S GIO DC V O TO BN TRE CHNH THC THI TUYN SINH LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN BN TRE NM HC: 2016 2017 Mụn :TON (chuyờn) Thi gian: 150 phỳt ( khụng k phỏt ) Bi 1: (1,5 im ) a) Cho a 2 Chng minh a l mt nghim ca phng trỡnh x x3 2x2 b) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n A n n l mt s chớnh phng Bi 2: (2,0 im ) a) Trong mt phng ta Oxy, cho parabol (P): y x v ng thng (d) : y 2x Gi A, B l giao im ca (P) v (d) Tỡm trờn trc Oy im C cho tng khong cỏch ( BC + CA) nh nht b) Cho hai phng trỡnh x mx v x 4x m (m l tham s) Tỡm m hai phng trỡnh cú ớt nht mt nghim chung Bi 3: (2,0 im ) a) Gii phng trỡnh: x x x 3x 3 x y 7y b) Gii h phng trỡnh: 2 x y y 2x Bi 4: (1,5 im ) a) Cho hai s thc x, y tha x y Chng minh rng x y b) Cho s thc x tha : x Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P x 4x x 2x Bi 5: (3,0 im ) Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v im A nm ngoi ng trũn Gi d l ng thng vuụng gúc vi OA ti A v M l im di ng trờn d (M khỏc A) V tip tuyn MC vi ng trũn ( C l tip im, C khỏc phớa vi M i vi ng thng OA) ng thng AC ct ng trũn ti B (B khỏc C) Tip tuyn ti B ct ng thng MC ti E v ct d ti D a) Chng minh t giỏc OMDE ni tip b) Chng minh tam giỏc DOM cõn c) Chng minh OA.ME OM.AB d) K tip tuyn DF vi ng trũn ( F l tip im, F khỏc B) Chng minh ng thng BF luụn i qua mt im c nh M di ng trờn d e) Cho OA R v AM R Tớnh DE theo R HT GII THI TS THPT CHUYấN BN TRE 2016 - 2017 Mụn : Toỏn (chuyờn) CU Bi LI GII a) Cho a 2 Chng minh a l mt nghim ca phng trỡnh x x3 2x2 a 2 2 2 2 a a a a 2a a 2a2 a Do ú: a l mt nghim ca phng trỡnh x x3 2x2 b)Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n A n n l mt s chớnh phng A n n l mt s chớnh phng n n k (k N) 4n 4n 4k 2 2n 4k 2n 2k 2n 2k Vỡ n , k N vaứ 2n 2k 2n 2k nờn ta cú cỏc trng hp sau: 2n 2k n ( khụng tha k) 2n 2k k 2n 2k n 2n 2k k Vy: n A l s chớnh phng Bi 2 a) Trong mt phng ta Oxy, cho parabol (P): y x v ng thng (d) : y 2x Gi A, B l giao im ca (P) v (d) Tỡm trờn trc Oy im C cho tng khong cỏch ( BC + CA) nh nht Ta giao im ca (P) v (d) l nghim ca h phng trỡnh x y y x y x y x x y 2x x - 4x x x y Giao im ca (P) v (d) l A 1; , B 3; 1 Ly A i xng ca A 1; qua Oy A' 1; Theo tớnh cht i xng, ta cú CA = CA Suy ra: CA CB CA CB A' B ( khụng i) CA CB nh nht CA CB A' B A, C, B thng hng v COy C l giao im ca ng thng AB v trc Oy 1 a b a Phng trỡnh ng thng AB cú dng y ax b b 3a b A' B : y x Ta giao im C ca hai ng thng AB v Oy l nghim ca h pt x x 3 yx y Vy: Khi C 0; thỡ tng khong cỏch ( BC + CA) nh nht b) Cho hai phng trỡnh x mx v x 4x m (m l tham s) Tỡm m hai phng trỡnh cú ớt nht mt nghim chung Gi s x0 l nghim chung ca hai phng trỡnh x mx v x 4x m x mx m x m (*) Khi ú ta cú: 02 x 4x m + Nu m : (*) 2=0: vụ nghim 2m , thay vo phng trỡnh x mx , ta c: m4 m m3 3m2 12m 36 m m 12 m Vi m ta cú hai phng trỡnh x 3x v x 4x cú nghim chung l x Vi m ta cú hai phng trỡnh x 3x v x 4x khụng cú nghim chung Vi m ta cú hai phng trỡnh x 3x v x 4x cú mt nghim chung x Vy cú hai giỏ tr cn tỡm l m ; m + Nu m : (*) x Bi a) Gii phng trỡnh: x x x 3x (*) K: x t a x , b x (ủk: a b ) a x 2, b x a b T (*) a b ab Ta c h phng trỡnh 2 a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b x a b b a b a x a a b(loaù i ) x (tha k) 2 x a=1 a a b x b=1 b b x Vy: phng trỡnh cú hai nghim x 1, x x y3 7y3 b) Gii h phng trỡnh: 2 x y y 2x D thy ( x 0, y ) khụng l nghim ca h phng trỡnh, nờn xột trng hp x 0, y , ta cú y3 x x x y3 y x y 7y y x y y 2x xy x 2x x y x y x x y y x x x x y y y y x y x x t a x , b (k b ), ta c h phng trỡnh: y y a 6ab a 6ab a a ab ab b a b x y x x x x x x y y x x x y x y x x y x y x y y 3 Vy: h phng trỡnh cú hai nghim l 1;1 , 2; Bi a) Cho hai s thc x, y tha x y Chng minh rng x y t a x ,b y a x ,b3 y Khi ú a3 b3 , ta cn phi chng minh: a b 3 t a t b3 a t 3t 3t t 3t 3t t t Suy b t , ta li cú a t , nờn a b t t (PCM) b) Cho s thc x tha : x Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2x 4x x 2x 2x 4x 2x 2x x 4x Ta cú P x 2x x x 2x 2x Vỡ x x , nờn ỏp dung BT Cụsi, ta cú: 2x x 2x x P 24 x 2x x 2x 2x x x x x (tha k) Du = xy x 2x Vy: MinP x P Bi a) Chng minh t giỏc OMDE ni tip T giỏc OMAC ni tip ( OAM OCM 900 ) OMA OCB (cựng bự vi gúc OCA) T giỏc OBEC ni tip ( OBE OCE 900 900 1800 ) OEB OCB (cựng chn cung OB) OEB OMA Do ú t giỏc OMDE ni tip b) Chng minh tam giỏc DOM cõn T giỏc OMDE ni tip OEM ODM (cựng chn cung OM) m OEM OEB (t/c hai tip tuyn ct nhau) v OEB OMA (chng minh trờn) ODM OMA Suy DOM cõn ti O c) Chng minh OA.ME OM.AB OBA v OEM cú OBC OEC (t giỏc OBEC ni tip) OAC OMC (t giỏc OMAC ni tip) OBA ~OEM OA AB OA.ME OM.AB OM ME d) Chng minh ng thng BF luụn i qua mt im c nh M di ng trờn d Gi giao im ca BF vi OD, OA ln lt l H, I Ta cú DB = DF (t/c hai tip tuyn ct nhau) OB =OF (bỏn kớnh) OD l ng trung trc ca on BF ODBF ti H OHI ~OAD (g g) OH OI OI.OA OH.OD OA OD OBD vuụng ti B cú ng cao BH OH.OD OB2 R OI.OA R OI R2 OA (1) Ta cú ng trũn (O;R) v ng thng d c nh nờn on thng OA c nh v cú di khụng i (2) T (1) v (2) Khong cỏch OI khụng i v I thuc OA c nh Suy I c nh Do ú ng thng BF luụn i qua mt im I c nh M di ng trờn d e) Cho OA R v AM R Tớnh DE theo R DOM cõn ti O cú OA l ng caoOA cng l trung tuyn AD AM R OAD vuụng ti A cú OA R ,AD R OD OA2 AD2 R OM OD R OBD vuụng ti B BD OD2 OB2 2R OBA ~OEM OB OA R 3 15 OE OB R OE OM R 5 OBE vuụng ti B BE OE OB2 DE BD BE R R