Hàm đơn điệu toán tử

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON inh Th Tuyt Nga HM N IU TON T KHểA LUN TT NGHIP I HC H Ni Nm 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON inh Th Tuyt Nga HM N IU TON T Chuyờn ngnh: Gii tớch KHểA LUN TT NGHIP I HC NGI HNG DN KHOA HC: TS H MINH TON H Ni Nm 2017 Li cm n hon thnh khúa lun tt nghip ny, tụi xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy giỏo v cụ giỏo khoa Toỏn - Trng i hc S phm H Ni 2, ó tn tỡnh giỳp , ch bo tụi sut thi gian tụi theo hc ti khoa v thi gian lm khúa lun c bit, tụi xin gi li cm n chõn thnh v lũng bit n sõu sc ti thy giỏo TS H Minh Ton, ngi thy ó truyn th kin thc, luụn tn tõm ch bo v nh hng cho tụi tụi cú c kt qu nh ngy hụm Mc dự ó cú nhiu c gng, song thi gian v kinh nghim bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khúa lun khụng th trỏnh nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn sinh viờn v bn c khúa lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 24 thỏng 04 nm 2017 Sinh viờn inh Th Tuyt Nga i Li cam oan Khúa lun tt nghip ny l kt qu nghiờn cu ca bn thõn tụi di s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo TS H Minh Ton Trong nghiờn cu hon thnh ti ny, tụi ó tham kho v k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc v cỏc nh nghiờn cu vi s trõn trng v lũng bit n Tụi xin khng nh kt qu ca ti "Hm n iu toỏn t" l kt qu ca vic nghiờn cu, hc v n lc ca bn thõn, khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc Nu sai tụi xin hon ton chu trỏch nhim H Ni, ngy 24 thỏng 04 nm 2017 Sinh viờn inh Th Tuyt Nga ii Mc lc Li m u 1 Kin thc chun b 1.1 Toỏn t tuyn tớnh 1.2 Khai trin ph 1.2.1 Giỏ tr riờng v vect riờng 1.2.2 Khai trin ph 3 8 nh ngha hm n iu toỏn t 14 2.1 Hm toỏn t 14 2.2 Hm n iu toỏn t 16 Mt s c trng ca hm n iu toỏn t v ng dng 3.1 c trng Hansen-Pedersen 3.1.1 Ma trn 3.1.2 T sai phõn 3.1.3 c trng Hansen-Pedersen 3.2 Biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t 3.3 ng dng: mt s bt ng thc cho chun ca hoỏn t 24 24 24 26 27 36 41 Kt lun chung 45 Ti liu tham kho 46 iii Ký hiu toỏn hc H Khụng gian Hilbert B (X) Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo chớnh nú Mn Khụng gian cỏc ma trn vuụng cp n trờn trng s phc C A Toỏn t liờn hp ca toỏn t A A (> 0) Toỏn t na xỏc nh dng (xỏc nh dng) B(H)sa Tp tt c cỏc toỏn t Hermite B(H) Msa n Tp cỏc ma trn Hermite cp n (A) Ph ca toỏn t A r (A) Bỏn kớnh ph ca toỏn t A Diag (1 , , n ) Ma trn ng chộo vi cỏc phn t , , , n nm trờn ng chộo I Ma trn n v (cp n) C k (J) Lp cỏc hm kh vi liờn tc cp k trờn khong J iv Li m u Lp cỏc hm n iu toỏn t l mt nhng lp hm quan trng ca hm thc Nú l s m rng ca cỏc hm thc lờn cỏc ma trn Hermite bo ton th t Cỏc hm nh vy cú mt s tớnh cht c bit, v cỏc tớnh cht ú cú mi quan h cht ch vi cỏc tớnh cht ca hm li toỏn t Hn na, nú cú nhiu ng dng toỏn hc, vt lớ, k thut in Vỡ vy vi nim say mờ Toỏn hc v s hng dn tn tỡnh ca TS H Minh Ton, tụi ó mnh dn thc hin khúa lun tt nghip vi ti "Hm n iu toỏn t" õy l mt ti cũn khỏ mi i vi nn Toỏn hc Vit Nam Ti liu chuyờn kho [7] ca tỏc gi Fumio Hiai l mt nhng cm nang khỏ y v chi tit v hm n iu toỏn t Bn khúa lun ó trỡnh by li mt s kt qu chn lc v hm n iu toỏn t c trớch dn t ti liu ny Ni dung ca ti trỡnh by v nh ngha hm n iu toỏn t v mt s c trng ca hm n iu toỏn t: c trng Hansen-Pedersen th hin mi quan h gia hm n iu toỏn t v hm li toỏn t, biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t trờn s thc khụng õm ng dng cỏc c trng ca hm n iu toỏn t, Rajendra Bhatia v Fuad Kittaneh ó thu c mt s bt ng thc cho chun ca hoỏn t c trỡnh by [6] v chỳng tụi nờu li cỏc kt qu chớnh ti liu ny Ngoi phn m u, kt lun v danh mc ti liu tham kho, khúa lun gm cỏc chng sau Chng "Kin thc chun b" h thng húa mt s kin thc c s v toỏn t v ma trn Chng "nh ngha hm n iu toỏn t" trỡnh by nh ngha hm n iu toỏn t v a mt s vớ d minh cho lp hm ny Chng "Mt s c trng ca hm n iu toỏn t v ng dng" l phn chớnh ca khúa lun, tụi trỡnh by c trng Hansen Pedersen, biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t trờn s thc khụng õm v ng dng ca hm n iu toỏn t ng thi, tụi cng a mt s vớ d minh cho cỏc c trng ny Tuy ó cú nhiu c gng nhng thi gian v kh nng cú hn nờn cỏc khúa lun cha c trỡnh by sõu sc v khụng th trỏnh cú nhng sai sút Ngoi ra, mt s kt qu (mnh , nh lớ, h qu) c tha nhn m b qua chng minh Tụi rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v cỏc bn bn khúa lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 24 thỏng 04 nm 2017 Sinh viờn inh Th Tuyt Nga Chng Kin thc chun b 1.1 Toỏn t tuyn tớnh nh ngha 1.1 [2] Cho hai khụng gian vect bt kỡ X v Y trờn trng K (thc hoc phc) Mt ỏnh x A : X Y gi l mt ỏnh x tuyn tớnh hay toỏn t tuyn tớnh nu (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 vi mi x1 , x2 X, (ii) A(x) = Ax vi mi x X v mi K Ta vit Ax thay cho A(x) ch phn t ng vi x ỏnh x A Nu Y = X thỡ ta núi A l toỏn t tuyn tớnh X Vớ d 1.1.1 A : Rn R x A(x) = c1 x1 + c2 x2 + ã ã ã + cn xn , ú x = (x1 , x2 , , xn ) Rn , ci R, i = 1, 2, , n Khi ú A l toỏn t tuyn tớnh Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Vớ d 1.1.2 A : Rn Rm a11 a1n x1 x A(x) = , am1 amn xn ú aij l cỏc s thc vi i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n Khi ú A l toỏn t tuyn tớnh Cho khụng gian nh chun X v Y Toỏn t tuyn tớnh A t X vo Y gi l b chn, nu tn ti hng s K > cho Ax K x , x X Mt toỏn t tuyn tớnh A t X vo Y l liờn tc v ch nú b chn Kớ hiu B(X) l khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo chớnh nú Ta gi A = inf{K > : Ax K x , x X} l chun ca toỏn t A Khi ú Ax = sup Ax A = sup x x=0 x =1 Cho H l khụng gian Hilbert n chiu trờn trng K (thc hoc phc) vi tớch vụ hng ã, ã ú tớch vụ hng ny tha x, x 0, x, x = x = 0, x, y = x, y , x + y, z = x, z + y, z , x, y = y, x , vi mi x, y, z H v K Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA f (A) = f B + (1 ) (1 )1 (A B) f (B) + (1 ) f (1 )1 (A B) f (B) Cho 1, ta cú f (A) f (B) f (A) f (B) Suy ra, (f ) n iu toỏn t trờn [0, ) (v) (ii) Cho A, X nh (ii) t T := A 0 , U := 1/2 (I XX ) X 1/2 (I X X) X , R := (I XX )1/2 A(I XX )1/2 , D := X A(I XX )1/2 , X AX + I vi , > B := I Ta cú U T U = X AX D D R Suy B U T U = D I D 32 I R Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Vi x, y H, ta cú (B U T U ) = x y x , y x Dy D x + y Ry , = x Re x, Dy + y x 2 D = y Ry, y y + ( R ) y x D x x D + R y y Vi > ln thỡ B U T U hay B U T U Do (f ) n iu toỏn t trờn [0, ) nờn f (X AX + I) 0 f () I f (U T U ) = U U = f (A) 0 = f (B) f (A) 0 f (0) I U U 1/2 1/2 X f (A) (I XX ) X f (A) X (I XX ) 1/2 f (A) X (I XX ) 1/2 f (A) (I XX ) Suy f (X AX + I) X f (A) X Cho bt ng thc trờn ta cú f (X AX) X f (A) X H qu 3.2 [7, Corollary 2.5.6, p 171] Gi s hm f xỏc nh trờn (0, ) cho f > Khi ú (i) (ii) (iii) (iv) (i) Hm f n iu toỏn t; 33 Khúa lun tt nghip i hc (ii) Hm INH TH TUYT NGA t n iu toỏn t; f (t) (iii) Hm f lừm toỏn t; (iv) Hm li toỏn t f (t) Chng minh (i) (ii) Gi s hm f n iu toỏn t trờn (0, ) cho f > Vi > 0, hm f (t + ) n iu toỏn t trờn [0, ) vi f (t + ) < f (t + ) p dng nh lớ 3.3, hm n iu toỏn t trờn (0, ) Mt t t f (t + ) khỏc, theo [7, Lemma 2.5.5, p.171], ta suy = f (t + ) t n iu toỏn t trờn (0, ) Cho 0, ta c hm t n iu toỏn t trờn (0, ) f (t) t Vỡ h n iu toỏn t trờn (0, ) nờn theo f (t) t chng minh (i) (ii), hm f (t) = n iu toỏn t trờn (0, ) h (t) (ii) (i) t h (t) = (i) (iii) p dng Mnh 2.1, ta cú (i) f (t + )l hm n iu toỏn t trờn [0, )vi mi > f (t + ) l hm lừm toỏn t trờn [0, )vi mi > (iii) (iii) (iv) t g(t) = Vỡ hm f lừm toỏn t nờn vi mi f (t) A, B > 0, ta cú f A+B f (A) + f (B) 34 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Suy A+B g A+B =f f (A) + f (B) p dng bt ng thc (3.1), ta cú f (A) + f (B) g(A) + g(B) f (A)1 + f (B)1 = 2 Do ú g A+B g(A) + g(B) Vy hm g l hm li toỏn t Vớ d 3.1.1 (i) Hm f (t) := t1 n iu toỏn t trờn [0, ), log t ú f (0) = v f (1) = (ii) Hm log t n iu toỏn t v lừm toỏn t trờn (0, ) (iii) Hm t log t li toỏn t trờn [0, ), ú quy c log = dp, t Vi mi n N v vi mi Chng minh (i) Ta cú f (t) = A, B Msa n , A B 0, ta cú 1 Ap dp f (A) = B p dp = f (B) Vy hm f n iu toỏn t trờn [0, ) (ii) Theo (i), hm t n iu toỏn t trờn (0, ) log (t + 1) 35 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Theo H qu 3.2, hm log (t + 1) n iu toỏn t v lừm toỏn t trờn (0, ) Suy log ( + t) = log + log + t n iu v lừm toỏn t trờn (0, ) vi > Cho 0, hm log t n iu toỏn t v lừm toỏn t trờn (0, ) g (t) = log t t n iu toỏn t trờn (0, ) Theo nh lớ 3.3, hm g (t) li toỏn t trờn [0, ) (iii) Vỡ hm g (t) := t log t liờn tc trờn [0, ) v hm Vớ d 3.1.2 Chng minh rng: p R : f (t) = li toỏn t trờn (0, ) = [1, 0] [1, 2] Chng minh Vi p [1, 0], p nờn hm n iu toỏn t trờn (0, ) Theo H qu 3.2, ta cú f (t) = li toỏn t trờn (0, ) = tp1 n iu toỏn t t trờn (0, ) Theo nh lớ 3.3, f (t) = li toỏn t trờn (0, ) Vi p [1, 2], p nờn hm Vi p > 0, theo nh lớ 3.3, hm f (t) = li toỏn t trờn (0, ) nu = tp1 n iu toỏn t trờn (0, ), tc l p [1, 2] Suy vi t p (0, 1) (2, ) thỡ hm f khụng li toỏn t Vi p (, 1) thỡ hm f khụng li toỏn t Vy p R : f (t) = li toỏn t trờn (0, ) = [1, 0] [1, 2] 3.2 Biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t Kớ hiu K l cỏc hm n iu toỏn t trờn (1, 1) tha f (0) = 0; f (0) = 36 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA B 3.2 [7, Lemma 2.7.1, p 178] Gi s f l hm n iu toỏn t trờn (1, 1) Khi ú (i) Vi mi [1, 1], hm g (x) = (x + ) f (x) li toỏn t trờn (1, 1) (ii) Vi mi [1, 1] , hm h (x) = + f (x) n iu toỏn t x trờn (1, 1) (iii) Hm f kh vi cp ti v f (x) f (0) x x0 x2 f (0) = lim B 3.3 [7, Lemma 2.7.2, p 178] Cho f K Khi ú x 1x x f (x) 1+x f (x) vi x < 1, vi < x 0, |f (0)| Chng minh Cho A = x 0 Khi ú f (x) f (x) [1] x f (A) = f (x) x p dng nh lớ 3.1, f [1] (A) Suy f (x)2 f (x) x2 (3.2) Xột hm g (x) = (x 1) f (x) p dng B 3.2, hm g (x) l hm li toỏn t Suy g (x) = f (x) + (x 1) f (x) n iu tng trờn 37 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA (1, 1) Vỡ g (0) = nờn ta cú f (x) + (x 1) f (x) vi < x < 1, f (x) + (x + 1) f (x) (3.3) vi < x < (3.4) T (3.2) v (3.3), ta cú (1 x)f (x)2 f (x) + x2 Nu f (x) > x vi x (0, 1) thỡ 1x f (x) + > cho f (x) < f (x) (1 x)f (x) x = x2 1x x x x , mõu thun Do ú f (x) vi mi x [0, 1) 1x 1x Bng lp lun tng t, t (3.2) v (3.4), ta cú f (x) x (1, 0] x vi mi 1+x Hn na, theo B 3.2 v hai bt ng thc va c chng minh, ta cú x f (0) 1x x lim = lim = 1, x x 01x x2 v f (0) lim x x 1+x x = lim = x 01+x x Vy |f (0)| nh lý 3.4 [7, Theorem 2.7.11, p 182] (Biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t trờn [0, )) 38 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Cho f l hm liờn tc v khụng õm trờn [0, ) Hm f n iu toỏn t v ch tn ti o Borel hu hn dng m trờn (0, ) cho t (1 + ) dm () , t+ f (t) = a + bt + t [0, ) , (3.5) (0,) f (t) t t ú a = f (0), b = lim t (1 + ) (1 + ) = 1+ t+ t+ n iu toỏn t trờn [0, ) nờn hm f (t) n iu toỏn t trờn [0, ) () Gi s hm f liờn tc v n iu toỏn t trờn [0, ) Xột Chng minh () Vi mi [0, ) , hm t = h (x) = 1+x = + : (1, 1) (0, ) 1x 1x Khi ú g (x) = f (h (x)) l hm n iu toỏn t trờn (1, 1) Theo [7, Theorem 2.7.5, p 180] , tn ti nht o xỏc sut trờn [1, 1] cho x d (), x g (x) = g (0) + g (0) x (1, 1) [1,1] Ta cú f (0) = g (1) = g (0) + g (0) lim + x1 x d () x [1,1] d () , 1+ = g (0) + g (0) [1,1] v c bit ({1}) = nờn g (x) g (1) = g (0) (1,1] 39 x+1 d () (1 x) (1 + ) Khúa lun tt nghip i hc Vi x = h1 (t) = INH TH TUYT NGA t1 , = h1 () = v xột o m trờn t+1 +1 (0, ) cho m := h1 , ú d () := g (0) d () 1+ ta s thu c (3.5) Vớ d 3.2.1 Biu din tớch phõn ca hm f (t) = log t trờn [0, ) l 1 d 1+ t+ log t = Vớ d 3.2.2 Hm f (x) = log (1 + x) , x > Theo Vớ d 3.2.1, ta cú 1 d 1+ x+ logx = Suy 1 d +1 x++1 log (1 + x) = 1 d x+ = x d (x + ) = t d = ( + 1) dà (), ta cú biu din tớch phõn x ( + 1) dà () x+ log (1 + x) = 40 Khúa lun tt nghip i hc 3.3 INH TH TUYT NGA ng dng: mt s bt ng thc cho chun ca hoỏn t Da vo mt s tớnh cht ca hm n iu toỏn t, ta tỡm hiu ng dng ca nú mt s bt ng thc cho chun ca hoỏn t nh ngha 3.4 [7] Cho H l khụng gian Hilbert n-chiu Chun ||| ||| trờn B(H) c gi l chun bt bin unita nu |||U AV ||| = |||A|||, vi mi A B(H) v mi unita U, V B(H) Chun bt bin unita trờn B(H) cng c gi l chun i xng Cho A B(H) Kớ hiu s(A) = (s1 (A), , sn (A)) l vect ca cỏc giỏ tr kỡ d ca A (tớnh c bi) c sp xp theo th t gim dn tc l s1 (A) ã ã ã sn (A) Mnh 3.3 [3] Cho A, B l cỏc ma trn na xỏc nh dng, f l hm n iu toỏn t khụng õm bt kỡ trờn [0, ) Khi ú ta cú bt ng thc sau |||f (A) f (B)||| |||f (|A B|)||| B 3.4 [6, LEMMA 4, p 259] Vi mi A na xỏc nh dng, U l unita v f l hm n iu toỏn t khụng õm trờn [0, ) ta cú |||f (A)U U f (A)||| |||f (|AU U A|)||| 41 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Chng minh Ta cú |||f (A)U U f (A)||| = |||f (A) U f (A)U ||| = |||f (A) f (U AU )||| |||f (|A U AU |)||| = |||f (|AU U A|)||| B 3.5 [6, LEMMA 5, p 259] Cho X, Y, Z l ba ma trn bt kỡ v f l hm n iu tng tựy ý trờn [0, ) Khi ú |||f (|XY Z|)||| |||f ( X Z |Y |)||| (3.6) Chng minh Theo nguyờn lớ min-max [4, Corollary III.1.2, p 58], ta suy sj (XY Z) X Z sj (Y ) vi mi j Do ú, sj (f (|XY Z|)) = f (sj (XY Z)) f( X = sj (f ( X Z sj (Y )) Z |Y |)) Suy bt ng thc (3.6) nh lý 3.5 [6, THEOREM 1, p 258] Cho A, B l cỏc ma trn na xỏc nh dng, X l mt ma trn bt kỡ v sj (X), j n l cỏc giỏ tr kỡ d ca X c sp xp theo th t gim dn Khi ú vi mi hm n iu toỏn t khụng õm f v vi mi chun bt bin unita, ta cú |||f (A)X Xf (B)||| K f |AX XB| + s2n (X) 42 , (3.7) Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA + s1 (X) ú K = Chng minh Xột trng hp c bit A = B, X = X t U = (X i)(X + i)1 Khi ú U l unita v ph ca nú khụng cha giỏ tr Ta cú X = i(1 + U )(1 U )1 = 2i(1 U )1 i (3.8) Mt khỏc, theo B 3.4 ta cú |||f (A)X Xf (A)||| = |||f (A)(2i(1 U )1 i) (2i(1 U )1 i)f (A)||| = 2|||f (A)(1 U )1 (1 U )1 f (A)||| = 2|||(1 U )1 (f (A)U U f (A))(1 U )1 ||| (1 U )1 |||f (A)U U f (A)||| (1 U )1 |||f (|AU U A|)||| T (3.8), ta cú X +i ||(1 U ) || = 2 = + s21 (X) Theo B 3.5, ta cú |||f (|AU U A|)||| = |||f (|A(1 2i(X + i)1 ) (1 2i(X + i)1 )A|)||| = |||f (2|(X + i)1 A A(X + i)1 |)||| = |||f (2|(X + i)1 (AX XA)(X + i)1 |)||| |||f (2 (X + i)1 |AX XA|)||| Li cú (X + i)1 = + s2n (X) 43 Khúa lun tt nghip i hc INH TH TUYT NGA Do ú |||f (A)X Xf (A)||| K f |AX XA| + s2n (X) (3.9) Xột trng hp tng quỏt, t C= A 0 B , Y = X X Khi ú C na xỏc nh dng v Y l Hermite Cỏc giỏ tr kỡ d ca Y v X l nh Thay A bi C v X bi Y (3.9) ta c (3.7) nh lý 3.6 [6, THEOREM 2, p 258] Cho A, B l cỏc ma trn na xỏc nh dng v X l phộp co bt kỡ (ngha l X = s1 (X) 1) Khi ú vi mi hm n iu toỏn t khụng õm f v vi mi chun bt bin unita, ta cú (3.10) |||f (A)X Xf (B)||| |||f (|AX XB|)||| Chng minh Thay X bi X (3.7) ta c (3.10) 44 Kt lun chung Da trờn cỏc ti liu tham kho, khúa lun ó t c cỏc kt qu sau Khỏi quỏt húa cỏc kin thc c s v toỏn t v ma trn Trỡnh by nh ngha hm n iu toỏn t v mt s vớ d minh cho lp hm ny Trỡnh by mt s c trng tiờu biu v hm n iu toỏn t v ng dng ca nú Th nht, c trng Hansen Pedersen th hin mi quan h gia hm n iu toỏn t v hm li toỏn t Th hai, biu din tớch phõn ca hm n iu toỏn t trờn s thc khụng õm Th ba, ng dng ca hm n iu toỏn t mt s bt ng thc cho chun ca hoỏn t Ngoi ra, khúa lun ó a cỏc vớ d c th nhm minh cho cỏc c trng ny 45 Ti liu tham kho [1] Lờ Tun Hoa, i s tuyn tớnh qua cỏc vớ d v bi tp, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2006 [2] Hong Ty, Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni, 2005 [3] T Ando, Comparison of norms |||f(A)-f(B)||| and |||f(|A-B|)|||, Math Z , 197(1988), 403409 [4] R Bhatia, Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York, 1996 [5] R Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton University Press, 2007 [6] R Bhatia and F Kittaneh, Some Inequalities For Norms Of Commutators, SIAM J MATRIX ANAL APPL , 18(1997), No 1, 258263 [7] F Hiai, Matrix Analysis: Matrix Monotone Functions, Matrix Means and Majorization, Interdisciplinary Information Sciences, 16 (2010), No 2, 139 248 46