Một số bất biến tổ hợp của sắp xếp siêu phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trương Thị Mỹ Linh MỘT SỐ BẤT BIẾN TỔ HỢP CỦA SẮP XẾP SIÊU PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRƯƠNG THỊ MỸ LINH MỘT SỐ BẤT BIẾN TỔ HỢP CỦA SẮP XẾP SIÊU PHẲNG Chuyên ngành: Hình Học Mã số: ??????? KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN TẤT THẮNG Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành với giúp đỡ bảo thầy cô tổ Hình học Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Tất Thắng, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trương Thị Mỹ Linh i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em hướng dẫn bảo tận tình thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình TS Nguyến Tất Thắng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Một số bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng" trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trương Thị Mỹ Linh ii Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Sắp xếp siêu phẳng 1.1.1 Siêu phẳng 1.1.2 Sắp xếp siêu phẳng Giàn giao 1.2.1 Tập thứ tự phận 1.2.2 Giàn giao Đa thức đặc trưng 12 2.1 Đa thức đặc trưng 12 2.2 Tính chất Poset 15 2.3 Số miền, số mặt 30 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Lời mở đầu Lí chọn đề tài Các tập đại số đối tượng nghiên cứu Toán học Các siêu phẳng tập đại số bậc một, nói cách khác, tập đại số mà phương trình xác định phân tích thành tích nhân tử bậc Việc tìm hiểu tính chất hình học tập đại số vấn đề quan trọng, cần thiết hình học đại số lĩnh vực khác Bài toán siêu phẳng việc nghiên cứu xếp chúng chẳng hạn tính toán số miền, số mặt xếp siêu phẳng Bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng hiểu đối tượng đại số phụ thuộc vào thông tin tổ hợp chúng Thông qua bất biến ta biết thông tin hình học xếp siêu phẳng Thấy tầm quan trọng vấn đề, với hướng dẫn nhiệt tình TS Nguyễn Tất Thắng em chọn đề tài Một số bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu xếp siêu phẳng bất biến hình học xếp siêu phẳng không gian Rn Xây dựng hệ thống định lý, mệnh đề, ví dụ cung cấp thông tin hình học xếp siêu phẳng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Sắp xếp siêu phẳng Rn Phạm vi nghiên cứu: bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng Phương pháp nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu tham khảo chủ đề xếp siêu phẳng Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" giới thiệu số định nghĩa, khái niệm liên quan xếp siêu phẳng Chương "Đa thức đặc trưng" trình bày bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng từ đưa tính chất phương pháp xác định đại lượng bất biến Hà Nội, ngày 20/04/2017 Tác giả khóa luận Trương Thị Mỹ Linh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày kiến thức bản, khái niệm liên quan xếp siêu phẳng số chiều, số miền, tập poset, giàn giao, số xếp siêu phẳng 1.1 1.1.1 Sắp xếp siêu phẳng Siêu phẳng Một siêu phẳng không gian Rn tập có dạng: n H= n (x1 , x2 , , xn ) ∈ R : αi x i = c , i=1 αi số không đồng thời 0, i = 1, n, c ∈ R 1.1.2 Sắp xếp siêu phẳng Sắp xếp hữu hạn siêu phẳng A họ hữu hạn siêu phẳng không gian vectơ Rn Ví dụ 1.1.1 Cho A B xếp chiều trình Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh bày hình 1.1 đây: A bao gồm đường thẳng x = 0, y = 0, x = y B bao gồm đường thẳng x = y, x = -y, y = y = -1 Hình 1.1: Sắp xếp A B Hình 1.2: Sắp xếp siêu phẳng không gian Cho A xếp không gian vectơ Rn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Định nghĩa 1.1 Số chiều xếp A Rn , kí hiệu dimA định nghĩa n (số chiều Rn ) Định nghĩa 1.2 Hạng xếp A, kí hiệu rankA định nghĩa sau: Giả sử A, xếp siêu phẳng {Hi } Rn sau: H1 : a11 x1 + a12 x2 + + a1n = b1 , H2 : a21 x1 + a22 x2 + + a2n = b2 , ., m m Hm : am x1 + a2 x2 + + an = bm Khi đó:  a1  a12  a1n     a1 a22 a2n   rankA = rank        m m m a1 a2 an Định nghĩa 1.3 Một miền xếp A thành phần liên thông phần bù X với: X = Rn \A = Rn \ H H∈A Kí hiệu: R(A) tập tất miền A r(A) số miền A Ví dụ 1.1.2 Sắp xếp hình 1.1 có r(A)=6, r(B) = 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Đồng vế (*) ta có: (−1)|Y | µ(ˆ0, ˆ1) = Y ⊂L ∨Y =ˆ1 Định lý 2.4 (Định lý Whitney) Cho A xếp siêu phẳng không gian véctơ n chiều Khi đó: (−1)|B| tn−rankB χA (t) = B⊆A B:central Chứng minh Xét đoạn [ˆ0, x], x ∈ L(A), [ˆ0, x] lưới Gọi X tập siêu phẳng chứa x Từ dễ dàng kiểm tra X "lọc dưới" [ˆ0, x] Thật vậy, ∀y ∈ [ˆ0, x] y ≤ x hay y ⊇ x Do đó: m x⊆y= Hj ⊂ H0 j=1 Vì thế: H0 ≤ y, H0 ∈ X Theo định lý Crusscut ta có: (−1)|Y | µ(x) = µ(ˆ0, x) = Y ⊂X,∨Y =x 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Mặt khác µ(x)tdimx χA (t) = x∈L(A) (−1)|Y | tdimx = x∈L(A) x∈Y ∨Y =x = (−1)|Y | tn−rank(Y ) Y ⊆A x=∩Y =∅ Ví dụ 2.2.2 Cho A xếp R2 trình bày đây: Hình 2.2: Sắp xếp A R2 Bảng trình bày tất xếp tâm B A giá trị |B| rank(B): 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh B |B| rankB ∅ 0 a 1 b 1 c 1 d 1 ac 2 ad 2 bc 2 bd 2 cd 2 acd Theo định lý Whitney ta có: χA (t) = t2 − 4t + (5 − 1) = t2 − 4t + Bổ đề 2.3 Cho A xếp Rn , H ∈ A, A = A\ {H}, A = AH Khi ta có: χA (t) = χA (t) − χA (t) 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Chứng minh Theo định lý Whitney ta có: (−1)|B| tn−rankB χA (t) = B⊆A B:central (−1)|B| tn−rankB (−1)|B| tn−rankB + = centralB⊆A H ∈B / centralB⊆A H∈B = S1 + S2 Mà (−1)|B| tn−rankB = χA (t) S1 = centralB⊆A Định nghĩa ánh xạ: π :A −→ A x −→ x ∩ H Với B tổng S2 B = B ∪ H Ta có: rkB = n − dim( ) x∈B = n − dim(H ( ) x∈B = n − dim( (H x)) x∈B = n − dimπ(B) = (n − 1) − dim(π(B)) + = rk(π(B )) + Khi đó: 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh (−1)|B |+1 tn−rk(π(B ))−1 S2 = B ⊂A B :central tdimA =− −rk(π(B )) B ⊂A B :central Khi B’ chạy khắp xếp tâm A’ π(B ) chạy khắp tâm A” Do đó: (−1)|B | tdimA”−rkC S2 = − C⊂A” B ⊂A C:central π(B )=C Giả sử: C = π(B’) = {H”1 , H”2 , ., H”i }, B = B1 ∩ B2 ∩ ∩ Bi Mà π(Bi ) = Hi nên Bi ⊂ π −1 (H”i ) Do đó: (−1)|B1 | (−1)|B2 | (−1)|Bs | tdimA”−rkC S2 = − ∅=B1 ⊂π −1 (H”1 ) ∅=Bs ⊂π −1 (H”s ) C={H”1 , ,H”i } C:central Giả sử π −1 (H”1 ) = {x1 , x2 , , xa } Thì π −1 (H”1 ) có Ca1 + Ca2 + + Caa = 2a − tập Xét: a (−1)|B1 | = (−1) + (−1)2 + (−1)3 + + (−1)2 ∅=B1 ⊂π −1 (H”1 ) a (−1)2 −1 − = (−1) −1 − = −1 29 −1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Từ đó: tdimA”−rkC (−1)s S2 = − C={H”1 ,H”2 , ,H”i }⊂A” C:central (−1)|C| tdimA”−rkC =− C⊂A” C:central = −χA” (t) Vậy χA (t) = χA (t) − χA” (t) 2.3 Số miền, số mặt Định nghĩa 2.6 Một mặt xếp thực A tập ∅ = F = R ∩ x R ∈ R(A) x ∈ L(A) Một "k-mặt" mặt k chiều A Kí hiệu: fk (A) số "k-mặt" xếp thực A Ví dụ 2.3.1 Sắp xếp có f0 (A) = 3; f1 (A) = 9; f2 (A) = Hình 2.3: hình minh họa 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Định lý 2.5 Cho A xếp không gian véc tơ Rn Khi số miền A xác định: r(A) = (−1)n χA (−1) i) Với A = ∅ r(∅) = 1, χ∅ (t) = tn Chứng minh Do đó: (−1)n χ∅ (−1) = (−1)2n = = r(∅) ii) Với A = ∅ Giả sử ϕ( ) đặc trưng Euler không gian tô pô Nếu khai triển thành ô với fi ô i-chiều định nghĩa ϕ( ) = f0 − f1 + f2 − ϕ(Rn ) = (−1)n Gọi F(A) tập hợp mặt A relint kí hiệu phần tương đối thì: Rn = relint(F ) F ∈F(A) Gọi fk (A) kí hiệu số k-mặt A thì: (−1)n = ϕ(Rn ) = f0 (A) − f1 (A) + f2 (A) − 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Mỗi k-mặt miền Ay với y ∈ L(A) Khi đó: r(Ay ) fk (A) = (2.5) y∈L(A) dimy=k Nhân vế (2.5) với (−1)k lấy tổng k ta được: (−1)dimy r(Ay ) (−1)n = ϕ(Rn ) = y∈L(A) Thay Rn x ∈ L(A) ta được: (−1)dimx = ϕ(x) = (−1)dimy r(Ay ) y∈L(A) y≤x Theo công thức nghịch đảo Mobius ta có: µ(x, y)(−1)dimy (−1)dimx r(Ax ) = (2.6) y∈L(A) y≤x Thay x = Rn ta được: (−1)n r(A) = µ(y)(−1)dimy = χA (−1) y∈L(A) Ví dụ 2.3.2 Cho A xếp thực n chiều m siêu phẳng vị trí tổng quát Gọi {Hi }m i=1 siêu phẳng A Vì A xếp vị trí tổng quát Nên {H1 , H2 , , Hp } ⊆ A 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh p p Hi = ∅ p ≤ n, dim( Hi )=n-p i=1 i=1 Từ gọi B xếp tâm A, B có số phần tử p p ≤ n rank(B)=p Ta có bảng: B |B| rankB ∅ 0 H1 1 H2 1 Hm 1 H1 H2 2 H1 H3 2 H2 H3 2 H1 Hm 2 H1 H2 H3 3 H1 H2 H3 Hn n n Theo định lý Whitney ta có: (−1)|B| tn−rankB χA (t) = B⊆A B:central n−2 n = tn − mtn−1 + Cm t − + (−1)n Cm 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Từ đó: r(A) = (−1)n χA (−1) n = tn − m(−1)n−1 + Cm (−1)n−2 − + (−1)n Cm Hệ 2.1 Cho A xếp thực Khi số miền r(A) phụ thuộc vào L(A) Nói cách khác, số miền bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng Ví dụ 2.3.3 Dưới hình ảnh minh họa cụ thể: Hình 2.4: Hai xếp có giàn giao Hình 2.4 cho thấy xếp R2 với cấu trúc mặt khác L(A) Sắp xếp ví dụ mặt tam giác mặt tứ giác, hình thứ có mặt tam giác xếp có 10 miền Định lý 2.6 Số "k-mặt" xếp thực A tính công thức: 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh (−1)dimx−dimy µ(x, y) fk (A) = x≤y∈L(A) dimx=k |µ(x, y)| = x≤y∈L(A) dimx=k Chứng minh Theo chứng minh định lý 2.5, Mỗi mặt F miền Ax với x ∈ L(A) Khi đó: r(Ax ) fk (A) = x∈L(A) dimx=k Từ (2.6) ta có: (−1)dimy−dimx µ(x, y) r(Ax ) = y∈L(A) y≤x Do đó: fk (A) = (−1)dimx−dimy µ(x, y) x≤y∈L(A) dimx=k Ví dụ 2.3.4 Cho A xếp siêu phẳng sau R2 : H1 : x = 0, H2 : y = 0, H3 : y = x + 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Hình 2.5: Hình ảnh minh họa Ta có L(A) = R2 , H1 , H2 , H3 , O, A, B i) dim x = 0, x ∈ L(A) x = {O, A, B} Do đó: |µ(x, y)| f0 (A) = x≤y∈L(A) dimx=0 = |µ(O, O)| + |µ(A, A)| + |µ(B, B)| = ii) dim x = 1, x ∈ L(A) x = {H1 , H2 , H3 } Do đó: |µ(x, y)| f1 (A) = x≤y∈L(A) dimx=1 = |µ(H1 , H1 )| + |µ(H1 , O)| + |µ(H1 , A)| + |µ(H2 , H2 )| + |µ(H2 , B)| + |µ(H2 , O)| + |µ(H3 , H3 )| + |µ(H3 , A)| + |µ(H3 , B)| = 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh iii) dim x = 2, x ∈ L(A) x = R2 Do đó: |µ(x, y)| f2 (A) = x≤y∈L(A) dimx=2 = |µ(R2 )| + |µ(H1 )| + |µ(H2 )| + |µ(H3 )| + |µ(O)| + |µ(A)| + |µ(B)| = 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trương Thị Mỹ Linh Kết luận Khóa luận trình bày sơ lược kiến thức chuẩn bị liên quan đến xếp siêu phẳng tập trung nghiên cứu bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng, từ cho ta biết thông tin hình học chúng Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, củng cố lại tiếp thu số kiến thức đại số tuyến tính tổ hợp Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thấy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 20/04/2017 Sinh viên Trương Thị Mỹ Linh 38 Tài liệu tham khảo [1] Richard P Stanley," An Introduction to Hyperplane Arrangements", IAS/Park City Mathematics Series, 2004 [2] "Hyperplane arrangement", Park City Mathematics Institute, 2004 39 ... kiến thức bản, khái niệm liên quan xếp siêu phẳng số chiều, số miền, tập poset, giàn giao, số xếp siêu phẳng 1.1 1.1.1 Sắp xếp siêu phẳng Siêu phẳng Một siêu phẳng không gian Rn tập có dạng: n... hình học đại số lĩnh vực khác Bài toán siêu phẳng việc nghiên cứu xếp chúng chẳng hạn tính toán số miền, số mặt xếp siêu phẳng Bất biến tổ hợp xếp siêu phẳng hiểu đối tượng đại số phụ thuộc vào... tin tổ hợp chúng Thông qua bất biến ta biết thông tin hình học xếp siêu phẳng Thấy tầm quan trọng vấn đề, với hướng dẫn nhiệt tình TS Nguyễn Tất Thắng em chọn đề tài Một số bất biến tổ hợp xếp siêu