Áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử để nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn

Trang 1

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

PHAN 1 M6 DAU

1 Ly do chon dé tai

Trong cơ học lượng tử cũng như trong lý thuyết trường lượng tử, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái

Điều có địi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử và đại số lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Xuất phát từ vấn đề nêu trên, tôi lựa chọn đề tài luận văn “Áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn”

2 Mục đích của luận văn

Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hoà, từ đó áp dụng hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng —q để nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn (của kim loại)

Trang 2

dao động tử điều hoà biến dạng —q tìm được hệ thức nhiệt dùng Cụ phụ thuộc vào tham số biến dạng

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu - Đối tượng: Nhiệt dung của vật rắn - Phạm vi nghiên cứu: Kim loại 4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Phương pháp vật lý thống kê

Trang 3

PHAN 2 NOI DUNG

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ NHIỆT DUNG

1 Nhiệt dung

Để tìm hiểu rõ khái niệm nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niện như nhiệt độ, nhiệt lượng

Theo quan điểm động lực học phân tử, thì nhiệt độ là một đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử cấu tạo nên vật

Nội năng của hệ bao gồm năng lượng của tất cả các dạng chuyển động (chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử) và tương tác của các hạt tạo nên hệ (tương tác phân tử năng lượng nội nguyên tử, năng lượng nội hạt nhân và các năng lượng khác) Nội năng ký hiệu là U

Quá trình truyền nhiệt là quá trình trao đổi năng lượng của hệ với môi trường xung quanh mà không làm thay đổi các thông số ngoại Lượng năng lượng trao đổi trong quá trình này gọi là nhiệt lượng Q Thông thường người ta quy ước nhiệt lượng Q là dương nếu hệ nhận nhiệt năng từ bên ngoài, nhiệt

lượng Q là âm nếu nhiệt năng được chuyển từ hệ ra bên ngoài

Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ở trên, ta đi đến khái niệm nhiệt dung như sau

Nhiệt dung được đo bằng nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng hệ tăng lên 1, nghĩa là

0

C=““ 1.1

dT (1.1)

Don vi cua nhiét dung 1a z hoặc a

Trang 4

người ta đưa ra khái niệm nhiệt dung riêng C đặc trưng cho một đơn vị khối lượng của chất cấu tạo nên vật

Nhiệt dung riêng được đo bằng nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng một

đơn vị khối lượng tăng lên 1°

29

C= = 1.2

mdT (1.2)

Don vi cua nhiét dung riéng 1a 7 hay cal

kg.K kg.K

Trong nhiều trường hợp, các lượng vật chất được tính theo mol, do đó nhiệt dung cũng được tính theo mol, gọi là nhiệt dung mol (nhiệt dung phân tử gam) Imol = 6,023.10?? đơn vị cơ bản của lượng chất

Đơn vị của nhiệt dung mol là:

mol.K

Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ được đo bằng nhiệt lượng cần thiết

để đốt nóng 1 mol chất ấy tăng lên 1°

2 Nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích

Bởi vì nhiệt lượng ồQ phụ thuộc vào tính chất của quá trình, cho nên

3

nhiệt dung C của hệ cũng phụ thuộc vào điều kiện xác định tỷ số ar’ tức là tuỳ thuộc vào từng quá trình Cùng một hệ có thể có nhiễu nhiệt dung khác nhau Trị số của nhiệt dung có thể biến thiên từ -œ đến +œ Tuỳ thuộc vào quá trình Về cơ bản người ta chia nhiệt dung làm hai loại: nhiệt dung đẳng tích Cụ

Trang 5

2.3 Liên hệ giữa các nhiệt dung

Theo nguyên lý I Nhiệt động lực học, đối với hệ đơn giản ta có

8Q = dU + 8W =dU + pdv (1.5) va U = U(V,1), từ đó -(êU au SQ= An (ly) ele (1.6)

c-#-(8) (2) vol aT \ar), [ev ), 4T (1.7)

do đó

ơU

=| 1,

Cv th 6.8)

co) 8) A), ar), |\av J, dT ), ”

suy ra

- |(êU av

Cp—Cy= (5) E8) (1.10)

Đối với khí lý tưởng

C,— Cy =vR, (1.11)

Trong đó v là số mol, R là hằng số khí

R =N¿.k; =8,311/mol.K

Như vậy đối với khí lý tưởng nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự

chênh lệch rõ nét

Áp dụng một số kết quả của Nguyên lý II Nhiệt động lực học, chúng ta có hệ thức

, (1.12)

Trang 6

Br là hệ số chịu nén đẳng nhiệt

V, 1a thể tích ở OK

Vi T va By ludn cé gia tri duong nén C, — Cy > 0 hay Cp > Cy

Kết quả thực nghiệm cho thấy đối với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự sai khác nhau không quá một vài phần trăm

Kết luận :

Trong chương 1 chúng ta đã nắm được các định nghĩa, biểu thức của

Trang 7

Chuong 2 HINH THUC LUAN DAO DONG TU DIEU HOA

1 Dao động tử điều hoà

Phổ năng lượng của dao động tử điều hồ tuyến tính có thể tìm được bằng phương pháp đại số trong biểu diễn số hạt Từ biểu thức Hamiltonian

P? 1 ga,

f= 5+ mo'd (2.1)

trong đó ơ,Ơ là các toán tử xung lượng và toạ độ, thoả mãn hệ thức giao hoán

[Ê,Ô]= —¡n (2.2)

ˆ ⁄

p= (2) (a ~â),

0-(5*.| (a@* +4) (2.3)

2mo

Dễ dàng chứng minh được các toán tử 4,â' thoả mãn hệ thức giao hoán

[ô,â*]=1,[â.â]= a (2.4)

Hamiltonian (2.1) được biểu diễn theo cơng thức

đ= 2a" +â'4}iø,

A-(aa+ Pho (2.5)

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hồ quy về bài tốn tìm véc tơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (2.5), để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới như sau

Đ=â'*â (2.6)

Tốn tử ® thoả mãn hệ thức giao hốn

[Ÿ,â]= -â, (2.7)

[Đ.2']=â',

Trang 8

Đ|m) = n|n) (2.8)

Việc tính toán cho chúng ta các kết luận sau

- Các trị riêng n của toán tử # là các số không âm: n > 0

- Nếu |») là một véc tơ riêng của toán tử Ñ# ứng với trị riêng n, thi 4”|n)

và â'”|n) với P = 1, 2, 3, cũng là một véc tơ riêng của toán tử ÄÑ ứng với trị

riêng (n-p) và (n+p), tương ứng Hamiltonian (2.5) có dạng

đ= HH (2.9)

vGi tri riêng là

bw = (nh (2.10)

Vay phổ năng lượng của dao động tử điều hồ có giá trị gián đoạn, cách đều nhau Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kê nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng ho Trạng thái |) được đoán nhận là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng, toán tử # có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử 2khi tác dụng lên |») cho một trạng thái tỷ lệ với |» - 1)

a|n) = Jn|n-1), (2.11)

toán tử á' khi tác dụng lên |n) cho m6t trang thai ty 1¢ vi |n +1)

â*|m)=Aln+1[n+ 1), (2.12)

Vì vậy ¿,â' được đoán nhận là toán tử huỷ lượng tử năng lượng và sinh lượng tử năng lượng

Trạng thái chân không thoả mãn phương trình

0)=0 (1.13)

a

Trang 9

mn?

(m|n) = 6,

In) = 754"0) (2.14)

Trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều hồ có thể coi là một tập hợp nhiều “hạt” mỗi hạt có năng lượng bằng ho, còn gọi là chuẩn hạt

2 Hệ nhiều hạt đông nhất

Cơ học lượng tử đã rút ra các kết luận sau về hệ nhiều hạt đồng nhất: Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép hoán vị hai hạt bất kỳ Vì vậy các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt Đó là nội dung của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

Với các hạt sơ cấp trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, trên cơ Sở của nguyên lý tương đối Einstein và nguyên lý nhân quả vi mô, Pauli và Luders đã chứng minh được rằng các hạt có spin nguyên (như photon, 7- meson, K-meson ) phải tuân theo thống kê Bose — Einstein va được gọi là các boson, cịn các hạt có spin bán nguyên (như điện tử, prôtôn, neutron, neutrino, ) phải tuân theo Fermi — Dirac và được gọi là các fermion

Điều khác biệt rõ nét giữa các boson và các fermion là các fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất khơng thể có hơn một hạt ở cùng một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi Còn mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được

Trang 10

Các toán tử sinh hạt á' và toán tử huỷ hạt á đối với các lượng tử của đao động tử điều hoà thoả mãn các hệ thức giao hoán

[4,a°]=1,[4,a]=[a*,a*]=0

Các hệ thức giao hoán này được mở ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau

l¿,.4;|E#„.la,.4„]=|a;.4;]= 9 (2.15)

Câu hỏi đặt ra là các lượng tử của dao động tử điều hoà hay một cách tổng quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt thoả mãn các hệ thức giao hoán (2.15) là boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi này ta hãy kiến tạo hai véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau v và #v đó là

|\vut) = 47270)

và (2.16)

"1

trong đó |0) là trạng thái chân không, không chứa hạt nào Vì các tốn tử sinh

hạt thoả mãn hệ thức giao hoán (2.15) nên

và do đó ta suy ra ngay

vu) =|nv)

Vậy, do có các hệ thức giao hoán (2.15) nên véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt, chúng là các boson Hay nói cách khác các toán tử sinh, huỷ bosson phải tuân theo các hệ

thức giao hoán (2.15)

Thế cịn fermion thì sao? Trong trường hợp fermion véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất phải là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt,

các toán tử sinh 6* và huỷ ô đối với fermion thoả mãn

vu) =-|uv),

Trang 11

suy ra bth +b-b* =0

Khi v = p, hé thtitc nay tro thanh

ñ;ñ; =|§;} =0 (2.17)

Bây giờ ta xét trudng hop v # p và tác dụng toán tử 4,6, lén véc to

trạng thái |v) diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trưng bởi số

lượng tử v

b,b: |v) =b,| uv) = -0, |v) =-|n) (2.18)

Mặt khác, tác dụng toán tử 6'/, lên |v), ta lại có

6»6,|v)=É}|0)=|a) (2.19)

So sánh hai vế của (2.18) và (2.19), ta suy ra hệ thức phản giao hoán sau đây

đối với các toán tử sinh, huỷ hạt fermion b„b„ +bụb, =0, pv Trong trường hợp k = v, ta sử dụng (2.17) và có đ,§;Iv)=8,|§:}l0)=0 b,b;|0) = 6, |v) =|0), b;b, |v) =6; \0) =|v), 5;b,|0)=0

Cộng các phương trình lại theo từng vế, ta có

(6,8; +626, ]lo)+|v))=l0)+|v)

Vi v bat ky nén ta suy ra

bb; +5,b, =1 (2.20)

Trang 12

{6,67 |= 6,, 828: f= B.8, [=0 (2.21)

Mot điều khá lý thú nữa là từ các hệ thức phản giao hoán (2.21) ta có thể chứng minh được nguyên lý loại trừ Pauli, như sau Thật vậy sử dụng (2.21) cho trường hợp k = v, ta có

xị= 8:8, -|đ: Ì6,Ì

N2= bth,

Nghĩa là Đ}=Đ,

Từ đó suy ra rằng mọi trị riêng n, của toán tử Ÿ,„ phải thoả mãn phương trình

ny (ny - 1) =0

và do đó chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng I nghĩa là trong mỗi trạng thái chỉ có thể có nhiều nhất một hạt fermion

Kết luận :

Trong chương này chúng ta đã làm quen với các toán tử sinh hạt, huỷ hạt và toán tử số hạt để diễn tả sự thay đổi trạng thái của hệ lượng tử

Trang 13

Chuong 3 DAO DONG MANG TINH THE

1 Chuỗi nguyên tử cùng loại

1.1 Lý thuyết cổ điển

Mang tinh thé đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tỉnh thể) trên trục ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó

(hình vẽ) A OH n— 1 n n+1 GD QD GZ > Wy 7 wy X ~—> ~—> ~—> u u u n+l

Hình 1 Chuỗi nguyên tử cùng loại

Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, toạ độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng là x„„

X, =na,

còn độ dịch chuyển của nguyên tử này là u„(t) với u,(t) = u(x,, t)

Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kể nhau, ở các nút thứ n va n+1, tỷ lệ với bình phương độ dời tương đối

0Ð — 0ạ„¡()

và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau Khi đó thế năng tồn phần của hệ là

U= 5 2k.O-u 0}

Trang 14

T= [46-0 2| dt

Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là

ôU

F, = ôU, -a(2u, TH TU )

Từ định luật thứ hai của Newton

F,=M d un)

dt”

ta suy ra phuong trinh chuyén dong sau

4?

vn + = (au, _

dM

-u,,)=0 (3.1)

Tim nghiệm của (3.1) dưới dạng sóng đơn sắc

u,(t) = u(x,t) = fell (3.2)

với A #0 Thay (3.2) vào (3.1), ta nhận được hệ thức

2 da ok

alk)? =~ (1—coska) M = sin? , M2

hay a O(k) = 2|# ka sin ‘| (3.3) k

Hình 2 Sự phụ thuộc vào véc tơ sóng k của tần số œ của dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại

Trang 15

Vay, dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (3.2) với tần số góc œ (K) xác định theo công thức (3.3) phụ thuộc khơng tuyến tính vào giá trị k của véc tơ sóng (hình 2), giống như hiện tượng tán sắc trong quang học

Trường hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính a œ(K) z ta Khi đó nghiệm (3.2) có dạng u(x t) = de®? n? a V=dđ.|—— =C0Häf M

Trong trường hợp này dao động của mang tinh thé trùng với sóng âm với v là

với

tốc độ truyền âm Do vậy, các dao động (3.2) với œ(k) thoả mãn hệ thức (3.3), gọi là các dao động âm

1.2 Lý thuyết lượng tử

Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với toạ độ u,(Ð) là

du, (t)

P(t) =M nt) ui

Biểu thức của động năng tồn phần có thể viết lại như sau

1 2

T=——YP°0), mw O

và do đó năng lượng toàn phần của hệ là

1 a 2

B= EP O+S zu, Ou, ,0F-

Khi luong tit hod ta thay ham P,(t) bang todn tit xung luong > va ham u,(t) bằng toán tử toạ độ suy rộng ø„ liên hợp với P Hamiltonian của hệ trở thành

Ầ 1 Ô2 , v[^ ^ 2

Trang 16

Gitta cdc todn tir 7, va P có các hệ thức giao hoán

|i,,.B |=ine (3.5)

(i,2,,|-[2 2, |-o

Các toán tử 2, và Ê, tương đương với nút thứ n và phụ thuộc vào toạ độ x„ của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với véc tơ sóng nằm trong vùng Brilouin thứ nhất 1 u= yO ken n VN k ke p= 1 yo el P (3.6) " VN + k

chỉ số (1) có nghĩa là lấy tổng theo k chỉ lấy trong vùng Brilouin thứ nhất Theo phương pháp chung ta chỉ xét các sóng phẳng thoả mãn điều kiện tuần hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có trên đoạn thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brilouin thứ nhất Nhân cả

—ikN,

hai vế của các công thức (3.6) với e “*, trong đó k? cũng là véc tơ sóng trong vùng Brilouin thứ nhất, rồi cộng theo n và dùng công thức

VỆ hàm = bin (3.7)

ta thu được các biến đổi ngược lại: ˆ 1 wits,»

u, = tN »e "90,

M 2 (3.8)

k / n

Hay tim hé thtc giao hon gitta B va ø, Dùng các khai triển (3.8), các hệ

>

thức giao khoán (3.5) và công thức (3.7), ta thu được

[Aa] whee [2, , |

Ƒ =- ih VY beth gs nm

nm

Trang 17

nghĩa là

[Ú,.Ê.]=ihổ, (3.9)

Tương tự, ta cũng có

LÊ.,Đ.]=lơ,,8,.]=0 (3.10)

Mặt khác, thay các khai triển (3.6) vào Hamiltonian (3.4) và lại dùng cơng thức (3.7), ta tính được SÐ?= 1 =r rV ye I(K'+K)X, “PB, Ề n " NK kon = x” x” 5, _,P.P = LPB, >[u, - ua} = ~ xù, TH Ỳ =

Bons elk +k) “(= e™\(1- ei, ti, _

~M

si

PEO ole = et tit

Xf, -wuP = E°d-e\l-e™ yin,

yu, -u,,,P = 22" (1—coska)ii i,

XỈu, "Ni: = 4E"`sin? tân a,

" k 2

va do đó

A =>( BB k \2M - + 20sin? 0 ,ñ, 27 (3.11)

Thay

4 sin? 4 — 2 (4), M` 2

Trang 18

3 1 1 Ð Ð 1 ^ ^

H= x (az P,B+ Mø' ()â ,ñ, ) (3.12)

Tiếp theo ta biến đổi công thức này về một dạng mới bằng cách đặt

Vil obi, = OG, +4),

yee “S9, sa) (3.13)

Trong các biểu thức trên, 2, và 4} là các toán tử mới được biểu diễn ngược lại qua Ê và ñ, như sau:

ne 1 ˆ is

As = hag [YM oc + )

p{ is

a, = Tang) Mom aq}

Từ các hệ thức giao hoán (3.9), (3.10) suy ra rằng gưĩa các toán tử 2, và ơ; có

các hệ thức giao hoán

[â,.â;.]= Ope: 14, 4] [2/2/]=0 (3.14) Thay các biến đổi (3.13) vào Hamiltonian (3.12), ta nhận được

Ÿ 1 1 ^ ^+ ^+^

=>" heqtlã,â; +4;4,] (3.15)

Theo các hệ thức giao hốn (3.14) ta có

do đó

=>'"nø()â¡â, +p hoth) (3.16)

có thể chọn gốc tính năng lượng tại giá tri Ey = 202) „ cuối cùng ta nhận

được

A =>” he(k)â}â, (3.17)

Trang 19

H= x halk)N,

Vay, mang tinh thể đơn giản mà ta xét được diễn tả trong lý thuyết lượng tử bằng Hamiltonian (3.17) với các toán tử ¿,và 4; thoả mãn các hệ thức giao hoán (3.14) Vì vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt ¿, là toán tử huỷ hạt có véc tơ sóng & , xung lượng + và năng lượng ho(K), còn 4ÿ là toán tử sinh hạt như thế Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tính thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao hoán (3.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt

thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô

tả giống như một hệ hạt mà thơi Điều này có nghĩa là các phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thường được gọi là chuẩn hạt Ta đang xét đao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi véc tơ sóng rất bé Các phonon trong trường hợp này là các phonon âm Trong phần tiếp theo ta sẽ thấy cịn có cả các phonon quang nữa

2 Chuỗi hai nguyên tử khác loại

2.1 Lý thuyết cổ điển

Tiếp theo ta xét chuỗi hai nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất có khối lượng M; cịn loại thứ hai có khối lượng M;, xếp xen kẽ cách đều nhau một khoảng bằng a (vậy hằng số mạng tỉnh thể là 2a, mỗi ô cơ sở chứa hai nguyên tử) trên tục ox, mỗi nguyên tử dao động quanh vị trí cần bằng của

Trang 20

2n-1 = 2n 2n+l 2n+2

a a a a a

Hình 3 Chuỗi hai nguyên tử khác loại

Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vng trên hình 3 là u,,(t) va cla loại nguyên tử thứ hai, loại hình trịn là v;„,¡(), ta có hệ hai phương trình vi phân a +5 eu n— Vans —V„„ ¡)= 0, (3.18) 1 2 d a + ay van _ —w„„)= 0 (3.19) 2

Tim nghiệm của hệ phương trình (3.18), (3.19) dưới dạng sóng đơn sắc

U,, (t) = U(X, £) = Ae , (3.20)

Von L) = VOX, aif) = Ber OO, (3.21)

với A, B không đồng thời bằng không, thay các nghiệm (3.20), (3.21) vào các (3.18), (3.19), ta đi đến hệ phương trình đại số với hai biến A và B:

[bz- M,ø@)? ]4—2œcoskaB =0,

2øcos kaA~ [Dø ~ M,@(k)° |8 = 0

Trang 21

[pa - M,a(k)? Pa - M,eo(k)? |- 4a? cos? ka = 0,

phương trình này có hai nghiệm đối với œ(k)?

(3.22)

Vậy dao động của chuỗi hai nguyên tử khác loại là hai sóng đơn sắc

(3.20), (3.21) với hai tân số góc œ.(k), xác định theo công thức (3.21) Sự phụ

thuộc của œ.(K) vào số sóng k được thể hiện bằng đồ thị hai nhánh trên hình

4, nhánh trên là ,(k) và nhánh dưới là œ (K) _A( N o ee = a > k 2a 2a

Hình 4 Sự phụ thuộc của œ vào k Với k rất bé:

2ø M,+M,

@(k) ka

phụ thuộc tuyến tính vào k giống như các sóng âm và vì thé ta ký hiệu

o(k)=0,(k) con

1 1 0, (k)® 2a( eer]

Trang 22

không phụ thuộc vào k Các sóng này tương tác với ánh sáng mạnh hơn các

sóng âm nên ta ký hiệu w,(k) = @o(k)

2.2 Lý thuyết lượng tử

Các xung lượng tương ứng với các độ rời u;„(Ð và v;„,;( được ký hiệu

là du,„@) P,,O=M, dt dv,,,,(t) t= M 2n+l q;„()=M; TH

Khi lượng tử hoá ta thay uạ„, Pons Vonsis Gone1 bằng các tốn tử đ,„.P.„.9,„ Â;„.,„ thoả mãn hệ thức giao hốn

Trang 23

rồi biểu diễn các hệ số Fourier Ô,4,,0,,$, một cách thích hợp qua các toán tử huy hat 4,a va sinh hat 40*,4* để thu được Hamiltonian của hệ dưới

dạng

==" nfo, (naa? +0, (6942 a2} (3.23)

Các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hạt và huỷ hạt là:

|a;°.a¿° ]= ổ,ổ, | 324)

[ata = [ai ar" J=0

Hamiltonian (3.23) cho ta thay trang thai dao động tử của chuỗi hai nguyên tử khác loại có thể xem như một hệ nhiều hạt gồm hai loại chuẩn hạt khác nhau, mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ nhất có năng lượng hœ,(k) cịn mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ hai có năng lượng ho,(k) Nếu tiến hành tính tốn chỉ tiết như ở phần chuỗi nguyên tử cùng loại sẽ tính được biểu thức giải tích

tường minh của w,(k), œ;(k) trùng khớp với œ.(K) theo công thức (3.22) Để

xác định ta đặt

@(k) = @(k) = @,(k)

@,(k) = @,(k) = @(k)

Khi đó các chuẩn hạt ứng với các toán th 4,4" được gọi là các phonon am, còn các chuẩn hạt ứng với các toán tử 4?),á?* được gọi là các phonon quang Tóm lại trạng thái dao động lượng tử của chuỗi hai nguyên tử khác loại có thể xem như một hệ nhiều phonon âm và phonon quang

3 Mạng tỉnh thể ba chiều

Mở rộng các kết quả lập luận ở trên cho trường hợp mạng tính thể dao động ba chiều trong không gian

Trang 24

có véc tơ dịch chuyển tring véi hudng ca véc to séng & goi 1a dao dong doc hoặc sóng dọc, ký hiệu bằng chữ L„ hai trạng thái có véc tơ dịch chuyển trực giao với hướng của véc tơ sóng # gọi là dao động ngang hoặc các sóng ngang, ký hiệu bằng chữ T Cả ba sóng đó đều có tần số góc tỷ lệ tuyến tính với giá trị k của véc tơ sóng khi k rất bé và do đó là các sóng âm Ta nói có một sóng âm dọc LA và hai sóng âm ngang TA

Nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa hai nguyên tử khác loại thì sự đao động của các nguyên tử trong không gian ba chiều quanh vị trí cân bằng tạo ra ba trạng thái dao động, ký hiệu là A, mà tần số góc tỷ lệ tuyến tính với k khi k rất bé và ba trạng thái dao động khác ký hiệu là O, mà tần số góc dẫn tới giới hạn hữu hạn (không phụ thuộc vào k) khi k trở nên rất bé Mỗi loại sóng nói trên lại gồm một sóng dọc L và hai sóng ngang T trong trường hợp này một sóng LA, hai sóng TA, một sóng LO, hai sóng TO

Trong trường hợp tổng quát, nếu mỗi ô cơ sở của mạng Bravais chứa s nguyên tử khác loại (không tương đương thì sự dao động của mạng tinh thể bao gồm ba sóng âm (hai sóng ngang TA và một sóng dọc LA) và 3(s-1) sóng quang (s-l sóng dọc LO va 2(s-1) sóng ngang TO) Tất cả gồm 3s loại sóng

Nếu dùng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu dao động mạng tinh thể ba

chiều ta sẽ thu được Hamiltonian dưới dạng

ñ=Š he (ấp +âp,

i=l

A Alot ali

Trong d6 a(*,a” thoả mãn các hệ thức giao hoán (3.24) là các toán tử sinh, huỷ phonon loại ¡ Có tất cả 3s loại phonon: một phonon âm dọc LA, hai phonon 4m ngang TA, s-! phonon quang doc LO va 2(s-1) phonon quang ngang TO

Mặc dù các phonon đều có các tốn tử sinh 4ƒ” và huy 4‘ déu thoa mãn hệ thức giao hoán (3.24) giống như các toán tử sinh huỷ boson, nhưng chúng ta không thể áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein cho hệ đồng nhất

Trang 25

các phonon hay nói cách khác cho dao động mạng tỉnh thể được bởi vì mạng tỉnh thể của vật rắn là một hệ định sứ, trong đó các nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân bằng của mình, chúng khác nhau về phương diện hoán vị toạ độ Vì vậy ta áp dụng phân bố Maxwell — bol¿zmann khi nghiên cứu nhiệt dung của mạng dao động của vật rắn

Kết luận :

Trang 26

Chuong 4 THUYET NHIET DUNG CHAT RAN

1 Thuyét nhiét dung chat ran c6 dién, dinh luat Dulong Petit

Áp dụng định lý về sự phân bố đều của động năng theo các bậc tự do để tính nội năng và nhiệt dung của vật rắn Cần chú ý rằng định luật phân bố đều của động năng theo các bậc tự do là hệ quả của phân bố chính tắc Gibbs cổ điển, vì vậy lý thuyết nhiệt dung xây dựng trên cơ sở định luật này chỉ đúng khi hệ tuân theo thống kê cổ điển

1.1 Định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do Động năng trung bình ứng với I bậc tự do là bằng =

E 2 OH Ok (4.1)

1.2 Dinh ly virian

Virian trung bình ứng với một bậc tự do là bằng =

1 OH kT

ZU 4.2

2" eq, 2 (4.2)

1.3 Dinh luật Dulong Petit

Trong mạng tinh thể của chất rắn các nguyên tử thực hiện các dao động nhỏ quang quanh vị trí cân bằng Trong chừng mực nào đó ở những điều kiện nhất định ta có thể coi chúng là các dao động tử điều hoà ba chiều Thế năng của dao động tử điều hoà phụ thuộc vào toạ độ dưới dạng toàn phương (U ~ q? Áp dụng định ý Virian, ta tính được giá trị trung bình của thế năng ứng với một bậc tự do cũng là x kết hợp với định lý về sự phân bố đều động

năng theo các bậc tự do, động năng trung bình ứng với một bậc tự do là =,

nên năng lượng trung bình tương ứng với một bậc tự do của đao động điều hoà

là bằng kT

Trang 27

Mỗi một nguyên tử của chất rắn là dao động tử điều hoà ba chiều (có ba bậc tự do) vì vậy số bậc tự do của cả hệ NÑ nguyên tử là f = 3N

Năng lượng trung bình của hệ là

U=E= (e+) =3NkT (4.3)

Đối với một phân tử gam

(UW) not = (E)yyy = 3N AT =3RT (4.4)

Nhiệt dung đẳng tích được xác định bằng công thức

— (20 _

C= lễ ) -3Nk (4.5)

Đối với một phân tử gam

(C/)„e = 3Ngk = 3R (4.6)

với R là hằng số khí R = 8,31Jun/độ, vì vậy nhiệt dung đẳng tích của một mol chất rắn là

(C,)mor = 3R ~x 25jun/mol.độ = 6 cal/mol độ

Như vậy, theo thuyết nhiệt dung cổ điển thì nhiệt dung chất rắn có giá trị khơng đổi theo nhiệt độ Đó chính là định luật Dulong — Petit

Thực nghiệm cho thấy rằng định luật Dulong — Petit không phải là đúng với mọi vật rắn và trong mọi khoảng nhiệt độ (xem hình 5)

4 (Co)mot

6cal/mol độ (lý thuyết) pe

ow

° v T

Trang 28

Sự tăng lên của nhiệt dung khi nhiệt độ cao có thể giải thích theo quan

điểm cổ điển như sau, khi nhiệt độ tăng cao, các dao động của nguyên tử chất

rắn trở thành phi điều hoà và thế năng được biểu thị bằng công thức

kq?

U,= 2 +”,

trong trường hợp đó thế năng trung bình sẽ lớn hơn = do đó nhiệt dung sẽ tăng lên

Ở vùng nhiệt độ thấp, nhiệt dung chất rắn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ, việc giảm đi của nhiệt dung ở nhiệt độ thấp không thể giải thích bằng thuyết

cổ điển Có thể sơ bộ lý giải điều đó như sau: Theo lý thuyết nhiệt dung cổ điển, hệ các nguyên tử chất rắn được xem là hệ N dao dong tử điều hoà cổ

điển, độc lập với nhau Tuy nhiên ở vùng nhiệt độ thấp quan niệm ấy không đúng nữa vì hai lý do Một là, các nguyên tử chất rắn phải tuân theo quy luật đao động điều hoà lượng tử, tức là có phổ năng lượng gián đoạn Hai là, các nguyên tử này liên kết với nhau, chứ không thể xem là độc lập được Nhưng dù sao thì ở nhiệt độ bình thường (nhiệt độ phịng thí nghiệm) đa số các chất rắn đều có nhiệt dung gần đúng như định luật Dulong — Petit Trên bảng 1 có liệt kê nhiệt dung mol của một số chất rắn ở nhiệt độ T = 298K

Bảng 1: Nhiệt dung (tính cho 1 mol) của một số chất ở T = 298”K

Tên chất (C,)mor Qun/46) Tên chất (C,) mor Qun/46)

Nhôm AI 23.4 Đồng Cu 23,8 Bismut Bi 25,3 Natri Na 25,6 Vonfram W 24.4 Thiếc Sn 25,4 Giecmani Ge 23,3 Paltin Pt 25,4 Vang Au 24,5 Chi Pb 27,8 Cadimi Cd 24,6 Bac Ag 24,4

Silic Si 19,8 Kim Cương C 6,1

Trang 29

Để giải thích được tính chất của nhiệt dung vật rắn là phụ thuộc rất mạnh vào nhiệt độ và tiến tới O khi nhiệt độ tiến tới O°K điều đó hồn tồn phù hợp với định lý Nernst, được coi là nguyên lý thứ 3 nhiệt động lực học chúng ta cần phải nghiên cứu thống kê lượng tử

2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung chất rắn 2.1 Lý thuyết nhiệt dung chất ran cua Einstein

Nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, năm 1907, Einstein đã đưa ra lý thuyết dựa trên quan điểm lượng tử Theo Einstein, chuyển động của các nguyên tử trong vật rắn là chuyển động của các dao động tử điều hoà lượng tử ba chiều Theo (2.10), dao động tử điều hoà một chiều với tần số œ có phổ năng lượng gián đoạn được xác định theo công thức

1

Eq = hon +2] ›

trong đó n là các số nguyên, kể cả 0

Biết phổ năng lượng của dao động tử và nhiệt độ T của hệ, chúng ta có thể tính được năng lượng trung bình của một dao động tử điều hoà một chiều

Trước hết ta tính tổng trạng thái (tổng được lấy theo tất cả trạng thái của hệ) Z của dao động tử theo công thức

Z=še tr, (4.7) han ho = AT 2kT Z= > e & > n=0 be œ ( _ho\" Z=e"y e7 n=0 ho

Vi 72 >0 nên e <1, nên trên đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với

ho

Trang 30

»( _ho " 1 šỊ: ”] = ae n=0 1- e KT Từ đó ta có biểu thức tổng trạng thái Z —_h@ e 27 Z=——m: l-e (4.8)

Biết tổng trạng thái Z„ ta có thể tính được năng lượng trung bình của một dao động tử điều hoà nhờ biểu thức được suy ra trực tiếp từ phân bố Maxwell — Boltzmann:

£= er? nz (4.9)

oT

Thay Z từ công thức (4.8) vào (4.9) và thực hiện phép tính đạo hàm theo T ta được

+ ho ho (4.10)

eT —]

Thật là lý thú nếu chú ý rằng ở nhiệt độ thấp T —> 0 năng lượng trung bình cũng dẫn tới mức năng lượng thấp nhất eạ =1 ở nhiệt độ cao [7 >>T, = re

2 k

năng lượng trung bình của dao động tử có trị số cổ điển là KT

Vì mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do nên hệ N nguyên tử trong vật rắn là hệ 3N dao động tử điều hoà một chiều Einstein quan niệm rằng tất cả các nguyên tử đều cùng chung một tần số dao động œ Trên cơ sở quan niệm đó và kết quả (4.10) ta tính được nội năng của hệ

ho + ho U =3Ne =3N4—— 2 ho |

b 1Ì

Lấy đạo hàm nội năng theo nhiệt độ ta sẽ tính được nhiệt dung đẳng

(4.11)

tích

Trang 31

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN ho -(2) _3Nh°@° — cữ ar), kT? (# ) e —]

Như vậy, theo lý thuyết Einstein thì nhiệt dung vât rắn phụ thuộc nhiệt (4.12)

v

độ theo quy luật khá phức tạp Chúng ta lần lượt khảo sát dáng điệu phụ thuộc vào nhiệt độ trong hai trường hợp nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp mà chúng ta cần quan tâm

* Trường hợp nhiệt độ cao

Xét trường hợp khi nhiệt độ T>> Tp = = (Tp gọi là nhiệt độ Einstein),

khi đó chúng ta có thể khai triển gần đúng hàm mũ theo đại lượng = <<1

nhu sau

Thay giá trị này vào biểu thức (4.12) ta được 3Nh?a’ (, ha \( kT Y C, = >| 1+—— | —] AT kT \ ho Vi = <<1 nên có thể lấy gần đúng "kT? (hœ cB Nn eo (Z) Cy = 3Nk

Đối với một phân tử gam, nhiệt dung có giá trị

(C\y)mor = 3Nok = 3R

Trang 32

Xét trường hợp nhiệt độ thấp, khi nhiệt độ T<<Tp = = Trong trường

hợp này 2 >>1, do đó ta có thể bỏ qua số 1 ở mẫu số của vế phải biểu thức

(4.12)

3NH?@2 - 5

C= (4.13)

Như vậy theo lý thuyết Einstein thì ở vùng nhiệt độ thấp, nhiệt dung phụ thuộc nhiệt độ dưới dạng

he

CG, ~ —e V 7? + +

Qua đó ta thấy: limC„ =0 T0

Kết quả (4.13) phù hợp một cách định tính với thực nghiệm là nhiệt dung tiến tới 0 khi nhiệt độ tiến tới 0 độ tuyệt đối Tuy nhiên, các dữ kiện thực nghiệm về nhiệt dung vật rắn ở các nhiệt độ thấp đã chứng tỏ rằng nhiệt dung vật rắn tiến tới 0 theo quy luật

Cv~T

Đây chính là hạn chế của lý thuyết Einstein Hạn chế này là do Einstein đã quan niệm rằng tất cả các nguyên tử trong vật rắn đao động với cùng một tần số

2.2 Lý thuyết nhiệt dung chất rắn của Debye

Để khắc phục hạn chế của lý thuyết Einstein về nhiệt dung chất rắn đã nêu ở trên Năm 1912, Debye đã đưa ra lý thuyết mới về nhiệt dung vật rắn

Điểm cơ bản nhất trong lý thuyết Debye là, trong mang tinh thé chat rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậy chúng chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các dao động tử độc lập như trong lý thuyết Einstein Mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do, vì vậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động điều hoà lượng tử liên kết, vì số nguyên

tử là rất lớn, cho nên thực tế ta có thể coi phổ các tần số dao động riêng như là

Trang 33

phổ liên tục từ 0 đến tần số cực đại œp (tần số Debye) vi ta có thể nói rằng tần số dao động trong vật rắn không thể lớn vơ hạn Các sóng có tần số rất cao mà bước sóng nhỏ hơn khoảng cách giữa các nguyên tử, sẽ không thể truyền trong vật rắn Vì vậy khi lấy tích phân theo tần số, Debye đã chọn tần số cực đại œ¡, mà ta sẽ xác định ở phần sau đây

Do có tương tác giữa các nguyên tử của vật rắn, có thể coi vật rắn như là một môi trường liên tục đàn hồi trong đó có hình thành một hệ sóng

Số các sóng đứng đàn hồi trong thể tích V của vật rắn được tính theo cơng thức

2

do, (4.14)

trong đó v là tốc độ truyền sóng

Ở đây ta đặc biệt chú ý tới các tần số nhỏ bởi vì ta cần phải giải thích đường cong nhiệt dung ở nhiệt độ thấp Như ta đã biết đối với các tần số thấp các dao động chuẩn của mạng tinh thé thực tế là các sóng âm, tức là sóng đàn hồi trong vật rắn

Chú ý rằng, sóng âm trong vật rắn bao gồm hai sóng ngang phân cực độc lập và một sóng dọc với tốc độ truyền khác nhau Do đó đối với sóng dọc

ta có

dn,(@) = OV 4,

a anv”

và đối với sóng ngang

2 dn,(@)=2.- 27v, xảy

(có thừa số 2 là do phân cực của sóng ngang) Nếu ta đưa vào ký hiệu thu gọn

c= + C (4.15)

Trang 34

thì số các sóng đứng đàn hồi trong thể tích V của vật rắn có tần số trong khoảng từ œ đến œ + do, sẽ được xác định theo hệ thức

dn(o) = sede (4.16)

Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ 0 cho tới tần số cực đại œp Giá trị của œp xác định từ điều kiện

fan) = forde =3N (4.17)

22?v?

Sau khi tính tích phân ta được ks " 4ø x) ‘ (4.18) Gọi a là hằng số mạng tỉnh thể ta có aN=V Từ đó theo (4.18) ta được o, = (622) (4.19) a

Bước sóng cực tiểu ^„„„ tương ứng với tần số œ„„„ là bằng

|

2 2 4 4

A„=vT= 25 „2 _ of) >162a

4, max Op 3

Trên cơ sở (4.18), ta có thể viết lại (4.16) dưới dạng:

dn(@)= oN odo (4.20)

Op

Mỗi dao động chuẩn là một dao động tử điều hoà lượng tử, vì vậy năng lượng trung bình của mỗi dao động chuẩn là

s= nh fe (4.21)

eKT —Ị

Năng lượng trung bình của cả hệ 3N dao động chuẩn (nội năng của vật rắn) được tính theo công thức

Trang 35

U= E(ø)dn(ø)

0

Thay các biểu thức (4.20), (4.21) vào vế phải của công thức trên ta được

U=E= S5 [alao+ [2 ao (4.22)

20) 0 ® % eT -1

Số hạng thứ nhất ở vế phải của (4.22) không phụ thuộc vào nhiệt độ T, vì vậy nhiệt dung Cụ được tính như sau

Đụ 3 ¬- oT), @ OT, = aw ho o, xr 2 Cự, _130h Ø0) ( ho } AT miLa odo ef? -] =, ho ⁄ Ruin Đặt —=x tacé thé viét kT v29 “kT 4x €, -Ƒ| rv#x hoy J 4 (e =F

hey được gọi là nhiệt độ Debye Ta có biểu thức nhiệt

Dai luong Tp = dung nhu sau

f) =: Nei) (4.23)

Người ta thường viết nhiệt dung chất rắn dưới dạng ngắn gọn

Ses

C, = anal

D

T,

Œ, = SAU | (4.24)

trong đó D là hàm Debye được xác định như sau

D(a)=— dx (4.25)

Trang 36

(Cy)mol = seo 7 (4.26)

Ta hãy xét dáng diéu cua (C\),,,, trong hai ving nhiét dd khác biệt là Nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp

* Trường hợp nhiệt độ cao

Xét vùng nhiệt độ thoả mãn điều kiện 7 >>7„ = “ee , VGi diéu kién nay

¬

thì rT có giá trị rất nhỏ

Ta hãy khảo sát hàm Debye khi biến số rất nhỏ Theo định nghĩa (4.25)

ta có 3% xie' D(a)=> (4) zie-y * d Nếu œ rất nhỏ thì ta có thể lấy gần đúng e l+x 1 2 2? (e* -1)° _ x x Dia)=—, Jx'dv=1, 0

Dựa vào kết quả này và biểu thức (4.26) ta có (C,)„„=3R (Khi T>>Tp)

Điều này có nghĩa là trong vùng nhiệt độ cao lý thuyết Debye phù hợp

với định luật Dulong — Petit

* Trường hợp nhiệt độ thấp

ho,

k

Xét vùng nhiệt độ thoả mãn diéu kién T<<T, = —“ Trong trudng hợp

nay to rất lớn, do đó phai khao sat ham Debye D(a) khi œ rất lớn Từ định nghĩa ta thấy rằng œ rất lớn thì cận trên của tích phân ở vế phải biểu thức

(4.25) có thể thay bằng œ, do đó

Trang 37

Da)=— x*e* x 3 4z! (e-1P ø` l5

0

Thay kết quả này vào (4.26), ta được

3 4z! (Cy) not =3 15” (Cau er ST, (4.27) D

Như vậy trong vùng nhiệt độ rất thấp lý thuyết Debye cho kết quả phù hợp rất tốt với thực nghiệm

(C) mạ ~ T

Chúng ta hãy biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ cao của nhiệt dung chất

rắn theo định luật Dulong — Petit, lý thuyết Einstein và lý thuyết Debye trên

hình vẽ (Š) sau đây ¿ (CV)mai Dulong-Petit 3R Debye Einstein

0 Hình 5: Sự phụ thuộc của nhiệt dung chất rắn vào T nhiệt độ theo 3 định luật

Như đã trình bày ở trên định luật Dulong — Petit: (Cv)„„ = 3R chỉ

đúng khi nhiệt độ T lớn hơn nhiều so với nhiệt độ Debye được xác định bởi

-Y(6z:}',

a

ho h

T, = 2 ="

Trang 38

Tp= c6" ⁄⁄ (4.28)

Đại lượng vận tốc âm v được tính bởi công thức

€

v=.l=,

2

trong đó e là suất Young và p là khối lượng riêng của chất rắn Ta thấy rằng các chất rắn khác nhau có nhiệt độ Debye khác nhau, do đó lĩnh vực nhiệt độ cho phép áp dụng định luật Dulong — Petit cũng khác nhau Điều này cho phép chúng ta hiểu được một thực tế: cùng ở nhiệt độ phịng thí nghiệm nhưng một số chất rắn có nhiệt dung (Cv)„¿¡ xấp xỉ 3R, còn một số khác lại có nhiệt dung (Cv)„„ khác nhiều với giá trị 3R Chẳng hạn nhiệt độ Debye của chì (Pb) có giá trị cỡ 880K, vì vậy nhiệt độ phịng thí nghiệm (T~2300°K) đã là khá cao so với Tp, do đó nhiệt dung (CV)„„¡ của chì trong điều kiện phịng thí nghiệm có giá trị cỡ (xem bang 1)

(Cv)„ø = 27.8J/độ ~ 3R

Kim cương có nhiệt độ Debye rất cao (Tp ~ 800K) vì vậy ở nhiệt độ phịng thí nghiệm (T ~ 300K), nhiệt dung của nó, không tuân theo định luật Dulong — Petit (ở nhiệt độ T = 298°K, kim cương có nhiệt dung (CV)„„ = 6,1 Jun/độ < 3R xem bang 1)

Người ta đã phát hiện thấy được một vài sai lệch của các số liệu thực

nghiệm so với kết quả Cụ ~ TỶ ở nhiệt độ rất thấp xấp xỉ 0K Điều này được

giải thích như sau: Nhiệt dung của kim loại bao gồm hai phần là nhiệt dung của mạng các ion dương và nhiệt dung của các điện tử tự do Những kết quả tính tốn nói trên chỉ liên quan tới nhiệt dung của mạng các ion dương Ký hiệu Œ; là nhiệt dung của mạng các ion dương và C7 là nhiệt dung của các điện tử tự do, nhiệt dung của kim loại là

Cy=C +c

Trang 39

Ở nhiệt độ cao cỡ nhiệt độ phịng thí nghiệm nhiệt dung của các điện tử nhỏ hơn nhiều so với nhiệt dung của mạng các ion dương, do đó ta có thể lấy gần đúng

Cy = Œ; (nhiệt độ cao)

Ở vùng nhiệt độ thấp ta thấy có tình trạng ngược lại Khi T —> 00K thi nhiệt dung của khí điện tử tự do cỡ C7 ~T Còn theo kết quả của lý thuyết, như đã nêu ở trên, nhiệt dung của mạng ion dương có giá trị cỡ: Cụ ~ TẺ Như vậy rõ ràng là ở nhiệt độ thấp thì Œj << C¿ Vì vậy ở nhiệt độ thấp (T -> 0K), nhiệt dung của kim loại chủ yếu là nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

C,= C¿, (nhiệt độ thấp)

So với lý thuyết Einstein thì lý thuyết Debye phù hợp tốt hơn với thực nghiệm, vì vậy đến nay lý thuyết Debye vẫn được coi là lý thuyết đúng đắn nhất về nhiệt dung của chất rắn

2.3 Lý thuyết nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng q

Trong phần này ta dựa vào quan điểm của Einstein, coi chuyển động của các nguyên tử (chính xác là các ion dương) trong vật rắn, là chuyển động của 3N dao động tử điều hoà một chiéu có cùng một tần số œ, nhưng chỉ ở

vùng nhiệt độ cao T>>T, = = còn ở vùng nhiệt độ thap T<<T, = = thì

mạng các ion dương được coi là hệ 3N dao động tử điều hoà biến dạng —q với cùng một tần số œ

Theo quan điểm trên, ở vùng nhiệt độ cao, nhiệt dung của vật rắn vẫn được xác định bởi công thức (4.12), lấy gần đúng chúng ta vẫn thu được kết quả

Trang 40

do vậy vẫn phù hợp với định luật Dulong — Petit mà đa số các chất rắn đã tuân theo ở nhiệt độ phịng thí nghiệm

Xét vùng nhiệt độ thấp, khi đó T<<Tp = = dao động của các ion dương được coi là các dao động tử điều hoà biến dạng —q, trong đó các toán tử sinh hạt và huỷ hạt tuân theo hệ thức sau

ââ' =qâ'â=q Ÿ, (4.29)

với q là tham số biến dạng, # là toán tử số hạt và thoả mãn các hệ thức

â*â=[Ñ]:[Ñ,â*]= â*:[Ñ,â]= -â (4.30)

â*â=[#+1Ï

(4')' =â,Ñ'=Ñ

Nếu q — I thì rõ ràng phương trình (4.29) trở về hệ thức giao hoán của các toán tử sinh huỷ boson thông thường

[4,a*]=1

Ở đây các q- dao động đã được đưa vào với sự giúp đỡ của các q- số [n],

l]=#—®-, q- (4.31)

v6i g= e*, là số thực và có thể biểu diễn

_ c*-e* _ sinh(œ) 4.32

[= sinh(r) (4.32)

ro rang 1a

lim[x] =x

Mot vai vi dụ của q- số: [0] = 0; [1] = 1; [2]= q+q”; [3]= q+1+q7 Chú ý rằng q- số là bất biến dưới phép biến đổi nghịch đảo q ->q' Cũng tương tự như vậy nếu x là một toán tử

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	4,66 MB