Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VI BA Hà Nội – 2016 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS.Cao Thị Vi Ba, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho để hoàn thành khóa luận này, giúp đỡ suốt thời gian học tập Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí Thuyết Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô toàn thể cán bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng khoa Vật lý nói chung, người tận tình dạy bảo, giúp đỡ động viên cho Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn môn đóng góp, thảo luận trao đổi ý kiến khoa học quý báu để hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên tránh khỏi thiếu sót,tôi mong nhận bảo, góp ý quý thầy cô bạn Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Học viên Phạm Ngọc Minh Châu MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………… CHƢƠNG BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……………………………………………… 1.1.Hàm Green hai hạt………………………………………………… 1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman………… .9 CHƢƠNG BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………………… .12 2.1.Biên độ tán xạ hai hạt……………………………………………… 12 2.2.Tính tích phân phiếm hàm……………………………………… 20 CHƢƠNG BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO .23 3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……………………… .23 3.2.Bổ cho trình tán xạ hai hạt……………………………… .28 KẾT LUẬN………………………………………………………… 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 31 PHỤ LỤC…………………………………………………………… 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm vào năm 1959 học lượng tử phi tương đối tính [12] sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm cho tán xạ hạt với lượng lớn Phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ, theo xung lượng hạt trao đổi nhỏ Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ hạt lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu ứng dụng lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] phương trình chuẩn [13] Mục đích Luận văn: Nghiên cứu tính đắn phép gần eikonal phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét trình tán xạ hai hạt mô hình tương tác Lint  x   g  x    x  [7] Phương pháp tích phân phiếm hàm toán học gọi phương pháp tích phân liên tục, vật lý gọi phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức hàm Green hạt trường dạng tích phân phiếm hàm, tìm hàm Green hai hạt [7-19] Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu biên độ tán xạ hạt trường dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt việc tính toán tích phân phiếm hàm cách sử dụng gần quỹ đạo -1- thẳng vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ liệu lý thuyết trường lượng tử có thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt? Nội dung nghiên cứu trình bày ba chương, kèm theo tài liệu tham khảo năm phụ lục Chương Biểu diễn hàm Green hạt trường dạng tích phân phiếm hàm Trong mục §1.1, cách sử dụng biểu thức xác cho hàm Green hạt trường dạng tích phân phiếm hàm, thu biểu thức cho hàm Green hai hạt Việc phân tích ý nghĩa biểu thức cho hàm Green liên quan đến thừa số bàn luận mục §1.2 Chương Tính biên độ tán xạ dạng tích phân phiếm hàm Bằng cách chuyển tới mặt khối lượng hàm Green nêu trên, thu biên độ tán xạ hai hạt với dạng tích phân phiếm hàm tương ứng Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dạng tích phân phiếm hàm Việc tính tích phân phiếm hàm gần quỹ đạo thẳng trình bày mục §2.2 Chương Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ vùng lượng cao Việc đánh giá tích phân phiếm hàm sử dụng gần quỹ đạo thẳng dựa ý tưởng quỹ đạo hạt vùng tiệm cận lượng cao xung aâlượng truyền nhỏ thẳng Kết tìm biểu diễn Glauber cho tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ mục §3.1 Việc tái chuẩn hóa khối lượng hạt tán xạ tiến hành mục §3.2 -2- Kết luận Chúng tóm tắt lại kết thu Luận văn thảo luận cách tổng quát hóa phương pháp cho trường hợp tương tác hạt phức tạp Trong Luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  metric Feynman Các véctơ phản biến: x    x0  t , x1  x, x2  y, x3  z  Các véctơ hiệp biến: x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z  Tenxơ metric: g  g  1 0    1 0    0 1     0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến -3- CHƢƠNG BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM §1.1 Hàm Green hai hạt Muốn tìm biên độ tán xạ sử dụng công thức rút gọn mà liên hệ yếu tố S-ma trận với trung bình chân không tích toán tử trường [11] Đối với biên độ tán xạ hai hạt, công thức có dạng  2    p1  p2  q1  q2  T  p1 , p2 ; q1 , q2        i   dxk dyk K xm1 K xm2  | T   x1    x2    y1    y2   |  K ym1 K ym1 , (1.1) k 1 p1 , p2 q1 , q2 xung lượng tương ứng hạt thuộc trường trước sau tán xạ,   K xmi  i 2 2 , xi  m2 , i  1, ,     K ymi  i 2 2 , yi  m2 , i  1, , thừa số chứa T-tích vế phải công thức   (1.1) hàm Green hai hạt G  x1 , x ; y1 , y2  trường   x  G  x1, x2 ; y1, y2   | T   x1   x2   y1   y2  |  (1.2) Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]  i 2  G  x1 , x2 ; y1 , y2     exp    D       G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1 , y2 |   G  x2 , y1 |    S0   (1.3) Lưu ý S0   giá trị trung bình S-ma trận thăng giáng chân không trường “nucleon”   x  ảnh hưởng trường meson   x  đặt S0    -4- i 2G  x1, x2 ; y1, y2 |    G  x1, y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1, y2 |   G  x2 , y1 |   (1.4) (xem Phụ lục A.5):  G  x, y |    i dse   im02 s s  s       v exp ig  x    d      0     d       s s      x  y  2 ( )d    (1.5) Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức loại bỏ thành phần G  x1, y2 |   G  x2 , y1 |   , ta thu biểu thức sau: i G  x1 , x2 ; y1 , y2 |    G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |   i 2    ds e n 1 n sn  sn       v exp ig  x    d    n   0  n  n   dn   n    (1.6)  sn      xn  yn     d       im02 sn sn Kết ta có hàm Green hai hạt biểu diễn tọa độ: i  G  x1 , y1; x2 , y2   C  exp     z1  D 1  z1  z2   z2  dz1dz2   2  s sn     n     dsn exp ig    xn   n   d d n     n 1 n        sn      xn  yn     d  ,     -5- (1.7) m0 khối lượng trần “nucleon” Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức sau dạng: s sn     n   exp ig  x    d   d n       n  n   n 1 n       s sn     n    exp ig  d n  dz  z    z  xn   n   d     n 1 n        (1.8)   exp ig  dz  z  jn  z    expigjn  expig  j1  j2  , n 1 n 1 với sn   jn  z    d n  z  xn   n   d    n   sn (1.9) Trong mô hình hạt vô hướng jn  z  mô tả mật độ không gian “nucleon” chuyển động theo quỹ đạo cổ điển Song trường hợp jn  z  gọi mật độ dòng Sử dụng công thức tích phân Gauss dạng phiếm hàm [12] ta có: D C A  i  i  exp   A1    j   exp   jAj  ,   2  D   d  x  x  A     dz dz   z  A  z  j    dzj  z   z  1 1 Ta nhận được: -6- 1  z2   z2  (1.10) G ( p, q |  )  i  d y.e i ( p q ) y   ds.ei ( p m2 ) s   4  s (A.10)   s     exp ig    y  p  2 ( )d d       s    exp  i   ( )d  s    4   s     exp  i  (  ) d         (A.11) Ta đưa vào ký hiệu  j   dz ( z) j(y z; p; s | ) , (A.12) với    j (y z; p; s | )   d  y  p   ( )d  z  0   s (A.13) Hàm Green hạt trường (A.10) có dạng G( p, q |  )  i  d y.e i ( p q ) y   ds.ei ( p m ) s s     0 exp ig  j.  (A.14) Khi g  , điều có nghĩa tương tác hạt trường   x  trường meson   x  , ta suy hàm Green cho hạt trường  x  chuyển động tự do: - 37 - G0  p, q |     i  d y.e   i  d y.ei ( p q ) y  ds.ei ( p i ( p q ) y   ds.ei ( p m ) s m2 ) s   4  s  (2 )  ( p  q) p  m2 (A.15) Biểu thức (1.15) diễn tả hạt chuyển động tự Khai triển biểu thức hàm Green theo số tương tác g ta chuỗi nhiễu loạn tương ứng với tập hợp giản đồ Feynman = (a) + + + (b) + (c) (c) (b) + + + )+ + + (d) +… Hình A Khai triển biểu thức hàm Green theo số tương tác - 38 - Phụ lục B.Các công thức (2.12), (2.14) Công thức (2.12)  sn  d v  exp  i v      q    p d              n   n n n sn        sn  d v  exp  i v      q    p d              n n n   n     sn' vn2    2vn      pn      qn        d  d   exp i        n    pn      qn    '  sn vn    2vn      pn      qn         d v  exp  i d       n      p      q 2    n  n n   sn  sn     i v  d   i v    p     q d    n    n      n   n       n n d   exp  '   sn    i  d    pn      qn    n    '  sn  d v  exp  i v  d        n  n    n  ' ' (B.1) sn' Các thành phần i  2v      p n  i sn'  n      qn   d n d    pn      qn  biểu thức tính sau  n - 39 - sn' i   2vn      pn      qn   d   n sn'  2ipn sn'  v     d  2iq  v      d n  n n  n sn'    2ipn        n n sn'           d   2iqn            n sn'  2ipn    d  2iqn    v     d   n          v   d (B.2) n  n i sn'  d    pn      qn    n  ip n sn' sn' sn'     d  iq     d  2ip q        d  n n n n   n n sn sn 0  0    2 2  ipn      d      d   iqn       d       d  0       n    n  ' '  ipn2 sn'  iqn2n (B.3) Thay (B.2), (B.3) vào (B.1) - 40 -  sn  sn'   d v  exp  i v  d        n   n ip v  d   iq v  d         n n n  n  n  exp   4vn      n sn'      '  d 4vn   exp i  vn2   d   ipn sn  iqn  n    n  ' sn        exp 2ipn    d  2iqn    d  ipn2 sn'  iqn2 n   n  n     ' sn' Công thức (2.14) sn Thành phần i  qn  pn  xn  2iqn    d viết lại sau: sn i  qn  pn  xn  2iqn    d sn sn  '   i  qn  pn   xn     d   2iqn    d n    i  qn  pn  xn'  2i  qn  pn  sn' n     d  2iqn sn'  v   d n  n n sn    i  qn  pn  x  2i  qn  pn     d  2iqn     d     d     0  n  sn' ' ' n - 41 - (B.4) sn'  i  qn  pn  xn'  2ipn  vn        qn     pn d  0 2iqn  v        q n n  n     pn d sn'  i  qn  pn  x  2ipn   d  2iqn ' n 0  v   d  2ip s n  ' n n n sn'  i  qn  pn  x  2ip s  2iq   2ipn    d  2iqn ' n ' n n  2iqn2 n n n 0  v   d n  (B.5) n Trong i  qn  pn  xn' là: i  qn  pn  xn'  i  q1  p1  x1'  i  q2  p2  x2' x y yx  i  q2  p  2 y  i  q1  q2  p1  p2   i  q1  p1  x  i  q1  p1  - 42 - (B.6) Phụ lục C Hàm pha mô tả tƣơng tác hai hạt Dùng phép biển đổi Fourier ta có: 1   x    d    p    q              1 1 1    0     2 ig   Dj1 j2  ig    d1d D          d  2  p2    q2               ig 2  d1d  d kD(k )exp ikB  2ik1  p1 1   q1  1     (2 )   1 2  2ik  p2    q2      2ik    d  2ik    d   0 Sử dụng phép gần Eikonal:     exp F ( )  exp F    exp     F ( ) 4 (C.1) (C.2) Chú ý rằng: n n          exp  ik  (  ) d   C   exp  i  (  ) d   ik  (  ) d      n    0 n  n   n 0 n           C    n exp i   n ( )d  2ik   n ( )  ( )   (   n )  d       2   exp ik   ( )   (   n )  d  ik  n         C    n exp i   n ( )  k  ( )   (   n )   d  exp ik  n        n  exp ik  n   biểu thức ta sử dụng tích phân sau: - 43 - (C.3)  ik   ( )   (   ) n d  ik  n  Do đó: ig 2  Dj1 j2   ig 2 d 4kD(k )eikB  N ,  (2 ) (C.4)   N   d d    exp ik  1     2ik 1  p1 (1 )  q1 (1 )   (C.5) 2ik  p2 ( )  q2 ( )  Để tính biểu thức ta chia mặt phẳng (1,2 ) thành bốn phần hinh vẽ : 2 1 Tích phân miền cho ta:  1    1 i ( k  kp1 )1 , N1  d2ei ( k 2 kp2 )2     d1e    ( k  kp )( k  kp )    1   1  i ( k  kq1 )1 i ( k  kp2 )2 , N2  d  e     d1e 2  ( k  kq )( k  kp )   0  0 1   1  i ( k  kq1 )1  i ( k  kq2 )2 , N3  d  e     d1e 2    ( k  kq )( k  kq )     - 44 - 1    1 i ( k  kp1 )1 , N4  d2ei ( k 2 kq2 )2     d1e  ( k  kp )( k  kq )   0  Khi số hạng thứ có dạng: ig 2  Dj1 j2  ig 2 d 4kD(k )eikB   (2 ) 1     (k  2kp )(k  2kp ) (k  2kq )(k  2kp )  2   1    (k  2kq )(k  2kq )  (k  2kp )(k  2kq )   2  (C.6) Phụ luc D Bổ cho hạt tán xạ tái chuẩn hóa khối lƣợng Bây ta xem xét số hạng thứ hai, tương ứng với bổ vòng cho biên độ tán xạ Làm tương tự ta có: ig  ji Dji i 1,2  1    2   d    p    q              i i i ig      d  d  D     2 n1,2      2  pi    qi         1  ig  d kD ( k ) d  d  exp ik   d          i 2(2 ) i 1,2       exp  2ik1  pi 1   qi  1   2ik  pi    qi      (D.1) - 45 - Lưu ý rằng: 1 1 2 2 2ik  n ( )d  2ik  n ( )  (1   )   (   )  d 1   ( (D.2)   )   (   )  d   2max 1,    1     1   2 Sử dụng phép gần eikonal ta thu được: i   i         exp ik  (  ) d   C   exp  i  (  ) d   ik  (  ) d       n     n  n   n  n 2          C    n exp i   n ( )  k  (1   )   (   )   d  exp ik 1          n  exp ik 1  2   (D.3) Suy :  ig ig j Dj   d 4kD  k   I ,  n n   n1,2  2  n1,2 (D.4) đó:   I   d d    exp ik  1     2ik 1  pn (1 )  qn (1 )  -2ik  pn ( )  qn ( )  (D.5) Để tính tích phân ta chia mặt phẳng (1,2 ) thành phần hình vẽ: - 46 - 2 1=2 1 Khi ta có:     1   I1   d     d2 exp ik (1  2 )  2ikqn1  2ikqn    2  1      d exp i(k  1  2kqn )1   d exp i(k  2kqn )   1 1 2      d  exp i ( k  kq )  exp i ( k  kq )  n 1 n 2     i  k  2kqn   1 i ( k  kqn )1   i ( k  kqn )1  d  e e  B     i  k  2kqn   1  d1 1  B  ei ( k  kqn )1     i  k  2kqn     1 B A B   1   i  k  2kqn    i(k  2kqn )  i (k  2kqn ) (k  2kqn )(k  2kqn ) (D.6) đây, ta ký hiệu A- giá trị 1   , A+ giá trị 1   , B+ giá trị biểu thức e i ( k  kqn )    Tương tự ta tính biểu thức sau: - 47 -   1     1 i ( k  kpn )1  i ( k  kqn )2 I2   d  e d  e     (k  2kpn )(k  2kqn )     0    1     A , I3    2 0  2  1  i(k  2kpn ) (k  2kpn )(k  2kpn )   1     A B , I4     2      i ( k  kp ) ( k  kp )( k  kp )   n n n   1  0 1 , I5   2       (k  2kqn )(k  2kpn )   1  0 A , I6     2     i ( k  kq ) ( k  kq )( k  kq )   n n n Từ thu biểu thức I sau bỏ qua đại lượng bậc cao: I 1     m ( A  ) , 2 2 2 (k  2kqn ) (k  2kpn ) (k  2kqn )(k  2kpn ) với :   A A  m ( A  )  2i    khối lượng tái chuẩn k  kq k  kp n n  hóa¸ Phụ lục E Bổ cho biên độ tán xạ hai hạt Biên độ tán xạ hai hạt liên quan đến bổ cho hạt tán xạ, viết dạng sau [20] - 48 - T  p1 , p2 ; q1 , q2   g2 d  2   xD  x  e  ix q1  p1   d  S  p , p | q1 , q2  (E.1)  ig 1 S  p1 , p2 | q1 , q2       exp  jn Djn   exp  ig 2  j1Dj2      n 1  0         x  21  q1 1   p1  1                  i  N exp ig   d1  d D  2  q2    p2        n 1         2     d      d     1   1  (E.2) 1   ig     d  d  D  q     q  p   d          1     1 2  2  ig      N  exp  ji Dji   exp   (E.3) 1       ig    d1  d2 D 2q2 2  1    q1  p1      d        Sử dụng tiệm cận quỹ đạo thẳng, ta thu biểu thức cho tiết diện tán xạ: T ( p1 , p2 ; q1 , q2 )  g N(s, t )  d xei ( p1 q1 ) x ( x; p1 , p2 ; q1 , q2 )    d  exp i ( x; p1 , p2 ; q1 , q2 ) (E.4) ( x; p1 , p2 ; q1 , q2 )   d 4kD(k )eikx , - 49 - (E.5) J n (k , pn , qn )    4 n    1 J n (k , pn , qn |  n )     2   pn k  k  i pn k  k  i    ( x; p1 , p2 ; q1 , q2 )   (E.6) ig d keikx D( k ) J1  k , p1 , q1  J  k , p2 , q2   (2 ) (E.7) J1  k , p1 , q1  J  k , p2 , q2     4          J1  k , p1 , q1 |  J  k , p2 , q2 |   (E.8)     1 1    .  2 2  p1k  k  i 2q1k  k  i   p2 k  k  i 2q2 k  k  i      ig  N( s, t )  exp    d kD ( k )  j k ; p , q j  k ; p , q   m ( A   )  i  i i i  i i i    i 1,2   2      ig  exp    2     1     (E.9) d kD ( k )    2  2 2   p k  k   2q k  k   pi k  k  2qi k  k    i 1 i i   Trong việc tính N(s,t) lưu ý tới phân kỳ hồng ngoại việc cho meson mềm khối lượng nhỏ  Đánh giá tích phân (D.6) nhận biểu thức [20]   g m 2t N( s, t )t 0  exp  2(2 )2     m2  m 4m2  t m2 4m2  t  t    ln   ( z )   ( z ) ln   ln   2        t (4m  t )  4m  t  t   (E.10) với z dy 4m2  t  t 4m2  t  t  ( z )   ln  y ; z1  , z2  y 4m  t 4m  t - 50 - (E.11) Tại vùng t  , viết biên độ tán xạ dạng: s  ixT   ig s K0   T( s, t )  2isN ( s, t )  d xe e  2  x2  1 ,   (E.12) N( s, t )t 0  eat , a   m2   ln      2  m2      g2 (E.13) Như vậy, việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm cho ta thu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ với bổ cho hạt tán xạ Trong phép gần “meson mềm” tái chuẩn hoá khối lượng hạt “nucleon”, việc lấy tổng số hạng bổ dẫn đến xuất biểu thức tán xạ nhân tử, mà phụ thuộc vào xung lượng truyền t, không phụ thuộc vào lượng, nên không thay đổi dạng tiệm cận - 51 - ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người... lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu ứng dụng lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] phương trình chuẩn... F   Khi nghiên cứu trình lượng cao, phép gần kể gọi gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Trong gần này, tích xung lượng pki coi hiệu tích ki k j i  j  vùng lượng cao - 21 -  (1/ 2)b 2