Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên lai châu năm học 2017 2018(có đáp án chuẩn)

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CẤP THPT NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: Toán - Đề chuyên Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát ñề) Ngày thi: 14/6/2017 3x + x − x +1 x −2 − − x+ x −2 x +2 x −1 Tìm ñiều kiện xác ñịnh rút gọn biểu thức A; Tìm x nguyên ñể biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 ñiểm): Cho biểu thức: A = Câu (2,0 ñiểm):  x + xy − y + = Giải hệ phương trình sau:   y + xy − x − y − = Trong ñồng tiền có ñồng tiền thật có khối lượng ñồng tiền giả có khối lượng khác Làm ñể tìm ñược ñồng tiền giả hai lần cân (cân thăng hai ñĩa, cân) Câu (1,5 ñiểm): Cho phương trình: (3m − 1) x + 2(m + 1) x − m + = ( m tham số) (1) Chứng minh phương trình có nghiệm với m ; Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m Câu (3,5 ñiểm): Cho ñường tròn (O ) ñiểm A cố ñịnh nằm (O ) Kẻ tiếp tuyến AB, AC với ñường tròn ( B, C hai tiếp ñiểm) Gọi M ñiểm thuộc cung nhỏ BC ( M khác B C ) Đường thẳng AM cắt (O ) ñiểm thứ hai N Gọi E trung ñiểm MN Chứng minh bốn ñiểm A, B, O, E thuộc ñường tròn; Chứng minh: BNC + BAC = 1800 ; Chứng minh: AC = AM AN MN = 4( AE − AC ) ; Gọi I , J hình chiếu M lên cạnh AB AC Xác ñịnh vị trí M cho tích MI MJ ñạt giá trị lớn Câu (1,0 ñiểm): Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ (ab + 2)(2ab + 1) (bc + 2)(2bc + 1) (ac + 2)(2ac + 1) ……………… Hết……………… - Thí sinh không sử dụng tài liệu Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trường THCS TT Tân Uyên-LC - Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo 3x + x − x +1 x −2 Câu (2,0 ñiểm): Cho biểu thức: A = − − x+ x −2 x +2 x −1 Tìm ñiều kiện xác ñịnh rút gọn biểu thức A Tìm x nguyên ñể biểu thức A nhận giá trị nguyên Giải ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ Khi ñó: A= = 3x + x − x +1 x − 3x + x − − ( x + 1)( x − 1) − ( x − 2)( x + 2) − − = x+ x −2 x +2 x −1 x+ x −2 3x + x − − x + − x + x + x + ( x + 1)( x + 2) = = = x + x −2 x + x − ( x − 1)( x + 2) A = x +1 x −1  x ∈ Z x +1 = 1+ ∈Z⇒  ⇒ x ∈ {0; 4;9} x −1 x −1  x − ∈ { ± 1; ±2} Câu (2,0 ñiểm):  x + xy − 2y + = Giải hệ phương trình sau:   y + xy − 3x − y − = Trong ñồng tiền có ñồng tiền thật có khối lượng ñồng tiền giả có khối lượng khác Làm ñể tìm ñược ñồng tiền giả hai lần cân (cân thăng hai ñĩa, cân) Giải  x + xy − 2y + =  ⇒ (x + y)2 − 3(x + y) + = ⇔ (x + y − 1)(x + y − 2) =  y + xy − 3x − y − =  x + y = x + y =  x = −1/ TH1:  ⇔ ⇔  x − 2y = −3  y = /  x + xy − 2y + = x + y = x = /  x + y = TH2:  ⇔ ⇔ 2x − 2y = −3  y = /  x + xy − 2y + =      Vậy hệ có hai nghiệm: (x, y) ∈  - ;  ,  ;    3   4   Ta ñánh số bốn ñồng xu là: X1; X2; X3; X4 sau ñó bỏ ñồng xu X1, X2 lên cân chúng cân không cân nên ta xét: Cân lần 1: TH1: Nếu X1; X2 cân chắn X1 X2 hai ñồng tiền thật chuyển sang cân lần Cân X1(tiền thật) X3 chúng cân chắn chắn X4 tiền giả, không cân chắn X3 tiền giả TH2: Nếu X1 X2 không cân chắn X3 X4 tiền thật chuyển sang cân lần Cân X1 X3(tiền thật) chúng cân chắn X2 tiền giả, chúng không cân X1 tiền giả Câu (1,5 ñiểm): Cho phương trình: (3m − 1)x + 2(m + 1)x − m + = (m tham số) (1) Chứng minh phương trình có nghiệm với m; Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m Giải Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trường THCS TT Tân Uyên-LC - Nếu 3m - = ⇔ m = 1/3 (1) có dạng: 8x - = ⇔ x = 5/8 (t/m) - Nếu 3m - ≠ ⇔ m ≠ 1/ Khi ñó ∆ ' = (m + 1) − (3m − 1)(2 − m) = 4m − 5m +  23  ⇒ ∆ ' =  2m −  + > ⇒ Phương trình có nghiệm với m  16  Vậy phương trình có nghiệm với m Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 m ≠ Khi ñó theo hệ thức Vi-et ta có: −2(m + 1) −10(m + 1)    x1 + x = 3m − 5(x1 + x ) = 3m − ⇔ ⇒ 5(x1 + x ) + 8x1x = −6   x x = − m + 8x x = −8m + 16  3m −  3m − Vậy hệ thức hai nghiệm ñộc lập m là: 5(x1 + x ) + 8x1x = −6 Câu (3,5 ñiểm): Cho ñường tròn (O ) ñiểm A cố ñịnh nằm (O ) Kẻ tiếp tuyến AB, AC với ñường tròn ( B, C hai tiếp ñiểm) Gọi M ñiểm thuộc cung nhỏ BC ( M khác B C ) Đường thẳng AM cắt (O ) ñiểm thứ hai N Gọi E trung ñiểm MN Chứng minh bốn ñiểm A, B, O, E thuộc ñường tròn; Chứng minh: BNC + BAC = 1800 ; Chứng minh: AC = AM AN MN = 4( AE − AC ) ; Gọi I , J hình chiếu M lên cạnh AB AC Xác ñịnh vị trí M cho tích MI MJ ñạt giá trị lớn Giải - Vì AB ⊥ BO(t/c tiếp tuyến) ⇒ ABO = 90 ⇒ B thuộc ñường tròn ñường kính AO (1) - Vì E trung ñiểm day MN ⇒ OE ⊥ MN ⇒ OEA = 900 ⇒ E thuộc ñường tròn ñường kính AO (2) - Từ (1) (2) ⇒ A, B, O, E thuộc ñường tròn ñường kính AO B I (hoặc ra: B + E = 1800 ) Vì AB, AC hai tiếp tuyến (O) nên: A M VT = 2BNC + BAC = sñ BMC + ( sñ BNC − sñ BMC ) J 1 = ( sñ BNC + sñ BMC ) = 3600 = 1800 = VP 2 +) Xét ∆AMC ∆ACN có A chung; ACM = ANC (cùng chắn cung MC) AC AM ⇒ ∆AMC ∆ACN ⇒ = ⇒ AC2 = AM.AN AN AC +) Ta có: ME2 + EO2 = MO2 (pitago) ⇒ ME2 = R2 - EO2 O E N C (  MN  2 2 2 2 2 ⇒  = OC − EO ⇒ MN = (AO − AC ) − (AO − A E )  ⇒ MN = AE − AC   )  MI + MJ  Áp dụng bất ñẳng thức Cosi: MI.MJ ≤   Dấu "=" xảy MI = MJ ⇒ M thuộc tia   phân giác BAC ⇒ M ∈ AO ⇒ M ñiểm cung nhỏ BC Câu (1,0 ñiểm): Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trường THCS TT Tân Uyên-LC a2 b2 c2 + + ≥ (ab + 2)(2ab + 1) (bc + 2)(2bc + 1) (ac + 2)(2ac + 1) Giải Trước hết ta chứng minh ba bất ñẳng thức phụ sau:  (ab + 2bc) + (2ab + bc)  -) Theo BĐT Cosi: (ab + 2bc)(2ab + bc) ≤   = (ab + bc)   2 2 -) Theo BĐT Bunhiacopxki: (ab + bc) ≤ 2(a b + b c ) a b c -) Chứng minh: + + ≥ (Với a, b, c > 0) b+c c+a a+b y+z−x z+x−y x+y−z Thật vậy: Đặt b + c = x, c + a = y, a + b = z ⇒ a = ;b= ,c= 2  x y   x z   y z   a b c 3 ⇒ + + =  +  +  +  +  +   − ≥ (2 + + 2) − = b+c c+a a+b  y x   z x   z y   2 2 x y z Vì abc = nên ta ñặt a = ; b = ; c = (với x, y, z > 0) Khi ñó: y z x x2 a2 x z2 4x z 2x z y2 +) = = ≥ ≥ (ab + 2)(2ab + 1)  x y  x y  ( xy + 2yz )( 2xy + yz ) 9(xy + yz) 9(x y + y z ) +   + 1 y z  y z  b2 2x y c2 2y z +) Tương tự: ≥ ; ≥ (bc + 2)(2bc + 1) 9(y2 z + z x ) (ac + 2)(2ac + 1) 9(z x + x y )  2 x 2z2 x y2 y2 z ⇒ VT ≥  2 + + ≥ =  x y + y2 z y z + x z x z + x y2  Đỗ Văn Lâm - Giáo viên trường THCS TT Tân Uyên-LC ...- Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo 3x + x − x +1 x −2 Câu (2,0 ñiểm): Cho biểu thức:... x + xy − 2y + =      Vậy hệ có hai nghiệm: (x, y) ∈  - ;  ,  ;    3   4   Ta ñánh số bốn ñồng xu là: X1; X2; X3; X4 sau ñó bỏ ñồng xu X1, X2 lên cân chúng cân không cân nên ta... nghiệm với m Để phương trình có hai nghiệm x1, x2 m ≠ Khi ñó theo hệ thức Vi-et ta có: −2(m + 1) 10( m + 1)    x1 + x = 3m − 5(x1 + x ) = 3m − ⇔ ⇒ 5(x1 + x ) + 8x1x = −6   x x = − m + 8x