vận dụng số Phương pháp tìm chữ số tận số tự nhiên A Đặt vấn đề Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng chương trình THCS Vì có không học sinh, đặc biƯt lµ häc sinh líp vµ líp khã hiểu tiếp thu Cho nên kỳ thi học sinh giỏi hàng năm bắt gặp loại toán em thường có cảm giác "ngợp", có đành "bó tay" Trước thực trạng thân giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán, có nhiều năm học tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy việc tìm phương pháp giải loại toán "Tìm chữ số tận cùng" phù hợp với trình ®é nhËn thøc cđa häc sinh líp 6, nh»m kÝch thÝch høng thó häc tËp cđa c¸c em gióp em tự tin với trình độ nhận thức để có chí hướng vươn lên học tập cần thiết Sau xin giới thiệu số tính chất phương pháp giải toán" Tìm chữ số tận cùng" sử dụng kiến thức THCS B- Giải vấn đề: Ta xem sè tù nhiªn A= mk víi m, k N Muốn tìm chữ số tận A, ta cần biễu diễn A dạng: A= 10a+ b = ab => b chữ số tận A I/ Tìm chữ số tận cùng: Chúng ta bắt ®Çu ®i tõ nhËn xÐt sau: NhËn xÐt 1: a, Các số có chữ số tận 0, 1, 5, 6, nâng lên luỹ thừa bậc chữ số tận không thay đổi b, số có chữ số tận 4, 9, nâng lên luỹ thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c, Các số có chữ số tận 3,7,9 nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) chữ số tận d, Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n N ) chữ số tận DeThiMau.vn Như muốn tìm chữ sè tËn cïng cđa sè tù nhiªn A = mk trước hết ta xác định chữ số tận m - Nếu chữ số tận m 0; 1; ; A có chữ số tận 0, 1; 5; 6; - Nếu chữ số tận m là: 3; 7; V× mk = m4n+r = m4n mr víi r = 0; 1; 2; 3; Cho nªn tõ tÝnh chÊt 1c suy ch÷ sè tËn cïng cđa số A chữ số tận mr - Nếu chữ số tận m ; 4; 8; trường hợp từ tính chÊt 1d suy ch÷ sè tËn cïng cđa sè A chữ số tận mr áp dụng ta giải toán 1: Tìm chữ số tận số: a, 9 14 b, 1414 c, 67 Lêi gi¶i: a, Tríc hÕt ta t×m sè d cđa phÐp chia 99 cho 4: 99 - = ( - 1) ( 98 + 97 +… +9 + 1) => 99 = 4k +1 ( k N ) => = 74k+1 = 74k Do 74k có chữ số tận ( theo tÝnh chÊt 1c) Suy có chữ số tận b, Ta cã 1414 = 4k ( k N ) => theo tÝnh chÊt 1d th× 14 14 = 144k cã chữ số 14 tận c, ta có -1 => = 4k +1 ( k N ) => 45 67 67 = 44k+1 = 44k ( theo tÝnh chÊt 1d) 44k cã ch÷ sè tËn 6) nên: có chữ số tận NhËn xÐt 2: + Mét sè tù nhiªn bÊt kỳ, nâng lên luỹ thừa bậc 4n+1 ( n N ) chữ số tận không thay đổi + Chữ số tận tổng luỹ thừa xác định cách tính tổng chữ số tận luỹ thừa tổng Bài toán 2: Tìm chữ số tận tæng: S = 21 + 35 +49 +… +20048009 DeThiMau.vn Lêi gi¶i: Ta thÊy mäi l thõa tỉng S có số mũ chia cho dư ( Các luỹ thừa có dạng n4( n-2)+1, víi ( n 2;3; 2004) Theo tÝnh chÊt 2, luỹ thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, b»ng ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng: ( + 3+ ….+9 ) +199 ( +2 +…+9 ) +1+ +3 +4 = 200 ( 1+2+…+9) +9 = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Bài toán 3: Tìm xem số M = 21 +35 + 49 +513 +…+ n4n-7- (n2 + n - 2) tận chữ số ? Lời gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh r»ng víi mäi n N, sè n5 - n chia hÕt cho ThËt thÕ: n5 - n = n (n2+1)(n+1)(n-1) = n(n2+5-4)(n+1)(n-1) = = 5n(n+1)(n-1) + n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) Sè h¹ng thø hai cđa tổng vế phải tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; n5-n chia hÕt cho Ngoµi sè n5-n lµ số chẵn nên chia hết cho 10 Ta có n4k+1 - n = n(n4k-1) chia hÕt cho n(n4-1) tøc chia hết cho 10, số có dạng n4k+1 cã cïng ch÷ sè cuèi cïng nh sè n Do không thay đổi chữ số cuối, ta có thĨ thay sè ®· cho b»ng sè: (2+3+4…+n) - n2 n n2 n 2 (n +n -2) = 1 0 2 VËy sè ®· cho tËn cïng b»ng ch÷ sè Tõ nhËn xÐt ta suy nhËn xÐt 3: a, + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận b, + Số có chữ số tận nâng luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận DeThiMau.vn c, Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 không thay đổi chữ số tận Bài toán 3: Tìm chữ số tận tổng: A = 23+37+411+ + 20048011 Lêi gi¶i: NhËn xÐt: Mäi luü thõa A có số mũ chia cho dư (các luỹ thừa có dạng n4(n-2)+3; n {2,32004} Theo tính chất 23 có chữ số tận 37 có chữ số tận 411 có chữ số tận Nh vËy, tỉng A cã ch÷ sè tËn cïng b»ng ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng: (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4= = 200(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+8+7+4= = 200 45 + 19 = 9019 VËy ch÷ sè tận A Bây hÃy tìm hiểu tính chất phương pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên II/ Tìm hai chữ số tận cùng: Ta sư dơng nhËn xÐt sau: NÕu x N vµ x = 100k + y ®ã k; y N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét ta có phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am nh sau: * Trêng hỵp 1: NÕu a chẵn x = am : 2m gọi n sè tù nhiªn cho (an - 1) 25 DeThiMau.vn Ta biÕt m= Pn +q ( p ; q N ) q số nhỏ nhÊt ®Ĩ aq cho Ta cã x = am = aq ( apn - 1) 25 MỈt khác ( 4; 25) =1 nên aq ( apn - 1) 100 VËy hai ch÷ sè tËn cïng am hai chữ số tận aq Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận aq áp dụng ta giải toán sau: Bài toán 1: Tìm hai chữ số tận số 22003 Lời giải: Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhÊt cho 2n - 25 Ta cã 210 = 1024 => 210 + = 1025 25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) 25 => 23(220 - 1) 25.4 tøc 23(220 - 1) 100 Mặt khác: 22003 = 23 (22000-1)+ 23 = 23[(220)100 - 1] + 23 = 100k + (k N) VËy hai ch÷ sè tËn 22003 08 * Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho (an - 1) 100 Ta viÕt m = u.n + v; (u; v N, O v < n) Ta cã: x = am = av(au.n - 1)+av V× an - 100 => aun - 100 VËy hai ch÷ sè tËn cïng cđa am hai chữ số tận av Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av áp dụng giải toán sau: Bài toán 2: Tìm hai chữ số tận số 9 Lời giải: Do số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên bé cho 7n -1 100 Ta cã: 74 = 2401 => 4-1 100 Mặt khác: 99 - => 99 = 4k +1 ( k N ) VËy = 74k+1 = 7( 74k - 1) + = 100q +7 ( q N) DeThiMau.vn VËy hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè lµ 07 Qua hai trường hợp ta thấy rằng, chìa khoá để giải toán phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận số aq av Các thí dụ cho thấy a = th× n = 20, nÕu a = th× n = VËy th× nÕu a bÊt kú th× n nhỏ ? Ta có tính chÊt sau: NhËn xÐt 4: NÕu a N vµ (a, 5) = th× a20 - 25 Bài toán 3: Tìm hai chữ số tận tæng sau: S = 12002 + 22002 + 32002 + … + 20042002 Lêi gi¶i: Ta dƠ thÊy, nÕu a chẵn a2 4, a lẻ a100 - 4, nÕu a th× a2 25 Mặt khác, từ tính chất (4) suy ra: víi a N vµ (a; 5) =1 ta cã (a100 - 1) 25 VËy víi a N ta cã: a2 ( a100- 1) 100 Do ®ã S = 12002 + 22(22000 - 1)+ …+ 20042 ( 20042000 - 1) +22+32 +…+20042 v× thÕ hai chữ số tận tổng S hai ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng 12+ 22+ 32 ++20042 áp dụng công thức: 12+22+32+ +n2 = n(n 1)(2n 1) 2004(2005)(4008 1) = 6 => 12+22+ … +20042= 2005 4009 334 = 2684707030 VËy số tận tổng S 30 III/ Tìm ba chữ số tận cùng: Nhận xét: Tương tự trường hợp tìm hai số tận việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 NÕu x = 1000k +y ; ®ã k, y N ba chữ số tận x ba chữ số tận y ( y x) Do 1000= 125 mµ ( 8, 125) = nên ta có phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x= am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì: x = am 2m Gọi n số tù nhiªn cho an - 125 DeThiMau.vn Ta viÕt m= pn + q ; ( P; q N) ( Trong q số nhỏ nhÊt ®Ĩ aq 8) Ta cã x= am = aq(apn -1 )+aq V× an -1 125 => apn -1 125 Mặt khác (8 , 125) = nên aq( apn -1) 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ sã tËn cïng cđa aq TiÕp theo ta t×m ba chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho ( an -1) 1000 Ta viÕt m = un + v;( u,v N : v< n) Ta cã: x= am = av ( aun -1) +av V× an - 1000 => aun - 1000 VËy ba ch÷ sè tËn cïng cđa am ba chữ số tận av Tiếp theo ta cần tìm ba chữ số tận cïng cña av Tõ tÝnh chÊt ta suy tÝnh chÊt sau; NhËn xÐt 5: NÕu a N ( a, 5) = a100 -1 125 áp dụng giải toán sau: Bài toán 1: Tìm ba chữ số tận 123 101 Lời gi¶i: Theo tÝnh chÊt 5: ( 123, 5) =1 Suy 123 100- 125 (1) Mặt khác : 123100 -1 = ( 12325-1) ( 12325+1) ( 12350+1) => 123100- (2) V× ( 8, 125) =1 ; từ (1)và (2) suy ra: 123100 - 1000 => 123101 = 123( 123100 -1) +123 = 1000k +123( k N) VËy 123101 cã ba chữ số tận 123 * Trường hợp số đẫ cho chia hết cho ta tìm ba số tận cách gián bước: - Tìm số dư phÐp chia sè ®ã cho 125 - Tõ ®ã suy khả ba chữ số tận - Ci cïng kiĨm tra ®iỊu kiƯn chia hÕt cho để chọn giá trị Bài toán 2: Tìm ba ch÷ sè tËn cïng cđa 2004200 DeThiMau.vn Lêi gi¶i: Do ( 2004,5 ) =1 suy 2004 100 chia hÕt cho 125 d ( tÝnh chÊt 5) => 2004200 = (2004100)2 Chia cho 125 d Suy 2004200 chØ cã thĨ tËn cïng lµ 126 ; 251 ; 376; 501; 626; 751; 876 ; Do 2004200 nªn 2004200 chØ cã thĨ tËn cïng 376 Để nhuần nhuyễn tính chất tìm phương pháp giải loại toán " Tìm chữ só tận số tự nhiên" phù hợp với trình độ nhận thức học sinh lớp 6- thực không đơn giản chút Thế trải qua trình đầy thử thách khó khăn đến khối học sinh trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng đà thực có hứng thú say mê tìm tòi loại toán " Tìm chữ số tận cùng" Bước đầu em đà nắm vững vận dụng tốt tính chất vào giải tập Qua kiểm tra đánh giá, chất lượng học toán đặc biệt kỷ giải toán" Tìm chữ số tận cùng" đáng ghi nhận Kết cụ thể sau: Dưới 5-6 Trên (%) ( %) ( %) 2003-2004 32 44 24 2004-2005 17 45 38 Điểm Năm học C: Kết thúc vấn đề: Trên đà trình bày số nhận xét phương pháp "Tìm chữ số tận cùng" mét sè tù nhiªn chØ sù dơng kiÕn thøc chương trình trung học sở Nhằm giúp học sinh nắm vững đường lối cách thức thực loại toán này, tạo cho học sinh có niềm tin vào lực thân gây hứng thú niềm say mê học tập cho em, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán đặc biệt rèn luyện kỹ giải loại toán " Tìm chữ số tận cùng" Với trình độ có hạn nên tránh khỏi khiếm khuyết thân mong góp ý, bảo chân tình bạn bè đồng nghiệp hội đồng khoa học ngành để đúc rút thêm kinh nghiệm nhằm thực công tác giảng dạy đạt hiệu cao / Xin chân thành cảm ơn! DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn... III/ Tìm ba chữ số tận cùng: Nhận xét: Tương tự trường hợp tìm hai số tận việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư cña phÐp chia x cho 1000 NÕu x = 1000k +y ; k, y N ba chữ số tận. .. có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luü thõa bËc 4n+3 sÏ cã ch÷ sè tËn cïng b, + Số có chữ số tận nâng luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ số tận + Số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 có chữ