Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính egodic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Tiến Đức MÔ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN VÀ TÍNH ERGODIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60460106 Người hướng dẫn khoa học GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI- Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số khái niệm mở đầu 1.1 1.2 1.3 1.4 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình thích nghi với lọc 1.1.3 Quá trình Wiener Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.2.1 Tích phân Itô hàm bậc thang 10 1.2.2 Tích phân Itô hàm ngẫu nhiên bị chặn 11 Vi phân ngẫu nhiên Công thức Itô 13 1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên 13 1.3.2 Công thức Itô tổng quát 14 Tích phân Itô nhiều chiều 14 1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều 14 1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều 15 1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều 15 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.1 Khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.2 Định lý tồn nghiệm 18 2.3 Điều kiện cho tính quy nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 19 2.4 Tính chất Ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 21 2.4.1 Quá trình hồi quy miền 21 2.4.2 Hồi quy không hồi quy 22 2.4.3 Hồi quy dương hồi quy không 23 2.4.4 Sự tồn phân phối dừng 24 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên tính ergodic 26 3.1 Cạnh tranh loài, tính ergodic elip 28 3.2 So sánh với kết khác 39 3.3 Thảo luận 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc gia Hà Nội, hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người dạy kiến thức kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ-Tin học, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiênĐại học Quốc gia Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô giáo môn Lý thuyết xác suất thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn lớp Cao học toán khóa học 2011-2013, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song lực hạn chế nên chắn luận văn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo, cô giáo, góp ý bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Lời nói đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích môi trường ngẫu nhiên, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất, đồng thời ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên toán học Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh học (động lực học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ) đặc biệt kinh tế tài (định giá quyền lựa chọn thị trường chứng khoán ) Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề vật lý, học, sinh học kinh tế (kể thị trường chứng khoán) Trong luận văn này, xin trình bày tính ergodic nghiệm phương trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss Luận văn chia làm chương: Chương Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức giải tích ngẫu nhiên bao gồm trình ngẫu nhiên, trình đo tính chất trình ngẫu nhiên quan trọng- trình Wiener, đồng thời ta tìm hiểu khái niệm, tồn tích phân ngâu nhiên Itô hàm ngẫu nhiên bị chặn khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp chiều nhiều chiều) Chương Ở chương ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên điều kiện tồn nghiệm Trong chương ta tìm hiểu số khái niệm gắn liền với trình ngẫu nhiên (tính quy, hồi quy, hồi quy dương) đặc biệt ta nghiên cứu tính chất ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương Chúng ta xét mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tốc độ tăng trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss Ta chứng tỏ cường độ tiếng ồn không qua lớn, nghiệm phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic Một mối liên hệ hiển cường độ tiếng ồn tham số loài cạnh tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic Bên cạnh ta thảo luận so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà nhận với kết thu báo Rudnicki[20], đồng thời đề cập đến tính ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 6 Chương Một số khái niệm mở đầu Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ - trường tập Ω Mỗi tập A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 a) Cho (Ω, F, P) không gian xác suất T tập Một ánh xạ X : T × Ω → R cho với t ∈ T , ánh xạ ω → X(t, ω) đo được, gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {X(t), t ∈ T } Như vậy, hàm ngẫu nhiên T chẳng qua họ biến ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } số hóa tập tham số T • Nếu T = N tập số tự nhiên ta gọi X = {X(n), n ∈ N} dãy biến ngẫu nhiên • Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {X(t), t ∈ T } trình ngẫu nhiên Trong trường hợp tham số t đóng vai trò biến thời gian • Nếu T tập Rd ta gọi X = {X(t), t ∈ T } trường ngẫu nhiên Nếu trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị Rn ta có trình ngẫu nhiên n− chiều Giả sử X = {X(t), t ∈ T } trình ngẫu nhiên, ký hiệu |X(t)|2 dP (ω) < ∞ L2 (Ω) = X(t) : E Ω 1.1.2 Quá trình thích nghi với lọc Định nghĩa 1.2 a) Một họ σ - trường {Ft }t≥0 F , Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: i) Đó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft s < t ii) Đó họ liên tục phải, tức Ft = Ft+ε ε>0 iii) Mọi tập P- bỏ qua A ∈ F chứa F0 , tức A ∈ F P(A) = A ∈ F0 b) Cho trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} Ta xét họ σ - trường {FtX }t≥0 sinh tất biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức FtX = σ(Xs , ≤ s ≤ t) σ - trường chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên trình X , lịch sử X , hay gọi trường thông tin X c) Một không gian xác suất (Ω, F, P) ta gắn thêm lọc {Ft }t≥0 , gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P) c) Cho lọc bất kì, {Ft }t≥0 Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} gọi thích nghi với lọc {Ft }t≥0 , với t ≥ Xt Ft - đo 1.1.3 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.3 Cho σ > Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ≥ 0} gọi trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ thỏa mãn điều kiện sau i) W (0) = hầu chắn ii) W có gia số độc lập, tức với < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), , W (tn ) − W (tn−1 ), độc lập iii) Với ≤ s < t W (t) − W (s) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn W (t) − W (s) ∼ N (0; σ (t − s)) Trong trường hợp σ = trình gọi trình Wiener tiêu chuẩn Một số tính chất trình Wiener Cho trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} a) W (t) martingale lọc tự nhiên {FtW }t≥0 trình Wiener W , tức E(Wt |FsW ) = Ws , ∀s < t b) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) khả vi } = c) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) có biến phân bị chặn khoảng hữu hạn } = d) W tuân theo luật lôgarit- lặp sau: P ω : lim sup √ t→∞ 1.2 W (t) 2t ln ln t = = Tích phân ngẫu nhiên Itô Định nghĩa 1.4 Cho trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} không gian xác suất (Ω, F, P) a) Với t ≥ 0, ký hiệu Ht = FtW σ - trường sinh họ {W (s), ≤ s ≤ t} Khi Ht gọi σ - trường đại số chứa thông tin lịch sử hàm ngẫu nhiên W thời điểm t 9 b) Ký hiệu Ht+ σ - trường sinh họ {W (u) − W (t), u ≥ t} Khi Ht+ gọi σ - trường đại số chứa thông tin tương lai hàm ngẫu nhiên W sau thời điểm t c) Một họ {Ft }t≥0 σ - trường F gọi họ lọc trình Wiener W • Fs ⊂ Ft s < t • Ht ⊂ Ft với t ≥ • Ft độc lập với Ht+ với t ≥ Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t, ω), t ≥ trình ngẫu nhiên a) Ta nói f (t, ω) phù hợp họ lọc {Ft }t≥0 với t ≥ 0, ánh xạ ω → f (t, ω) Ft - đo Điều có nghĩa thời điểm t, biến ngẫu nhiên f (t, ω) phụ thuộc vào thông tin σ - trường Ft b) Ta nói f (t, ω) đo lũy tiến lọc {Ft }t≥0 với t ≥ 0, hàm (t, ω) → f (t, ω) xác định [0, t] × Ω Bt × Ft đo được, Bt σ trường Borel [0, t] Rõ ràng f (t, ω) đo lũy tiến lọc {Ft }t≥0 phù hợp với lọc {Ft }t≥0 c) Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T f (t, ω)dt < ∞ E Ta có N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f || = f (t, ω)dt E d) Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T |f (t, ω)|dt < ∞ E 47 Tài liệu tham khảo [1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất ứng dụng, phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Bhattacharya, R.N (1978), "Criteria for recurrence and existence of invariant measure for multidimensional diffusions", Ann.Prob, 6, pp.541-553 [7] Chen, Z., Kulperger, R (2003), "A stochastic prey predator process and damping" In preparation [8] Chessa, S., Fujita Y.H (2002), "The stochastic equation of predator-prey population dynamics", Boll Unione Mat Ital Sez B.Artic Ric Mat, 5, pp.789-804 (in Italian) [9] Friedman, A (1973), "Wandering out to infinity of diffusion processes", Trans Am Math Soc., 184, pp.185-203 [10] Gard, T.C (2000), "Transient effects of stochastic multi-population models", in Electron J Differential Equat., Conf 05 (Proc Conf Nonlinear Differential Equations, Coral Gables, FL, 1999), eds S.Cantrell and C Cosner, Texas State University, pp.81-90 48 [11] Gard, T., Kannan, D (1976), "On a stochastic differential equation modeling of prey-predator evolution", J Appl Prob, 13, pp.429-433 [12] Karlin, S., Taylor, H (1981), A Second Course in Stochastic Processes, Academic Pree, New York [13] Khasminskii, R.Z., Klebaner, F.C (2001), "Long term behavior of solutions of the Lotka-Volterra system under small random perturbations", Ann.Appl.Prob, 11, pp 952-963 [14] King, A et al (1996), "Weakly dissipative predator-prey systems", Bull Math Biology, 58, pp.835-859 [15] Mangel, M., Ludwig, D (1977), "Probability of extinction in a stochastic competition", SIAM J Appl Math, 33, pp.256-266 [16] Manthey, R., Maslowski, B (2002) "A random continous model for two interacting populations", Apll Math Optimization, 45, pp.213-236 [17] Mao, X., Marion, G., Renshaw, E (2002), "Evironmental Brownian noise suppresses explosions in population dynamics", Stoch Process Appl, 97, pp.95-110 [18] Rafail Khasminskii (2012), Stochastic Stability of Differiential Equations, Spinger [19] Renshaw, E (1991), Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge University Press [20] Rudnicki, R (2003), " Long-time behavior of a stochastic prey-predator models", Stoch, Process Appl, 108, pp.93-107  ... trình ngẫu nhiên, trình đo tính chất trình ngẫu nhiên quan trọng- trình Wiener, đồng thời ta tìm hiểu khái niệm, tồn tích phân ngâu nhiên Itô hàm ngẫu nhiên bị chặn khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô... bày tính ergodic nghiệm phương trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss Luận văn chia làm chương: Chương Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức giải tích ngẫu nhiên bao gồm trình ngẫu. .. 23 2.4.4 Sự tồn phân phối dừng 24 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên tính ergodic 26 3.1 Cạnh tranh loài, tính ergodic elip 28 3.2 So sánh với kết khác