vận dụng số Phơng pháp tìm chữ số tận số tự nhiên A Đặt vấn đề Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng d, khái niệm trừu tợng chơng trình THCS Vì có không học sinh, đặc biƯt lµ häc sinh líp vµ líp khã hiểu tiếp thu đợc Cho nên kỳ thi học sinh giỏi hàng năm bắt gặp loại toán em thờng có cảm giác "ngợp", có đành "bó tay" Trớc thực trạng thân giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán, có nhiều năm học đợc tham gia bồi dỡng học sinh giỏi nhận thấy việc tìm phơng pháp giải loại toán "Tìm chữ số tận cùng" phù hợp với trình ®é nhËn thøc cđa häc sinh líp 6, nh»m kÝch thÝch høng thó häc tËp cđa c¸c em gióp em tự tin với trình độ nhận thức để có chí hớng vơn lên học tập cần thiết Sau xin đợc giới thiệu số tính chất phơng pháp giải toán" Tìm chữ số tận cùng" sử dụng kiến thức THCS B- Giải vấn đề: Ta xem sè tù nhiªn A= mk víi m, k ∈ N Muốn tìm chữ số tận A, ta cần biễu diễn A dới dạng: A= 10a+ b = ab => b chữ số tận A I/ Tìm chữ số tận cùng: Chúng ta bắt ®Çu ®i tõ nhËn xÐt sau: NhËn xÐt 1: a, Các số có chữ số tận 0, 1, 5, 6, nâng lên luỹ thừa bậc chữ số tận không thay đổi b, số có chữ số tận 4, 9, nâng lên luỹ thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c, Các số có chữ số tận 3,7,9 nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) chữ số tận d, Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) chữ số tận Nh muốn tìm chữ số tËn cïng cđa sè tù nhiªn A = mk tríc hết ta xác định chữ số tận m - Nếu chữ số tận m 0; 1; ; A có chữ số tận lần lợt 0, 1; 5; 6; - Nếu chữ số tận m là: 3; 7; V× mk = m4n+r = m4n mr víi r = 0; 1; 2; 3; Cho nªn tõ tÝnh chÊt 1c suy ch÷ sè tËn cïng cđa sè A chữ số tận mr - Nếu chữ số tận m ; 4; 8; nh trờng hợp từ tính chất 1d suy ch÷ sè tËn cïng cđa sè A chữ số tận mr áp dụng ta giải toán 1: Tìm chữ sè tËn cïng cđa c¸c sè: a, 799 b,1414 14 c, 67 Lêi gi¶i: a, Tríc hÕt ta t×m sè d cđa phÐp chia 99 cho 4: 99 - = ( - 1) ( 98 + 97 +… +9 + 1) => 99 = 4k +1 ( k ∈ N ) => = 74k+1 = 74k Do 74k có chữ số tận ( theo tính chÊt 1c) Suy cã ch÷ sè tËn cïng lµ b, Ta cã 1414 = 4k ( k ∈ N ) => theo tÝnh chÊt 1d 14 14 = 14 144k có chữ số tận cïng lµ c, ta cã -1 => 67 => = 4k +1 ( k ∈ N ) = 44k+1 = 44k ( theo tÝnh chÊt 1d) 4k có chữ số tận 6) nên: 45 67 có chữ số tận Nhận xÐt 2: + Mét sè tù nhiªn bÊt kú, nâng lên luỹ thừa bậc 4n+1 ( n N ) chữ số tận không thay đổi + Chữ số tận tổng luỹ thừa đợc xác định cách tính tổng chữ sè tËn cïng cđa tõng l thõa tỉng Bµi toán 2: Tìm chữ số tận tổng: S = + 35 +49 + … +20048009 Lêi giải: Ta thấy luỹ thừa tổng S cã sè mị chia cho th× d ( Các luỹ thừa có dạng n 4( n-2)+1, víi ( n ∈ { 2;3; 2004} ) Theo tÝnh chất 2, luỹ thừa S số tơng ứng có chữ số tận giống nhau, b»ng ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng: ( + 3+ ….+9 ) +199 ( +2 +…+9 ) +1+ +3 +4 = 200 ( 1+2+…+9) +9 = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài toán 3: Tìm xem số M = +35 + 49 +513 +…+ n4n-7n - 2) (n2 + tận chữ số ? Lêi gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N, sè n5 - n chia hÕt cho ThËt thÕ: n5 - n = n (n2+1)(n+1)(n-1) = n(n2+5-4)(n+1)(n-1) = = 5n(n+1)(n-1) + n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) Sè h¹ng thø hai tổng vế phải tích sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho 5; n5-n chia hết cho Ngoài số n5-n số chẵn nên chia hết cho 10 Ta cã n4k+1 - n = n(n4k-1) chia hÕt cho n(n4-1) tøc lµ chia hÕt cho 10, nh thÕ sè có dạng n4k+1 có chữ số cuối nh số n Do không thay đổi chữ số cuối, ta cã thĨ thay sè ®· cho b»ng sè: (2+3+4…+n) - n2 + n n2 + n − −1 =0 (n +n -2) = 2 Vậy số đà cho tận chữ số Tõ nhËn xÐt ta suy nhËn xÐt 3: a, + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận b, + Số có chữ số tận nâng luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận c, Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 không thay đổi chữ số tận Bài toán 3: Tìm chữ số tận tổng: A = 23+37+411+ + 20048011 Lêi gi¶i: NhËn xÐt: Mäi luü thõa A có số mũ chia cho d (các luỹ thừa có dạng n4(n-2)+3; n {2,32004} Theo tính chất 23 có chữ số tận 37 có chữ số tận 411 có chữ số tận 4 Nh vËy, tỉng A cã ch÷ sè tËn cïng b»ng ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng: (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8 +7+4= = 200(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+8+7+4= = 200 45 + 19 = 9019 VËy chữ số tận A Bây hÃy tìm hiểu tính chất phơng pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên II/ Tìm hai chữ số tận cïng: Ta sư dơng nhËn xÐt sau: NÕu x ∈ N x = 100k + y k; y N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y x Nh vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét ta có phơng pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am nh sau: * Trờng hợp 1: Nếu a chẵn x = am : 2m gọi n số tự nhiên cho (an - 1) 25 Ta biÕt m= Pn +q ( p ; q N ) q số nhỏ nhÊt ®Ĩ aq cho Ta cã x = am = aq ( apn - 1) 25 MỈt khác ( 4; 25) =1 nên aq ( apn - 1) 100 VËy hai ch÷ sè tËn am hai chữ số tận aq Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận aq áp dụng ta giải toán sau: Bài toán 1: Tìm hai chữ số tận số 22003 Lời giải: Do 22003 số chẵn, theo trờng hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhá nhÊt cho 2n - 25 Ta cã 210 = 1024 => 210 + = 1025 25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 25.4 tức 23(220 - 1) 100 Mặt khác: 22003 = 23 (22000-1)+ 23 = 23[(220)100 - 1] + 23 = 100k + (k ∈ N) VËy hai ch÷ sè tận 22003 08 * Trờng hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho (an - 1) 100 Ta viÕt m = u.n + v; (u; v ∈ N, O ≤ v < n) Ta cã: x = am = av(au.n - 1)+av V× an - 100 => aun - 100 VËy hai ch÷ sè tËn cïng cđa am hai chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận a v áp dụng giải toán sau: Bài toán 2: Tìm hai chữ số tận số 9 Lời giải: Do số lẻ, theo trờng hợp 2, ta tìm số tự nhiên bÐ nhÊt cho 7n -1 100 Ta cã: 74 = 2401 => 4-1 100 MỈt kh¸c: 99 - => 99 = 4k +1 ( k ∈ N ) VËy = 74k+1 = 7( 74k - 1) + = 100q +7 ( q ∈ N) VËy hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè lµ 07 Qua hai trờng hợp ta thấy rằng, chìa khoá để giải đợc toán phải tìm đợc số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận số aq av Các thí dụ cho thấy a = th× n = 20, nÕu a = th× n = VËy th× nÕu a bÊt kú n nhỏ ? Ta có tÝnh chÊt sau: NhËn xÐt 4: NÕu a ∈ N (a, 5) = a20 - 25 Bài toán 3: Tìm hai chữ số tận cđa tỉng sau: S = 12002 + 22002 + 32002 + … + 20042002 Lêi gi¶i: Ta dƠ thÊy, nÕu a chẵn a 4, a lẻ th× a100 - 4, nÕu a a2 25 Mặt khác, từ tính chất (4) suy ra: víi ∀ a ∈ N vµ (a; 5) =1 ta cã (a100 - 1) 25 VËy víi ∀ a ∈ N ta cã: a2 ( a100- 1) 100 Do ®ã S = 12002 + 22(22000 - 1)+ …+ 20042 ( 20042000 - 1) +22+32 +…+20042 v× thÕ hai ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng S cịng hai chữ số tận tổng 12+ 22+ 32 ++20042 áp dụng công thức: 12+22+32+ +n2 = n(n + 1)(2n + 1) 2004(2005)(4008 + 1) = 6 => 12+22+ … +20042= 2005 4009 334 = 2684707030 VËy sè tËn cïng cđa tỉng S lµ 30 III/ Tìm ba chữ số tận cùng: Nhận xét: Tơng tự nh trờng hợp tìm hai số tận việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số d phép chia x cho 1000 NÕu x = 1000k +y ; k, y N ba chữ số tận x ba chữ số tËn cïng cña y ( y ≤ x) Do 1000= 125 mà ( 8, 125) = nên ta có phơng pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x= am nh sau: Trờng hợp 1: Nếu a chẵn thì: x = am 2m Gọi n số tự nhiên cho an - 125 Ta viÕt m= pn + q ; ( P; q N) ( Trong q số nhá nhÊt ®Ĩ aq 8) Ta cã x= am = aq(apn -1 )+aq V× an -1 125 => apn -1 125 Mặt khác (8 , 125) = nªn aq( apn -1) 1000 VËy ba chữ số tận am ba chữ só tận aq Tiếp theo ta tìm ba chữ số tận aq Trờng hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho ( an -1) 1000 Ta viÕt m = un + v;( u,v ∈ N : ≤ v< n) Ta cã: x= am = av ( aun -1) +av V× an - 1000 => aun - 1000 VËy ba ch÷ sè tËn cïng cđa am ba chữ số tận av Tiếp theo ta cần tìm ba chữ số tËn cïng cña a v Tõ tÝnh chÊt ta suy tÝnh chÊt sau; NhËn xÐt 5: NÕu a N ( a, 5) = a100 -1 125 áp dụng giải toán sau: Bài toán 1: Tìm ba chữ số tận 123 101 Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt 5: ( 123, 5) =1 Suy 123 100 - 125 (1) Mặt khác : 123100 -1 = ( 12325-1) ( 12325+1) ( 12350+1) => 123100- (2) Vì ( 8, 125) =1 ; từ (1)và (2) suy ra: 123100 - 1000 => 123101 = 123( 123100 -1) +123 = 1000k +123( k ∈ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 * Trờng hợp số đẫ cho chia hết cho th× ta cịng cã thĨ t×m ba sè tËn cïng mét c¸ch gi¸n tiÕp theo c¸c bíc: - Tìm số d phép chia số cho 125 - Từ suy khả ba chữ số tận - Cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài toán 2: Tìm ba chữ số tận 2004200 Lêi gi¶i: Do ( 2004,5 ) =1 suy 2004 100 chia hÕt cho 125 d ( tÝnh chÊt 5) => 2004200 = (2004100)2 Chia cho 125 d Suy 2004200 chØ cã thÓ tËn cïng lµ 126 ; 251 ; 376; 501; 626; 751; 876 ; Do 2004200 nªn 2004200 chØ cã thĨ tận 376 Để nhuần nhuyễn đợc tính chất tìm đợc phơng pháp giải loại toán " Tìm chữ só tận số tự nhiên" phù hợp với trình độ nhận thức học sinh lớp 6- thực không đơn giản chút Thế nhng trải qua trình đầy thử thách khó khăn đến khối học sinh trực tiếp giảng dạy bồi dỡng đà thực có hứng thú say mê tìm tòi loại toán " Tìm chữ số tận cùng" Bớc đầu em đà nắm vững vận dụng tốt tính chất vào giải tập Qua kiểm tra đánh giá, chất lợng học toán đặc biệt kỷ giải toán" Tìm chữ số tận cùng" đáng đợc ghi nhận Kết cụ thể nh sau: Điể m Năm häc 2003-2004 Díi 5–6 Trªn (%) ( %) ( %) 32 44 24 2004-2005 17 45 38 C: Kết thúc vấn đề: Trên đà trình bày số nhận xét phơng pháp "Tìm chữ sè tËn cïng" cđa mét sè tù nhiªn chØ sù dụng kiến thức chơng trình trung học sở Nhằm giúp học sinh nắm vững đợc đờng lối cách thức thực loại toán này, tạo cho học sinh có niềm tin vào lực thân gây đợc hứng thú niềm say mê học tập cho em, đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán đặc biệt rèn luyện kỹ giải loại toán " Tìm chữ số tận cùng" Với trình độ có hạn nên tránh khỏi khiếm khuyết thân mong đợc góp ý, bảo chân tình bạn bè đồng nghiệp hội đồng khoa học ngành để đúc rút thêm kinh nghiệm nhằm thực công tác giảng dạy đạt hiệu cao / Xin chân thành cảm ơn! 10