Khoảng cách trong không gian

KHOẢNG CÁCH trong không gian Oxyz0.. Định nghiã khoảng cách Điểm và điểm A... Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngu r O... phẳng này và tính khoảng cách từ đó đến mặt phẳng kia Đ

TRƯỜNG PTDL NGÔI SAO

TỔ TOÁN GV:ĐỖ HỮU VỊ

2002 - 2003

HÌNH HỌC 12

KHOẢNG CÁCH (trong không gian Oxyz)

0 Định nghiã khoảng cách

Điểm và điểm

A

B

Điểm và đường thẳng

H Điểm và mặt phẳng

A

Đường thẳng và đường thẳng song song

(d)

(a) H

K

chéo nhau

H

K

Đường thẳng và mặt phẳng song song

A

Hai mặt phẳng song song

H

K H

H

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

( , , )

Ax By Cz D

M x y z

( ,( )) Ax By Cz D

d M

+ +

O

x

y

z

H

M0

( 2,1, 4)

A −

( ) : 2 α x + − y 3 z + = 1 0

− + − +

Ví dụ: Tính khoảng cách từ

đến mặt phẳng

C/m: Tương tự như trong mp

Trong mp Oxy, khoảng cách từ điểm M0( x0,y0 ) đến đường thẳng

(d): Ax + By + C = 0 là :

M0

0 0

( ,( )) Ax By C

d M d

A B

+ +

=

+

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

u r O

z

M0

A

H

B

C (d) qua điểm M0 (x0,y0,z0 )

và có vectơ chỉ phương A(xA,yA,zA)

(d)

0

0

( ,( )) S M ACB

M B

0 , ( , ( )) M A u

d A d

u

=

uuuuuurr

r

Ví dụ: Tính khoảng cách từ A(3, 0, -2) đến đường thẳng

( ) :

−

2 2 ( , ( ))

3

d A d =

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1

ur

2

ur

2

ur

O

z

(d1) (d2)

M1

M2

1

u r

1 2

Day

V

d d d

S

=

1 2 1 2

1 2

1 2

( , )

,

u u M M

d d d

u u

=

uuuuuuur

r r

r r

(d1) qua M1 có vtcp (d2) qua M2 có vtcp Dựng hình hộp

Khoảng cách giữa (d1) và (d2) là khoảng cách hai đáy

- khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng

chứa đường thẳng kia và song song với nó

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng sau :

1

( ) :

d − = = +

( ) :

d − = + = −

−

[ u ur r1, 2 ] = (2,8, 7)

M1(2,0,-1) , M2(1,-2,4) ⇒ M1M2 = (-1,-2,5)

[ ] [ ]

1 2 1 2

1 2

1 2

, 17 ( , )

, 117

u u M M

d d d

u u

uuuuuuur

r r

r r

Cách 1:

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d2) và song song với (d1).

(P) đi qua M2(1,-2,4) và có một pháp vectơ là nên có phương trình:[ u ur r1, 2 ] = (2,8, 7)

(P): 2x + 8y + 7z – 14 = 0

2.2 8.0 7.( 1) 14 17 ( , ) ( ,( ))

117

d d d d M P + + − −

+ +

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng sau :

1

( ) :

d − = = +

( ) :

d − = + = −

−

Cách 3: Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

A(2+a, -2a, -1+ 2a)∈(d1) , B(1+3b, -2+b, 4-2b)∈(d2)

1 2

AB u

AB u





=



uuu r r uuu r r  9 3 a a + = 14 3 b b 13 15

⇔  + =



137 117 96 117

a b



⇔ 



17 ( , )

117

d d d = AB =

Vậy

Bài tập:

6 14

Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

2x – y + 3z + 4 = 0 và 2x – y + 3z – 2 = 0

Bài 2: Tính khoảng cách giưã mặt phẳng x + 2y – 2z + 5 = 0

và đường thẳng x = 1+ 2t, y = 4t, z = 2 + 3t

phẳng này và tính khoảng cách từ đó đến mặt phẳng kia

Đáp:

Đường thẳng và mặt phẳng song song, lấy một điểm thuộc đường thẳng và tính khoảng cách từ đó đến mặt phẳng

Đáp: 2

3

.

Lời dặn:

1/ Lập bảng công thức tính các khoảng cách

để ghi nhớ ( đủ các trường hợp).

2/ Làm bài tập SGK trang 102, 103.

Bài học kết thúc