Thông tin tài liệu
ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS = ∩ ! " # $ %&' ! ()* $%+&+,- " ! "+ , . /0 = uuur uuur 1'2 ! '0 &- ! $" 3 %' ! ,2 ! 4 > +" 4 < 5 1. Định Lý Ceva #, $"%&)(+6+789,:$,;<&+%+%&)="$;:"$> ? @,"" ) %(+&6+7A".,<$B,C$) )D · · · · · · ? ? ? ) ) ? ? ? = ) )E ) ) = ) F", ?G="$;:")/HI)D+)D/HI )E+'@)E/HI)) JK?L)F")J@" #C$M %(+&6+7) N#@$?O?,;#", $"%(+, P · · · · ? ? ) ? ? = = 15 ",Q+, R"P · · ? S ? = 1D5 · · ? ) ? = 1E5 *0,T"'IM 15+1D5+1E5, 9)D) JK?L)DF")N#@$?O?,;#", $"%&('@, $"%(, P · · · · ? ? S ) ? ? = = (#P · · ? ) ) ? = · · ( ) 4 U4 + = 1V5 ",Q+, R"P · · ? ) ) ? = 1W5 · · ? ) ) ? = 1X5 *0,T"'IM 1V5+1W5+1X5, 9)E) JK?L)EF"+, " + ) = =I I N#)'@)D+, P ) ) ) ) = = ) = (#P ≡ ) YN' +, P,C="$9Z",;",I+Z" #+Z"0" ,;#"M , $"A".,<$B,C$)C$P89,@,;",0$1J5+,;Q,0$1[5+,0$Z" ,;\B,I, $"1]5)*IZ",;\B,I, $"%&^,%&+&+%89,@,<7+(+6) _P+, P%6`%7S&7`&(S(`7)&:"N' +, ="$9%(+&6+7A". ,<$B,C$+C$P"@C$Gergonne (Ge)M , $"%&1/5) aN' P,C9?;B"bcd"" #C$:$"#@, $"%& $@ e"f,,I,K:$,;#"P)Y'g+C$(+6+7P,C:$"#@<&+%+%& b) Yh/i? ?G#,f;j,/i"M N' ) Bài toán.k]lmD44n#;,?,o#C$% @,0$M 'e"B,I, $"%&P p:$,;<&)C$& + R"89,@,0$M 'e"B,I, $" %&'$B,<:$,;%'@%&)="$;:"%% +&& + A".) J% D @" #C$M %% '@&)& D '@ D 9q ,",Q) N# ! $?e ?+, # · · ? ? = · µ ( ) D 4 ? ? VW = + ", · µ ( ) D 4 ? ? VW = + µ ( ) · 4 D ? VW ? + = D (## +, · · µ ( ) µ ( ) 4 D 4 D ? VW ? ) ) ) ? ? VW + = = + 15 ="$# ! ,# ! ,", +, 3 " · · µ ( ) µ ( ) 4 D 4 D ? VW ? ) ) ? ? VW + = + 1D5 · · µ ( ) µ ( ) 4 D 4 D ? VW ? ) ) ? ? VW + = + 1E5 *0, ! "' 15+1D5+1E5 , N' , ! 0 ! ="$) Ba ̀ i tâ ̣ p a ́ p du ̣ ng: 1. $%' ! (- ! $,; ! ",;# ! N ! ", , + "- , , $n);"%(0 $%' ! ) Z",r"%' ! &(- , , $+ Z",r"%&' ! (- , , $m)="$;- ! "Z",r" $m) 2. ; , $"%&' ! 2 "# ! , / " 'e")% +& + + ! ,;" $ 2 ! 'e"- ! $e ' &+%+%&," ")="$ ;- ! " Z",r"%% +&& + e ! ".) 3. ="$ ! " #+ ! ",;", +,0$Z",;# ! e , +"# , , $ "e ! "., $e , $) 4. ; &+%+%& , $"%&0 $% +& + ? ## Z" ,r"%% +&& + e ! "., $e , $)="$;- ! " Z",r"%% D +&& D + D e q "' Z",r"# . ! "0" ," "+ 3 "e ! ".) 2. Định Lý Menelaus #, $"%&)C$[+7+J89,- ! $,;%&+&+%)_# l+*+,- " ! "' ! 2 ) ) ) = − 0 ! ,0 n / "?,;#" , $" %J[+&7[+J7+, · · · · · · ? ? ? S S ? ? ? = = = ) 1' ;- ! " · · · · · · ? ? S? ? S? ? ) = = = 5 *0, ! "' , K="$) 0 ! #J# s ) = I [# ! ,# ! ,", , # ( ) s ) ) ) ) ) s = = − [ s s = +?; s) ≡ E ! " # alNN ?# ;0 , ! "/ ",;#"" ,# )* ! e , " =" $$e , /3/ ! " ! lNN ?N' + ? +(N? ;"N?1?N 3 0 ! b ! ,0 / 05) $% # & ! #%+&++(+6+7 ! $- ! $,;$e , ! " ,;# ! 1# , #q ,N#, , ,;5)J# + + ) ' ( = = =I I I =" $;- ! "++t,- " ! ") J# + + )) * + = = =I I I % / "lNN ?#&+(6+7%1e ' , $"uvw5+, # ( ) ) ) ) ) ) ) ) +' ) * ) * + *( + ) ') * + * + ) (+ ) * = = = − (## ) ) +' ) *( ') * (+ = − )N# lNN ?, ++t,- " ! ") Ba ̀ i tâ ̣ p a ́ p du ̣ ng: 1. a $- ! $,; ! ",;# ! "# , , $"%&+% +& + 89,@0 ! "'e""# , ! qe "&+%+%&)="$;- ! "% +& + ,- " ! ") 2. ;#", $"'e"%&N ! " #_, ! 2 "# 'e"+# ! ,;#", $" %_N ! "0" 6)( ! ,;" $ # %+7 ! " # $ Z",r"(6 ' ! _)="$&7xx6) 3. Z",r"%% +&& + e ! "., $m)="$;- ! "" # $ Z",r"%&' ! % & +&' ! & +%' ! % - ! $,;$e ,Z",r") V P Y Z R Q O F A C D E B X 4. # , $"%&+%y&yy)* Z",r"%%y+&&y+ye ! "., $e , $m+,2 ! $++t,- " ! "+,;#"# s s+ s s+ s s) ' ( = = =I I I W DIỆN TÍCH TAM GIÁC THỦY TÚC Ivan Borsenco Translator: Duy Cuong. ,--./012/0345670.089-.:;<=750>.0:9?@&A9 :7BCD 6,2896:EF,-<=756GDH@,-89-.2/0IJK33",0- C.0L6M0:9&N0OCPMCQ68RDS:;@@0DK31BCDP0L C-30.09-.T36@C& Định lý 1.#UT1(V @Z",;\"#<,I, $"%&)uz,$B,C$l,{:$,;#", $ ")_> W + W + W @IM l$|,M , $", D D D ) V ( TX ( − = Chứng minh. a8,, C;:" W X W + W X W + W X W @d",="B,I)}/i" $c ;B" '@# , $ " W W , 9 ? X α = ) " ,Q+ , 9 ? X β = '@ ? X γ = )TP?; + + ) D D D X X X ( ( ( = = = JK?LX+X+X^,Z",;\UT1(V,<)+*++) P ) X X X X +* *) +*)∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ " ,Q+ *+)∠ = ∠ '@ ) *)+∠ = ∠ (#P+ ∆ A"/<"' )*+ ∆ '@ ) ( )* ( = l|,+ X ∆ A"/<"' X*) ∆ , P ) )* X) X = TI,.K,', 9 D D D D ) ) ) ) ) ) ) ) ) D D V V ( TX ( X) X X X X) ( X ( ( ( ( − = = = = TP, P,C,fbC,=,;e"i,B'@#',;hC$X1CK,;#" "#@Z" ,;\5) X Hệ quả 1:*IX:$,;Z",;\+IM l<, $"?G,r"@"1a n$?#5) lB,d $@F",e$O",>1e"="$5Ib<@định lý Lagrange ~,I") Định lý 2 #l@$B,C$:$,;#"$|,r", $"'bB?O 1 + + 5 : Y )Y$B,C$ bf,{:$,;#"@UV) 9 D D D D D D D ) ) ) 1 5 ) :YC Y8 :0 : Y : Y X : Y + + + + = + + + + + ="$P,C,$,f/i"an,N• ;,$B,?O8)a@P$B,>.K ;f, ,;€"',0$TZ",;\"#<,I, $")_P+, 9 D D D D D D ) 1 5 :YC Y8 :0 ( TX : Y + + − = + + T>.K@I,96N;#, $",€,F+, 9? Định lý 3:#X@C$:$,;#"$|,r", $"+'bB?OU1:1YV)_> W 1 W 1 W @ IM X<, $") 9 D D D D D ) V 1 5 :YC Y8 :0 ( : Y + + = + + Z=75,[0MC0P\?6Định lý 1:9Định lý 3DQDC0MC0@S9-:E &G>0C.0L6M0Định lý Euler:E&G>0C.0L6M0B]39F040NG>0 0-:G00.089-.2/0^&NDS[90M4BR@;GBCD 6P:E< D\Brocard Định nghĩa điểmBrocard;#", $"+Z",;\. '@,IqF',<+Z" ,;\. '@,IqF',<'@Z",;\. ,IqF',<)F"^, ,<$B, C$+"@C$,-0C,&)lB,,~".,+, P C$,-0C,&+C$,= qf,>, . "9$A"A?Q,IqFM Z",;\) Bài toán 1:# Ω '@ D Ω @ C$,-0C,&M , $")=",•;:" D T TΩ = Ω +'T @,0$Z",;\"#<,I, $" ;&AT"‚ C$,-0C,&+, ,f Y∠Ω = ∠Ω = ∠Ω = +,",Q D D D Y∠Ω = ∠Ω = ∠Ω = ) =" $ D Y Y = ) aC;:" D D ) ? ? ) ? ? Y Y β β Ω Ω = = '@,",Q+ D D D D ? ? + ) ? ? Y Y γ α Ω Ω = = ƒ B"/>,h, 9 D D D D D D ? ? ? ? ? ? Y Y Y α β γ Ω Ω Ω + + = = + + D D D D ? ? ? ?Y α β γ = + + 15 ,h,",Q+, R"9 D D D D D ? ? ? ?Y α β γ = + + 1D5 T15+1D5?; D )Y Y Y= = „,c"#="$,;b^,"A,Ta6N;#, $",€,F)aC;:" Ω '@ D Ω e:$,;#", $"+bc'$…L Z",;\,;,B@UV)TP+ Ω '@ D Ω e:$,;#", $")aC="$ D T TΩ = Ω , ="$/>,h, $",€,FM F"b:" )*I'g+, P D D D D D ( T ( T − Ω = − Ω )TP?; D@0 _> + + 89,@IM Ω <++)n P+?L/i" @$n$c;B"+, 9 ? 8= Ω +' Ω @Z"hZ",;\"#<,I,=" Ω )R"/i"n'@#, $" Ω , 9 ? ? 0 Y 8 Ω = (HI ? ? ) 8 0 Y= Ω = ",Q+, P ? 8 Y = '@ ? C Y = )(†/@", ,f, $" A"/<"' , $",N#,p?OA"/<" ? Y ) T D Y Y Y = = +, I,g9, $",€,F= Ω '@ D Ω P€"/>,h)n; D T TΩ = Ω ) Chú ý: J #M Z"O,;",;#", $">@_'@9"@C$"-") P ,C="$9 D _ _Ω = Ω )[,Id +C$T+ Ω +_+ D Ω :$,;Z",;\Z" hT_"@D,`,-0C,&F", ‡€" ,$C$B,&@,#,F'? 0 Bài toán 2:#, $"+>T+a+89,@,0$Z",;\"#<,I+B,I'@,;Q ,0$M , $")="$;:" )Ta T ≤ U ;&A*="$?Gb^,8,TTa T+"F", ‡$B," +P@|,/>,hB,I'@#a'@)lB,"K+,0$Z",;\B,Ie:$b ,;#", $"+'@I T (≥ +, 98="$)Y'g+"K?L T (< )aP /HI, $"%&@, $")aC="$ Ta T ≤ , P,C?L/i"6N;# , $",€,F'@="$/>,h, $",€,F,0$a+ a />,h, $",€,F ,0$[+ )TP+/# a ≥ D D D D ( Ta ( T − ≥ − )T Ta ≥ &0"ZF", ‡,$K />,h)_> + + 89,@IM '@ D D D + + 89,@IM a++) P + + :$,;Z",;\6N;b h(bc+,TP ) ) ) V) x D ( = nL/i"n+/†/@", 9 #? + #? + #? C 8 0 α β γ = = = '@',I )#? #? #? D #? #? #? ) D C80 ( α β γ α β γ = = aC,h/>,h, $" D D D +C;:" D D D D D D D D D D D 1 5 1? ? ? 5 D V a a a , C 8 0 , ( α β γ + + = + + = + + = ) l@ ? ? ? V D D D( π α β γ = 9 D D D D D ? ? ? ) V D D D , ( α β γ = = TPMC="$ ? ? ? #? #? #? ) D D D α β γ α β γ ≥ &0"ZF", ‡?L/i"?Jd0e"B"B#@$j$ 4+ + 1 5 #? ) D f ( f π → = ÷ TP 1 5 1 5 1 5) D D D C 8 8 0 0 C f f f f C f 8 f 0 + + + + + ≥ + + ÷ ÷ ÷ Y'g+ ( ) ? ? ? #? #? #? D D D α β γ α β γ ≥ ÷ +'@b@,#‡9"K.I,) [ 'h/iI,IC"/H"K$B,"^"$B,?Ob@,#m$ /b:"?L/i" a6N;', $",€,F) Bài toán 3:1T36@C&-.C3=C5) #, $")_> + + @IM ,;",0$$|,M , $") ="$;:" D ) ˆ V ≤ ≤ ;&A*F", ‡,f+0b@,#"F", ?L/i",;Q,I6N;' , $",€,F)}/i"" , 9 D D D D ) ˆ V V ( T ( − ≤ ≤ ˆ &f,r",=bKeF") ="$bf,r",=b,;F")*<bC,= $@F", ‡bI, D D D ˆ 1 U#? #? #? 5T T ( α β γ = = − Y, $", P #? #? #? 4 α β γ ≥ +/HI U#? #? #? 4 α β γ ≥ ) Y'g+ D D ˆT ( ≤ D D ) ˆ ( T ≤ a II,g? Bài toán 4. (Toán đối xứng, Ivan Borsenco) YC$ X bf,:$,;#", $"%&+q bBb 1 D E + +& & & 589,@#K",T X I< + + )="$;:",g9 C$ X ,• $‡> E D E ) )& & & ,≥ +' , @bhZ",;\B,I, $"+:$,;#" '\",;\,0$ T bh Ta ) J + + @IM X ,;< + + )uz, V @, $",€,F# C$ X +, P ¼ ¼ ¼ U4 + U4 + U4 X X X α β γ = − = − = − + D E E D D D ) )? ) )? ) )? & & & & & & α β γ = = + + V YI,"<+, 9 D E D E ) ) D D ) ) D & & & C 8 0 ( & & & = = + + ÷ V l@, ‡bI, D E D D ) ) ) ) C & 8 & 0 &= = + + V }/i"&a ‰n• ;Š, 9 ( ) ( ) D D E D E D E D E ) ) ) ) ) V ) ) ) ) ) D D & & & C 8 0 & & & C 8 0 C & 8 & 0 & ( & & & ( + + = + + + + ≥ ÷ nL/i"h6N;#, $",€,F+, P ( ) ( ) ( ) D D D D D E D E D V ) ) ) ) ) V D D ( TX & & & C 8 0 , C 8 0 ( ( ( − + + + + ≥ ≥ T0P,C?; D D D D )Ta ( (, TX= − ≥ Yg'$C$ X ,;#",g9+, P TX Ta≤ 1K="$5) Bài toán 5: (Ivan Borsenco đề nghị) # X @C$:$,;#", $" '@P, B@ ( ) S S 6 g )J X ( @bhZ",;\ B,I, $",€,FM C$ X )="$;:" ( ) D D D ) X E) ) X C 8 0 6 g ( 6 g + + + + ≥ ÷ _h> @r""M C$ X )F" , 8Db~? &~*I '@ D D D @D, $ ",€,FM Dr""C$ X '@ , XC$@:$,;$B,'\",;\) 4 [...]... tia AB, BC , CD, DA lần lượt cắt đường tròn lớn tại A ', B ', C ', D ' Chứng minh rằng: Chu vi tứ giác A ' B ' C ' D ' lớn hơn 2 lần chu vi tứ giác ABCD 17 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 ĐỊNH LÝ PTOLEMY MỞ RỘNG 1 Định lý Ptolemy mở rộng Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn ( O ) Đường tròn ( O1 ) thay đổi luôn » tiếp xúc với BC (không chứa A ) Gọi AA ', BB ', CC ' lần lượt là các tiếp tuyến từ A,... theo thứ tự cắt ( O ' ) tại X, Y, Z Lúc đó YZ / / BC , XZ / / AC , XY / / AB Theo định lý Thalès ta có A Z O’ X C’ M O Y A’ AX BY CZ C = = ( 1) AM BM CM 2 2 2 Lại có AA ' = AM AX , BB ' = BM BY , CC ' = CM CZ ( 2 ) AA ' BB ' CC ' AA '2 BB '2 CC '2 = = Từ (1) và (2) suy ra hay = = 2 2 2 AM BM CM AM BM CM Từ định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp MCAB thu được BC.MA = CA.MB + AB.MC Do đó BC AA ' = CA.BB... tiếp tuyến kẻ từ A, B, C đến đường tròn nhỏ Từ định lý Ptolemy mở rộng ta có ala = blb + clc ⇒ la = lb + lc Bài toán 2.2 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với đoạn CD và A B cung nhỏ CD, kẻ tiếp tuyến AX, BY với đường tròn này Chứng minh rằng AX+BY không đổi O Lời giải D M X I C Y 18 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 Không mất tính tổng quát, coi... định lý hình học Lớp 11T1 PA/ ( O1 ) + PB / ( O2 ) + PC / ( O3 ) ( a + b + c) ≥ 3 2 Đẳng thức xảy ra khi nào? 3.2 [TH&TT bài T11/359] Cho ∆ABC Đường tròn ( O1 ) nằm trong tam giác và tiếp xúc với các cạnh AB, AC Đường tròn ( O2 ) đi qua B, C và tiếp xúc ngoài với đường tròn ( O1 ) tại T Chứng minh rằng đường phân giác của góc BTC đi qua tâm đường tròn nội tiếp của ∆ABC 20 Chuyên đề các định lý hình... đường phân giác trong của góc ∠ATB Lời giải Từ bổ đề, chúng ta có được I D C AT AF = , vì vậy bài toán sẽ được chứng minh nếu ta có BT BE 21 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 AF AP = BE PB A D P E F B C T Chú ý rằng ∠PEB = ∠AFP, và từ định lý hàm sin đối với hai tam giác APF , BPE , chúng ta có được AP sin ∠AFP sin ∠BEP BP = = = AF sin ∠APF sin ∠BPE BE Vì vậy, ta được AF AP = , suy ra điều phải... đường thẳng PQ, BC , MT đồng quy Lời giải K = PQ ∩ BC Gọi và A K ' = MT ∩ BC Áp dụng định lý Menelaos trong tam giác ABC , ta được KB QC PA =1⇒ KC QA PB KB BP ⇒ = KC CQ Mặt khác, M là trung điểm của cung BC (chứa T ) của ω nên MT là đường phân giác ngoài của góc ∠BTC Vì vậy, P Q K C B M T 23 Chuyên đề các định lý hình học bài toán sẽ được chứng minh nếu ta có Lớp 11T1 BP TB = Nhưng điều này đúng... MC = = Theo bổ đề ta có, AX BG CL Mặt khác theo định lý Ptolemy, ta được MA.BC = MB AC + MC AB, Suy ra AX BC = BG AC + CL AB Tương tự ta cũng có AY BC = BH AC + CK AB Nên AC ( BH − BG ) = AB ( CL − CK ) , hay AC.GH = AB.KL, suy ra AC = AB Điều này có nghĩa là A là trung điểm cung BC của đường tròn ( O ) Vì vậy BC // PQ 24 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 CỰC VÀ ĐỐI CỰC 1.1 Định nghĩa: Cho... Điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng XY và OXP = OYP = 90o 2 Cho x, y lần lượi là đối cực của X, Y, ta có X ∈ y ⇔ Y ∈ x (Định lý La Hire) 3 Cho x, y, z lần lượt là đối cực của ba điểm phân biệt X, Y, Z, ta có Z = x ∩ y ⇔ z ≡ XY • Chứng minh Sử dụng định lý La Hire, ta có Z = x ∩ y ⇔ X thuộc z và Y thuộc z ⇔ z = XY 4 Cho W, X, Y, Z nằm trên (O,r) Đối cực p của P = XY ∩ WZ là đường thẳng qua... β sin γ sin α sin β sin γ Ta thu được: 1 A B B C A C B C A C ≥ 2 1 21 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 27 a b c sin α sin 2 β sin γ 4S 4 Vì a 2b2 c 2 sin 2 α sin 2 β sin 2 γ = 2 , nên: R 11 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 1 4S 4 ≥ A1 B1.B1C1 A1C1 A2 B2 B2C2 A2C2 27 R 2 Sử dụng bổ đề 1 và Định lí Euler cho diện tích của một tam giác thùy túc, ta có: R 2 − OM 2 A1 B1.B1C1 A1C1 = 4 RM S 4R2 R 2 − ON... chứng minh, ta có: 2 1 RM a 2b 2 c 2 ≥ 27 a 2 b2 c 2 2 2 4 R S ( x + y + z ) + + ÷ y z x Cuối cùng, ta thu được: a 2 b2 c2 + + ÷ ≥ 6 3.RM y z x ( x + y + z ) 12 Chuyên đề các định lý hình học Lớp 11T1 ĐỊNH LÍ PTOLEMY Dựa theo bài của Zaizai Trên diễn dàn toàn học 1 Mở đầu Hình học là một trong những lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu toán nhiều điều thú vị nhất và khó khăn . Z=75,[0MC0P?6Định lý 1:9Định lý 3DQDC0MC0@S9-:E &G>0C.0L6M0Định lý Euler:E&G>0C.0L6M0B]39F040NG>0. $@F",e$O",>1e"="$5Ib<@định lý Lagrange ~,I") Định lý 2 #l@$B,C$:$,;#"$|,r", $"'bB?O
Ngày đăng: 04/07/2013, 01:25
Xem thêm: đinh lý nổi tiếng, đinh lý nổi tiếng, Trên các ca ̣nh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hinh vuông. A Trên các ca ̣nh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A, Các đường thẳng AA, Nội dung - Lí thuyết: 1. Đẳng thức Ptolemy:, Bài tập. Bài toán 1. [CMO 1988, Trung Quốc] Cho, Cho x, y lần lượi là đối cực của X, Y, ta có Cho x, y, z lần lượt là đối cực của ba điểm phân biệt X, Y, Z, ta có Cho W, X, Y, Z nằm trên O,r. Đối cực p của
