = n n ệ ểệ lim n n N (n) 21 = n n ì é ẹ éìể ìểé í ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ ẵ ắẳẳ ỉn ẩệểễểì ẳ ẳ ễểì ỉ ềỉ í éí ệá ề é ỉ ề ị ệ ìểá ấểẹ ề é ệì ểềìỉ ềỉ ẩệể ỉ ỉ 1 1 < + + ã ã ã + ln n + + 48n3 n 24n < 48(n + 1)3 ậểéỉ ểề í ỉ ễệểễểì ệ ểệ ễểì ỉ xn = + ềỉ ệ ná é ỉ 1 1 + ã ã ã + ln n + + n 24n + 48n3 ẵ ề xn+1 xn = f (n)á è f (x) ẽ ệ ln x+1 + 24(x + 1) 1 1 + ln x + + + 24x 48(x + 1)3 48x3 = x+ f (x) > ểệ x > ì ề ểẹễỉ ệ é ệ ìíìỉ ẹá ỉ +10096x +15008x +10836x +3870x +652x+37 f (x) = 2656x 16x ệỉ ệẹểệ (x+1)4 (24x2 +12x+1)(24x2 +60x+37) lim f (x) = è ệ ểệ f (x) < ểệ éé x > 0á ẹễé ì ỉ ỉ ỉ x {xn } n=1 ì ìỉệ ỉéí ệ ìề ậề lim xn = ẹìỉ n xn > ểệ éé n è ì ễệể ì ỉ é ỉ ề ế é ỉí ểệ ễểì ỉ ềỉ ệ ná é ỉ ì ế ề yn = + è 1 1 + ã ã ã + ln n + + n 24n ề yn+1 yn = g(n)á g(x) ẽ ln x+1 + 24(x + 1) 1 1 + ln x + + + 24x 48(x + 2)3 48(x + 1)3 = x+ g (x) < ểệ x > ì ề ệỉ ệẹểệ ì ểì ỉ ỉ ỉ ẹìỉ éìể ìểé ề ẽ è ấ ìểéỉ ểề lim g(x) = è ắẳẳ ểẹễỉ ệ é ệ ìíìỉ ẹá ỉ +72336x6 +247520x5 +456204x4 +483110x3 +288492x2 +86997x+9472 16x(x+1)4 (x+2)4 (24x2 +12x+1)(24x2 +60x+37) ệ ểệ g(x) > ểệ éé x > 0á ì ìỉệ ỉéí ề ệ ì ề ậ ề lim yn = ì ế ề n yn < ểệ éé n è ì ễệể ì ỉ ệ ỉ ề ế é ỉí í ẩ ấ ặ ề ặ ặ ề ệì ỉí ể è ĩ ìá ề ệ è ậ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ è ệ ì ểề ề ểẹễé ỉ x ẳ ẳ ỉ ABC ễể ềỉ ể AD ề M ỉ {yn } n=1 ẩệểễểì í ậẹ ề éỉ ểẹẹ éá ỉ ặ ỉ éỉ ỉ AD ề ểệỉ ể ềỉệ H ỉ E ẹ ạễể ềỉ ể BC AD = BC ễệể ỉ ì ỉ 48(n + 1)3 ệ g (x) = 8864x ẵ ẳ ệé ề ì + ỉ HM = HE ểề ệì ể ỉệ ỉ ẹ ẵ ểẹễểì ỉ ể ì ẹ é ệ ìểéỉ ểềì í ấểí ệ ệ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề ề ểôệ í ề ééá ẹ ềá èá ậ é ề ỉ ễ ệỉì ề ỉể ỉ ệá ễệể ỉ ỉ HM = HE ề ểềéí AD = BC ẽ ềỉệể ểểệ ề ỉ ì ỉ D(0, 0)á E(0, 1)á ề A(0, 2) ểề ỉ y ĩ ìá é B(b, 0) ề C(c, 0) ơề ỉ xạ ĩ ì ểệ ệ é ềẹ ệì c > b ỉ ểééểì ỉ ỉ M ì ỉ ễể ềỉ 12 (b + c), ề ỉ é ề CH ễ ìì ề ỉ ệể C ề ễ ệễ ề é ệ ỉể AB ì ỉ ế ỉ ểề y = 12 bx 12 bc è y ềỉ ệ ễỉ ể CH ì H(0, 21 bc) ẽ ỉ ì HM HE = = = b+c b2 c2 bc + 1+ b2 + c2 bc 1 (b c)2 = (BC AD ) 4 ề ểềéí è ìá HM = HE BC = AD ểẹễểì ỉ ể ì ẹ é ệ ìểéỉ ểềì í ậ ỉ ệìé ề ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ề è ỉ ểề ệá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ì ỉ ểẹ ì ẽ ỉ ệ ểệ ABD ỉ CHD ì ề AD BD = CD HD BAD = 90 ABD = HCD àá ề ỉ ệẹì ể ì ề ì ẹ ềỉìá ỉ ì ế é ỉí DA ã HD = DB ã DC HM HE = = HD + DM HE HD + (DB + BM )2 (HD + DE)2 = HD + DB + 12 BC = = = (BC (BC (BC HD + 12 DA AD ) DA ã HD + DB(DB + BC) AD ) DA ã HD + DB ã DC AD ) è ìá HM = HE ề ểềéí AD = BC éìể ìểé í ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề è ấể ềá ệ ề ẩ ấèậá ệị ể ề ( ì ểề ìểéỉ ểề) ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ẩầậèầậ ậá ẻ ệ ể ậ ểểéá ỉ ềìá ệ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ẻ ẻ ầặ ặ ấ ễ ìá ậ (ắ ìểéỉ ểềì) ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ầ ậ ấ ểề ặá ậ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ ầề ể ểề ềíì ìểéỉ ểềì ểềì ệ ỉ ẹ éí ể éé ỉệ ề é ì ABC ỉ ơĩ ì BC ểệ AD = BC è éể ì ể ểệỉ ể ềỉệ ì H ì A ẹể ì éểề ỉ é ề ễ ệ éé é ỉể BC ỉ ỉ ơĩ ìỉ ề ể AD = BC ì ễ ệ ểé ểì ể ì ì ỉ ẹ ạễể ềỉ M ể BCá é ỉì ệ ỉẹ ì BCá ề ệ ỉệ ĩ ì ỉ éể ì ể ỉ ẹ ạễể ềỉ E ể AD è ế é ỉí ể HM ề HE ì ỉ ề ế é ềỉ ỉể ì ễệểễ ệỉí ể ểề ì ệểẹ ềí ễể ềỉ ểề ễ ệ ểé ỉ ìỉ ề ỉể ỉ ệ ỉệ ĩ ế éì ỉ ìỉ ề ỉể ỉ ể ì ẵ ẵ ẵ ệé ề ì ắẳẳ ẳ ẳ ẩệểễểì í ậẹ ề éỉ ểẹẹ éá ỉ ặ ỉ ỉD ễể ềỉ ểề ỉ ì BC ể ABC ề é ỉ P ề ệ ỉệ ệí ễể ềỉ ểề ỉ ì ẹ ềỉ AD ỉ BP ẹ ỉ AC ỉ E ề CP ẹ ỉ AB ỉ F AD BC ễệể ỉ ì ỉ ỉ BDF = CDE ểề ệì ể ỉệ ậểéỉ ểề í ểôệ í ề ééá ẹ ềá èá ậ ẹể ỉ ỉ é ề ỉ ệể ệỉ ĩ ì BC ỉ DE ỉ ễể ềỉì G ề H ệ ìễ ỉ éí ỉ 1á 2á 3á 4á 5á ề ềểỉ ỉ ề é ì BDF F DAá EDAá CDE AHD ề AGD ệ ìễ ỉ éí é ệéíá = ề = ệìỉ ì ể ỉ ỉ HA = AG èệ ề é ì AHF ề BF D ệ ì ẹ é ệá A ễ ệ éé é ỉể ỉ ề DF ẹ ỉ ẹễé ì ỉ ỉ AF HA = FB BD H íỉ A G E F P 23 D B CE DC ì ỉệ ề é ì AGE ề CDE ệ ì ẹ é ệá í é ề = EA AG ỉ ì è ểệ ẹ ỉể ABC = ỉểệ C ễễéí ề AF BD CE HA BD DC HA ã ã = ã ã = F B DC EA BD DC AG AG è ìá HA = AG AD BC ỉ ẹễéí ề ỉ ỉ = ề ỉệ ề é ì DAH ề DAG ệ ểề ệ ềỉá = 4á ỉ ề = 6á ẹễé ì ỉ ỉ DGH ì ìểì é ì ỉ DG = DH è ẹ ề DA ề DGH ì ỉ ệ ểệ éìể ỉ éỉ ỉ ệểẹ D ỉể GH è ì ẹ ì AD ề ỉ ì éìể AD BC éìể ìểé í ậ è ấậ ặ ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ấầ ấ ấ ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề è ấể ềá ệ ề ấ ặ ậ ầ ầè ấầậ ầá ẹ é ể ệệ ệ ẻ éé ểé ậễ ề ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ẩầậèầậ ậá ẻ ệ ể ậ ểểéá ỉ ềìá ệ ẽ è ấ ặầậá ệìé ề ề íẹề ì ẹá ềềì ệ ìỉệ ẻ ẻ ầặ ặ ấ ễ ìá ậ ậ ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ èè ẻầặ ấá ểẹ ề ìỉ ấểẹ ề ề ỉ ễệểễểì ệ ểề ềí ề é ễể ềỉ ểỉ ỉ ỉ ễ ệỉ ể ỉ ễệể é ẹ ì ềểề ỉ ễễ ệ ề éẹểìỉ ềỉ é ểệẹá ì ỉ ỉ ễệể é ẹ ể ỉ ề ề ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ ềẵ ỉ ìểéỉ ểề ễ é ì ề ệĩ ẵ ẵ ểề ềí éìể ìễễé ề ệé ệ ệ ệ ề ( ậệ í ể ểẹ ỉệíá ể ệ ìá ẵ ắá ééíề ề ểềá ễ ) ẵ ẵ ắ ắẳẳ ề ệì ỉíá ẩệểễểì ệẹ ềí ẳ ẳ ệ ỉ ệẹ ề éé ềỉ í ệ ậễ ệ ìểéỉ ểềì (x, y) ể ỉ x +y ế ỉ ểề 1007 = 2004 ậểéỉ ểề í ạẽ ểề ểề ề ẽ ì ể ỉ ỉ ỉ ế ỉ ểề ì ềể ềỉ ệ ì ì ẹể éể 71 ậ ề 71 ì ễệ ẹ ề (16, 71) = 1á í ệẹ ỉì ỉỉé è ểệ ẹ ề 20041007 ệ ẽỉ ỉ ỉá ầỉỉểạểềạ ệ ệ ìểéỉ ểềì í ểềì ệề (1614 )70 (mod 71) 161007 = (1614 )70 (1627 ) 1627 = 40969 499 1176493 23 = ( (mod 71) éễ ể ểẹễỉ ệá ơề ỉ ỉỉ ế ềỉ ệ ì ì ẹể 71à 0á 1á 20á 23á 26á 30á 32á 34á 37á 39á 41á 45á 48á 51á ề 70 ề ỉ ì ễỉ ệ ì ì ẹể 71à ệ 0á 1á 5á 14á 17á 25á 46á 54á 57á 66á ề 70 ỉ ểééểì í ỉ ểì ỉ ìỉệ ỉ ểệ ệ é é ỉ ểềì ỉ ỉ ỉ ệ ì ì ể x5 + y (mod 71) ệ ễệ ì éí ỉ ểì k ệ k 70 ì ỉ ỉ k / {8á 10á 11á 60á 61á 63} ậ ề ỉ ệ ì ì ẹ ìì ề ểề é ỉ ỉ ỉ ề ế ỉ ểề ì ềể ềỉ ệ ìểéỉ ểềì éìể ìểé ì ề ìì ềỉ ééí ỉ ì ẹ ệ ẹ ềỉà í ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ề ỉ ễệểễểì ệ è ệ ì éìể ề ề ểẹễé ỉ ìểéỉ ểề è ễệểễểì ệ ệ ẹ ệ ỉ ỉ 71 ì ỉ ìẹ éé ìỉ ễệ ẹ ểệ ỉ ì ễệểể ểệ ì ẵ ẩểé ỉ ề ắẳẳ ỉ éềí ẩệểễểì í ểì ì ệ éểề ậễ ề é é ỉ n k2 + n2 lim ln n k ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ỉ n2 n2 k=1 ểẹễểì ỉ ể ệỉ ééí ềỉ é ìểéỉ ểềì í ỉ ểì ìểé ệì ìỉ ệ ì ì ỉ ệ ề ẹ ì ề ỉ é ìỉ ỉ ỉ ề ỉ Sn = ln n k=1 Sn = n2 k + n2 n2 n k ln k=1 k n2 k2 + n2 n2 è = ềỉ ề n n k=1 k n ln + k2 n2 í ề ắẳ ấ ẹ ềề ìẹ ììể ỉ ỉ ỉ ểềỉ ềểì ề ỉ ểề f (x) = x ln(1 + x2 ) n ề ỉ ệ é ệ ễ ệỉ ỉ ểề á ể ỉ ềỉ ệ é [0, 1] n n n ề lim Sn = n x ln(1 + x2 ) dx = = (2 ln 2) (1) 2 (u ln u u) ln u du = 1 = 2 (1 + ln 2) ậểé í ả è ấể ềá ệ ề ả ầặặ ậ ẩ ấ ậ ấ ặặ ề éể ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ậ ề ề éểá è ậ ả ặ ặèầá ầậ ấ ấấá ề ầ ấặ ặ ể ệểềểá ậễ ề ả ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá ậ ảẩ ấèặ ặểệỉ ệề ềỉ í ề ệì ỉíá é ề ỉìá ậ ầ ậ ầậ ấ íì ặ ậ ảầặ ẽặậ ề ẻ ấ ậèầặ ểệ ậểỉ ệề ề ệì ỉíá ậỉ ỉ ì ểệểá ậ ả ặ ấầậ ậ ậá ìỉ ềỉá ề ệì ỉí ể ệ ỉ ệ é ểềá ệ ảẩ è ấ ẽầầá ểé ề ệì ỉíá ệ á ậ ề ỉ ễệểễểì ệ èể ề ểệệ ỉ ìểéỉ ểềì ệ éìể ệ ề ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ỉ ỉ ẹ ỉ é í ẹ ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ỉểệ ểề ỉểệì ề ẹ ệ ỉì ằ ấ ỉểệì ằ ấ ẹ ệ ỉ ằ ấ ỉ ệạ ẹ ệ ỉì ỉ ệìạ ểề ỉ ệạ ẹ ệ ỉ ỉ ệì ểễểé ệ ậ ấ ậ ệ ẽ ậ ề ìá ấ ẽểể ệểá í ệ ệ ệ ỉ ẹ ỉ é í ẹ ểề ề ỉểệì ẩ ỉểệì ằ ấ ẹ ệ ỉ ằ ấ ệểììẹ ềá ề ệ ỉ ệìạ ểề ỉ ệì ỉ ệìạ ẹ ệ ỉ ề ặ ể ẩ ậ ỉểá ẩ ỉệ ì ấ ậ ậệệí ấ ẻ é ễ ểề ô ẹá íệì ì ể ậ ề é ề éé í ệ ... Å ×ĨỊ×¹Ä ỈØØ ¸ Ư Ị Ì × × Ü ƠƯĨ Ð Đ× Ư ËĨÐÙØ ĨỊ× Ị ĨÙỊ ƯĨĐ Ø Ø º ÁÅÇ Ë ĨỪ¹Ð ×Ø ¾¼¼½º http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t-15624 ĨƯ Ị Ù ËƠƯ Ị Ư¸ Ơº ¸ Ỵº  Ị ĨÚ ¸ Áº Å Ø ¸ Ỉº È ØƯĨÚ ¸ º