Thiết kế lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ

Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) trở thành môn học sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thơng, Tự động hố Xử lý tín hiệu số ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , hệ thống truyền hình số, thơng tin địa lý, đồ số, viễn thông v.v Phép xử lý DSP lọc, hệ thống đề cập đến nhiều xử lý tín hiệu số lọc số (Digital Filter) Nếu xét đáp ứng xung chia lọc số thành loại lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) cịn gọi lọc khơng đệ quy, lọc có đáp ứng xung vơ hạn IIR (Infinte Impulse Response) gọi lọc đệ quy Xét đáp ứng tần số biên độ chia lọc, FIR hay IIR, thành loại bản: thông thấp, thông cao, thông dải chắn dải Các lọc thiết kế phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques) Mỗi phương pháp có đặc điểm ưu khuyết điểm riêng Trong khuôn khổ tiểu luận môn học, xin phép trình bày tốn thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Nội dung tiểu luận chia thành phần: Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Decibels Trang Hình 1.1 Các tiêuPhần tiêu tuyệt đối tương đối 1.lọc CơFIR: sở lýcác thuyết Phần Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Phần Kết luận Phần CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Dẫn nhập Việc thiết kế lọc số tiến hành theo bước: • Đưa tiêu: Trước thiết kế lọc cần xác định tiêu Các tiêu xác định ứng dụng cụ thể khác • Tìm xấp xỉ: Một tiêu xác định, ta sử dụng khái niệm cơng cụ tốn học khác để tiến tới biểu diễn tính gần cho lọc với tập tiêu cho Và chủ đề việc thiết kế lọc số • Thực lọc: Kết bước cho mơ tả dạng phương trình sai phân, hàm hệ thống H(z), đáp ứng xung h(n) Từ mơ tả thi hành lọc phần cứng phần mềm mơ máy tính Trong phần tiếp sau đây, để mô tả tiêu lọc xem xét việc thiết kế lọc thơng thấp ví dụ sở Có nhóm tiêu: Các tiêu tuyệt đối (Absolute Specifications) tiêu tương đối (Relative Specifications - DB) Trên hình 1.1 mơ tả tiêu lọc FIR thông thấp (Low Pass Filter): Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang Trong đó: • Band [0, wp] gọi dải thông, δ dung sai (gợn sóng) chấp nhận đáp ứng dải thơng lý tưởng • Band [ws, π ] gọi dải chắn, δ dung sai dải chắn • Band [wp, ws] gọi dải chuyển tiếp, khơng có ràng buộc đáp ứng biên độ dải Các tiêu tương đối gồm có: • Rp: Độ gợn sóng dải thơng tính theo dB • As : Suy hao dải chắn tính theo dB Quan hệ tiêu sau: R p = −20 log10 − δ1 >0 + δ1 (≈0) (1.1) A s = −20 log10 δ2 >0 + δ1 (>>1) (1.2) Các tiêu đưa lọc FIR thông thấp, tất nhiên lọc khác thông cao HPF (High Pass Filter), thông dải BPF (Band Pass Filter) định nghĩa tương tự Tuy nhiên, tham số thiết kế quan trọng dung sai dải tần tần số cạnh-dải (tolerance or ripples and band-edge frequencies) Bởi vậy, phần sở lý thuyết tập trung vào lọc FIR thông thấp Việc thiết kế cụ thể cho lọc FIR thông dải kỹ thuật cửa sổ phát triển sở lọc thông thấp mô tả chi tiết phần Việc thiết kế thực lọc FIR có thuận lợi sau đây: • Đáp ứng pha tuyến tính • Dễ thiết kế không gặp vấn đề ổn định (lọc FIR ổn định) Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang • Việc thực hiệu • • Có thể sử dụng DFT để thực Đáp ứng pha tuyến tính (linear phase response) mang lại thuận lợi sau: • Bài tốn thiết kế gồm phép tính số học thực khơng cần phép tính số học phức • Bộ lọc pha tuyến tính khơng có méo trễ nhóm bị trễ khoảng khơng đổi • Đối với lọc có chiều dài M (hoặc bậc M-1) số phép tốn có bậc M/2 khảo sát thực lọc có pha tuyến tính 1.2 Cấu trúc lọc FIR Một lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng: M −1 H (z) = b + b1 z −1 +  + b M −1 z1− M = ∑ b n z − n n =0 (1.3) Như đáp ứng xung h(n) là: bn ≤ n ≤ M − h( n ) =  else 0 (1.4) Và phương trình sai phân là: y(n ) = b x (n ) + b1 x (n − 1) +  + b M −1 x (n − M + 1) (1.5) Đây tích chập tuyến tính dãy hữu hạn Bậc lọc M-1, chiều dài lọc M (bằng với số lượng hệ số) Các cấu trúc lọc FIR luôn ổn định, tương đối đơn giản so với cấu trúc lọc IIR Hơn nữa, lọc FIR thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính điều cần thiết số ứng dụng Chúng ta xem xét cấu trúc lọc FIR sau đây: Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang a Cấu trúc dạng trực tiếp Phương trình sai phân thực dãy liên tiếp trễ đường phản hồi: y(n ) = b x (n ) + b1 x (n − 1) +  + b M −1 x (n − M + 1) (1.6) Do mẫu thức đơn vị nên ta có cấu trúc dạng trực tiếp Cấu trúc dạng trực tiếp cho hình 1.2 với M = 5: x(n) b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3 z-1 b4 y(n) Hình 1.2 Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp b Cấu trúc dạng ghép tầng: Hàm hệ thống H(z) biến đổi thành tích khâu bậc với hệ số thực Các khâu thực dạng trực tiếp lọc tổng thể có dạng ghép tầng khâu bậc b  b  H(z) = b + b1 z −1 +  + b M −1 z1− M = b 1 + z −1 +  + M −1 z1−M  b0  b0  K = b ∏ (1 + B k ,1z −1 + B k , z − ) k =1 (1.7) M K=  2 , Bk,1 Bk,2 số thực đại diện cho hệ số khâu bậc Cấu trúc dạng ghép tầng cho hình 1.3 với M = 7: x(n) b0 z-1 B1,1 z-1B2,1 z-1 B3,1 z-1 B1,2 z-1B2,2 z-1 B3,2 Hình 1.3 Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng y(n) M=7 z-1 z-1 Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang c Cấu trúc dạng pha tuyến tính: M=6muốn có đáp ứng pha hàm tuyến Đối với lọc chọn tần, người ta mong tính theo tần số, nghĩa là: ∠H (e jω ) = β − αω −π≤ω≤π Hình 1.4 Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với hệ số M chẵn lẻ β=0 ± π α (1.8) z-1 số Đối với lọc FIR nhân có đáp ứng xung khoảng [0, M-1], điều kiện tuyến tính là: h (n ) = h (M − − n ); β = 0, ≤ n ≤ M − (1.9) h (n ) = −h (M − − n ); β = ± π / 2, ≤ n ≤ M − (1.10) Xét phương trình sai phân cho phương trình (1.5) với đáp ứng xung đối xứng phương trình (1.9), ta có: y(n ) = b x (n ) + b1 x (n − 1) +  + b1 x (n − M + 2) + b x (n − M + 1) = b [ x (n ) + x (n − M + 1)] + b1 [ x (n − 1) + x (n − M + 2)] +  Sơ đồ khối thực phương trình sai phân mơ tả hình 1.4 M lẻ M chẵn: Đối với M lẻ: M = 7, M chẵn: M = Rõ ràng, với bậc lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính tiết kiệm 50% nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp 1.3 Các đặc tính lọc FIR pha tuyến tính Trong phần thảo luận hình dạng đáp ứng xung, đáp ứng tần số hàm hệ thống lọc FIR pha tuyến tính z-1 Thiết kế lọc FIR thơng dải phương pháp cửa sổ Trang Cho h(n), ≤ n ≤ M – 1, đáp ứng xung có chiều dài M hàm truyền hệ thống là: M −1 M −1 n =0 n =0 H(z) = ∑ h (n )z − n = z −( M −1) ∑ h (n )z M −1− n (1.11) có (M-1) điểm cực gốc (trivial poles) M-1 điểm khơng nằm vị trí mặt phẳng z Đáp ứng tần số là: M −1 H(e jω ) = ∑ h (n )e − jωn , − π < ω ≤ π n =0 (1.12) a Đáp ứng xung h(n): Chúng ta đưa ràng buộc pha tuyến tính: ∠H(e jω ) = −αω, − π < ω ≤ π (1.13) đó: α số trễ pha Ta biết h(n) phải đối xứng, nghĩa là: h (n ) = h ( M − − n ), ≤ n ≤ M − 1, α = M −1 (1.14) Do h(n) đối xứng theo α, số đối xứng Có hai kiểu đối xứng: Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ α= • M lẻ: Trong trường hợp này, M −1 Trang số nguyên Đáp ứng xung Hình 1.5 Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ mơ tả hình 1.5 đây: α= • M chẵn: Trong trường hợp này, M −1 số nguyên Đáp ứng xung mô tả hình 1.6 đây: Hình 1.6 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn Ta có lọc FIR pha tuyến tính loại hai ta yêu cầu đáp ứng pha thoả mãn điều kiện: ∠H( e jω ) Thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ Trang ∠H (e jω ) = β − αω −π